第一數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 2012屆本科畢業(yè)論文第一數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用院（系）名稱數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè) 名 稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 指導(dǎo)教師 完 成 時(shí) 間2012.5第一數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)思維方法中最重要、最常用的方法之一, 這不僅因?yàn)槠渲写罅繂栴}都與自然數(shù)有關(guān), 更重要的是它貫穿于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的全過程. 本文對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的由來、運(yùn)用技巧以及需要注意的問題進(jìn)行較為完整的系統(tǒng)論述. 重點(diǎn)闡述了第一數(shù)學(xué)歸納法的精髓和一般的解題思路, 以及在求解數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用和技巧.關(guān)鍵詞：歸納法 第一數(shù)學(xué)歸納法 不等式 數(shù)列1 引言 對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的研究國(guó)內(nèi)已有不少論文, 這些論文在具體方面做了詳

2、盡的論述. 同時(shí)還有數(shù)量不少的論文從數(shù)學(xué)歸納法的細(xì)微處著眼. 我國(guó)的數(shù)學(xué)期刊或數(shù)理雜志, 如數(shù)學(xué)教育報(bào), 數(shù)學(xué)通報(bào), 數(shù)學(xué)通訊等, 刊載的相關(guān)文章都從各個(gè)角度具體闡述了數(shù)學(xué)歸納法的常見問題. 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法, 也是中學(xué)數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容, 用于證明與無(wú)窮的自然數(shù)集相關(guān)的命題. 但凡涉及無(wú)窮, 總會(huì)花費(fèi)數(shù)學(xué)家大量時(shí)間與精力, 去理解并弄清它的真正意義. 普通歸納法與自然數(shù)這一最古老的數(shù)學(xué)概念及“無(wú)窮”這個(gè)無(wú)法直觀感覺的概念相結(jié)合的“數(shù)學(xué)歸納法”, 自然也需要一個(gè)漫長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過程.在16世紀(jì)晚期, 數(shù)學(xué)歸納法開始出現(xiàn)在代數(shù)中. 1575年意大利數(shù)學(xué)家莫洛里克斯（1494-1

3、575）在他的著作算術(shù)中就提出了這種方法, 并證明了, 雖然莫洛里克斯并沒有把數(shù)學(xué)歸納法貫徹到底, 例如經(jīng)有限的驗(yàn)證后便以“等等”一類的話代替了必要的演繹, 但是可以說莫洛里克斯算是一個(gè)與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的一個(gè)早期的數(shù)學(xué)家, 一般認(rèn)為, 歷史上第一次成功利用數(shù)學(xué)歸納法的是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯卡第一次用數(shù)學(xué)歸納法證明了指數(shù)為正整數(shù)時(shí)的二項(xiàng)式展開式的系數(shù)公式, 從而得到有名的帕斯卡三角陣. 繼帕斯卡之后, 數(shù)學(xué)歸納法就成為數(shù)學(xué)家們手中得心應(yīng)手的工具, 如在費(fèi)馬（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、歐拉（1707-1783）這些大數(shù)學(xué)家們

4、的出色工作中, 都可以找到數(shù)學(xué)歸納法的例子, 1889年意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾(cpeano, 18581932, 意大利)發(fā)表算術(shù)原理新方法, 給出自然數(shù)的公里體系, 使數(shù)學(xué)歸納法有了一個(gè)準(zhǔn)確、合理的理論基礎(chǔ)現(xiàn)在開始我們重新認(rèn)識(shí)一下數(shù)學(xué)歸納法. 2 數(shù)學(xué)歸納法的原理2.1 歸納法在現(xiàn)實(shí)中的一些運(yùn)用先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來, 再?gòu)睦碚撋蟻碜C明這一規(guī)律的一般性, 這是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的方法之一. 不論在數(shù)學(xué)上, 或在其他場(chǎng)合, 從對(duì)一系列具體事物的考察中引出一般性結(jié)論的推理方法或過程, 叫做歸納法. 人們從有限的經(jīng)驗(yàn)中得出經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)論是屢見不鮮的, 在這個(gè)過程中人們自覺或不自覺地運(yùn)用了歸納法.

