江蘇省揚州市2013屆高三數學1月月考

1、-9 -江蘇省揚州中學2012 2013學年度第一學期質量檢測高三數學2013. 元一、填空題(本大題共 14小題，每小題5分，共70分)一 a -51、設z= f+(a +2a 15)1為頭數時，頭數 a的值是 a2 4a -5:2、若命題“三xw r,x2 +(a1)x+1 0”是假命題，則實數a的取值范圍是.03、已知向量a,b滿足|a | = 1,|b |=3, a、bn間的夾角為60 ,則a，(a+b) =。4、甲盒子里裝有分別標有數字1、2、4、7的4張卡片，乙盒子里裝/輸入口./輸出“有分別標有數字1、4的2張卡片，若從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，則2張卡片上的數字之和為奇數

2、的概率是。5、閱讀右面的流程圖，若輸入a=6, b=1,則輸出的結果是。cos10 *3sin10，6、計算： =。.1 - cos80x y-3-0i )7.若直線y=2x上存在點(x, y)滿足約束條件,x-2y-3e0則實x占m數m的取值范圍為 q_8、將邊長為2的正方形abcdg對角線bd折成直二面角 a-bd-c,若點a b、c、d都在一個 以。為球心的球面上，則球 。的體積為 。一、一一 111 r22、一一9、設平面點集 a = x,y) (yx)(y )20s,b=(x,y) (x1)2 + (y 1)2 1匕則 a。bix j所表示的平面圖形的面積為 a。10、當0xw2時，

3、4x0)的左右焦點，b是虛軸的端點，直線 f1ba b與c的兩條漸近線分別交于 p, q兩點，線段pq的垂直平分線與x軸交于點m若| mf| = | fe| ,則c的離心率是n兩點，設12、在 mbc中，過中線 ad中點e任作一直線分別交 ab , ac于mo若平面向量am = xab , an = y ac ( xy # 0),則 4x 十 y 的最小值是 _13、對任意兩個非零的平面向量nnna1 b1 0, a與b的夾角(e (0,-),且a()b和b。a都在集合 g |nw z中，則ab = 14、有四根長都為 2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一

4、個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是 二.解答題(本大題共 6道題，計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15 .(本題滿分14分)在四棱錐 p abcdfr, / abo /acd= 90 , / bag= / cad= 60 , p4平面 abcd e 為 pd的中點，pa= 2ab= 2.(i )求四棱錐 p- abcd勺體積v;(n)若f為pc的中點，求證 pcl平面aef(出)求證ce/平面pab16 .(本題滿分14分)在aabc中，內角a, b,c對邊的邊長分別是 a,b,c，已知c=2, c=-.(i )若aabc的面積等于73,求a,b ;(n )若 sin

5、c +sin( b a) = 2sin 2a ,求 mbc 的面積.17 .(本小題滿分15分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速 度v (單位：千米/小時)是車流密度 x (單位：輛/千米)的函數。當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0;當車流密度不超過 20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當 20wxw200時，車流速度v是車流密度x的一次函數.(i)當0mxm200時，求函數v(x)的表達式；(n)當車流密度 x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛 /小時)f(x) =x

6、v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時)18、(本小題滿分15分)已知橢圓e經過點a(2,3),對稱軸為坐標軸，焦點一一 1f1, f2在x軸上，離心率e=。2(i)求橢圓e的方程;(n)求/ f1af2的角平分線所在直線(m)在橢圓e上是否存在關于直線若存在，請找出；若不存在，說明理由。19.(本題滿分16分)設函數f (x) = sinx2 cosx(i)求f(x)的單調區(qū)間;(n)如果對任何 x 0 ,者b有f (x) ax ,求a的取值范圍.20.(本小題滿分16分)答 一 , , ,號學 _ 要_一 _名不 姓 二 _ 內_二 二 一 號3 (-1)n* 一已知數列an

7、與bn滿足：bnan+an4+4書an* = 0,bn =, ne n ，且a1 = 2, a2 =4 .(i)求 a3, a4, a5 的值;(n)設cn =a2n+a2n4，n= n ，證明：cn是等比數歹u；4n s,7*(iii )設 sk = a2 + a4+ , , + a2k ,k 匚 n ,證明：乙/3 , 乂d = 4. as4flc7j= -ab bc + -ac cd2二=x i x 73 + i x 2 x 2 & =之后, 222則 f/=lx-v3x2 = -75.3 23(【) *：pa = ca,尸為 pc 的中點，：.afypc. ：pax. 平面 xbco*

