高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)推理與證明習(xí)題及詳解

1、高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)推理與證明習(xí)題及詳解一、選擇題1(2010廣東文，10)在集合a，b，c，d上定義兩種運(yùn)算、如下：那么d(ac)()AaBbCcDd答案A解析根據(jù)運(yùn)算、的定義可知，acc，dca，故選A.2(文)(2010福建莆田質(zhì)檢)如果將1,2,3，n重新排列后，得到一個(gè)新系列a1，a2，a3，an，使得kak(k1,2，n)都是完全平方數(shù)，則稱n為“好數(shù)”若n分別取4,5,6，則這三個(gè)數(shù)中，“好數(shù)”的個(gè)數(shù)是()A3 B2 C1 D0答案C解析5是好數(shù)，4和6都不是，取a13，a22，a31，a45，a54，則1a1422,2a2422,3a3422,4a432,5a532.(理)(20

2、10壽光現(xiàn)代中學(xué))若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，對(duì)于D上的任意n個(gè)值x1，x2，xn，總滿足f(x1)f(x2)f(xn)nf，則稱f(x)為D上的凹函數(shù)，現(xiàn)已知f(x)tanx在上是凹函數(shù)，則在銳角三角形ABC中，tanAtanBtanC的最小值是()A3 B. C3 D.答案C解析根據(jù)f(x)tanx在上是凹函數(shù)，再結(jié)合凹函數(shù)定義得，tanAtanBtanC3tan3tan3.故所求的最小值為3.3(文)定義某種新運(yùn)算“”：Sab的運(yùn)算原理為如圖的程序框圖所示，則式子5436()A2 B1 C3 D4答案B解析由題意知545(41)25,366(31)24，所以54361.(理)如圖所示

3、的算法中，令atan，bsin，ccos，若在集合|0tan，且sincos，當(dāng)時(shí)，總有tansin，當(dāng)時(shí)，sin0，tan0，cos0，sin0，且a1，下面正確的運(yùn)算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)A B C D答案D解析實(shí)際代入逐個(gè)驗(yàn)證即可如S(x)C(y)C(x)S(y)(axyayxaxyaxyaxyayxaxyaxy)(2axy2axy)S(xy)，故成立同理可驗(yàn)證均成立6四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在1、2、3、4

4、號(hào)位子上如圖所示，第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，這樣交替進(jìn)行下去，那么第2011次互換座位后，小兔的座位對(duì)應(yīng)的是()1鼠猴23兔貓41兔貓23鼠猴41貓兔23猴鼠41猴鼠23貓兔4第一次第二次第三次第四次A編號(hào)1 B編號(hào)2 C編號(hào)3 D編號(hào)4答案D解析根據(jù)動(dòng)物換座位的規(guī)則，可得第四次、第五次、第六次、第七次換座后的結(jié)果如下圖所示：1鼠猴23兔貓41兔貓23鼠猴41貓兔23猴鼠41猴鼠23貓兔4第一次第二次第三次第四次據(jù)此可以歸納得到：四個(gè)小動(dòng)物在換座后，每經(jīng)過四次換座后與原來的座位一樣，即以4為周期，因此在第2011次換座后，四個(gè)小動(dòng)物的位置應(yīng)該是和第3次換座后的位置一樣

5、，即小兔的座位號(hào)是4，故選D.點(diǎn)評(píng)因?yàn)閱栴}只求小兔座位號(hào)，故可只考慮小兔座位號(hào)的變化，用12表示小兔從1號(hào)位換到2號(hào)位，則小兔座位的變化規(guī)律是：312431243，顯見變化周期為4，又201145023，故經(jīng)過2011次換座后，小兔位于4號(hào)座7(2010山東文)觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析觀察所給例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，g(x)g(x)，選D.8甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a1，按下

6、列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把a(bǔ)1乘以2后再加上12；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把a(bǔ)1除以2后再加上12，這樣就可得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2.對(duì)實(shí)數(shù)a2仍按上述方法進(jìn)行一次操作，又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a3.當(dāng)a3a1時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝若甲獲勝的概率為，則a1的取值范圍是()A12,24B(12,24)C(，12)(24，)D(，1224，)答案D解析因?yàn)榧?、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)的可能情形有4種：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到兩種新數(shù)的概率是一樣的故由題意得即4a136

7、，a118，a136，a118出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，由于當(dāng)a3a1時(shí)，甲勝且甲勝的概率為，故在上面四個(gè)表達(dá)式中，有3個(gè)大于a1，a118a1，a136a1，故在其余二數(shù)中有且僅有一個(gè)大于a1，由4a136a1得a112，由a118a1得，a124，故當(dāng)12a1b)若EFAB，EF到CD與AB的距離之比為mn，則可推算出：EF，試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果在上面的梯形ABCD中，延長梯形兩腰AD、BC相交于O點(diǎn)，設(shè)OAB、OCD的面積分別為S1、S2，EFAB，且EF到CD與AB的距離之比為mn，則OEF的面積S0與S1、S2的關(guān)系是()AS0BS0C.D.答案C解析根據(jù)面積比等于相似比的

