四、旋轉(zhuǎn)怎么出、怎么考、怎么解

1、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三 角形和四邊形的性質(zhì)與判定等。旋轉(zhuǎn)性質(zhì)-對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的大小不變， 對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。注意旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角形與整個(gè)圖形的特殊位置。一、直線的旋轉(zhuǎn)1、(2009年浙江省嘉興市)如圖，已知 a b 是線段 mnk的兩點(diǎn)， mn =4, ma=1 ,mb 1 .以a為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) m,以b 為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn) n,使m n兩點(diǎn)重合成 一點(diǎn)c,構(gòu)成 abc設(shè)ab =x .(1)求x的取值范圍；(2)若 abc直角三角形，求 x的值；2、(2009年河南)如圖，在 rtabc中， /acb=90 , /b =60 , bc=2.點(diǎn) 0 是 ac的

2、中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0的直線l從與ac重合的 位置開始，繞點(diǎn) 0作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交 ab邊 于點(diǎn)d.過(guò)點(diǎn)c作ce / ab交直線l于點(diǎn)e, 設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為a .(1)當(dāng)a =度時(shí)，四邊形edbc是 等腰梯形，此時(shí) ad的長(zhǎng)為;當(dāng)a =度時(shí)，四邊形edbc是直 角梯形，此時(shí)ad的長(zhǎng)為;(2)當(dāng)a =90時(shí)，判斷四邊形 edbc是否為 菱形，并說(shuō)明理由.15懵用圖3、（2009年北京市）等且垂直。在abcd中，過(guò)點(diǎn)c作cexcd交ad于點(diǎn)e,將線段ec繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段ef（如圖1）（1）在圖1中畫圖探究：當(dāng)p為射線cd上任意一點(diǎn)（pi不與c重合）時(shí)，連結(jié) epi繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：得到線段

3、eci.判斷直線fci與直線cd的位 置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)p2為線段dc的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)， 連結(jié)ep2,將線段ep2繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90c 得到線段ec2.判斷直線c1c2與直線cd的 位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若ad =6,tanb= 4 ,ae=1,在的條件下，設(shè)cpx, slfc1 = y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍. 分析：此題是綜合開放題 已知條件、 問(wèn)題結(jié)論、解題依據(jù)、解題方法這四個(gè)要素 中缺少兩個(gè)或兩個(gè)以上，條件需要補(bǔ)充，結(jié) 論需要探究，解題方法、思考方向有待搜尋。解決此類問(wèn)題，一般要經(jīng)過(guò)觀察、實(shí) 驗(yàn)、分析、比較、類比、歸納、推斷

4、等探究 活動(dòng)來(lái)尋找解題途徑?？蓮暮?jiǎn)單、特殊的情 況入手，由此獲得啟發(fā)和感悟，進(jìn)而找到解 決問(wèn)題的正確途徑，是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題， 進(jìn)行猜想和證明的思維方法。華羅庚說(shuō)：善 于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性 的地方，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。提示：（1）運(yùn)用三角形全等，（2）按cp=ce=4將x取值分為兩段 分類討論；發(fā)現(xiàn)并利用好 ec、ef相4、(2009黑龍江大興安嶺)已知：在 mbc中，bc ac ,動(dòng)點(diǎn)d繞 abc的頂點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且 ad = bc ,連結(jié)dc .過(guò)ab、dc的中 點(diǎn)e、f作直線，直線ef與直線ad、bc 分別相交于點(diǎn)m、n .(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)到bc的延長(zhǎng)線

5、上時(shí)，點(diǎn)n恰好與點(diǎn)f重合，取ac的中 點(diǎn)h ,連結(jié)he、hf ,根據(jù)三角形中位 線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論二、角的旋轉(zhuǎn)5、(2009年中山)(1)如圖1,圓心接 abc 中，ab = bc=ca, od、oe 為。的 半徑，od 1 bc于點(diǎn)f , oe 1 ac于點(diǎn) g,求證：陰影部分四邊形ofcg的面積是 abc的面積的-.3(2)如圖2,若/doe保持120角度不變， 求證：當(dāng)/doe繞著o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條nam f = nbn e （不需證明）.半徑和4abc的兩條邊圍成的圖形(圖中(2)當(dāng)點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí), /amf與/bne有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別陰影部分)面積始終是

