高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇(空間向量)

1、平面法向量與立體幾何 引言：平面的法向量在課本上有定義，考試大綱中有“理解”要求，但在課本和多數(shù)的教輔材料中都沒(méi)有提及它的應(yīng)用，其實(shí)平面的法向量是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一顆明珠，是解立體幾何題的銳利武器。本文介紹平面法向量的二種求法,并對(duì)平面法向量在高中立體幾何中的應(yīng)用作歸納和總結(jié)。開(kāi)發(fā)平面法向量的解題功能，可以解決不少立體幾何中有關(guān)角和距離的難題，使高考立體幾何中求空間角、求空間距離、證明垂直、證明平行等問(wèn)題的解答變得快速而準(zhǔn)確，那么每年高考中那道12分的立體幾何題將會(huì)變得更加輕松。一、平面法向量的概念和求法 1、定義：向量與平面垂直 如果表示向量的有向線段所在的直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面

2、，記作。 平面的法向量 如果，那么向量叫做平面的法向量。 2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量或，或，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。方法二(外積法): 設(shè) , 為空間中兩個(gè)不平行的非零向量，其外積為一長(zhǎng)度等于，（為,兩者交角，且），而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，把這三個(gè)向量移到同一始點(diǎn)o，并將右手拇指指向食指指向，那么中指指向的方向就是的方向，即的方向（如圖1和圖2所示）且有。則:圖2abcdxya1b1c1d1z圖3圖1（注：1、二階行列式:；2、適合右手定則。）例1、已知，試求（1

3、）：（2）：答案: (1) ;例2、 如圖3中在棱長(zhǎng)為1的正方體中，求平面的法向量和單位法向量。 解：法一（內(nèi)積法）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則，。設(shè)平面的法向量。得，。又面，得，。有，得。，。法二：（外積法）我們由上可得，。則：，注：從上可以看出，求平面的法向量我們用外積法更簡(jiǎn)潔，我們以后可以嘗試應(yīng)用這種方法二、平面法向量的應(yīng)用1、 求空間角(1)、求線面角：如圖4-1，設(shè)是平面的法向量，ab是平面的一條斜線，則ab與平面所成的角為：例3、 在例2中，求直線與平面所成的角。解析：由例2知，即(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，則二面角的平面角為：（圖5-1）; (圖5-2)圖4

4、-1bacab圖4-2c圖5-1圖5-2 兩個(gè)平面的法向量方向選取合適,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖5-1中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖5-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積（簡(jiǎn)稱“外積”，滿足“右手定則”）使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，則這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。例4、 在例2中，求二面角的大小。 解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，圖6nabab設(shè)二面角的大小為，則 ，得。2、 求空間距離（1）、異面直線之間距離:方法指導(dǎo)：如圖6,作直線a、b的方向向量、，abon圖

5、7求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；在直線a、b上各取一點(diǎn)a、b，作向量；求向量在上的射影d，則異面直線a、b間的距離為,其中（2）、點(diǎn)到平面的距離:方法指導(dǎo)：如圖7,若點(diǎn)b為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)a為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)p到平面的距離公式為：例5、 在例2中，求點(diǎn)到平面的距離。 解析：由例2的解答知，平面的單位法向量，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則aab圖8。 所以，點(diǎn)到平面的距離為。（3）、直線與平面間的距離:方法指導(dǎo)：如圖8,直線與平面之間的距離：圖9ab，其中。是平面的法向量（4）、平面與平面間的距離:方法指導(dǎo)：如圖9,兩平行平面之間的距離：圖10a，其中。是平

6、面、的法向量。3、 證明圖11a（1）、證明線面垂直：在圖10中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（）。（2）、證明線面平行：在圖11中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（）。圖12（3）、證明面面垂直：在圖12中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直（）（4）、證明面面平行：在圖13中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線（）。圖13三、利用法向量解2008年高考立體幾何試題例6、（湖南理第17題）如圖14所示，四棱錐p-abcd的底面abcd是邊長(zhǎng)為1的菱形，bcd60，

7、e是cd的中點(diǎn)，pa底面abcd，pa2. （）證明：平面pbe平面pab;（）求平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小.圖14解：如圖所示，以a為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2）,（）因?yàn)槠矫鎝ab的一個(gè)法向量是，所以共線.從而be平面pab.又因?yàn)槠矫鎝be，故平面pbe平面pab.()易知 設(shè)是平面pbe的一個(gè)法向量，則由 得：所以 設(shè)是平面pad的一個(gè)法向量，則由 得： 所以故可取 于是， 故平面pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小是點(diǎn)評(píng)：本題采用常規(guī)方法（即綜合法）求這個(gè)二面角的平面角比較困難，而用向量

8、法只要計(jì)算不出問(wèn)題，一般都能解決問(wèn)題abcdea1b1c1d1yxz圖14例7、（全國(guó)卷理科第19題)如圖14，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，（）因?yàn)?，故，又，所以平面（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，則， 等于二面角的平面角，所以二面角的大小為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查位置關(guān)系的證明及二面角的找法和計(jì)算，同時(shí)也考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力。例8、（北京卷理第16題）如圖15，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離解： （）， 又， ， 平面平面， acbpzxyhe圖15（）如

9、圖15，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)， 設(shè)面bcp的法向量為， 設(shè)面cap的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則：二面角的大小為（）設(shè)點(diǎn)c到平面的距離為，則：點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)評(píng)：本題考查空間垂直關(guān)系應(yīng)用及二面角問(wèn)題，側(cè)重考查空間想象能力，以及考查空間坐標(biāo)的應(yīng)用。再者本題求平面法向量時(shí)采用了外積法，較易判斷出法向量的方向。例9（安徽卷理第18題）如圖16，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線ab與md所成角的大??； （）求點(diǎn)b到平面ocd的距離。解：作于點(diǎn)p,如圖16,分別以ab,ap,ao所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面ocd的法向量