8、平方求解二、填空題11(2010鹽城調(diào)研)請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足a12a221，那么a1a2.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)0，所以0，從而得4(a1a2)280，所以a1a2.根據(jù)上述證明方法，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足a12a22an21時(shí)，你能得到的結(jié)論為_(不必證明)答案a1a2an12(文)如圖甲，在ABC中，ABAC，ADBC，D是垂足，則AB2BDBC，該結(jié)論稱為射影定理如圖乙，在三棱錐ABCD中，AD平面ABC，AO平面BCD，O為垂足，且O在BCD中，類比射影定理，探究SABC、SBCO、SBC

9、D之間滿足的關(guān)系式是_答案SABC2SBCOSBCD解析根據(jù)類比推理，將線段的長推廣為三角形的面積，從而得到答案(理)(2010湖南湘潭市)現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為，類比到空間，有兩個(gè)棱長均為a的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為_答案13(文)(2010陜西理)觀察下列等式：132332,13233362根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_答案132333435363212解析觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)：132332(12)21

10、3233362(123)213233343102(1234)2推想：132333n3(123n)2第五個(gè)等式為：132333435363(126)2212.(理)(2010廣東省佛山順德區(qū)質(zhì)檢)已知一系列函數(shù)有如下性質(zhì)：函數(shù)yx在(0,1上是減函數(shù)，在1，)上是增函數(shù)；函數(shù)yx在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)；函數(shù)yx在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)；利用上述所提供的信息解決問題：若函數(shù)yx(x0)的值域是6，)，則實(shí)數(shù)m的值是_答案2解析由題目提供信息可知yx(x0)在(0，上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，ymin6，m2.14(文)(2010湖南衡陽八中)如圖(1)有關(guān)系，則

11、如圖(2)有關(guān)系_.答案解析根據(jù)類比推理，將平面上三角形的結(jié)論，推廣到空間，即.簡證如下：設(shè)B、B到平面PAC的距離分別為h、H，則.又已知，.(理)(2010江蘇姜堰中學(xué))如圖，數(shù)軸上A(x1)、B(x2)，點(diǎn)P分AB成兩段長度之比，則點(diǎn)P的坐標(biāo)xP成立；如圖，在梯形ABCD中，EFADBC，且，則EF.根據(jù)以上結(jié)論作類比推理，如圖，在棱臺(tái)A1B1C1ABC中，平面DEF與平面ABC平行，且，A1B1C1、DEF、ABC的面積依次是S1，S，S2，則有結(jié)論：_.答案解析將三棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐PABC，不妨令PA1m，DAn，則A1Dn，那么，由，得m，又由，得mn，n，由此得.三、解答題15(20

12、10瑞安中學(xué))用分析法證明：.證明證法1：要證成立，0，0，只要證()2()2成立即證5292成立即證242成立，只須證0，故只須證62成立，即證8180成立最后一個(gè)不等式顯然成立，以上步步可逆，故原不等式成立證法2：要證成立，只須證成立，只須證7272成立，即證成立，即證1210成立，最后一個(gè)不等式顯然成立，故原結(jié)論成立16(文)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1a，且an1記bna2n1，n1,2,3，.(1)求a2，a3；(2)判斷bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論解析(1)a2a1a，a3a2a.(2)a4a3a.a5a4a.b1a1a0，b2a3，b3a5.猜想bn是公比為的等比數(shù)列證明如下：bn

13、1a2n1a2nbn(nN*)bn是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列(理)(2010湖南文)給出下面的數(shù)表序列：表1表2表31 13135 4 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，2n1，從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和(1)寫出表4，驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n3)(不要求證明)；(2)每個(gè)數(shù)表中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列，1,4,12，記此數(shù)列為bn求和：(nN*)解析(1)表4為13574812122032它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公

14、比為2的等比數(shù)列將這一結(jié)論推廣到表n(n3)，即表n(n3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列簡證如下(對(duì)考生不作要求)首先，表n(n3)的第1行1,3,5，2n1是等差數(shù)列，其平均數(shù)為n；其次，若表n的第k(1kn1)行a1，a2，ank1是等差數(shù)列，則它的第k1行a1a2，a2a3，ankank1也是等差數(shù)列由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表n的第k行中的數(shù)的平均數(shù)與第k1行中的數(shù)的平均數(shù)分別是，a1ank1.由此可知，表n(n3)各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列(2)表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均數(shù)

15、是n.由(1)知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列(從而它的第k行中的數(shù)的平均數(shù)是n2k1)，于是，表n中最后一行的唯一一個(gè)數(shù)為bnn2n1.因此(k1,2,3，n)故4.17(文)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若am，am2，am1(mN*)成等差數(shù)列，試判斷Sm，Sm2，Sm1是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論解析設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q(a10，q0)，若am，am2，am1成等差數(shù)列，則2am2amam1.2a1qm1a1qm1a1qm.a10，q0，2q2q10.解得q1或q.當(dāng)q1時(shí)，Smma1，Sm1(m1)a1，Sm2(m2)a

16、1，2Sm2SmSm1.當(dāng)q1時(shí)，Sm，Sm2，Sm1不成等差數(shù)列當(dāng)q時(shí)，Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列證明如下：證法1：(SmSm1)2Sm2(SmSmam1)2(Smam1am2)am12am2am12qam1am12am10，2Sm2SmSm1.當(dāng)q時(shí)，Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列證法2：2Sm2a1，又SmSm1a1a1a1，2Sm2SmSm1.當(dāng)q時(shí)，Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列(理)已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)f(x)f(y)1，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.(1)求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若關(guān)于x的不等式f(x2ax5a)2的解集為x|3xx2，則x1x20，從而f(x1x2)1