華羅庚學校五年級數學(上冊）教材（第915講共15講）

1、本系列共 15 講第九講“牛吃草”問題.文檔貢獻者： 與 你 的 緣有這樣的問題，如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供 27頭牛吃 6 周，或供 23 頭牛吃 9 周。那么它可供 21 頭牛吃幾周？ 這類問題稱為“牛吃草”問題。 解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間越長，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的 ：（1）某個時間期限前草場上原有的草量；（2）這個時間期限后草 場每天（周）生長而新增的草量。因此，必須設法找出這兩個量來 。下面就用開頭的題目為例進行分析。（見下圖）從上面的線段圖可以看出 23 頭牛 9 周的總草量比 27 頭牛 6 周的總草量多，多出

2、部分相當于 3 周新生長的草量。為了求出一周新 生長的草量，就要進行轉化。27 頭牛 6 周吃草量相當于 276=162 頭牛一周吃草量（或一頭牛吃 162 周 ）。23 頭牛 9 周吃草量相當于239=207 頭牛一周吃草量（或一頭牛吃 207 周）。這樣一來可以認 為 每周新生長的草量相當于（207162）（96）=15 頭牛一周的 吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用 27 頭牛6 周的總吃草量減去 6 周新生長的草量（即 156=90 頭牛吃一周的 草量）即為牧場原有的草量。所以牧場上原有草量為 266156=72 頭牛一周的吃草量（或者為 239159=72）。牧場

3、上的草 21 頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當于把21 頭牛分成兩部分。一部分看成專吃牧場上原有的草，另一部分看 成專吃新生長的草。但是新生的草只能維持 15 頭牛的吃草量，且 始終保持平衡（前面已分析過每周新生的草恰夠 15 頭 牛 吃 一 周 ）。 故分出 15 頭牛吃新生長的草，另一部分 2115=6 頭牛去吃原有的 草。所以牧場上的草夠吃 726=12 周，也就是這個牧場上的草夠 21 頭牛吃 12 周。例 2：一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內。如果 10 人淘水，3 小時淘完；如 5 人淘水 8 小時淘完。如果要求 2 小時淘完，要安排多少人淘水？分析與解答：這類

4、問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水 的延長而增加。所以總水量是個變量。而單位時間內漏進船的水的 增長量是不變的。船內原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內已有的水 量）也是不變的量。對于這個問題我們換一個角度進行分析。如果設每個人每小時的淘水量為“1 個單位”，則船內原有水 量與 3 小時內漏水總量之和等于每人每小時淘水量時間人 數 ， 即 1310=30。船內原有水量與 8 小時漏水量之和為 158=40。 每小時的漏水量等于 8 小時與 3 小時總水量之差時間差，即（4030）（83）=2（即每小時漏進水量為 2 個單位，相當于 每小時 2 人的淘水量）。船內原有的水量等于 10 人 3 小時

5、淘出的總水量3 小時漏進 水量，3 小時漏進水量相當于 32=6 人 1 小時淘水量。所以船內原 有水量為 3023=24。如果這些水（24 個單位）要 2 小時淘完，則需 242=12 人 。 但與此同時，每小時的漏進水量又要安排 2 人淘出，因此共需要 122=14 人。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必 須求出原有的量及單位時間內增加的量，這兩個量是不變的量。有 了這兩個量，問題就容易解決了。例 3：12 頭牛 28 天可以吃完 10 公畝牧場上全部牧草，21 頭牛 63 天可以吃完 30 公畝牧場上全部牧草。多少頭牛 126 天可以吃完 72 公畝牧場上全部牧草（每

6、公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場 每天生長草量相等）？分析：解量的關鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭 牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12 頭牛 28 天吃完 10 公畝牧場上的牧草，相當于 1 公畝原來 的牧草加上 28 天新生產的草可供 33.6 頭牛吃一天（122810=33.6）。21 頭牛 63 天吃完 30 公畝牧場上的牧草，相當于 1 公畝原有 的草加 上 63 天新生 長的草可供 44.1 頭牛吃 一天（ 632130=44.1）。1 公畝一天新生長的牧草可供 0.3 頭牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3（頭）1 公畝原有的牧草

7、可供 25.2 頭牛吃一天，即：33.60.328=25.2（頭）72 公畝原有牧草可供 14.4 頭牛吃 126 天，即：7225.2126=14.4（頭）72 公畝每天新生長的草量可供 21.6 頭牛吃一天，即：720.3=21.6（頭）所以 72 公畝牧場上的牧草可供 36（=14.421.6）頭牛吃 126 天，問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？（632130122810）（6328）=0.3（頭） 一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？1228100.328=25.2（頭）72 公畝的牧草可供多少頭牛吃 126 天？7225.2126720.3= 36(頭)例 4：一

