實(shí)驗(yàn)6-平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算

1、實(shí)驗(yàn)6平板穩(wěn)態(tài)溫度的計(jì)算6.1實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)本實(shí)驗(yàn)在簡單的平板熱傳導(dǎo)模型下，利用線性方程組計(jì)算平板穩(wěn)態(tài)溫度的分布。當(dāng)選 取節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，MATLAB軟件的應(yīng)用就更顯重要。最后利用MATLAB的繪圖命令繪制平板 的溫度分布，形象地表示出計(jì)算結(jié)果。表6.1給出了與本實(shí)驗(yàn)相關(guān)的 MATLAB命令或函數(shù)。表6.1與本實(shí)驗(yàn)相關(guān)的MATLAB命令或函數(shù)命令功能說明位置mod(i,N)計(jì)算i除以N的余例6.2if mod(i,N)=0判斷i是否為N的整數(shù)倍例6.2mesh(T)T為一個(gè)矩陣，以T的行標(biāo)為x軸值，以T的列標(biāo)為y軸值，以T的 元素值為z軸值，繪制三維圖形。例6.26.2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容例6.1在鋼板熱傳導(dǎo)的研究

2、中，常常用節(jié)點(diǎn)溫度來描述鋼板溫度的分布。假設(shè)圖6.1中鋼板已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度分布，上下、左右四個(gè)邊界的溫度值如圖所示，而T1,T2,T3,T4表示鋼板內(nèi)部四個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度。 若忽略垂直于該截面方向的熱交換， 那么內(nèi)部某節(jié)點(diǎn)的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度的算術(shù)平均值,如1020 T2 T3 /4。請計(jì)算該鋼板的溫度分布。30 C30C圖6.1鋼板的節(jié)點(diǎn)分布（4個(gè)節(jié)點(diǎn)） 解：根據(jù)已知條件可以得到以下線性方程組：T11020T2T3 /4T22030T1T4/4T31050T1T4/4T43050T2T3/4化簡為標(biāo)準(zhǔn)的矩陣形式如下:4110T1301401T2501041T3600114T

3、480在MATLAB 命令窗口輸入:A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4;b=30; 50; 60; 80;U=rref(A,b)結(jié)果為：U =1.0000 0 00 21.25000 1.0000 00 0 1.00000 26.25000 28.75000001.0000 33.7500得到方程組的解為:T1 21.25 C, T2 26.25 C, T3 28.75 C, T4 33.75 C。例6.2在例6.1中，把鋼板內(nèi)部分成了2X 2個(gè)節(jié)點(diǎn)，本例把鋼板內(nèi)部分為圖6.2所示。求鋼板的穩(wěn)態(tài)溫度分布，并繪制溫度分布圖形。5X 5個(gè)節(jié)點(diǎn)，

4、如10 C10 C10 C10 C10 C50C50C50C 50C50C30 C30 C30 C30 C30 C20C20C20C 20C 20C圖6.2鋼板的節(jié)點(diǎn)分布（25個(gè)節(jié)點(diǎn)）解：根據(jù)例6.1中的討論，知：5X 5個(gè)節(jié)點(diǎn)就構(gòu)成了一個(gè)具有25個(gè)方程的線性方程組。在MATLAB的M文件編輯器中編寫 %計(jì)算鋼板的穩(wěn)態(tài)溫度分布clearclose allN=i nput(N=);%t_u=in put(temperature up:); % t_d=in put(temperature dow n:); t_l=i nput(temperature left:); t_r=in put(tem

5、perature right:);A=zeros(N*N);b=zeros(N*N,1); % for i=1:N*N%A(i,i)=4;endfor i=1:N*N;%if iN*(N-1) % b(i)=b(i)+t_d;end if iNA(i,i-N)=-1;endif mod(i,N)=1A(i,i-1)=-1;endif mod(i,N)=0A(i,i+1)=-1;endif i=N*(N-1)A(i,i+N)=-1;end end U=rref(A,b);%for i=1:N%for j=1:NB(i,j)=U(N*(i-1)+j,N*N+1); end endT(2:N+1,2