8、 ：.pavcd. ：ac1.cd, panac=a, ：,cd 上平面rac. ：.cdlpc, e為pd中點，f為fc中點， ：.ef/cd 則 efl pc. ；4 產 ref=f,，尸c 平面aef.10分(iii)證法一t取aq中點m 連cm.則vem5平面pab,以u平面pabt :.em平面 pab,在 rtzlc。中，/cxd=6(t, ac=am-2t ，上*cm=60j 而:mc甘ar, vafc tz平面 以見月8仁平面加8,平面 pab, teafnjwc=m, 六平面 emc平面 以8.丁 ecu平面我mc, 分證法二：延氏dc、ab,中點.ye為尸口中點，二 ec*

9、 平面 pab.,v設它們交于點可，連pm znac=zdac=60f：,ec/pn. -：ec(z 平面/b. pn u 平面 r16.ac1cd.二 7 為n的 .ec* 平面 pab.此解i )由余弦定理及已知條件得，a2+b2-ab = 4,又閃為的面積等于,所以= 得出? = 4.2聯(lián)義方程組a2 + b* -ab = 4, ab = 4j解得口 = 2, b-2.(ii)由題意得！iin(3 + j4) + sin(s-j) = 4 sin a cos a ,即 $in bcos a = 2sin a cos a ，-15-當 cos 乂 = 0 時.b = + a =&g, b

10、= 2 1,2633當coswwo時，得sins = 2sinw,由正弦定理得b = 2a.聯(lián)立方程組a2 +b2 -ab = 4, b = 2ar所以rbc的面枳s = -a6sinc= 2317 .解:()由題意：當04耳弓20時0) = 60；當20kx工20端寸,設串(工)=妙+力1a ,再由已知得3l 200b -360,0 x 20,故函數比)的表達式為世幻=1q0or),20”42g0 l 3cid依題意并由(i)可得/(x) =60x,0 4 x 十號=1,解傳c=2, c cw v3楠圓的方程為全+為=1.id i z（n ）解法l由（1）如人（-2. 0）, &：2. 0）

11、,所以直線m；的方程為才工*（*+2）,監(jiān)h-4）+6=6直線的方程為：1 = 2.由點火在描黨e上的位址知，直線/的斜率為正數 設尸（工，外為t上任一點,則j ._ i若3k紂+ 65*二0,得h+2f-8mo(因其斜率為負，舍去).于是由 3第47+&= -5工 + 1。得 2m - - 1=0,所以直線上的方程為：2父-7-1 =0. *4* -解法2：一_3), f, ( -2,。),尸式3, 0), ?. 17* = ( -4. -3) + jr? = (0, -3).=- 4 . 31*(0 -3)= 一 2).-,蜀二2,二 f :丁 - 3 * 2( * - 1) . hp 2

12、x - - i = 0.(ih)解密工：假設存在這樣的兩個不同的點h(ag和a為，打八v bcil. au四 f 二 一；*-aaj設nc的中點為m（飛.兀）.則。x1-.汽=旻3 ，由于“如上聾除又凡。在用隔上將該式寫為會與*公孑立a。，外將直線bc的斜率a ”和蛾段bc的中點 6/-17 -.；戒水代人核錢達式.中,傅專巖 - q 1叩3工4 2為=0 一4 .一，士 .1卷冷x2 -得利=2,兀二3,即矽的中點為點乂而這是不叫能的.；不存在滿足題設條件的點b和c,解法2：假設存在封風.yj ,匕（石,打）兩點關于直桀士對稱，則上.ac,-段直緞打匚的方程為 =-/工將其代人橢圓方程系+

13、；晟=51， .j：jj： 、_., 1 . , , ?aimh?*r .得一元二二次方程3- +4（ i-5t + *） 2 =48 .即 / 一 mx + m2 -12=0.則x,與七悠法方程的兩個根. 由希達定期得小+ ! = fflr, 于是力中門 =一 , % （工1 4- r2 ） + 2rn =.凡。的中點坐際為年,誓）.：又線段的中點在直線k2才一1上.二竽-】，蹲 即凡 匚的中.也坐標為c, 3）,與點八而井，矛所.，不有作曲超越改品件的相異網點.解:(i ) fx)=當汨2n f j 2冗x 2e + （rez）時，cosjca-g,即/工）0：(2 + cos x) co