8、塊草地，每天生長的速度相同。現(xiàn)在這片牧草可供 16 頭牛 吃 20 天，或者供 80 只頭吃 12 天。如果一頭牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 頭牛與 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析：由于 1 頭牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和 15 頭牛每天的吃草量相等，80 只羊每天吃 草量與 20 頭牛每天吃草量相等。解：60 只羊每天吃草量相當于多少頭牛每天的吃草量？604=15（頭）草地原有草量與 20 天新生長草量可供多少頭牛吃一天？1620=320（天）80 只羊 12 天的吃草量可供多少頭牛吃一天？80412=240（頭） 每天新

9、生長的草量夠多少頭牛吃一天？（320240）（2012）=10（頭） 原有草量可夠多少頭牛吃一天？3202010=120（頭）原有草量可供 10 頭牛與 60 只羊吃多少天？120（6041010）=8（天）例 5：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5 臺抽水機連 續(xù) 20 天可抽干，6 臺同樣的抽水機連續(xù) 15 天可抽干。若要求 6 天 抽干，需要多少臺同樣的抽水機？解：水庫原有的水與 20 天流入水可供多少臺抽水機抽 1 天？205=100（臺）水庫原有水與 15 天流入的水可供多少臺抽水機抽 1 天？615=90（臺）每天流入的水可供多少臺抽水機抽 1 天？（10090）（2015

10、）=2（臺） 原有的水可供多少臺抽水機抽 1 天？100202=60（臺）若 6 天抽完，共需抽水機多少臺？6062=12（臺）例 6：有三片草場，每畝原有草量相同，草的生長速度也相同。三 片草場的面積分別為 3 1 畝、10 畝和 24 畝。第一片草場可供 12 頭3牛吃 4 周，第二片草場可供 21 頭牛吃 9 周。問：第三片草場可供 多少頭牛吃 18 周？用方程解：解：設每畝草場原有的草量為 a，每周每畝草場新生長草量為b。依題意第一片草場（ 3 1 畝）原有的草與 4 周新生長的草量之和為：3（3 1 ）a（43 1 ）b33每頭牛每周的吃草量為（第一片草場 3 1 畝 ）：3 (3

11、1)+ 4 (3 1)(124)=10(a + 4b) = 5(a + 4b)(1)3 a3 b3 12 472第二片草場（10 畝）原有的草與 9 周生長出來的草為：10a(109)b每頭牛每周的吃草量為：（第二片草場）a10 + (10 9)b(2)21 9由于每頭牛每周吃草量相等，列方程為：b10a + (10 9)b = 5(a + 4 )(3)21 9725a=60ba=12b（表示 1 畝草場上原有草量是每周新生長草量的 12 倍）將 a=12b 代入（3）的兩邊得到每頭牛每周吃草量為 10。9 b設第三片草場（24 畝）可供 x 頭牛吃 18 周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方

12、程為：b24a + b (18 24) = 10(4)18x9x=36答：第三片草場可供 36 頭牛 18 周食用。這道題列方程時引入 a、b 兩個輔助未知數，在解方程時不一 定要求出其數值，在本題中只需求出它們的比例關系即可。習題九1一場牧場長滿草，每天牧草都均勻生長。這片牧場可供 10 頭 牛吃 20 天，可供 15 頭牛吃 10 天。問：可供 25 頭牛吃多少 天？222 頭牛吃 33 畝草地上的草，54 天可以吃完；17 頭牛吃 28畝同樣的草地上的草，84 天可以吃完。問：同樣的牧草 40 畝可供多少頭牛食用 24 天？（每畝草地原有草量相等，草生 長速度相等）3有一牧場，17 頭牛

13、 30 天可將草吃完；19 頭牛則 24 天可以吃 完?，F(xiàn)有若干頭牛吃了 6 天后，賣掉了 4 頭牛，余下的牛再 吃兩天便將草吃完。問：原來有多少頭牛吃草（草均勻生長）？4現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘。若用8 臺抽水機 10 天可以抽干；用 6 臺抽水機 20 天能抽干。問： 若要 5 天抽干水，需多少臺同樣的抽水機來抽水？本系列共 15 講第十講列方程解應用題.文檔貢獻者： 與 你 的 緣列方程解應用題是用字母來代替未知數，根據等量關系列出含有未知數的等式，也就是列出方程，然后解出未知數的值。列方程 解應用題的優(yōu)點在于可以使未知數直接參加運算。解這類應用題的 關鍵在于能夠正

14、確地設立未知數，找出等量關系從而建立方程。而 找出等量關系又在于熟練運用數量之間的各種已知條件。掌握了這 兩點就能正確地列出方程。列方程解應用題的一般步驟是：（1）弄清題意，找出已知條件和所求問題；（2）依題意確定等量關系，設未知數 x；（3）根據等量關系列出方程；（4）解方程；（5）檢驗，寫出答案。例 1：列方程，并求出方程的解。（1） 11 減去一個數，所得差與 1.35 加上 13 的和相等，求這36個數。解：設這個數為 x，則依題意有11 x=1.35 1336即11 x= 27 133206x=11 27 133206x= 320檢驗：把 x=3 代入原方程，左邊= 3 2 3203