5、許多閃爍著人類思想光芒的諺語(yǔ)、成語(yǔ)、格言等, 都是應(yīng)用歸納法的產(chǎn)物. 如“兵貴神速”、“驕兵必?cái)　? 都是對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的勝負(fù)規(guī)律的一種認(rèn)識(shí), 同樣“滴水石穿”、“有志竟成”是人們考察了古往今來許多有成就者的經(jīng)歷后得出的. 2.2 數(shù)學(xué)歸納法的本原理解了歸納法我們?cè)倬唧w到數(shù)學(xué)中來, 以識(shí)數(shù)為例. 小孩子識(shí)數(shù), 先學(xué)會(huì)數(shù)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè), 過些時(shí)候, 能夠數(shù)到10了, 又過些時(shí)候, 會(huì)數(shù)到20, 30, 100了, 但后來, 就不再是這樣一段段地增長(zhǎng)了, 而是飛越前進(jìn). 倒了某個(gè)時(shí)候, 他領(lǐng)悟了, 就什么數(shù)都會(huì)數(shù)了, 這一飛躍, 竟是從有限到無(wú)窮!怎樣會(huì)有這種方式呢? 首先, 他知道從頭數(shù); 其次, 他

6、知道一個(gè)一個(gè)按次序數(shù), 而且不愁數(shù)了一個(gè)以后, 下一個(gè)不會(huì)數(shù), 也就是領(lǐng)悟了下一個(gè)數(shù)的表達(dá)方式, 可以由上一個(gè)數(shù)來決定, 于是, 他也就會(huì)數(shù)任何數(shù)了. 解釋這個(gè)飛躍的原理就是, 正是運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法的思想, 數(shù)學(xué)歸納法大大地幫助我們認(rèn)識(shí)客觀事物, 由簡(jiǎn)到繁, 由有限到無(wú)窮. 1979年6月9日, 在英國(guó)倫敦, 一群記者和上千名觀眾靜靜注視著一個(gè)人,急切的等待著一項(xiàng)基尼斯世界紀(jì)錄的誕生. 這個(gè)人就是邁克凱尼, 他用13天的時(shí)間, 用了169713塊骨牌搭出一個(gè)長(zhǎng)達(dá)6900米的多米諾牌陣, 當(dāng)邁克凱尼走到第一塊骨牌前, 用手輕輕推到它時(shí), 奇跡出現(xiàn)了將近17萬(wàn)張骨牌組成的長(zhǎng)達(dá)6900米的多米諾陣在

7、半小時(shí)內(nèi)統(tǒng)統(tǒng)顛覆. 這就是神奇的多米諾現(xiàn)象, 在這個(gè)過程中要使所有的骨牌倒下必須滿足兩個(gè)條件, （1）第一塊骨牌倒下；（2）任意兩塊相鄰骨牌, 只要前一塊倒下, 后一塊必定倒下. 這樣我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)這與數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的證明方法數(shù)學(xué)歸納法如出一轍. 并且擺多米諾陣的人應(yīng)該注意的關(guān)鍵問題竟然也和使用數(shù)學(xué)歸納法的人應(yīng)該注意的關(guān)鍵問題神似韻合. 2.3 命題的長(zhǎng)蛇陣在前面我們屢次提到數(shù)學(xué)歸納法, 那么究竟什么是數(shù)學(xué)歸納法？我們現(xiàn)在先看一個(gè)命題. 試證：在一個(gè)正方形的紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)連同正方形的4個(gè)頂點(diǎn), 其中任意3點(diǎn)都不共線試證：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上述個(gè)點(diǎn)的三角形紙片個(gè)我們可以把這個(gè)命題看

8、成是無(wú)窮多個(gè)命題組合而成, 這無(wú)窮多個(gè)命題列舉如下：命題1：在一個(gè)正方形紙上有1個(gè)點(diǎn), 已知這5個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴5個(gè)點(diǎn)的三角形4個(gè). 命題2：在一個(gè)正方形紙上有2個(gè)點(diǎn), 已知這6個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴6個(gè)點(diǎn)的三角形6個(gè). 命題3：在一個(gè)正方形紙上有3個(gè)點(diǎn), 已知這7個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴7個(gè)點(diǎn)的三角形8個(gè). 命題：在一個(gè)正方形紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線證明：至多可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴個(gè)點(diǎn)的三角形個(gè). 命題:在一個(gè)正方形紙上有個(gè)點(diǎn), 已知這個(gè)點(diǎn)中任意3點(diǎn)都不共線, 證明：至多

