圓-第10講圓冪定理圓中比例線(xiàn)段6師

1、第十講扇定理,中比例線(xiàn)段圓幕立理是初中平面幾何中重要立理之一，在有關(guān)計(jì)算和證明中應(yīng)用非常多，尤其是在證明圓中線(xiàn)段 比例式（或等積式）時(shí)，能有效地考査學(xué)生綜合運(yùn)用相似形和圓的有關(guān)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力，因而 成為全國(guó)各省市中考及數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的一個(gè)熱點(diǎn)，切實(shí)加強(qiáng)這方而知識(shí)的復(fù)習(xí)與訓(xùn)練，全面掌握這類(lèi)問(wèn)題 的證明思路和方法，對(duì)每一個(gè)同學(xué)都非常重要.此外，證明圓中線(xiàn)段比例式（或等積式）的基本思路有利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例左理：（2）利用相 似三角形給出證明；（3）利用圓慕泄理給出證明：（4）利用面積或三角函數(shù)給出證明.一、基礎(chǔ)知識(shí)1、相交弦定理如果圓內(nèi)兩條弦AB和CD相交于點(diǎn)P,那么PAPB = PCP

2、D （如下圖1）；2、割線(xiàn)定理如果從圓外一點(diǎn)P向圓引割線(xiàn)PAB和PCD,那么PA PB=PC PD （如下圖2）：3、切割線(xiàn)定理如果從圓外一點(diǎn)P向圓引割線(xiàn)PAB和切線(xiàn)PC,那么PA - PB=PC2 （如下圖3）：上述三個(gè)立理統(tǒng)稱(chēng)為圓幕定理實(shí)際上，可以把切割線(xiàn)左理看作是割線(xiàn)左理的極限情形，于是上述三 個(gè)結(jié)論可以合并為：如果交點(diǎn)為P的兩條直線(xiàn)與圓O相交于A(yíng)、B與C、D,那么就有PAPB=PCPD, 這里P、A、B共線(xiàn)及P、C、D共線(xiàn)；二、例題例 1（）已知，如圖 AB 是OO 的弦，P 是 AB 一點(diǎn)，AB=10cm, PA=4cm, OP=5cm,求：GO 的 半徑.設(shè)00 的半徑為 Rem,

3、則PC=OC-OP=R-5.PD=0IX）P=R+5由相交弦定理PC PD=PA PB即：（R 5） （R+5）MX6解之，得： R=7 （負(fù)值已舍去人例2 （）如圖，已知和002相交于CD兩點(diǎn)，其外公切線(xiàn)AB分別切Oh 00?于點(diǎn)AB,求證: 直線(xiàn)CD平分線(xiàn)段AB.EA切OO于點(diǎn)Ae 。小、=ED*EEA2EB2=EA = EBo例3 （）如圖，E是圓內(nèi)弦AB、CD的交點(diǎn)，直線(xiàn)EFCB,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F, FG切圓于G,連結(jié) EG,求證：ZFEG=ZFGE.EF-GF2證明,CB EFnZl二上CZCZAZ2 = Z2EF DF n = =5AF EFFG切圓于G ，qGF? =afdfM

4、是PA的中點(diǎn)，MC交0O于N, PN的延長(zhǎng)線(xiàn)例4 (如圖，PA切OO于A(yíng), PBC是0O的割線(xiàn), 交00于D,連結(jié)BD,求證：PABD;例5(*)如圖，已知B是線(xiàn)段AC上任一點(diǎn)，在A(yíng)C同側(cè)分別以AB.AC為直徑作兩個(gè)半圓AmB、AnC ,若CD切半圓4出于點(diǎn)D, EB丄AC, B為垂足，且交半圓于E, M是DE的中點(diǎn)，求證：CM丄DE.的中點(diǎn).求證；CM丄DE。 證明連結(jié)AECE.CD切半圓AmB于點(diǎn)D CBA是半國(guó)GB的割線(xiàn)AC 是 *KAnC 的直徑 n ZAC=90。n RtAAECEB 丄 ACnCDCBCAaCM 丄 DEnRtABCE RtAECAn芟工里nECCBCA“ EC A