15、20= 3 31 與右邊相等，60所以 x= 320是原方程的解。（2）某數的 1 比它的 21 倍少 11，求某數。28解：設某數為 x，依題意，有：21 x 1 x=1182即17 x=118x= 8817例 2：已知籃球、足球、排球平均每個 36 元，籃球比排球每個多 10 元，足球比排球每個多 8 元，每個足球多少元？分析：（1）籃球、足球、排球平均每個 36 元，購買三種球的 總價是：363=108（元）（2）籃球和足球都與排球比，所以把排球的單價作為標準量， 設為 x。（3）列方程時，等量關系可以確定為分類購球的總價=平均值 導出的總價。解：設每個排球 x 元，則每個籃球（x10）

16、元，每個足球（x8）元。依題意，有：xx10x8=3633x18=1083x=90x=30x8=308=38 答：每個足球 38 元。例 3：媽媽買回一筐蘋果，按計劃天數，如果每天吃 4 個，則多出48 個蘋果；如果每天吃 6 個，則又少 8 個蘋果。問：媽媽買回蘋果多 少個？計劃吃多少天？分析 1根據已知條件分析出，每天吃蘋果的個數及吃若干天 后剩下蘋果的個數是變量，而蘋果的總個數是不變量。因此列方程 的等量關系是蘋果總個數=蘋果總個數，方程左邊，第一種方案下 每天吃的個數天數剩下的個數，等于右邊第二種方案下每天吃 的個數天數所差的個數。解：設原計劃吃 x 天。4x48=6x82x=56x=

17、28蘋果個數：42848=160（個）分析 2列方程解等量關系確定為計劃吃的天數=計劃吃的天數。解：設媽媽共買回蘋果 x 個。x 48 = x + 8464x32=6x2882x=320x=160 (16048)4=28(天)答：媽媽買回 160 個蘋果，原計劃吃 28 天。例 4：甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 個。如果甲多做 10 個，乙 少做 10 個，丙做的個數乘 2，丁做的個數除以 2，那么四人做的零 件數恰好相等。問：丙實際做了多少個？（這是設間接未知數的例 題）分析根據“那么四人做的零件數恰姨相等”，把這個零件相 等的數設為 x，從而得出：甲10=乙10=丙2=丁2=x根據這

18、個等式又可以推出：甲10=x，（ 甲 =x10）；乙10=x，（ 乙 =x10）丙2=x，（ 丙 = x ）2丁2=x，（ 丁 =2x）又根據甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 個，可以得到一個方 程，它的左邊表示零件的總個數，右邊也表示零件的總個數。解：設變換后每人做的零件數為 x 個。x10x102x x =27022x2xx4x=5409x=540x=60 丙2=60， 丙=30 答：丙實際做零件 30 個。例 5：某圖書館原有科技書、文藝書共 630 本，其中科技書占 20%。 后來又買進一些科技書，這時科技書占總數的 30%，買進科技書多 少本？分析依題意，文藝書的本數沒有變，如果設

19、買進科技書 x 本 ， 那么，原來的本數x 本=增加后的本數。文藝書占增加后總本數的70%，相當于原有書總數的 80%，所以，增加后總本數70%=原來總 本數80%，即原先的文藝書本數=后來的文藝書本數。解：設買進科技書 x 本。（630x）(130%)=630(120%)44170%x=50470%x=63x=90 答：買進科技書 90 本。例 6：一塊長方形的地，長和寬的比是 5：3，長比寬多 24 米，這 塊地的面積是多少平方米？分析要想求這塊地的面積，必須先求出長和寬各是多少米。 已知條件中給出長和寬的比是 5：3，又知道長比寬多 24 米，如果 把寬設為 x 米，則長為（x24）米，

20、這樣確定方程左邊表示長與 寬的比等右邊長與寬的比，再列出方程。解：設長方形的寬是 x 米，長是（x24）米。x + 24 = 5x35x=3x722x=72x=36x24=3624=60，6036=2160（平方米）答：這塊地的面積是 2160 平方米。例 7：某縣農機廠金工車間有 77 個工人，已知每個工人平均每天可以加工甲種零件 5 個或乙種零件 4 個，或丙種零件 3 個。但加工 3 個甲種零件，1 個乙種零件和 9 個丙種零件才恰好配成一套。問： 應安排生產甲、乙、丙種零件各多少人時，才能使生產的三種零件 恰好配套？分析如果直接設生產甲、乙、丙三種零件的人數分別為 x 人 、 y 人、

21、z 人，根據共有 77 人的條件可以列出方程 xyz=77，但解 起來比較麻煩。如果仔細分析題意，會發(fā)現(xiàn)除了上面提到的加工甲、乙、丙三 種零件的人數這三個未知數外，還有甲、乙、丙三種零件的各自的 總件數。而題目中又有關于甲、乙、丙三種零件之間裝配時的內在 聯(lián)系，這個內在聯(lián)系可以用比例關系表示，而乙種零件件數又在中 間起媒介作用。所以如用間接未知數，設乙種零件總數為 x 個，為 了配套，甲種、丙種零件件數總數分別為 3x 個和 9x 個，再根據生 產某種零件人數=生產這種零件的個數工人勞動效率，可以分別 求出生產甲、乙、丙種零件需安排的人數，從而找出等量關系，即 按均衡生產推算的總人數=總人數，

