圓的對(duì)稱性(第一課時(shí))

1、精品資源3. 2圓的對(duì)稱性課時(shí)安排2 課時(shí)從容說(shuō)課圓是一種特殊的圖形，它既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形.學(xué)生已經(jīng)通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，能用折疊的方法得到圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.同時(shí)結(jié)合圖形讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一些和圓相關(guān)的概念.本節(jié)課的重點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理.本節(jié)課的難點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理的證明與“圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”的前提條件的理解及定理的證明.第二課時(shí)課 題3.2.1 圓的對(duì)稱性（一）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1 .圓的軸對(duì)稱性.2 .垂徑定理及其逆定理.3 .運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明

2、.（二）能力訓(xùn)練要求1 .經(jīng)歷探索圓的對(duì)稱性及相關(guān)性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法.2 .培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神.（三）情感與價(jià)值觀要求通過(guò)學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動(dòng)精神.教學(xué)重點(diǎn)垂徑定理及其逆定理.教學(xué)難點(diǎn)垂徑定理及其逆定理的證明.教學(xué)方法指導(dǎo)探索和自主探索相結(jié)合.教具準(zhǔn)備投影片兩張：第一張：做一做（記作 3. 2. 1 a）第二張：想一想（記作 3. 2. 1 b）教學(xué)過(guò)程i .創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課，師前面我們已探討過(guò)軸對(duì)稱圖形，哪位同學(xué)能敘述一下軸對(duì)稱圖形的定義？，生如果一個(gè)

3、圖形沿著某一條直線折疊后。直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫對(duì)稱軸.師我們是用什么方法研究了軸對(duì)稱圖形 ？生折疊.師今天我們繼續(xù)用前面的方法來(lái)研究圓的對(duì)稱性.n.講授新課師同學(xué)們想一想：圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì) 稱軸？生圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線是它的對(duì)稱軸，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.師是嗎？你是用什么方法解決上述問(wèn)題的 ？大家互相討論一下.生我們可以利用折疊的方法， 解決上述問(wèn)題.把一個(gè)圓對(duì)折以后，圓的兩半部分重合, 折痕是一條過(guò)圓心的直線，由于過(guò)圓心可以作無(wú)數(shù)條直線，這樣便可知圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.師很好.教師板書：圓是軸對(duì)稱圖形圖形，

4、對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.下面我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念.1 .圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧 (arc).2 .弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(chord).3 .直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑 (diameter).如右圖。以a、b為端點(diǎn)的弧記作 ab,瀆作“圓弧ab或“弧ab”; 線段ab是。的一條弦，弧 cd是。o的一條直徑.注息：1 .弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor are),大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.如上圖中，以a、d為端點(diǎn)的弧有兩條：優(yōu)弧acdg己彳acd),劣弧abd己作ad).半圓，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)

5、分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧， 簡(jiǎn)稱半圓.半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.2 .直徑是弦，但弦不-一定是直徑.下面我們一起來(lái)做一做：(出示投影片 3. 2. 1 a)按下面的步驟做一做：1 .在一張紙上任意畫一個(gè)。 0,沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對(duì)折，使圓的 兩半部分重合.2 .得到一條折痕cd3 .在。o上任取一點(diǎn)a,過(guò)點(diǎn)a作c所痕的垂線，得到新的折痕，其中, 點(diǎn)m是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足.4 .將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)b,如上圖師老師和大家一起動(dòng)手.(教師敘述步驟，師生共同操作 )師通過(guò)第一步，我們可以得到什么 ？生齊聲可以知道：圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線

6、是它的對(duì)稱軸.師很好.在上述的操作過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧？ 生我發(fā)現(xiàn)了，amh bm弧ac或bc哪ad bd.師為什么呢？生因?yàn)檎酆踑m與bm互相重合，a點(diǎn)與d點(diǎn)重合.師還可以怎么說(shuō)呢？能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？師生共析如右圖示，連接 oa ob得到等腰4 oab即oa= ob因cdl ab,故 oamobmtb是rta,又omk/公共邊，所以兩個(gè)直角三角形全等，則amhbm又o o關(guān)于直徑cd對(duì)稱，所以 a點(diǎn)和b點(diǎn)關(guān)于cd對(duì)稱，當(dāng)圓?&著直徑 cd 對(duì)折時(shí)，點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，弧ac與弧bc重合.因此am=bm弧ac或bc瓠ad= 弧bd.師在上述操作過(guò)程中，

7、你會(huì)得出什么結(jié)論生垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.師同學(xué)們總結(jié)得很好.這就是利用圓的軸對(duì)稱性得到的與圓相關(guān)的一個(gè)重要性質(zhì)一 垂徑定理.在這里注意：條件中的“弦”可以是直徑.結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所 對(duì)的劣弧、優(yōu)弦.下面，我們一起看一下定理的證明：（教師邊板書，邊敘述）如上圖，連結(jié) oa or則oa= ob在 rta oamfd rtaobm,oa=ob om= omrtoa陣 rtaobm. a隹 bm，點(diǎn)a和點(diǎn)墨關(guān)于 cd對(duì)稱.oo關(guān)于直徑cd對(duì)稱，當(dāng)圓沿著直徑 cd對(duì)折時(shí)，點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，弧a*弧bc重合，弧ad與弧bd重合. ac=a bc,弧 ad與弧 bd重合師為了

