幾何非線性有限元分析課件(1)

1、.1大變形條件下的應(yīng)變和應(yīng)力度量第8章幾何非線性有限元分析一應(yīng)變度量結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型:0Xi (i = 1,2,3)0o + J oP： x， Q：Xid xt時(shí)刻的構(gòu)型：X (i T2,3)P txi， Q X + dX兩種構(gòu)型下的坐標(biāo)可相互轉(zhuǎn)化: *拉各朗日(Lagrange)描述tt , 000 XX廠 Xi( Xi, Xi, Xi)基于變形前的構(gòu)型表述變形后的構(gòu)型。以變形前的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量*歐拉(Eular)描述00 zttt XX廠 Xi ( Xi , Xi , Xi )基于變形后的構(gòu)型表述變形前的構(gòu)型。以變形后的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量根據(jù)以上變換:d tX

2、iXid 0XjXi,jd定義:XjXi,jXiXjXjd 0XiXiXjXiXjd txjXifjPQ線段的長(zhǎng)度：Cds） 2 d Xid Xj 0t 2ttP，Q，變形后的長(zhǎng)度：（ds）二d Xjd Xi(tds)- (ds)2 二xkod xko d-xkXLd xkXLdxkoxxkXoqod6xktoXodooXodot；0 ij=2(；Xk,i；Xk,jj)Green-Lagrange 應(yīng)變(Green 應(yīng)變)(tds) (ds)2 二 d txkd txk=(ij0xk-d 0xkd xk二 d txkd txk -0X . t,i 0Xk,j)dtXidtx 2tr odtXi

3、dtXj0. t 0. ttXk,id Xi tXk,jd Xjt . tt ；t ij1 0 02( ijtxk,i txk,j),Almansi 應(yīng)變定義位移向量:uiXi,jijij2(0ui,ijXiXiuiXjijuiXi,jijj,ik,ik, juiuiXjUj,ik,i tk,j)uiXjXjUjXiXiijUi,jXjXjXjXj在小應(yīng)變情況下:tZ0 ijtz = zt ij ij.應(yīng)力度量歐拉應(yīng)力張量（Green應(yīng) 力張量）：V ij表示變形后的構(gòu)型的三 個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力構(gòu)成的張 量。是對(duì)稱張量寺工程應(yīng)變變形后表面上的應(yīng)力:/圖血2應(yīng)力的滾対tldTUCFtdS，tdSa

4、0dT變形前的應(yīng)力：dS需要確定變形前、后的相應(yīng)面上的力之間的關(guān)系。兩種確定方法:(1) Lagra nge 規(guī)定：小丁=*丁(2) Kirchhoff 規(guī)定：dTi(K 0xi,j tdTj與坐標(biāo)變換規(guī)律相同：dXj = Xi,jdtXj0dTj(L)= 0Tji 0Vj dS = *丁 ,0Tji :第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力（Lagrange應(yīng)力張量），非對(duì)稱TdXLsto-K/VKirchhoff應(yīng)力張量，對(duì)稱0tSji :第二類 Piola-Kirchhoff 應(yīng)力各種應(yīng)力張量之間的關(guān)系:(1)由質(zhì)量守恒：0VtV0Vdet(0Xi,JdV二 d ex(i0Tji0 ；

5、-t ；-0t0X(3)0tSji 0 0t( t Xj ,m t Xi ,nmn(4)0tSjit Xi ,m 0Tjm注意：oTjm是非對(duì)稱張量，是對(duì)稱張量.2幾何非線性問題的表達(dá)格幾何非線性問題的有限元分析，通常采用增量分析的方 法?？紤]直角坐標(biāo)系內(nèi)的物體，增量分析的目的是：確定物體在IV:系列時(shí)間點(diǎn)，0t,2 t3 t,lll，處于平衡狀態(tài)的位移，速度，應(yīng)變和應(yīng)力。.虛位移原理（虛功原理）0x :描述初始時(shí)刻的物體內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)。 tX :描述時(shí)刻t的物體內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)。Wi :描述時(shí)刻r m的物體內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)。t0tt t 0t tX廠 Xi Ui，X廠 XiUit +也 tt從t到r M的位