22、列出方程。解：設加工乙種零件 x 個，則加工甲種零件 3x 個，加工丙種 零件 9x 個。加工乙種零件需安排 x 人，加工甲種零件需安排 3x459x人，加工丙種零件需安排 3 人。3x x 9 x =775 4312x5x60x=154077x=15403x = 3 20=12x=205 5x14 = 4 20=59x3 =320=60答：應安排加工甲、乙、丙三種零件工人人數分別為 12 人、5人和 60 人。習題十1媽媽帶一些錢去買布，買 2 米布后還剩下 1.80 元；如果買同樣的布 4 米則差 2.40 元。問：媽媽帶了多少錢？2第一車間工人人數是第二車間工人人數的 3 倍。如果從第一

23、 車間調 20 名工人去第二車間，則兩個車間人數相等。求原來兩個車間各有工人多少名？3兩個水池共貯水 40 噸，甲池注進 4 噸，乙池放出 8 噸，甲池 水的噸數與乙池水的噸數相等。兩個水池原來各貯水多少 噸？4兩堆煤，甲堆煤有 4.5 噸，乙堆煤有 6 噸，甲堆煤每天用去0.36 噸，乙堆煤每天用去 0.51 噸。幾天后兩堆煤剩下噸數相等？5小龍、小虎、小方和小圓四個孩子共有 45 個球，但不知道每 個人各有幾個球，如果變動一下，小龍的球減少 2 個，小虎 的球增加 2 個，小方的球增加一倍，小圓的球減少一半，那 么四個人球的個數就一樣多了。求原來每個人各有幾個球？6有一批旅游者需用轎車接送

24、，轎車有甲、乙兩種，用 3 輛甲 種轎車，4 輛乙種轎車（恰滿載）需跑 5 趟；如果用 5 輛甲 種轎車和 3 輛乙種轎車（恰滿載）只需跑 4 趟。請問哪種轎 車坐的乘客多？本系列共 15 講第十一講簡單的抽屜原理.文檔貢獻者： 與 你 的 緣把 3 個蘋果任意放到兩個抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個抽屜放一個，另一個抽屜放兩個；或 3 個蘋果放在某一個抽屜 里。盡管放蘋果的方式有所不同，但是總有一個共同的規(guī)律：至少 有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把 5 個蘋果任意放到4 個抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結果。由此我們可 以想到，只要蘋果的個數多于抽屜的個數，就一定能保證

25、至少有一 個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。道理很簡單：如果每個抽屜里 的蘋果都不到兩個（也就是至多有 1 個），那么所有抽屜里的蘋果 數的和就比總數少了。由此得到：抽屜原理：把多于 n 個的蘋果放進 n 個抽屜里，那么至少有一 個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結 論，所以有時也把抽屜原理叫做鴿籠原理。不要小看這個“原理”， 利用它可以解決一些表面看來似乎很難的數學問題。比如，我們從街上隨便找來 13 人，就可以斷定他們中至少有 兩個人屬相（指鼠、牛、虎、兔等十二種生肖）相同。怎樣證明這個結論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚。事

26、實上，由于人數（13）比屬相（12）多，因此至少有兩個人屬相 相同（在這里，把 13 個人看成 13 個“蘋果”，把 12 種屬相看成 12 個“抽屜”）。應用抽屜原理要注意識別“抽屜”和“蘋果”，蘋果的數目一 定要大于抽屜的個數。例 1：有 5 個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意 摸出 3 枚棋子。請你證明，這 5 個人中至少有兩個小朋友摸出的棋 子的顏色的配組是一樣的。分析與解答首先要確定 3 枚棋子的顏色可以有多少種不同 的情況，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 種配組情況 ， 看作 4 個抽屜，把每人所拿 3 枚棋子按其顏色配組情況放入相應的

27、抽屜，由于有 5 個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少 有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一 樣的。例 2：一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多 少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同 的？分析與解答撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃 4 種花色，2 張牌的花色可以有：2 張方塊，2 張梅花，2 張紅桃，2 張黑桃，1張方塊 1 張黑桃，1 張方塊 1 張梅花，1 張方塊 1 張紅桃，1 張梅花1 張黑桃，1 張梅花 1 張紅桃，1 張黑桃 1 張紅桃共計 10 種情況。 把這 10 種花色配組看作 10 個抽屜，只要蘋果的個數比