9、可以剪得頂點(diǎn)屬于上訴個(gè)點(diǎn)的三角形個(gè). 上述無(wú)窮多個(gè)命題排成了一個(gè)命題的長(zhǎng)蛇陣, 它像無(wú)窮多個(gè)骨牌, 一個(gè)接著一個(gè)的擺放在那里. 如何證明這無(wú)窮多個(gè)命題呢？命題1的證明：當(dāng)正方形內(nèi)有一點(diǎn), 且五點(diǎn)不共線, 則可以如圖1所示, 得到4個(gè)三角形. 命題1得證. 命題2的證明：根據(jù)命題1, 當(dāng)正方形中有2點(diǎn), 則另外一點(diǎn)一定在上題所分的4個(gè)三角行中任一個(gè)中, 假設(shè)如圖2所示, 則可看作這一點(diǎn)把其中一個(gè)分成3個(gè), 即多了2個(gè), 有6個(gè), 命題2得證. 命題3的證明：根據(jù)命題2, 當(dāng)正方形中有3點(diǎn), 則另外一點(diǎn)一定在上題所分6個(gè)三角形中任一個(gè)中, 假設(shè)如圖3所示, 則可看作是這一點(diǎn)把其中一個(gè)分成了3個(gè),

10、即多了2個(gè), 共有8個(gè), 命題3得證. 繼續(xù)這個(gè)過程, 我們可以依次證明命題4、命題5、. 也就是說, 我們可以證明這一系列命題中的任何一個(gè)命題. 因此, 一開始給出的命題, 當(dāng)是任意自然數(shù)時(shí)都是正確的. （圖1） （圖2） （圖3） 2.4 什么是數(shù)學(xué)歸納法在上一部分, 我們把一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題寫成一個(gè)命題長(zhǎng)蛇陣, 然后依次來證明, 這種方法顯然給人一種繁瑣的感覺. 但是我們可以看到, 從命題2開始, 命題長(zhǎng)蛇陣中的每一個(gè)命題都是在前一個(gè)命題成立的基礎(chǔ)上被證明的, 并且證明的方式很類似. 也就是說, 命題是在命題成立的基礎(chǔ)上被證明的. 因此我們處理長(zhǎng)蛇陣的方法可以改用以下兩步：1.證明命

11、題1成立;2.根據(jù)命題成立, 推出命題成立. 這樣根據(jù)第二步可知以后每個(gè)命題都成立. 可見, 有這兩步已經(jīng)足夠了. 如果把命題長(zhǎng)蛇陣?yán)锏囊粋€(gè)命題比作一塊骨牌, 那么第二步就像把這些骨牌統(tǒng)統(tǒng)擺到了能產(chǎn)生“多米諾”現(xiàn)象的位置, 第一步恰如用手指輕輕地推倒了第一塊骨牌. 僅用這兩步就可以使命題長(zhǎng)蛇陣中的每一個(gè)命題一個(gè)接一個(gè)的自動(dòng)證明. 一般來說, 一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題可以看成是一個(gè)命題長(zhǎng)蛇陣. 時(shí)為命題1, 時(shí)為命題2, 依次類推. 因此, 在證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí), 可以采用以下兩步： 證明時(shí)命題成立； 證明：如果時(shí)命題成立, 那么時(shí)命題也成立. 這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法. 這種方法也

