矩陣的秩的等式及不等式的證明

1、摘 要矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，它具有許多的重要性質.本文總結歸納出了有關矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，即從向量組、線性方程組、線性空間同構、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.本文主要解決以下幾個問題：用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.關鍵詞：矩陣；秩；等式；不等式.abstractmatrix rank is a important feature of matrix and has many valu

2、able characters . this paper sums up the relevant equality and inequality propositions of matrix rank and the usual methods to prove these propositions. proof methods of vector group, linear equations, the linear space isomorphism, matrix block, matrix elementary transformation are given. the main c

3、ontents are as follows: using matrix theory of known to prove equality and inequality problem of matrix rank; using linear space to prove the equality and inequality of matrix rank; using dimension theory of vector group to prove equality and inequality problem of matrix rank; using matrix block met

4、hods to prove equality and inequality problem of matrix rank.keywords: matrix；rank；equality；inequality.目 錄第一章 緒論1第二章 預備知識2第三章 用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式3第四章 用線性空間的理論證明秩的等式和不等式6第五章 用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式10第六章 用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式15第七章 小結23參考文獻24致 謝25第一章 緒論矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，是矩陣理論中研究的一個重要內容，它具有許多的重要性質.研究矩陣的秩對于解決矩陣的很多問題具有

5、重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對于學習矩陣也是重點和難點，初學者在做這方面的題目往往不知如何下手.筆者歸納了矩陣的秩的常見等式和不等式以及與之相關的一些結論，并從向量組、線性方程組、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度探索了多種證明方法，它有助于學習者加深對秩的理解和知識的運用，也方便教師教學.目前對矩陣秩的研究已經(jīng)比較成熟了，但是由于秩是矩陣論里的一個基本而重要的概念，它仍然有著重要的研究價值，有關它的論文時見報端.很多國內外的有關數(shù)學書籍雜志對矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在矩陣論（科學出版社、2006年5月出版）中較完整地給出了矩陣秩的理論.北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組編寫的高等

6、代數(shù)（高等教育出版社,2003年7月出版）也介紹了秩的一些性質.但是對秩的等式及不等式的介紹都比較分散，不全面也沒有系統(tǒng)化，不方便初學者全面掌握秩的性質.因此有必要對矩陣的秩的等式和不等式進行一個歸總，便于學習和掌握.本文通過查閱文獻資料，總結歸納出有關矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.主要內容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和

7、不等式問題.第二章 預備知識定義1矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩；矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義2如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.定義3 數(shù)域上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：（1）以數(shù)域中的一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；（2）把矩陣的某一行（列）的倍加到另一行（列）；（3）互換矩陣中兩行（列）的位置.定義4在一個矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行列交叉點上的個元素按原來的次序組成的級行列式稱為的一個級子式.定義5設為矩陣,稱線性方程組的解空間為的零空間(即核空間)，記作,即.引理11 矩陣的行秩等于列秩.引理21 任

8、意兩個等價的向量組必有相同的秩.引理3 階方陣可逆.證明:充分性:當由知可逆，且必要性:如果可逆，那么有使兩邊取列式，得，因而.引理41 矩陣的秩是的充要條件為矩陣中有一個級子式不為0，同時所有的級子式全為0.引理51 如果向量組可以由向量組線性表出，那么的秩不超過的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組極大線性無關組可由的極大線性無關組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質(見參考文獻1)可得，向量組極大線性無關組的向量個數(shù)不超過的極大線性無關組的向量個數(shù)，即的秩不超過的秩.引理61 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數(shù)為，這里表示系數(shù)矩陣的秩，也是自由未知量的個數(shù).第三章

9、 用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式 本章主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩，秩為的充要條件，常見的秩的不等式等等.要掌握并且靈活運用這些知識才能證明下面的命題.這些命題都是一些基本的命題.命題3.1 證明：由矩陣轉置的定義,的行向量組就是的列向量組，因此的行秩就是的列秩，又由引理1知，命題證畢.命題3.2 （其中）.證明：的行向量組可由的行向量組線性表出，的行向量組也可由的行向量組線性表出，因此的行向量組與的行向量組等價.由引理2它們的秩相等，再由秩的定義知與的秩相等,命題證畢. 命題3.3 是一個矩陣，如果是可逆矩陣，是可逆矩陣，那么. 證明：令,由矩