28、抽屜的個數 多 1 就可以有題目所要的結果。所以至少有 11 人。例 3證明：任意取 8 個自然數，必有兩個數的差是 7 的倍數。 分析與解答在與整除有關的問題中有這樣的性質，如果兩個整數 a、b，它們除以自然數 m 的余數相同，那么它們的差 ab 是m 的倍數。根據這個性質，本題只需要證明這 8 個自然數中有 2 個自 然數，它們除以 7 的余數相同。我們可以把所有自然數按 7 除所得 的 7 種不同的余數 0、1、2、3、4、5、6 分成七類，也就是 7 個抽 屜。任取 8 個自然數，根據抽屜原理，必有兩個數在同一個抽屜中 ， 也就是它們除以 7 的余數相同，因此這兩個數的差一定是 7 的

29、倍數 。 把所有整數按照除以某個自然數 m 的余數分為 m 類，叫做 m 的 剩余類或同余類，用0，1，2，m1表示。每一個類 含有無窮多個數，例如1中含有 1，m1，2m1，3m1，。在 研究與整除有關的問題時，常用剩余類作為抽屜，根據抽屜原理，可以證明：任意 n1 個自然數中，總有兩個自然數的差是 n 的倍 數。在有些問題中，“抽屜”和“蘋果”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“蘋果”。如果制造“抽屜”和“蘋果”可能是很 困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需 要多做一些題積累經驗。例 4：從 2、4、6、30 這 15 個偶數中，任取 9 個數，證明其中 一定有兩個

30、數之和是 34。分析與解答我們用題目中的 15 個偶數制造 8 個抽屜：4 6 810 12 14 16 230 28 26 2422 20 18凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是 34?，F(xiàn)從題目中的 15 個偶數中任取 9 個數，由抽屜原理（因為抽 屜只有 8 個），必有兩個數在同一個抽屜中。由制造的抽屜的特點， 這兩個數的和是 34。例 5：從 1、2、3、4、19、20 這 20 個自然數中，至少任選幾 個數，就可以保證其中一定包括兩個數，它們的差是 12。分析與解答在這 20 個自然數中，差是 12 的有以下 8 對：20，8， 19，7 18，6 17，516

31、，4 15，3 14，2 13，1另外還有 4 個不能配對的數9， 10， 11， 12，共 制 成12 個抽屜（每個括號看成一個抽屜）。只要有兩個數取自同一個抽 屜，那么它們的差就等于 12，根據抽屜原理至少任選 13 個數，即 可辦到取 12 個數：從 12 個抽屜中各取一個數（例如取 1，2，3，12），那么這 12 個數中任意兩個數的差必不等于 12。例 6：從 1 到 20 這 20 個數中，任取 11 個數，必有兩個數，其中一 個數是另一個數的倍數。分析與解答根據題目所要求證的順題，應考慮按照同一抽屜 中，任意兩數都具有倍數關系的原則制造抽屜，把這 20 個數分成 以下十組，看成

32、10 個抽屜（顯然，它們具有上述性質）：1，2，4，8，16， 3，6，12， 5，10，20， 7，14，9，18， 11， 13， 15， 17， 19。從這 10 個數組的 20 個數中任取 11 個數，根據抽屜原理，至 少有兩個數取自同一個抽屜，由于凡在同一抽屜中的兩個數都具有 倍數關系，所以這兩個數中，其中一個數一定是另一個數的倍數。 例 7：證明：在任取的 5 個自然數中，必有 3 個數，它們的和是 3 的倍數。分析與解答按照被 3 除所得的余數，把全體自然數分成 3 個剩余類，即構成 3 個抽屜。如何任選的 5 個自然數中，至少有 3 個數在同一個抽屜，那么這 3 個數除以 3

33、得到相同的余數 r，所以它 們的和一定是 3 的倍數（3r 被 3 整 除 ）。如果每個抽屜至多有 2 個選定的數，那么 5 個數在 3 個抽屜中 的分配必為 1 個，2 個，2 個，即 3 個抽屜中都有選定的數。在每 個抽屜中各取 1 個數，那么這 3 個數除以 3 得到的余數分別為 0、1、2。因此，它們的和也一定能被 3 整除（0+1+2 被 3 整 除 ）。例 8：某校校慶，來了 n 位校友，彼此認識的握手問候。請證明無 論什么情況，在這 n 位校友中至少有兩人握手的次數一校多。分析與解答共有 n 位校友，每個人握手的次數最少是 0 次 ， 即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有 n1

34、 次，即這個人與 每位到會校友都握了手。校友人數與握手次數的不同情況（0，1，2，n1）都是 n，還無法用抽屜原理。 然而，如果有一個校友握手的次數是 0 次，那么握手次數最多的不能多于 n2 次；如果有一個校友握手的次數是 n1 次，那么 握手次數最少的不能少于 1 次。不管是前一種狀態(tài) 0、1、2、3、 n2，還是后一種狀態(tài) 1、2、3、n1，握手次數都只有 n1 種情況。把這 n1 種情況看成 n1 個抽屜，到會的 n 個校友每人 按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。習題十一1某校的小學生年齡最小的 6 歲，最大的 13