8、運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：（1） 過(guò)圓心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，平分弦所對(duì)的劣 弧.即垂徑定理的條件有兩項(xiàng)，結(jié)論有三項(xiàng).用符號(hào)語(yǔ)言可表述為：如圖37,在o。中，am=bm,cd是直徑 y 弧 ad哪 bd,cdl ab于 mjac= 弧 bc.下面，我們通過(guò)求解例1,來(lái)熟悉垂徑定理：例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 （即圖中弧cq點(diǎn)。是弧cd的圓心）, 其中cd=600m e為弧cd上一點(diǎn)，且。且cd，垂足為f, ef=90 m.求這段彎路的半徑.師生共析要求彎路的半徑，連結(jié) oc只要求出oc的長(zhǎng)便可以了.因

9、為已知oel cd所以cf= 1 cd= 300 cm, of= oe-ef,此時(shí)就得到了一個(gè) rtacfco哪位同學(xué)能口述一下如何求 2解？生連結(jié)oc,設(shè)彎路的半徑為 rm則of = （r-90）m，: oel cdcf= cd=x 600=300（m）.據(jù)勾股定理，得oc 2=cp+of,即 r2= 3002+（r-90） 2.解這個(gè)方程，得 r= 545.這段彎路的半徑為 545 m.師在上述解題過(guò)程中使用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，這種思想應(yīng)在今后的解題過(guò)程中注意運(yùn)用.隨堂練習(xí)：p92.1 .略下面我們來(lái)想一想（出示投影片 3. 2. 1 b）如下圖示，ab是o。的弦（不是

10、直徑），作一條平分 ab的直徑c口交ab于點(diǎn) m 師右圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么 ？ 生它是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是直徑 cd所在的直線.7 1 j師很好，你是用什么方法驗(yàn)證上述結(jié)論的 ？大家互相交流討論一下，（ ）你還有什么發(fā)現(xiàn)？ 生通過(guò)折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索方法類似，在一張紙上畫一個(gè)。0,作一條不是直徑的弦 ab,將圓對(duì)折，使點(diǎn) a與點(diǎn)d重合，便得到一條折痕 cd與 弦ab交于點(diǎn)m. cd就是。0的對(duì)稱軸，a點(diǎn)、b點(diǎn)關(guān)于直徑cd對(duì)稱.由軸又稱可知， abx cd弧ac瓠bc,弧ad哪bd師大家想想還有別的方法嗎 ？互相討論一下. 生如上圖，連接 0a 0b便可得到一個(gè)

11、等腰 0ab即0a= or又amk mb即m點(diǎn)為 等腰 oab底邊上的中線.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知cdab,又cd是。0的對(duì)稱軸，當(dāng)圓沿cd對(duì)折時(shí)，點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，弧ac與弧bc重合，弧ad與弧bd重合.師在上述的探討中，你會(huì)得出什么結(jié)論 ？生平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.師為什么上述條件要強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”？生因?yàn)閳A的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的.師我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個(gè)逆定理.師同學(xué)們，你能寫出它的證明過(guò)程嗎 ？ 生如上圖，連結(jié) 0a 0b則0a= 0b.在等月0ab中， amh mb.cd!ab（等腰三角形的三線合一）.。0關(guān)

12、于直徑cd對(duì)稱.，當(dāng)圓沿著直徑 cd對(duì)折時(shí)，點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，弧ac與弧bc重合，弧ad與弧bd重合.弧ac或bc,弧ad哪bd師接下來(lái)，做隨堂練習(xí)：p922 .如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？答：相等.；理由：如右圖示，過(guò)圓心 0作垂直于弦的直徑 ef,由垂徑定理設(shè)弧af哪bf,弧cf哪df,用等量減等量差相等，得弧af-弧cf哪：bf-弧df,即弧ac或bd,故結(jié)論成立.符合條件的圖形有三種情況：（1）圓心在平行弦外，（2）在其中一條線弦上，（3）在平行弦內(nèi)，但理由相同.m.課時(shí)小結(jié)1 .本節(jié)課我們探索了圓的對(duì)稱性.2 .利用圓的軸對(duì)稱性研究了垂徑定理及其逆定理.

13、3 .垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等 問(wèn)題.w.課后作業(yè)（一）課本 p93,習(xí)題 3. 2, 1、2（ 二）1 .預(yù)習(xí)內(nèi)容：p94974 .預(yù)習(xí)提綱：(1) 圓是中心對(duì)稱圖形.(2) 圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.v.活動(dòng)與探究1 .銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道.如圖所示，污水水面寬度為60 cm,水面至管道頂部距離為10 cm,問(wèn)修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道 ？過(guò)程讓學(xué)生在探究過(guò)程中，進(jìn)一步把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn) 題，掌握通過(guò)作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的 思維. 結(jié)果如右圖示，連結(jié) oa過(guò)。作ohab,垂足為e,交圓于f,則_ 1ae=ab=30cm 令o。的半徑為 r,則 oa=r oe= of-ef= r-10,在2rtmeo中,oa=ae2+oe,即 r2=302+(r-10) 2.解得 r=50 cm.修理人 員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道.板書設(shè)計(jì)1.1.1 圓的對(duì)稱性(一)一、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直徑.二、與圓有關(guān)的概念：1 .圓弧2 .弦3 .直徑 注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓. 三、垂徑定理：垂直干弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧. 例1 :略四、垂徑定理逆定理：平分弦 (不是直徑)的直徑垂直