6、 abc的面積的寫出猜想，并任選一種情況證明.圖1圖2圖3（2009襄樊市）如圖，在梯形 abcd中，ad / bc, ad =2, bc =4,點(diǎn) m 是ad的中點(diǎn)， mbc是等邊三角形.（1）求證：梯形 abcd是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)p、q分別在線段bc和mc上運(yùn)動(dòng)，且/mpq =60保持不變.設(shè)pc = x mq,yty與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p、q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)p、m和點(diǎn)a、b、c、d中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的 平行四邊形的個(gè)數(shù)；當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷 apqc的形狀，提示:第（3）問(wèn)，兩種情形一pm/ ab ,pm/ cd第（3）問(wèn)，

7、求出y最小值為3,此時(shí) x=pc=2,點(diǎn) p 到 bc 中點(diǎn)，pm! bc .6、（2009年重慶市）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形 oabc勺邊oa在y軸的正半軸上，oc在x軸的正半軸上，oa=2, o3 .過(guò)原點(diǎn)o作/aoc勺平分線交ab于點(diǎn)d,連接dc過(guò)點(diǎn)d作deel dc交oa于點(diǎn)e.（1）求過(guò)點(diǎn)e d c的拋物線的解析式；（2）將/ edc點(diǎn)d按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn) f,另一邊 與線段o改于點(diǎn)g如果df與（1）中的拋 物線交于另一點(diǎn) m點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為6 ,那5么ef=2gb否成立？若成立， 請(qǐng)給予證明； 若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）對(duì)于（2）中的

8、點(diǎn)g在位于第一象限 內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn) q使得直線gq 與ab的交點(diǎn)p與點(diǎn)c g構(gòu)成的 pc或等 腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) q的坐標(biāo)；若提示：第（3）問(wèn)， pgc為等腰三角形按 哪兩邊相等分類討論， 求出點(diǎn)p坐標(biāo)，再求 點(diǎn)q坐標(biāo)。三、三角形的旋轉(zhuǎn)7、（2009年邵陽(yáng)市） 如圖，將 rtabc（其 中/b= 340, / c= 900）繞a點(diǎn)按順時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn)到 abi ci的位置，使得點(diǎn)c、a、 bi在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（ ）n yo 123456789 xa.56 b.68 0c.124 0d.180 08、（ 2009年包頭）如圖,已知 acb與圖910、（2009年

9、郴州市）如圖，桌面上平放著 一塊三角板和一把直尺，小明將三角板的直 角頂點(diǎn)緊靠直尺的邊緣，他發(fā)現(xiàn)無(wú)論是將三 角板繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 還是將三角板沿直尺 平移，d1與d2的和總是保持不變，那么d1 與d2的和是 度. dfe是兩個(gè)全等的直角三角形，量得它 們的斜邊長(zhǎng)為10cm,較小銳角為30 ,將 這兩個(gè)三角形擺成如圖（1）所示的形狀， 使點(diǎn)b、c、f、d在同一條直線上，且點(diǎn) c與點(diǎn)f重合，將圖（1）中的4acb繞 點(diǎn)c順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖（2）的位置，點(diǎn)e11、（2009年臺(tái)州市）如圖，三角板abc中,在ab邊上，ac交de于點(diǎn)g ,則線段/acb=90, /b = 301 bc = 6.cm （

10、保留根fg的長(zhǎng)為三角板繞直角頂點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) a時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 人匕使人、b、c在同一9、（2009河池）如圖9 abc的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(3,6) b (1 3)c(4,2),若將直線上，若 nbca=90,/bac =30, ab = 4cm ,則圖中陰影部 分面積為 cm2. abc繞c點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ,得到 abc,則點(diǎn)a的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a,的坐標(biāo) 為.13、（2009年郴州市）如圖6,在下面的方格圖中，將 abc先向右平移四個(gè)單位得到 ai b1c1,再將 ai b1c1繞點(diǎn)ai逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到d a 1 b2c2，請(qǐng)依次作出15、（2009襄樊市）如圖所示，在rta abc 中，/