6、移增量：u廠Ui - Ui在t t時(shí)刻應(yīng)用虛功原理:t 譏r tt 譏t tt tWtStk (uQ dV t tVWk) dV(t t$j ) = 2 (t tui,j t t uj,i )1 uu i(1 j )t t- t t2 XiXit hr )7r : tW增量法的求解的基本思想是：t意見時(shí)刻的相應(yīng)是已知的，L込t時(shí)刻 的相應(yīng)未知（待求）。由兩種方法：（1） 完全 Lagrange格式（L. 格式：Total Lagrange Formulation）以初始時(shí)刻的構(gòu)型為參考構(gòu)型（2）更新 Lagrange格式（U丄. 格式：Updated Lagrange Formulatior）

7、 以t時(shí)刻的構(gòu)型為參考構(gòu)型。t 11-0tkt厶t f0 f1 完全Lagrange格式單位初始表面上的等效荷載（面力）單位初始質(zhì)量上的等效荷載（體力）: 如果荷載不隨變形變化（保守力）：t 逬 r tr t 0r ttk dSotk dSfkdVr tot tr r t r tr tt+Jkdo由質(zhì)量守恒，可知:t t ft化t t fk一ij)Xk,iXk,i),ixk,jXk,it -1Xk,j)t t0 xk,i0Xk,j(0Xkuk)Xi/ 0(XkXjkikiUk)kiXi)(kj)(XikjXjXjXm,i )(kjXnXn,j)66+Xk,iXk,jij)t -1Xm,it -

8、1m,iXk,jt t,iOXn, j0Xn, jXnemn )Xn,jm,iXk,iOXn, j應(yīng)力:SjiXj,mXi,nmn000r tt ；-0 0t = t X j ,m t-t Xi ,nt t0xm,it tx t t (0 n, jmn mnV - t emn )t 6mn0Vt，tS . (t 逬0 ji0ij)dV因此，虛功原理可表示成:t *t0V0 r(t t emn ) t、七囘（0 j0V)dVmn (t t emn ) t、dVt訕t tt tt : tWt tS tk (Uk) dVt+At=OS 0tk (Uk)0dVoV0：?為了便于求解：將應(yīng)力和應(yīng)變分解成

9、:oS j icoAto+COo+fk (uj dVt rt tt to fk (Uk)dVt時(shí)刻引起的應(yīng)力增量從t到t +也t時(shí)刻引起的應(yīng)變?cè)隽? ( t+At = d z (0 ji )( 0 ji )將應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)一步分解:ijijij2(uij ,ik,it -1k,j)寸(。tui.Uj,ik,i 0k,j)Ui,Uj,iUj,ik, jk, j)(k,ik,i)Uj,ik,ik,j)uj,ik, jk,ik, j 0k,ik,j 0k,i12_ 1 z勺2 ( 0Ui，j0Uj，in _ 10 ij 2 0Uk, j 0 Uk,i虛功原理可進(jìn)一步寫成：tt0 uk, j 0 uk,i

10、 0 uk, j 0 Uk,i )oV oSji (o ij )dV . ovdsnt onO0V OSj(oeij)dVT時(shí)刻的應(yīng)力相當(dāng)于初應(yīng)力?？赊D(zhuǎn)化成等效荷載體現(xiàn)在方程中。三.更新的 Lagrange格式更新的Lagrange格式的表達(dá)式，與完全 Lagrange格式類似。 所不同的是，參考構(gòu)型是t時(shí)刻的構(gòu)型。表達(dá)式中的0指標(biāo)改 成t，即可獲得更形的Lagrange格式的表達(dá)式。（略）四.平衡方程的線性化（1）物理方程的線性化：oSj = oDjkl o；kl對(duì)于彈性材料，該關(guān)系式準(zhǔn)確的。如果是小變形，則有 oDjki = Dijki材料的彈性常數(shù)張量。（2）求解格式的進(jìn)一步線性化：0V

11、 0Sj(0 ij )dV -0V0 Dijkl 0 kl(0 j )dV0V0 Dijkl 0 kl (0eij )dV0V0 Dijkl 0ekl(0 ij )十；kf（0列）十 0口 J （； ij ）dV帶入虛功方程，0V 0Sj(o j )dV0Vsnt uno-訕A+6SSto(oej)dv可獲得用位移和應(yīng)變表示的虛功萬程:0 Dijkl oekl(0ej)dV +stoV(0 j)dVW6snt u(q)dV出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此誠(chéng)危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下 也。誠(chéng)宜開張圣聽，以

12、光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏， 有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書、長(zhǎng)史、 參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以 驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