10、陣乘積的秩不超過各因子的秩可知,但是由，又有所以.另一個等式可以同樣地證明,命題證畢.命題3.42 設是一個階方陣，則.證明：若，由引理3，知可逆，可逆，故若，由引理4，存在階子式不為0，因此,，又因為，有，即，從而若，則由引理4，存在階子式全為0，于是，即命題證畢.從這個命題可以得出的結論.命題3.5 設是一個矩陣，任取的行列,交叉處的個元素按原來的相對位置構成子矩陣，則 證明:設為的行所構成的子矩陣，它由所在的行確定.設.則的任意一個大于階的子式必須至少有行出現(xiàn)在中.根據(jù)行列式的性質，對這個子式按出現(xiàn)在中的那些行進行拉普拉斯展開，則可以看出，這個可以表示成的一些k階子式的線性組合，其中為某

11、個大于的數(shù).由引理3這些子式全為零.因此任意一個大于階子式必須等于零.由秩的定義,.由行與列的對稱性類似地可推出,兩式相加即可得到，命題證畢.命題3.6 設都是階矩陣,證明:.證明:，命題證畢.例3.1 設為階方陣，求證必存在正整數(shù)使得.證明:由于為階方陣，則,其中為正整數(shù),而是有限數(shù)，上面的不等式不可能無限不等下去，因而必存在正整數(shù)使得.例3.2設，都是階方陣，是階單位矩陣，證明.證明:因為,所以.命題3.7設為階矩陣，證明:如果,那么.證明： 因為,由命題5.3知. 又 而，所以,即，. 因此. 由， 可得.例3.35 設,為階方陣,且則.證明:因為所以.由命題3.7知 (1)由 , (2

12、)由(1),(2)知有成立.例3.4設為階矩陣,且,證明.證明：由，可得 . 又因為和 有相同的秩,所以 由， 可得.第四章 用線性空間的理論證明秩的等式和不等式本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構，直和分解，核與值域的一些性質和定理來證明矩陣的一些秩的等式和不等式命題.線性空間和線性變換的知識本來就比較抽象，還要和矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構造一些映射命題4.1 設為階方陣，如果的列向量所生成的的子空間與的零空間（即核空間）的直和為，則.證明:根據(jù)引理6，要證，只要證與同解的解顯然為方程組的解.下面我們用反證法證明的任一解同時也是的解.若，因,故. 另一方面，其中，,從而

13、,這與矛盾,所以的任一解同時也是的解,于是它們同解,故.命題4.2 設為矩陣，為矩陣，證明sylrester公式：.證明:設為矩陣，為矩陣,考慮，, 方程組 , 設（1）（2）（3）的解空間分別為，則，將三者聯(lián)系起來，作，則它為的子空間，從而，又為的子空間，作：一方面下證 定義 易知這個映射是單滿的，并且滿足線性運算條件，所以它是同構映射.但上面：.因此 ，即 命題4.3 設為，為矩陣，證證明:設分別為,行空間,那么, , 由于,并由維數(shù)公式得:即得: (1)由于的行向量是的行向量的線性組合,所以有,又,所以有,因此有,所以有 (2).將(2)代入(1)即得: .命題4.4 若，證明.證明：設

14、方程組與的解空間分別為，.若，則根據(jù)引理6知 又因為滿足解向量也滿足,所以 由 可推出.要證，只要證與同解.設方程組與的解空間分別為，.顯然,只要證.由知,即，因此，命題得證.此例是一個有價值的結論.例4.1 階矩陣滿足當且僅當.證明：先證明必要性.由知相似于形如的對角陣，其中1的個數(shù)為,又與相似，從而有相同的秩，而，其中0的個數(shù)為的秩，1的個數(shù).所以.充分性.只要證明對任意均有即可.由說明,的解空間與的解空間滿足,從而對任意存在唯一分解其中,所以綜上即證.命題4.5設分別是矩陣，,證明證明：設，則 因為為可逆矩陣，秩為，故可將看做維線性空間的一組基，則在這組基下的坐標向量分別為.作，在這兩個