6、:N+1)=B; % T(1,2:N+1)=t_u;T(N+2,2:N+1)=t_d; T(2:N+1,1)=t_l;T(2:N+1,N+2)=t_r; T(1,N+2,1,N+2)=NaN; % T %給向量 b 中和左邊界節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的分量賦值給向量 b 中和下邊界節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的分量賦值給矩陣 A 中和上邊界無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的元素賦值給矩陣 A 中和左邊界無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的元素賦值給矩陣 A 中和右邊界無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的元素賦值給矩陣 A 中和下邊界無關(guān)的節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的元素賦值對增廣矩陣進(jìn)行行初等變換，化為最簡行階梯矩陣 把矩陣 U 的最后一列按矩陣形式賦給 B把鋼板內(nèi)部溫度和和四周溫度值放入矩陣

7、T 中矩陣四個(gè)角沒有溫度值，故把非數(shù)NaN 放入顯示計(jì)算結(jié)果mesh(T) % 對鋼板溫度值繪制成曲面圖形 在 MATLAB 的命令窗口中輸入：la19人機(jī)對話及運(yùn)算結(jié)果為：N=5temperature up:20temperature down:50temperature left:10temperature right:30T =NaN20.000020.000020.000020.000020.0000NaN10.000016.565219.866721.840023.341525.312530.000010.000016.395821.060624.153826.212127.9111

8、30.000010.000017.958323.826127.500029.442630.119430.000010.000021.608728.787932.576933.939433.123330.000010.000029.687537.139540.083340.614038.434830.0000NaN50.000050.000050.000050.000050.0000NaN鋼板的溫度分布如圖6.3所示。其中x、y坐標(biāo)分別表示鋼板橫、縱方向的節(jié)點(diǎn)數(shù)，咼度表示節(jié)點(diǎn)的溫度值，該三維圖形形象地反映了鋼板的溫度分布。圖6.3鋼板的溫度分布6.3實(shí)驗(yàn)習(xí)題Matlab程序，求出鋼板內(nèi)部六1如圖

9、6.4所示，假設(shè)鋼板已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度分布。分別用T_u,T_d,T_l,T _r來表示T.lT lTu T.u Tu14T_d T_dT_d圖6.4鋼板的節(jié)點(diǎn)分布（6個(gè)節(jié)點(diǎn)）解：先列寫對此6點(diǎn)的方程：T1 T_l T_u T2 T4 /4T2 T _ u Ti T3 T5 /4T3 T _u T _ r T2 T6 /4T4 T_l T_d T1 T5 /4T5 T_d T2 T4 T6 /4T6 T_d T_r T3 T5 /4T_l T _uT _uT _u T_rT_l T_dT_dT_d T _r寫成矩陣形式41011 4101 40100 00 0 4110141 010 0T10

10、T201 T30 T41 T54 T6T_l T_uT_uT_u T_r T_l T_d T_dT_d T_rAX = B(1)T_u10,T_d40,T_l20,T _r30 ,單位C；(2)T_u20,T_d80,T_l40,T_r60,單位C；(3)T_u30,T_d120,T_l60,T _r90單位C。鋼板的上、下、左、右四個(gè)邊界的溫度值。請編寫一個(gè)通用個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度值，要求四個(gè)邊界的溫度值由用戶輸入。程序?yàn)锳ri4，-1，0,-1，0,0；-1,4，-1，0,-1，0;0,-1,4，0,0,-1；-1，0,0，4，-1，0;0,-1，0,-1,4，-1；0,0,-1，0,-1,4,T_u=i nput(T_u= ) ,T_d=i nput(T_d= ),T_l=i nput(T_u= ) ,T_r=i nput(T_r=), B=