12、可以概括為：“1對(duì)；假設(shè)對(duì), 那么也對(duì)”. 這種概括是著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出來的. 2.5 數(shù)學(xué)歸納法的歷史與原理在前面的論述中我們從游戲入手已經(jīng)基本理解了數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和主要步驟, 那么什么事保證數(shù)學(xué)歸納法的正確性呢？數(shù)學(xué)歸納法的背景是什么呢？在這里我們簡(jiǎn)要地介紹一下數(shù)學(xué)歸納法的理論背景. 意大利有一個(gè)數(shù)學(xué)家, 名叫皮亞諾(cpeano, 18581932, 意大利), 他總結(jié)了自然數(shù)的有關(guān)性質(zhì), 并在關(guān)于自然數(shù)的理論中提出了關(guān)于自然數(shù)的五條公理, 后人稱為“皮亞諾公理”. 1是一個(gè)自然數(shù)； 1不是任何其他自然數(shù)的后繼； 每個(gè)自然數(shù)的后繼是自然數(shù)； 若兩個(gè)自然數(shù)的后繼相等, 則這兩個(gè)自然

13、數(shù)也相等；（歸納公理）自然數(shù)的某個(gè)集合若含有1, 而且如果含一個(gè)自然數(shù)就一定含有這個(gè)自然數(shù)的后繼, 那么這個(gè)集合含全體自然數(shù). 其中公理5被稱為歸納公理, 是數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)自然數(shù)系公理系統(tǒng)直接地保證了數(shù)學(xué)歸納法的合理性, 所以也可以把數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)作公理來看待. 所謂公理不是已知數(shù)學(xué)理論的邏輯推理的產(chǎn)物, 而是未經(jīng)證明的產(chǎn)物, 其承認(rèn)的的根據(jù)是生活實(shí)踐. 3 第一數(shù)學(xué)歸納法第一步：當(dāng)時(shí), 等式成立;第二步：假設(shè)當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式是成立；也就是假設(shè) 3.1 第一數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其誤區(qū)下面我們具體論述第一數(shù)學(xué)歸納法的步驟. 設(shè)是一個(gè)含有自然數(shù)的命題, 利用第一數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟是：驗(yàn)證時(shí)成立

14、;假設(shè)時(shí)成立, 能推出時(shí)也成立. 根據(jù)（1）、（2）知, 對(duì)一切自然數(shù),成立. 第一數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)步驟是奠基, 是命題論證的基礎(chǔ)；第二個(gè)步驟是歸納, 是命題的正確性能夠由特殊遞推到一般的依據(jù). 這兩個(gè)步驟密切相關(guān), 缺一不可. 如果只有奠基步驟而沒有歸納步驟則屬于不完全歸納法, 因而論斷的普遍性是不可靠的. 如果只有歸納步驟而沒有奠基步驟, 則歸納的假設(shè)就失去了依據(jù), 從而是歸納法步驟的證明失去意義. 甚至?xí)?dǎo)致一些錯(cuò)誤. 下面我們來看幾個(gè)例子. 誤區(qū)一：忽略了歸納奠基的必要性. 例1 試證明.錯(cuò)證：假設(shè)時(shí)等式成立, 即,當(dāng)時(shí).則時(shí)等式成立.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理可知, 當(dāng)是任意自然數(shù)時(shí), 等

15、式都成立. 事實(shí)上我們知道這個(gè)題目本身就是錯(cuò)的, 但是我們竟然把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了, 此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因, 就是缺乏歸納奠基這一步. 切莫以為歸納基礎(chǔ)這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話, 似乎無(wú)關(guān)緊要, 可有可無(wú). 從上例可以看出, 不去認(rèn)真的驗(yàn)證這一步, 或者根本沒有這一步, 都可能陷入錯(cuò)誤之中. 誤區(qū)二：忽略了歸納遞推的必要性例2 求證:錯(cuò)證：當(dāng)時(shí), 得；這時(shí)等式成立. 假設(shè)時(shí), 這個(gè)等式成立；也就是說假設(shè).當(dāng)時(shí), 而 所以也就是說, 當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式也是成立的. 歸納步驟完成, 結(jié)論成立. 乍看起來, 上面的證明似乎也用到了數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟, 特別是也有了第二個(gè)步驟, 但事