15、線性空間中構造映射，將中的每個向量映射到在基下的坐標向量，這個映射是一個同構映射，因此這兩個線性空間同構，所以，而.所以同理可證明,這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識來證明矩陣的秩的等式和不等式命題，難點在于要好好理解線性空間和線性變換的一些知識，重要定理和性質，再把握它們同矩陣的聯(lián)系.第五章 用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式本章主要利用向量組的秩和極大線性無關組的一些知識，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關系來證明秩的等式和不等式.命題5.1設是矩陣，是矩陣,則或.證明：列向量組向量的個數(shù)比和多，所以或下面證明.不妨設與分別是與的列向量組的極大線性無關組,則的每個列向

16、量均可用向量組線性表出,根據(jù)引理5可知.命題證畢.命題5.2設,是矩陣，.證明：先證明.設,則.不妨設與分別是與的列向量組的極大線性無關組，則有即的列向量可以由線性表出，由引理5知.再證明.由剛證明的結論可知,移項得到,同理可得,因此.綜上所述我們證明了，對于，只要把以上證明過程的改成即可得證，命題證畢.由命題3.1,命題3.2（其中）和本命題可推知（其中）.例5.1設,是矩陣,證明:.證明:先證明.設 ,則 .不妨設與分別是與的列向量組的極大線性無關組，則有即的列向量可以由線性表出,由于也是來自于的列向量組的向量,所以的列向量也可以由的列向量組線性表出,根據(jù)引理5可知.對于, 只要把以上證明

17、過程的改成即可得證，命題證畢.命題5.3設是矩陣，是矩陣，如果，則.證明：設 ，則.故有,即齊次方程組有個解.若，則根據(jù)引理6,可由個解向量組成的基礎解系線性表出.根據(jù)引理5有,命題證畢.例5.2 是矩陣，則.證明：由命題3.1知.下面我們先證明.只要證明與同解便可得到.一方面，滿足解向量也滿足；另一方面，由兩邊同時左乘得到，即，設,那么,所以，滿足的解也滿足綜上所述與同解,解空間的維數(shù)相等，由系數(shù)矩陣的秩與線性方程解空間的維數(shù)之間的關系可知，.對證明過程與此類似，所以，命題證畢.例5.3 證明：若線性方程組的解均為的解，則.證明：設方程組與的解空間分別為,，若線性方程組的解均為的解，則,根據(jù)

18、引理6有,即，命題得證. 例5.4設為矩陣，為矩陣，證明與同解的充分必要條件為.證明：設方程組,解空間分別為,.必要性：若，,根據(jù)引理6可知,可以推出.充分性：若，則根據(jù)引理6知 又因為滿足解向量也滿足,所以 由 可推出.命題證畢.命題5.4設是數(shù)域上矩陣，是數(shù)域上矩陣，證明即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.證明: 構造齊次線性方程組與,設方程組與的解空間分別為,.顯然，滿足解向量也滿足,所以, 根據(jù)引理6知. 再構造齊次線性方程組與，同理可得,即.綜上所述.此命題用歸納法可以推廣為：如果那么.例5.4 如果方程組的解為方程的解，其中，求證.證明：由已知可知與同解，根據(jù)引理6它們的系數(shù)矩陣的秩相

19、等,所以 .第六章 用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式本章主要是利用矩陣分塊的方法來證明矩陣的秩的等式和不等式，也包括矩陣分解的方法證明秩的等式和不等式，涉及到了矩陣的廣義初等變換和廣義初等矩陣.例6.14 設是數(shù)域上矩陣，是數(shù)域上矩陣，求證,即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩 證明：設， 令表示的行向量，表示的行向量。由于的第個分量和的第個分量都等于，因而,即矩陣的行向量組可經(jīng)的行向量組線性表出,所以的秩不超過的秩，即.同樣，令表示的列向量，表示的列向量，則有.的列向量組可經(jīng)矩陣的列向量組線性表出，所以，也就是.例6.2設，都是階方陣，是階單位矩陣，求證.證明:因為,故.因此.命題6.1設，是矩陣