5、CCD2CBCACM是DE邊上的中線(xiàn)nCM 丄 DE例6 ()如圖，在JABC中，ABAC,如果Z1ABC的內(nèi)切圓把BC邊上的中線(xiàn)AD三等分，求證:BC=2AC：證明：設(shè)AC、BC與)0分別切于點(diǎn)E、F, A D與0 0交于點(diǎn)G、He則DG-GH=HA= AF2 = AH AGAF切0O于FAHG是OO的割線(xiàn) 同理 DE2 = DG DHDG=GH = HA=AG = DHDG = AHFDA是圓的割線(xiàn) =EF=GFn/GEF 芋 ZEGF.nAFuDEI“y n AC = DCCE CF分別切GO于E F n CE = CFj- 戶(hù) DC 二 2ACBC=2DCt例7 ()圖中，AB是OO的

6、直徑，直線(xiàn)MN切00于點(diǎn)C, AD丄MN于D, AD交OO于E, AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交MN于點(diǎn)P,求證：AC2 = AE AP：連結(jié)BC, 0為即 AC1 = AB AD.90又因?yàn)?/AEB = ADP - 90SX迓為MA切0 TC, rM Z_ABC = Z_ACDfA“Cs所以ABACACAD9所以EB/ DP,所以希工薜即 AB AD = AE 人P由知AC1 - AE MP(這里用AB 作中間直傳遞).例8 (如圖，Z1ABC中，ZA的平分線(xiàn)AD交BC于D, 0O過(guò)點(diǎn)A,且和BC切于點(diǎn)D,和AB、AC 分別相交于E、F, AD與EF相交于G,求證：BD EG = BE EA；分析:要證B

7、QEG= BEEA (1)須證幣藝觀(guān)察式中四條線(xiàn)段，豎向排列可得ZDE和 E4 G (需作輔助線(xiàn)Q E )妾證(2)式成立.只須證明上述兩個(gè)三角形相似易 得Z4=上1、又由于Zl= Z1CD,又EA = ADC = 90%所以/ME s C/1D,鴛=篇同理 A/1CF s ABADCrm/1D AB BE AD斯以 CE = ACAD = CF即AIT = RECN這里用匯作中間啟傳遞).證明2：延長(zhǎng)E (M) F (N)、BC交于P證明 Z PMB = Z.PDA =90。，乙 P二乙 P,船備同理可證MW川D,得黒二箸由切剖線(xiàn)定理.得用-PB比，即 AD PAP4 -兀一 CN竹產(chǎn)丙ip

8、/T廚廠(chǎng)而做ZMGV.PC例10 (, 2002年?yáng)|城區(qū)中考)如圖，P是0O的直徑AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，割線(xiàn)PCD交OO于C、D兩 點(diǎn)，弦DF丄AB于H, CF交AB于點(diǎn)E,求證：PA PB=PO PE；iff明連結(jié)on. /是00的直徑，弦DF丄AH于， AD=AFDFZ.1二厶2ZL POD = Z PCE.又： Z DPO= Z f：PC，:. tsPf)O - PEC. 器#等絳PDPC4WE恵切倒線(xiàn)定理的推論， 簾 PA PH) PC. . PA PH=H)PE.例11 ()如圖，已知PA、PB是0O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A、BPCD是割線(xiàn)，求證:AC BD=AD BC PC0S 3bD、PCA

9、S APJ2).從TO得二rt5譽(yù)擰又由切線(xiàn)長(zhǎng)定理,知PA = PB、易得要證結(jié)論。例12 ()如圖，BC是圓的直徑，O是圓心，P是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A, AD丄BC于點(diǎn)D,求證：PDPO=PC 證明：(2)連結(jié) 因?yàn)镻A切半圓干點(diǎn)札 所以 LOAP = 90.又厶ADP = 90, 所以 MAP = LADP, 又 LAPO 二乙API). 所以AOPA.所以斜P(pán)DPA9即 PA2 = P0 PD.由切割線(xiàn)定理得PA2二PC PB 故 PD PO = PC PB.例13 (如圖，過(guò)NABC的頂點(diǎn)A作外接圓的切線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D,求證:CD _ AC2證明；因?yàn)槊?為00的切線(xiàn)