16、實(shí)上, 在證明等式的過程中根本沒有用到這個(gè)式子. 所謂從“”到“”的過程, 意思是必須把“”時(shí)的命題, 當(dāng)作已經(jīng)給定的條件（假設(shè)）, 在這個(gè)基礎(chǔ)上來證明“”時(shí)的命題. 上面這個(gè)證明的過程中, 只不過是把要證明的公式加以“注解”而已, 等于什么也沒有做. 正確的證法應(yīng)該是：在這個(gè)等式兩邊都加上,得而.所以 .這就是說, 當(dāng)時(shí), 這個(gè)等式是成立的.歸納步驟完成, 就可以斷定, 對(duì)于任何自然數(shù), 這個(gè)等式都能成立. 誤區(qū)三：忽略了歸納遞推與歸納奠基之間的協(xié)同配合例3 試證任何個(gè)人都一樣高.錯(cuò)證：當(dāng)時(shí), 命題變成“任何一個(gè)人都一樣高”, 結(jié)論顯然成立. 設(shè)時(shí), 結(jié)論成立, 即“任何個(gè)人都一樣高”, 那

17、么, 當(dāng)時(shí)將個(gè)人記為,由歸納假設(shè), 都一樣高, 而也都一樣高,故都一樣高. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理, 任何人都一樣高. 顯然, 例題3的題目是錯(cuò)誤的, 但是錯(cuò)證中數(shù)學(xué)歸納法的步驟齊全, 這次的問題出在什么地方呢？我們注意到在上述歸納推理步驟中, 有一個(gè)步驟是這樣的：“由歸納假設(shè), 都一樣高, 而也都一樣高,故都一樣高. ”仔細(xì)推敲, 不難發(fā)現(xiàn), 這個(gè)推理只有在時(shí)才能成立, 而在時(shí)不成立. 這就是說, 盡管由時(shí)命題成立, 可以推出時(shí)命題也成立, 但是由時(shí)命題成立, 不可能推倒出時(shí)命題成立. 此例中顯然還需要“時(shí)命題成立”作為它的歸納奠基, 這顯然是不會(huì)成立的. 這道題問題就出在歸納遞推步驟與歸納奠基

18、的協(xié)同配合. 上面舉的幾類錯(cuò)誤地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的例子, 實(shí)際上通過這些例子說明了應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)當(dāng)注意的地方. 讓大家明白數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟是密切聯(lián)系、缺一不可的. 3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用在上一部分我們說明了數(shù)學(xué)歸納法的步驟及誤區(qū), 并且我們可以知道數(shù)學(xué)歸納法是一些涉及自然數(shù)的論斷, 我們可能會(huì)這樣問：“是不是涉及自然數(shù)的論斷都可以用數(shù)學(xué)歸納法呢？或者什么時(shí)候用數(shù)學(xué)歸納法呢？”這個(gè)問題較難回答, 主要是決定于問題的具體情況. 例如, 要證明對(duì)于任意自然數(shù), 等式成立. 我們可以直接計(jì)算左邊式子而得到證明. 又如, 如果,都是自然數(shù), 要證明對(duì)于任意自然數(shù), 有. 這里, 我們可以利用分?jǐn)?shù)的

19、基本性質(zhì), 通過計(jì)算來證明這個(gè)不等式成立. 像這類問題就不必用數(shù)學(xué)歸納法. 但是對(duì)于那些無(wú)法直接計(jì)算而必須按從小到大的順序逐步計(jì)算的式子, 要證明這些論斷的正確性, 一般需要應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法, 可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等. 下面說明數(shù)學(xué)歸納法在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用3.2.1 用歸納法證明代數(shù)恒等式例4 (全國(guó)高考試題)證明下列恒等式：證明：當(dāng)時(shí), 左邊=；右邊. 等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立, 即當(dāng)時(shí), 說明當(dāng)時(shí)等式也成立, 恒等式對(duì)任何正整數(shù)都成立. 3.2.2 用歸納法證明不等式例5 設(shè), 用數(shù)學(xué)歸納法證：證明：

20、當(dāng)時(shí), , , ,所以, 假設(shè)時(shí), 成立證明時(shí), 也成立. 所以原命題成立. 3.2.3 用數(shù)學(xué)歸納法解決整除問題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明整除問題, 是充分運(yùn)用整除的性質(zhì), 即：則. 例6 證明能被11整除. 證明：當(dāng)n=l 時(shí), =能被ll整除. 假設(shè)時(shí), 能被ll整除. 則當(dāng)時(shí), 由于能被1l整除, 能整除ll, 所以能整除ll. 即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法第一步與第二步可知, 等式對(duì)一切成立. 3.2.4 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題例7 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為, 若對(duì)于所有的自然數(shù), 都有, 證明：是等差數(shù)列.分析：要證明是等差數(shù)列, 可以證明其通項(xiàng)符合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式,