14、s x - sin x- sin x) 2 cos x 4-1(2 + co$x)(2-fcosx)2-19-當曲灣(t 6 z )時, cos x ，即 f(x) 0 .2因此一（片）在每一個區(qū)間2h(jlez )是增函數，/（）在每一個區(qū)間門3mc. f是，當me(0,日)時，/(m)= -即 sn- or .2 + cosx3當口w0時，有嗚,因此，4的取值范圍是8）.20.解 解；由速=他, 可得4t1/為奇數2,n為偶數當歸1 時，.+%+2與=0,由=2, a3=4,可得& =一3;又4 +%川 +%0,當片2時,2a2+aj+a4=0,可得a* =-5;當n=3時，% +a4 +

15、2電=0,可得知=4.ud證明：對任意界wn工a2n- + 口加+ 2叫n+1 = ，2%#限+%.?=0,%“*i +%+2 +26z = 0,所，得知 =。2將代人，可得產%川=-(%1+/用)即嘖=-%(6m)又。=馬+/=-1,故c. 40,因此90=-1,所以q是等比數列.(iii)證明工由(ii)可得口+%.1=(1)&.于超*對任意tw at且火之2.有/十% =.l一(%+%) = t,af +a7 = -1, i + 恤t)= -l將以上各式相加，福/+(-1)*%*一1 =-(尢-1),即/1 =卜|*|(#+1),此式當k=l時也成立.由式羯/ = (-1嚴猿+3).從而

16、邑*=(叼+/) + (%+%)+(口”7+磯=-也s”t =%-%* =3. 所以，對任意打ev1之2,三邑=汽(空1 +邑e-? +，止+ $4用)=(2用+ 2 _ 2m】_ 2m+ 3+ 2nl)總叫 上 念2 %*. &網7 aam 占 2m 2m+ 2 2m + l 2m+ 3v/ 23、2653=x (-+) =+) +w 2w(2ffi + l) (2m + 2)(2m + 2)2x3 占2ffi(2wi + l) (2fl + 2)(2n + 3)i w 53vb+3 占(2 陽-1)2陋 + 1) (2n + 2)(2n3)1 5” i、/ i、 z i 1vl 33 2

17、3 55 t 2n-l 2n + l j (2n + 2)(2n + 3)5 5 i37-3 + 6 2 2h+1 + (2h + 2)(2?4-3) / + 2 = 0,即大一+2=0。2解：將點的極坐標化為直角坐標，點。,48的直角坐標分別為（0,0卜（0,6）,（6,6）, 故aoxb是以03為斜邊的等腰直角三角形，圓心為（3,3）,半徑為3人，圓的直角坐標方程為（x-3）2 +（y-3）2=18 ,即/ +y2-6x-6y = 0,將x =/cos8,y = x?sin0代入上述方程，得夕？ 一62（cos6 + sin。）= 0,即0 = 6及cos e-3解：（i ）記“該射手恰好

18、命中一次”為事件力；”該射手設計甲靶命中”為事件8； “該射 手第一次射擊乙靶命中”為事件c： ”該射手第二次射書乙靶命中”為事件o.由題意知，（8） = *, p（c） = p（d） = j ,由于/ = 8而+反1萬+反力，根據事件的獨立性與互斥性得 p（a） = p（bcd + bcd + bcd） = p（bcd） + p（bcd） + p（bcd）= lx（l_2）x（i-2）+（i_l）x2x（i_2）+ （i_l）x（i_2）x2 = q j j qj j q jjjg（id根據題意.x的所以可能取值為oj2,3,4,5 .根據事件的獨立性和互斥性得p（x = 0） = p（bcd） = （1 +（1 一?。ㄒ唬?表，433 jop（x = 1） = p（bcd） t x（1 -a（w jj1 /rp（x = 2） = p（bcd） + p（bcd） = （l-1）xjx（l-1）x2 = |,p(x = 3) = p