35、 歲，從這個學校中 任選幾位同學就一定保證其中有兩位同學的年齡相同？2中午食堂有 5 種不同的菜和 4 種不同的主食，每人只能買一 種菜和一種主食，請你證明某班在食堂買飯的 21 名學生中， 一定至少有兩名學生所買的菜和主食是一樣的。3證明：任取 6 個自然數，必有兩個數的差是 5 的倍數。4為了歡迎外賓來校參觀，學校準備了紅色、黃色、綠色的小 旗，每個同學都左右兩手各拿一面彩旗列隊迎接外賓。至少 有多少位同學才能保證其中至少有兩個人不但所拿小旗顏色 一樣，而且（左，右）順序也相同？5從 10 至 20 這 11 個自然數中，任取 7 個數，證明其中一定有 兩個數之和是 29。6從 1、2、3

36、、20 這 20 個數中，任選 12 個數，證明其中 一定包括兩個數，它們的差是 11。720 名小圍棋手進行單循環(huán)比賽（即每個人都要和其他任何人 比賽一次），證明：在比賽中的任何時候統(tǒng)計每人已經賽過的 場次都至少有兩位小棋手比賽過相同的場次。8從整數 1、2、3、199、200 中任選 101 個數，求證在選出的這些自然數中至少有兩個數，其中的一個是另一個的倍 數。本系列共 15 講第十二講抽屜原理的一般表述.文檔貢獻者： 與 你 的 緣我們知道，把 3 個蘋果隨意放進兩個抽屜里，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的蘋果。如果把 5 個蘋果放進兩個抽屜里，上 述結果當然還能成立。能不能有更強一

37、點的結果呢？我們發(fā)現(xiàn)把 5 個蘋果往兩個抽屜里放，即使每個抽屜都放 2 個還剩 1 個蘋果，這 個蘋果無論放到哪個抽屜里都會出現(xiàn)有一個抽屜里有 3 個蘋果。同 樣，如果蘋果個數變?yōu)?7 個，那么就可以保證有一個抽屜里至少有4 個蘋果了。 這里有什么規(guī)律呢？先將蘋果平均分到各個抽屜里，如果至少還余 1 個蘋果，那么 多余的蘋果無論放入哪個抽屜中都可以保證至少有一個抽屜里有（商+1）個（或更多的）蘋果。 這樣，可得到下述加強的抽屜原理：把多于 mn 個蘋果隨意放進 n 個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有（m+1）個或（m+1）個以上的蘋果。例 1：（ 1）求證：任意 25 個人中，至少有 3 個人的

38、屬相相同。（2）要想保證至少有 5 個人的屬相相同，但不能保證 6 個人屬相 相同，那么人的總數應在什么范圍內？分析與解答（1）把 12 種屬相看作 12 個抽屜。 因為2512=21所以，根據抽屜原理，至少有 3 個人的屬相同。（2）要保證有 5 個人的屬相相同，總人數最少為：4121=49（人）不能保證有 6 個人屬相相同的最人數為：512=60（人）所以，總人數應在 49 人到 60 人的范圍內。例 2：放體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球。有 66 名同學來倉庫拿球，要求每人至少拿 1 個球，至多拿 2 個球。問： 至少有多少名同學所拿的球種類是完全一樣的？分析與解答拿球的配組方式

39、有以下 9 種： 足 ， 排 ， 籃 ， 足 ， 足 ， 排 ， 排 ， 籃 ， 籃 ， 足 ， 排 ，足 ， 籃 ，排 ， 籃 。把這 9 種配組方式看作 9 個抽屜。因為 669=73，所以至少有 71=8（名）同學所拿的球的 種類是完全一樣的。例 3：一副撲克牌，共 54 張，問：至少從中摸出多少張牌才 能保證（1）至少有 5 張牌的花色相同；（2）四種花色的牌都有；（3）至少有 3 張牌是紅桃。分析與解答一副撲克牌有四種花色，每種花色各 13 張，另 外還有兩張王牌。（1）為了“保證”5 張牌花色相同，我們應從最“壞”的情況 去分析，即先摸出了兩張王牌。把四種花色看作 4 個抽屜，要想

40、有5 張牌屬于同一抽屜，只需再摸出 441=17（張），也就是共摸 出 19 張牌。即至少摸出 19 張牌，才能保證其中有 5 張牌的花色相 同。（2）因為每種花色有 13 張牌，若考慮最“壞”的情況，即摸 出了 2 張王牌和三種花色的所有牌共計 1332=41（張），這時， 只需再摸一張即一共 42 張牌，就保證四種花色的牌都有了。即至 少摸出 42 張牌才能保證四種花色的牌都有。（3）最壞的情形是先摸出了 2 張王牌和方塊、黑桃、梅花三種花色所有牌共計 41 張，只剩紅桃牌。這時只需再摸 3 張，就保證有 3 張牌是紅桃了。即至少摸出 44 張牌，才能保證其中至少有 3張紅桃牌。例 4：平