10、, 所以 /DAC ZB 而 Z/WC = /所以/MM s C/1D,磐=紳勺F m 心CD又因?yàn)楂k=而所以磊=篇(這里用站 作中間量過(guò)例14 (.托勒密上理)求證：在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB CD+BC AD=AC BD托勒農(nóng)？世紀(jì)命胖JC學(xué)家. 定理 在叫的內(nèi)報(bào)四邊彤 AHCD 中 A/3 CD 十 WC AD = AC HI).證朋 m I所水,： bd 上找r 使ZI N2于足圖I(E AA/iP 和屮.因?yàn)?丨上2/3戸N4 所以人”P(pán) s 人CD,因此 .； AR . AC - HP Cl)9UPAH C 7 = AC UP同理 ZA/P S臨瓜乃得B( Al) = AC

11、PDQ +珞 AH C /M IK： AD二 AC (BP + PD) = AC BD.D例15 (, 96年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD交于點(diǎn)過(guò)M作AD 的平行線(xiàn)分別交AB、CD于E、F,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O, P是以0為圓心、以0M長(zhǎng)為半徑的圓上一 點(diǎn)，求證：ZOPF=ZOEP：力相交于K./ om m 屮 CO =阪=徐=無(wú).OE BO OM 一 一 AK BK DKOE AK由得 0M AK * 喬=廉再由OP=OM.又乙N)F=/EGP、： HPOFSHEOP：乙0N、= /OEP 證法2:用梅涅勞斯定理證直線(xiàn)0CB分別對(duì)Z1DMF和ZJAEM三邊相交；則D

12、B MO FC t AB EO FC MB FO DC EB MO DC,OF OE DB FC EB AC門(mén)=OM2 MB DC AB MC由于EF/AD,嗚AB FC MC EB55c ACCF OF故=1,故OP2=OM=OEOFOM1則ZOFPsNOPE,則ZOPF=ZOEP 三、練習(xí)題1. ()如圖，PA為OO的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)0的割線(xiàn)，PA=10cm, PB = 5cm,求0O的半徑.即:解？設(shè)0O的半徑為rcm.則PC=PB+BC=5+2n由切割線(xiàn)定理徐 PB PC=PA2 5X(5+2r)=10，解之OP： G)O的半徑為芋on。2解法二：設(shè)00的半徑為rem.剋0

13、P=PBPB=5+R 由圓爭(zhēng)定理得，PA:=I 0疋一 I即：lO2- 卄)-r2解之：2等(cm)2. ()過(guò)0O外一點(diǎn)P作00的兩條切線(xiàn)PA、PB,連結(jié)0P與AB交于D,與OO交于C,過(guò)C作AP的垂線(xiàn)，垂足為E,若PA=10cm, PC=5cm,則CE=【解】延長(zhǎng)P0交。O于F,設(shè)00半徑為r,由切割線(xiàn)肚理得CE PCPA2=PC - PF.即有 r=7.5,又 CEOA,則=一；得。己 OA PO= 3cm3. () AB、AC分別是0O的切線(xiàn)與割線(xiàn)，若ZC=45 , ZBDA = 60 , CD= 點(diǎn)，求切線(xiàn)AB的長(zhǎng):【解】：ZACB=45 ,故ZBOD=90 :又ZBDC=15 ,故

14、CD弧為30 ,連結(jié)B0并延長(zhǎng)交 OO于E,過(guò)C作CF垂直于BE于F易得OF =丄7?,因?yàn)锳B CF DO ,故 2=-;AD=2/6 , AB= 6AD BO 24. ()如圖A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓周上,且BC=CD=4, AE = 6,線(xiàn)段BE和DE的長(zhǎng)都是正整數(shù)，則BD的長(zhǎng)等于:【解】設(shè) EC=x, BE=y, ED=zCD CE 4rZlEDCs zJDAC,則= ;即=;得 x=2,負(fù)值舍去:CA CD6 + x 4又 AEEC=BEED,故 yz=12：而在 JBCD 中，y+z4+4=8; 故滿(mǎn)足上述題意的y、z有：Y=3.z=4 或 Y=4,z=3,故 BD = 7C5. ()在平行四邊形ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E,且與CD相切，若AB=4,BE=5,貝ljDE=【解】由AEBC,則ABCE為等腰梯形，故AC=BE=5,又DCAB, DC與圓相切故 ZBAC= ZACD= ZABC則 AC=BC=AD=5, DC=AB=4DC2=AD - DE, DE=3.26. ( , 2003年全國(guó))已知AB是)0的直徑，BC是0O的切線(xiàn)，OC平