10、為,則圖16即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)b到平面ocd的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)b到平面ocd的距離為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，異面直線所成的角及點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何的能力。a1ac1b1bdczyx圖17例10、（陜西卷理科第19題）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（）證明：平面平面；（）求二面角的大小解：（）如圖17，建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取為平面

11、的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，如圖17，可取，則，即二面角為四、 用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，建立右手系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）（2）、通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）、把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形問(wèn)題）五、總結(jié)：以上介紹了平面的法向量及其二種求法，我們教材上只介紹了用數(shù)量積（內(nèi)積法）求法向量，而并沒(méi)有介紹用向量積（外積法）求法向

12、量，希望大家注意靈活應(yīng)用，我們以此為工具，解決了立體幾何中的部分難題。利用平面法向量解題，方法簡(jiǎn)便，易于操作，可以避開(kāi)傳統(tǒng)幾何中的作圖、證明的麻煩，又可彌補(bǔ)空間想像能力的不足，發(fā)揮代數(shù)運(yùn)算的長(zhǎng)處。深入開(kāi)發(fā)它的解題功能，平面法向題將在數(shù)學(xué)解題中起到越來(lái)越大的作用?？臻g向量與立體幾何一 利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。2題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ??？枷蜴溄樱?空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)

13、方面考查“向量法”的應(yīng)用。2空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來(lái)論證。例1：（2010安徽高考理科18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小?！久}立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問(wèn)題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。 【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明?！疽?guī)范解答】aefbcdhgxyz(1)(2)(3) 【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2、證明線面垂

14、直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解。4、以上立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡(jiǎn)單，易于操作，推薦使用。二：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1線線角、線面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考。2在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題?？枷蜴溄樱?利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向

15、量，則2運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫(xiě)出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2：（2010遼寧高考理科19）已知三棱錐pabc中，paabc，abac，pa=ac=ab，n為ab上一點(diǎn)，ab=4an,m,s分別為pb,bc的中點(diǎn).（）證明：cmsn；（）求sn與平面cmn所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問(wèn)題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】建系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，（i） 計(jì)算的數(shù)量積，寫(xiě)出答

16、案；（ii） 求平面cmn的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫(xiě)出答案?！疽?guī)范解答】設(shè)pa1，以a為原點(diǎn)，射線ab、ac、ap分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0, )，n(,0,0)，s(1,0)（i）【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。 （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問(wèn)題來(lái)解決。 （3）線面角的范圍是090，因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對(duì)值。三：利用空間向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識(shí)點(diǎn)。2常以解

17、答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷蜴溄樱呵蠖娼亲畛Ｓ玫霓k法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等， 例3：（2010天津高考理科9）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1） 求異面直線與所成角的余弦值；（2） 證明平面（3） 求二面角的正弦值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)

18、方法處理問(wèn)題?！疽?guī)范解答】方法一：以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab所在直線為x軸，ad所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,（1） 易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為。（2） 證明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令x=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為【高考真題探究】 1. （2010廣東高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算.【思路點(diǎn)撥】 先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方

19、程，從而求出【規(guī)范解答】，由得，即，解得【答案】22. （2010浙江高考理科20）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。 【命題立意】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。 【思路點(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問(wèn)題；方法二利用幾何法解決求二面角問(wèn)題和翻折問(wèn)題。 【規(guī)范解答】方法一：（）取線段ef的中點(diǎn)h，連結(jié)，因?yàn)?及h是ef的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角

20、坐標(biāo)系a-xyz，則（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，所以。取，則。又平面的一個(gè)法向量，故。所以二面角的余弦值為（）設(shè)，則， 因?yàn)榉酆?，與重合，所以， 故， ，得， 所以。3. （2010陜西高考理科8）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形pa平面abcd，ap=ab=2， bc=，e，f分別是ad,pc的中點(diǎn).（）證明：pc平面bef；（）求平面bef與平面bap夾角的大小?！久}立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問(wèn)題，考查了同學(xué)們的空

21、間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法與技巧?！舅悸伏c(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一 （）如圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，ap所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.ap=ab=2， bc=，四邊形abcd是矩形.a，b，c，d的坐標(biāo)為a(0,0,0),b(2,0,0),c(2, ,0)，d(0，0)，p(0,0,2)又e，f分別是ad，pc的中點(diǎn)，e(0，0),f(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，pcbf,pcef, ,pc平面bef

22、（ii）由（i）知平面bef的法向量平面bap 的法向量 設(shè)平面bef與平面bap的夾角為，則， 平面bef與平面bap的夾角為4. （2010重慶高考文科20）如題圖，四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn). （i）證明：；（ii）若，求二面角的平面角的余弦值.【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（ii）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識(shí)求余弦值.或建

23、立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.【規(guī)范解答】（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.設(shè)設(shè)，則，。于是，則，所以，故.（ii）設(shè)平面bec的法向量為，由（）知，故可取.設(shè)平面dec的法向量，則，由，得d，g，從而，故，所以，可取，則，從而.【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計(jì)算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題.5. （2010江西高考文科）如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值. 【命題立意】本題主要考查空間幾何體的

24、線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問(wèn)題以及有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力。 【思路點(diǎn)撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；（2）對(duì)二面角的求法思路， 一般是分三步“作”，“證”，“求”. 其中“作”是關(guān)鍵， “證”是難點(diǎn).法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)范解答】取cd中點(diǎn)o，連ob，om，則obcd，omcd，又平面平面,則mo平面.以o為原點(diǎn)，直線oc、bo、om為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.ob=om=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為o（0，0，0），c（1