41、面上給定 17 個點，如果任意三個點中總有兩個點之 間的距離小于 1，證明：在這 17 個點中必有 9 個點可以落在同一半 徑為 1 的圓內。分析與解答如果 17 個點中，任意兩點之間的距離都小于 1， 那么，以這 17 個點中任意一點為圓心，以 1 為半徑作一個圓，這 17 個點必然全落在這個圓內。如果這 17 個點中，有兩點之間距離不 小于 1（即大于 1 或等于 1），設這兩點為 o1、o2，分別以 o1、o2 為圓心，1 為半徑作兩個圓（如圖），把這兩個圓看作兩個抽屜，由 于任意三點中總有兩個點之間的距離小于 1，因此其他 15 個點中的 每一點，到 o1、o2 的距離必須有一個小于

42、1，也就是說這些點必 落在某一個圓中。根據抽屜原理必有一個圓至少包含這 15 個點中 的 8 個點。由于圓心是 17 個點中的一點，因此這個圓至少包含 17 個點中的 9 個點。例 5：把 1、2、3、10 這十個數按任意順序排成一圈，求證在這一圈數中一定有相鄰的三個數之和不小于 17。圖一分析與解答把這一圈從某一個數開始按順時針方向分別記 為 a1、a2、a3、a10(見圖一)。相鄰的三個數為一組，有 a1a2a3、a2a3a4、 a3a4a5、a9a10a1、a10a1a2 共 10 組。這十組數的總和為：（a1a2a3）(a2a3a4)(a10a1a2)=3(a1a2a3a10)=355

43、=165=16105 根據抽屜原理這十組數中至少有一組數的和不小于 17。 這道題還可以用下面的方法證明：在 10 個數中一定有一個數是 1，設 a10=1，除 去 a10 之外，把 a1、a2、 a3、a9 這 9 個數按順序分為三組 a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9。下面證 明這三組中至少有一組數之和不小于 17。因為這三組數之和的總和為（a1a2a3）（a4a5a6）(a7a8a9)= a1a2a3a9=23410=54=3166 根據抽屜原理這三組數中至少有一組數之和不小于 17。 第二種證法中去掉了最小數 1，其實若去掉 2、3、4 也可以的 ，因為 54=3173，所以用第

44、二種證法還可以得出至少有一組數的 和不小于 18 的結論，而第一種證法卻不能得出這個結論。此外，由于 54=318，因此即使第二種證法也不能由抽屜原 理得出三組數中至少有一組數的和不小于 19 的結論。事實上，如 下圖所示，劃了線的三組數的和都是 1 8（并且其他任何三個相鄰數 之和都小于 18）。例 6：在邊長為 3 米的正方形內，任意放入 28 個點，求證：必有 4 個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過 1 平方米。分析與解答根據題目的結論，考慮把這個大正方形分割成面 積為 1 平方米的 9 個小正方形（如下圖一）。圖一圖二 因為 28=391，所以根據抽屜原理，至少有 4 個點落在同一

45、個邊長為 1 的小正 方形內（或邊上）（圖二），這 4 個點所連成的四邊形的面積總小于 或等于小正方形的面積，即以這 4 個點為頂點的四邊形的面積不超 過 1 平方米。例 7：在邊長為 1 米的正方形內，任意放入 9 個點，求證：至少有 3 個點，以這三個點為頂點的三角形面積不大于 1 平方米。8分析與解答把邊長為 1 米的正方形取各邊中點，把對邊中點相連將它分成四個邊長為 1 米的小正方形（如圖一）。把這四個小2正方形看成 4 個抽屜，把 9 個點隨意放入 4 個抽屜，根據抽屜原理 ，有一個抽屜至少有 3 個點?，F(xiàn)在證明以在邊長為 1 米的小正方形內2的這三個點為頂的三角形的面積不大于小正方

46、形面積的一半。設a、b、c 三點在同一個小正方形內。如果abc 中的某一條邊 bc與小正方形的邊平行（如圖二），則11111sabc= bch米米=平方米。如果abc 的22228三邊均與小正方形的邊不平行（如圖三），則可過其中一點 b 作 bd與小正方形邊平行，它將abc 分成兩個三角形：abd 與bcd。則11sabc=sabdscbd= bdh1bdh2221111=bd(h1h2)米米2= 1 平方米8222由以上證明可知，至少有 3 個點，以這三個點為頂點的三角形面積不大于 1 平方米。8習題十二1.“幼苗杯”數學競賽獲獎的 87 名學生來自 12 所小學，證明： 至少有 8 名學生

47、來自同一所學校。2.在一米長的線段中任意放入 7 個點，證明：不論怎樣放，至少 有兩點之間的距離小于 17 厘米。3.52 張撲克牌有紅桃、黑桃、方塊、梅花 4 種花色各 13 張，問：（1）至少從中取出多少張牌，才能保證有花色相同的牌至少 2張？（2） 至少從中取出幾張牌，才能保證有花色相同的牌至少5 張？（3）至少從中取出幾張牌，才能保證有 4 種花色的牌？（4）至少從中取出幾張牌，才能保證至少有 2 張梅花牌和 3 張 紅桃？（5）至少從中取出幾張牌，才能保證至少有 2 張牌的數碼（或 字母）相同？4.學校圖書館里有 a、b、c、d 四類書，規(guī)定每個同學最多可以 借 2 本書，在借書的