21、即證：. 命題與有關(guān), 考慮是否可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. 證明：設(shè), 猜測(cè). 當(dāng)時(shí), , 當(dāng)時(shí)猜測(cè)正確. 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí)猜測(cè)正確假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜測(cè)正確, 即：.當(dāng)時(shí),將代入上式, 得整理得因?yàn)? 所以, 即時(shí)猜測(cè)正確. 綜上所述, 對(duì)所有的自然數(shù), 都有,從而是等差數(shù)列. 評(píng)注：將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學(xué)恒等式關(guān)于自然數(shù)成立的問題.在證明過程中的得出是本題解答的關(guān)鍵. 利用已知的等式,數(shù)列中通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系建立含的方程, 代人假設(shè)成立的式子解出. 另外, 不能忽視驗(yàn)證、的正確性,本題 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)遞推的基礎(chǔ)是時(shí)等式成立,因?yàn)榈玫降臈l件是. 3.2.5 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題例

22、8 平面內(nèi)有個(gè)圓, 其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn), 且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn). 求證：這個(gè)圓把平面分成個(gè)部分. 證明：當(dāng)時(shí), 一個(gè)圓把平面分成兩部分, , 命題成立. 假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立, 即個(gè)圓把平面分成. 當(dāng)時(shí)這個(gè)圓中的個(gè)圓把平面分成個(gè)部分, 第個(gè)圓被前個(gè)圓分成條弧, 每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分, 這時(shí)共增加了個(gè)部分即個(gè)圓把平面分成即命題也成立. 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法第一步與第二步可知, 等式對(duì)一切成立. 從上面的一些例子可以看到, 數(shù)學(xué)歸納法在代數(shù)、幾何等方面都有很廣泛的應(yīng)用, 當(dāng)然這些例子只是九牛一毛, 例如運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明三角函數(shù)的求和公式, 證明組合里的一些公式, 證明函數(shù)的各種性

23、質(zhì), 以及在微積分行列式一些證明中的應(yīng)用等等. 總之, 遇到一個(gè)涉及自然數(shù)的問題的時(shí)候, 首先我們要考慮的是, 有沒有簡(jiǎn)單直接的方法來把它算出來. 如果沒有簡(jiǎn)單直接的方法, 就可以用數(shù)學(xué)歸納法來試試, 至于那些從對(duì)等情況遞推而歸納出的結(jié)果, 它的正確性, 一般要用數(shù)學(xué)歸納法來證明. 4 第一數(shù)學(xué)歸納法的技巧應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證題, 易陷入困境的常在第二步, 解決這個(gè)問題并無(wú)萬(wàn)能方法, 應(yīng)該遵循的基本原則：積極創(chuàng)造條件, 有效利用歸納假設(shè), 巧妙變形過渡, 4.1 欲進(jìn)先退若在由到的推導(dǎo)過程中陷入困境, 不妨先由 退到, 然后用歸納假設(shè)再進(jìn)回到. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等. 4.1.1

24、 撤出例9 有個(gè)飛機(jī)場(chǎng), 每個(gè)飛機(jī)場(chǎng)都有一架飛機(jī), 各個(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間的距離互不相等. 現(xiàn)讓所有的飛機(jī)一起起飛, 飛向最近的機(jī)場(chǎng)降落, 求證必存在一個(gè)機(jī)場(chǎng)沒有飛機(jī)降落. 證明：當(dāng)時(shí), 設(shè)3個(gè)飛機(jī)場(chǎng)為其中,則間的飛機(jī)必定對(duì)飛. 而不管機(jī)場(chǎng)的飛機(jī)飛向還是飛向, 都使機(jī)場(chǎng)無(wú)飛機(jī)降落. 現(xiàn)假設(shè)時(shí)命題成立, 當(dāng)時(shí), 由于機(jī)場(chǎng)之間的距離兩兩不等, 必有兩處機(jī)場(chǎng)的距離是最近的, 這兩處的飛機(jī)會(huì)對(duì)飛, 不會(huì)影響其他機(jī)場(chǎng). 我們將這兩個(gè)機(jī)場(chǎng)先撤出, 由歸納假設(shè), 剩下的個(gè)機(jī)場(chǎng)中, 存在一個(gè)機(jī)場(chǎng)沒有飛機(jī)降落, 再把撤走的機(jī)場(chǎng)放回, 則仍無(wú)飛機(jī)降落, 從而可知當(dāng)時(shí)命題成立. 4.1.2 合并例10 設(shè)有個(gè)球分成了許多堆