20、，則.證明：構造分塊矩陣，對其施行用廣義初等變換可得.根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩可以推出 又由于 由,即得 .命題6.22 設，分別為,矩陣,則.證明:由，且，可逆可推出.但,即.所以.這個公式代數(shù)里稱為sylverster(薛爾佛斯特)公式. 命題6.3設，分別為,矩陣,則的充要條件為 .證明:由，根據(jù)矩陣秩的性質，可以得到等式 而 充分性：若，由 可知，即.必要性：若則, 由 可知.綜上所述,命題得證.例6.3 設，分別為,矩陣,則的充分必要條件為存在矩陣，使得.證明：由上一個命題可知的充要條件為 ，那么我們只要證明的充要條件為存在矩陣，使得，即可完成本命題的證明.下面就此進行證明.充分性

21、.可知當時，.再根據(jù)命題6.3可推出等式.必要性.設 ,其中,均為可逆矩陣. 對式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去，.若，根據(jù)命題6.3有，因此式（1），式（2）右端方陣秩相等，故在消去，時也消去了，對式（2）右端分塊記 其中， ，.于是上述消去的行變換相當于,消去其余有類似的結果，這樣初等變換就相當于存在矩陣，使+=, ，進行變形整理,從而有.令,，便得到，命題得證.命題6.4設都是階矩陣，.證明:這個矩陣秩之和不大于.這個矩陣秩之和不大于.證明：由命題6.2的sylverster(薛爾佛斯特)公式可得 ,移項即得.例6.4設,，依次為，的矩陣,證明.證明:設,那么存在階可逆矩陣，階可逆

22、矩陣，使得 把，適當分塊,，其中為矩陣,為矩陣由式有.所以,再由命題6.2的sylverster(薛爾佛斯特)公式可得,從而,命題得證.這個公式也稱為frobenius(佛羅扁尼斯)公式.例6.5 設為矩陣，為秩為的的列滿秩矩陣,為秩為的的行滿秩矩陣,證明: 證明:先證明.因為,所以存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得,即,再根據(jù)矩陣乘以可逆矩陣不改變秩的大小可得.同理可證.因此有,命題得證.命題6.5設,，分別為，矩陣,而的一個滿秩分解是，即是列滿秩矩陣,是行滿秩矩陣,則的充要條件是存在矩陣,使得.證明：因為是滿秩分解,是列滿秩矩陣, 是行滿秩矩陣,所以根據(jù)例題6.5有和,則.又由例題6.3得矩

23、陣,使得 ,命題得證.這是例題6.4 frobenius(佛羅扁尼斯)公式等號成立的充要條件.例6.6證明:.證明:由例題6.4的sylverster(薛爾佛斯特)公式可知.移項即得,命題得證.例6.7設，均為矩陣，均為矩陣，證明.證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知由此易知,從而得到,命題得證.例6.8設,都是矩陣，如果，則.證明:構造分塊矩陣，對其做初等變換可推出,但,所以.這個命題的一般形式為：設是矩陣，是矩陣，如果，則,已經(jīng)在命題5.3中用線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關系方法證明了.本命題只是它的特殊形式.例6.9設為階方陣，為非負整數(shù)，則（1）（2）證明：（1）設由佛羅扁尼斯（frobenius）不等式，即得：（2）設由佛羅扁尼斯（frobenius）不等式，即得：.命題6.6設為s矩陣，則. 證明: 由命題3.3，則.同理.所以 .矩陣的分塊是種有效的解決矩陣有關問題的方法，值得好好體會.尤其是有些難題，矩陣分塊是簡便分方法.本章利用矩陣分塊的方法證明了一些典型的矩陣等式和不等式命題，很有借鑒意義.第七章 小結矩陣的秩的等式、不等式的證明及它應用非常廣泛。在本文中，主要討論了矩陣的秩，以及它的等式及不等式命題的證明方法，較之前的研究，更加全面。文中討論了利用線性空間同構、向