48、85 名同學中，可以保證至少幾個人所借書的類型是完全一樣的？5.把 1 到 30 這 30 個自然數擺成一個圓圈，則一定有三個相鄰的 數，它們的和不小于 47。6.在一個邊長為 1 米的正三角形內隨意放置 10 個點，證明：至少有 2 個點之間的距離不超過 1 米。3本系列共 15 講第十三講染色中的抽屜原理.文檔貢獻者： 與 你 的 緣根據抽屜原理可以解決許多有趣的問題，關鍵在于根據不同的問題制造抽屜。如研究整除問題時常用剩余類當作抽屜，研究長度 和面積時用圖形制造抽屜等等。在這一講中將研究如何用顏色當作 抽屜來解決一些問題。例 1：平面上有 a、b、c、d、e、f 六個點，其中沒有三點共

49、線，每兩點之間任意選用紅線或藍線連接，求證：不管怎樣連接， 至少存在一個同色的三角形。分析與解答連彩線的方式很多，如果一一畫圖驗證結論，顯 然是不可取的。這個問題如果利用抽屜原理去解決，就不是難事了 。 從任意一點比如點 a 出發(fā)，要向 b、c、d、e、f 連 5 條線段 。 因為只有兩種顏色，所以根據抽屜原理，至少有 3 條線段同色。不 妨設 ab、ad、ae 三線同色（如下圖）。如果 b、d、e 這三點之 間所連的三條線段中有一條是紅色的，則出現(xiàn)一個三邊為紅色的三 角形。如果這三點之間所連線段都不是紅色，那么就是藍色的，這 樣，三角形 bde 就是一個藍色的三角形。因此，不管如何連彩線，總

50、可以找到一個三邊同色的三角形。如果我們把上面例題中的點換成人，把紅藍兩種顏色連線換成人與人之間的關系，又可以解決某些實際問題。如：證明在任意的6 個人之間，或者有 3 個人互相認識，或者有 3 個人互相都不認識。 我們只需要把互相認識的兩人用紅線連接，互相不認識的用藍 線連接，那么所要證明的結論就變成證明存在一個紅色或藍色的三角形了。例 2：從同一個小學畢業(yè)的同學之間的關系可以分為三個等級 ： 關系密切、一般關系、毫無關系。請你證明在這個學校的 17 名校 友中，至少有三個人，他們之間的關系是同一個等級的。分析與解答把 17 個人看成平面上的 17 個點，用紅、藍、白 三種顏色的連線表示同學之

51、間三種不同等級關系，那么這個實際問 題就轉化為：證明用紅、藍、白三種顏色的線段連接平面上的 17 個點（沒有三點共線），一定存在一個同色的三角形。因為一個點要與其他 16 個點連線，只有三種顏色，所以根據 抽屜原理，從一點至少引出 6 條同色的線段。不妨設點 a 與 b、c、d、e、f、g 六點是用白色線段連接的。如果 b、c、d、e、f、g 這六點之間有一條白色連線，那么就會出現(xiàn)一個三邊為白色的三角 形。否則，這六個點只能用紅、藍兩種顏色連接了。根據例 1 的證 明可得，這六個點之間必有一個紅色邊或藍色邊的三角形存在。從例 2 的證明看出，它的論證方法與例 1 是相似的，只不過比 例 1 多

52、用了一次抽屜原理。例 3：用黑、白兩種顏色把一個 25（即 2 行 5 列）的長方形 中的每個小方格都隨意染一種顏色，證明：必有兩列，它們的涂色 方式完全相同。分析與解答因為每列只有兩格，而這兩格的染法只有（下圖 ） 四種，將 4 種染色方式當作 4 個抽屜，題中所有的方格共有 5 列 ， 根據抽屜原理，至少有兩列的染色方式完全相同。例 4：如果有一個 3n 的方格陣列，每一列的三個方格都任 意用紅、黃、藍、綠四色之三染成三種不同顏色，問 n 至少是多少 時，才能保證至少有 3 列的染色方式完全相同。分析與解答每一列都從 4 種顏色中選出三種分別染上這列 中的三個小格，染色的方式共有 432=24（種）。若要保證至少有 3 列的染色方式完全相同，那么 n 至少是 2421=49。下面研究另一類長方形陣列小格的染色的問題。例 5：對一塊 3 行 7 列的長方形陣列中的小方格的每一格任意 染成黑色或白色，求證：在這個長方形中，一定有一個由小方格組 成的長方形，它的四個角上的小方格同色。證法 1：每一列的三個格用黑、白兩種顏色染色，所有可能的 染法只有如下圖中的八種。如果在所染色的 3 行 7 列陣列中某一列是第（1）種方式，即 三格均為白色，則其余 6 列中只要再有第（1）（ 2）（ 3）（ 4）種方 式