25、, 我們可以任意選甲, 乙兩堆來按照以下規(guī)則挪動(dòng)：若甲堆的球數(shù)不少于乙堆的球數(shù), 則從甲堆拿個(gè)球放到乙堆去, 這樣算挪動(dòng)一次, 求證:可以經(jīng)過有限次挪動(dòng)把所有的球合并成一堆. 證明：當(dāng)時(shí), 共有2個(gè)球, 若已成一堆, 則不必挪動(dòng)；若分成兩堆, 則挪動(dòng)一次便可成功. 假設(shè)時(shí)命題成立, 當(dāng)時(shí),對(duì)于個(gè)球, 若將2個(gè)粘合成1個(gè)便退到個(gè)球的情況, 這種粘合要求每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù), 可討論如下：若每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù), 則每挪動(dòng)一次都挪動(dòng)了偶數(shù)個(gè)球, 這樣的任意一次挪動(dòng)與將球兩兩粘合在一起挪動(dòng)無(wú)本質(zhì)區(qū)別, 從而等價(jià)與個(gè)球的挪動(dòng), 根據(jù)歸納假設(shè), 這是可以做到的. 若存在球數(shù)為奇數(shù)的堆, 則由總球數(shù)為偶數(shù)知,

26、 有奇數(shù)的堆數(shù)為偶數(shù), 將它們配對(duì)先挪動(dòng)一次, 于是每堆球數(shù)都為偶數(shù), 問題可以解決. 4.2 構(gòu)造待添加的隱藏文字內(nèi)容3在用數(shù)學(xué)歸納法證明某些問題時(shí), 從到的證明中有時(shí)需要巧妙構(gòu)造. 例11 對(duì)每個(gè), 求證存在個(gè)互不相等的正整數(shù),使得,對(duì)任意的成立.證明：當(dāng)時(shí), 取, 命題顯然成立. 假設(shè)時(shí)命題成立, 即存在滿足,記b為及它們每?jī)蓴?shù)之差的最小公倍數(shù),則個(gè)數(shù),也滿足, 即命題對(duì)時(shí)成立, 由數(shù)學(xué)歸納法知命題得證. 上例證明中從到的過渡用到了較高的構(gòu)造技巧. 4.3 湊配有些問題從到證明過程中需要湊配出一些特定形式. 例12 設(shè)數(shù)列, 求證：當(dāng)時(shí), .證明：顯然, 題設(shè)數(shù)列是正數(shù)列當(dāng)時(shí), , 而a

27、3=33=69, 所以, 原不等式成立. 假設(shè)時(shí), 有,即, 當(dāng)時(shí),要證, 即要證, 由式兩邊分別乘以, 從而,兩邊消去, 得. 兩邊開次方即得. 即當(dāng)時(shí), 原式成立. 綜上, 證得原命題成立. 上例證明第二步若要直接將代入是困難的, 因此用湊配法, 先在的兩邊乘以, 問題就迎刃而解了. 4.4 先猜后證有些題目的結(jié)論是不容易以下求得的, 根據(jù)特殊到一般的規(guī)律, 先從符合題意的最小基數(shù)入手, 探索, , 等個(gè)別特例的結(jié)果, 發(fā)現(xiàn)、總結(jié)其規(guī)律性. 對(duì)一般的自然數(shù)給出一個(gè)猜想, 再用數(shù)學(xué)歸納法論證這個(gè)猜想的正確性. 即先猜后證. 例13 設(shè)列的通項(xiàng)公式為求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式. 解：因?yàn)? , ,至