11、 abc = 90上將rt abc繞點(diǎn)c順 時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得到 dec，點(diǎn)e在 ac上，再將rta abc沿著ab所在直線 翻轉(zhuǎn)180口得到4abf.連接ad.（1）求證：四邊形afcd是菱形；（2）連接be并延長(zhǎng)交ad于g,連接 cg,請(qǐng)問(wèn)：四邊形 abcg是什么特殊平行 四邊形？為什么？kc圖7形bcfd的形狀, 并說(shuō)明理由.14、（2009年達(dá)州）如圖7,在 abc中，ab = 2bc,點(diǎn)d、點(diǎn)e分別為ab、ac的中點(diǎn),繞點(diǎn)e旋車專180得到連結(jié)de,將 ade cfe.試判斷四邊16、(2009年株洲市)如圖，在rtaoab中，zoab =90% oa=ab =6，將 aob 繞 點(diǎn)

12、o沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90 口得到aoab1 .(1)線段oa的長(zhǎng)是,waob的度數(shù)是;(2)連結(jié)aa,求證：四邊形oaabi是平 行四邊形；(3)求四邊形oaab的面積.17、(2009煙臺(tái)市)如圖，直角梯形 abcd 中， ad / bc , /bcd =90 ,且 c d=2 a dt a4 a b c過(guò)點(diǎn) d 作 de / ab,交/bcd的平分線于點(diǎn) 巳連 接be.(1)求證：bc =cd ;(2)將 bce繞點(diǎn)c,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得 到 dcg ,連接eg.求證：cd垂直平分 eg.(3)延長(zhǎng)be交cd于點(diǎn)p.求證：p是cd18、(2009年山西省)cc在 abc中，a = b2,=

13、 b ，將 &abc = a b繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 a (0 0 a 90)得 abci, aib交 ac 于點(diǎn) e, ac1 分別交ac、bc于d、f兩點(diǎn).(1)如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段ea與fc有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證 明你的結(jié)論;(2)如圖2,當(dāng)a =30時(shí)，試判斷四邊形bgda的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在(2)的情況下，求 ed的長(zhǎng).提示：(1)考查三角形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不變量再導(dǎo)出圖形各線段間的各種關(guān)系；(2)在特殊條件下，得到線段間的特殊關(guān)系。19、（2009年牡丹江）已 知rt abc中 ，ac =bc, / c =90 口，d 為 ab 邊的 中 點(diǎn)，nedf =90,

14、 /edf 繞 d 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)， 它的兩邊分別交 ac、cb （或它們的延長(zhǎng) 線）于e、f.當(dāng)zedf繞d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到de a ac于e時(shí)（如圖1 ）,易證1sa def sa cef = saabc-2當(dāng)zedf繞d點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 de和ac不垂直 時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論 是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，sa def、sa cef、& abc又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.分析：此類題的特點(diǎn)是-提供問(wèn)題的一個(gè) 特殊的情況（給出命題的題設(shè)、結(jié)論），讓你探索使結(jié)論成立的證明過(guò)程，然后通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，使題設(shè)條件改變，圖形隨之發(fā)生變化 產(chǎn)生新的問(wèn)題情景， 再去探究新情景中原來(lái)

15、的結(jié)論是否成立，還是又有新的關(guān)系。解題方法思路一般是-先探究特殊情 景下的解題方法，再內(nèi)化感悟、類比、猜想 與探究。（針對(duì)特殊情景解題方法需添加什 么輔助線，用到什么定理，是什么方法思想， 能否直接模仿，還是要?jiǎng)?chuàng)新）提示：圖2、圖3按退還到圖1位置作輔助 線，證明方法思路一樣。20、(2009年常德市)cc如圖9,若 abc和4ade為等邊三角形， m, n分別eb, cd的中點(diǎn)，易證：cd=be , amn是等邊三角形.(1)當(dāng)把 ade繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置 時(shí)，cd=be是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明， 若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)4ade繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)， amn是否還是等邊三

16、角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng) ab=2ad時(shí)，4ade與4abc 及4amn的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.提示：(1)抓住不變量易解，(2)能證得 adc與4aeb是直 角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性 質(zhì)求解。21、(2009 東營(yíng))已知正方形 abc珅下為對(duì)角線bd上一點(diǎn)， 過(guò)e點(diǎn)作ef，bd交bc于f,連接df, g為 df中點(diǎn)，連接eg cg(1)求證：egcg(2)將圖中4 befg b點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o, 如圖所示，取df中點(diǎn)g連接eg cg問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng) 給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)將圖中4 bef繞b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連