28、此, 可以猜測(cè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí)由上述計(jì)算可知公式是正確的. 設(shè)公式當(dāng)時(shí)正確, 當(dāng)時(shí),因?yàn)楣使疆?dāng)時(shí)也是正確的. 因此, 公式對(duì)一切自然數(shù)都成立. 即是數(shù)列an前項(xiàng)和公式. 這種求和方法觀察-歸納-證明, 實(shí)質(zhì)上是一種由不完全歸納到完全歸納的方法. 由于這種方法中, 的形式要從, , , 等幾個(gè)數(shù)值中看出來, 因而對(duì), , , 等幾個(gè)數(shù)值的化簡(jiǎn)式變形就成了關(guān)鍵, 只有待其體現(xiàn)了某種規(guī)律時(shí), 才有可能猜想出的形式. 4.5 順勢(shì)分流假如要做一件事, 一下子做不了, 我們不妨把其中能做的那一部分分出來先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用數(shù)學(xué)歸納法證題, 一下子

29、證不出來, 我們不妨把其中能用數(shù)學(xué)歸納法的證明的那一部分分出來先證, 然后再去證明剩下的那一部分, 我們把這種方法叫做順勢(shì)分流, 即順著數(shù)學(xué)歸納法之勢(shì), 將能做的與不能做的分開處理. 例14 試證：對(duì)于一切自然數(shù), 都有.分析：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立, 設(shè)時(shí)結(jié)論成立, 即, 當(dāng)時(shí),此時(shí)發(fā)現(xiàn), 僅當(dāng)時(shí),才有. 這就是說, 僅當(dāng)時(shí), 命題n=k+1成立. 因此我們不得不將的情況與的情況分開來處理, 具體的說, 我們可以采用以下的方式證題：直接驗(yàn)證時(shí)不等式成立, 即驗(yàn)證時(shí)不等式成立；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)不等式成立, 即驗(yàn)證“時(shí)對(duì), 假設(shè)時(shí)對(duì), 推證時(shí)成立”. 命題即可得證, 證明從略. 通過上述論證可以看出

30、, 數(shù)學(xué)歸納法的論證十分的靈活多變, 要完全掌握這一方法單靠死記硬背是行不通的, 關(guān)鍵是要培養(yǎng)自己的邏輯思維能力, 把握住歸納奠基與歸納遞推所展示的邏輯鏈, 而邏輯思維能力是一個(gè)需要畢生精力不斷苦練的功夫. 5 小結(jié) 通過上述論證可以看出, 數(shù)學(xué)歸納法是十分有效的方法, 也是一種認(rèn)識(shí)可數(shù)無(wú)限集合性質(zhì)的重要方法. 使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證, 將會(huì)更深刻的理解所要論證的命題, 實(shí)現(xiàn)由有限到無(wú)限的飛躍. 當(dāng)然, 并非一切與自然數(shù)有關(guān)的命題的證明都一定要采用數(shù)學(xué)歸納法, 有些命題雖與自然數(shù)有關(guān), 但不用數(shù)學(xué)歸納法也可以證明. 另外, 對(duì)于有些問題運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較簡(jiǎn)便, 而另一些問題則以不用數(shù)學(xué)歸納法較為方便. 因此在具體問題中, 何時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法比較簡(jiǎn)捷, 必須根據(jù)具體情況來確定, , 而題設(shè)命題的可數(shù)性則是用數(shù)學(xué)歸納法的必要條件. 總起來說, 數(shù)學(xué)歸納法的使用特點(diǎn)是：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題必須與整數(shù)n有關(guān), 這種關(guān)系有時(shí)是隱蔽的；（2）僅當(dāng)命題p（n+1）與p（n）、p（n-1）、之間的關(guān)系易于發(fā)現(xiàn)時(shí), 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法才容易成功. 總之, 盡管數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法, 但實(shí)質(zhì)是遞推思想, 只要把握住“遞推”, 巧妙的進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換, 以遞推分析為住, 這樣就可以理解其實(shí)質(zhì), 掌握證題技巧, 真正提高分析問題解決問題