17、接相應(yīng)的線段，問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能 得出什么結(jié)論？(均不要求證明)提示：考查三角形的中線、三角形全等、矩 形的性質(zhì)等。(2)作適當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等 三角形。也可連接 ga,得gc=ga點(diǎn)g作ab 的垂線，證ge=ga.x圖22提示：第(3)問(wèn)類似 利用好中心對(duì)稱的性質(zhì) 等。09武漢中考?jí)狠S題，-對(duì)應(yīng)邊平行且相22、(2009年甘肅慶陽(yáng))(8分)如圖14,在平面直角坐標(biāo)系中， 等腰rtaoab斜邊ob 在y軸上，且ob = 4.(1)畫出 oab繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 后得到的三角形；(2)求線段 ob在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò) 部分圖形的面積(即旋轉(zhuǎn)前后 ob與點(diǎn)b軌 跡所

18、圍成的封閉圖形的面積).23、(2009年廣西梧州)如圖(9) -1,拋物 線 y =ax2 3ax +b經(jīng)過(guò) a ( -1, 0), c (3,-2)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)d,與x軸交于另一點(diǎn)b.(1)求此拋物線的解析式；(2)若直線y =kx+1(k #0)將四邊形abcd面積二等分，求k的值；(3)如圖(9) -2,過(guò)點(diǎn) e (1, 1)作 eflx 軸于點(diǎn)f,將4aef繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 得 mnq (點(diǎn)m、n、q分別與點(diǎn) a、e、f 對(duì)應(yīng))，使點(diǎn)m、n在拋物線上，作mg，x 軸于點(diǎn)g,若線段mg ： ag= 1 ： 2,求點(diǎn)m , n的坐標(biāo).四、四邊形的旋轉(zhuǎn)24、(2009年山東青島

19、市) 如圖.邊長(zhǎng)為 1 的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn) a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45 ,則 這兩個(gè)正方形重疊部分的面積25、(2009呼和浩特) 如圖所示，正方形abcd的邊cd在正方形ecgf的邊ce 上，連接be, dg .(1)求證：be =dg .(2)圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合 的兩個(gè)三角形？若存在，說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程；若(3)設(shè)ambn的周長(zhǎng)為p ,在旋轉(zhuǎn)正方形oabc的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證 明你的結(jié)論.提示：延長(zhǎng)ba交y軸于點(diǎn)e。第(3)問(wèn)， 證明 oaezocn ,aomn ome,得 mn=am+cn.26、(2009年濟(jì)寧市)在平面直角坐標(biāo)中，邊長(zhǎng)為2的

20、正方形oabc的兩頂點(diǎn)a、c分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)o在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形 oabc繞o點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a點(diǎn)第一次落在直線 y = x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中， ab邊交直線y = x于點(diǎn)m ,bc邊交x軸于點(diǎn)n (如圖).(1)求邊oa在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) mn和ac平行時(shí)，求正方形oabc旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；27、(2009年寧波市)16(第27題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(-8,0),直線bc經(jīng)過(guò)點(diǎn)b(4,6) , c(0,6),將四邊形oabc繞點(diǎn)o提示：第(3)問(wèn)，過(guò)點(diǎn)q作qhloa/于h, 連接 oq,則 qh=oc z =oc,

21、易證 pq=op, 設(shè)bp=x, bq=2x ;按旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn) p在點(diǎn)b左、 右兩種情況分類討論。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度得到四邊形oab c ,此時(shí)直線oa、直線bc 分別 與直線bc相交于點(diǎn)p、q.(1)四邊形oabc的形狀是 ,當(dāng)口 =90時(shí)，bp的值是；bq(2)如圖1,當(dāng)四邊形oabc的頂點(diǎn)bbp落在y軸正半軸時(shí)，求bp的值； bq如圖，當(dāng)四邊形 oabc的頂點(diǎn)b落在 直線bc上時(shí)，求 opb的面積.(3)在四邊形 oabc旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)0 a w 180時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn) p和一 一 一 1 一點(diǎn)q,使bp = bq ?若存在，請(qǐng)直接寫2出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.28、 （2009年湖北荊州）19如圖，已知兩個(gè)菱形 abcd和efgh是以 坐標(biāo)原點(diǎn) o為位似中心的位似圖形（菱形 abcd與菱形efgh的位似比為 2： 1）, /bad = 120,對(duì)角線均在坐標(biāo)軸上，拋物1 2 .線y = - x經(jīng)過(guò)ad