28.橢圓共軛直徑中的面積問題_第1頁
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1、中國高考數(shù)學母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題(楊培明橢圓共軛直徑中的面積問題由橢圓的共軛直徑生成的面積試題 過定點m(x0,y0)的直線與橢圓c交于a、b兩點,o是坐標原點,求oab面積s的最大值問題是高考的熱點問題,對此,我們給出如下結論.母題結構:己知a(x1,y1)、b(x2,y2)為橢圓g:+=1(ab0)上的任意兩點,o為坐標原點,則:當且僅當+=0,即直線ab:x+y=1(其中,2+2=2,此時,直線ab為橢圓+=的切線)時,saob取得最大值=ab.母題解析:設x1=acos,y1=bsin,x2=acos,y2=bsin(02

2、),則saob=|x1y2-x2y1|=|abcossin-abcossin|=ab|sin(-)|ab,當且僅當|sin(-)|=1,即cos(-)=0時,等號成立;又+=0coscos+sinsin=0cos(-)=0;直線ab:(x1-x2)(y-y1)=(y1-y2)(x-x1)(y1+y2)(y-y1)=-(x1+x2)(x-x1)+=+為x+y=1(其中,2+2=2)+=0,此時,直線ab為橢圓+=的切線. 1.求三角形面積的最大值 子題類型:(2015年浙江高考試題)已知橢圓+y2=1上兩個不同的點a,b關于直線y=mx+對稱.()求實數(shù)m的取值范圍; ()求aob面積的最大值(

3、o為坐標原點).解析:()設ab中點p(x0,y0),由kopkab=-y0=x0p(-,-),由p在橢圓內m(-,-)(,+);()設a(cos,sin),b(cos,sin)(0b0)的離心率為,f是橢圓的焦點,直線af的斜率為,o為坐標原點.()求e的方程;()設過點a的直線l與e相交于p,q兩點,當opq的面積最大時,求l的方程.解析:()設f(c.0),則=c=,又=a=2b=1e的方程:+y2=1;()設a(2cos,sin),b(cos,sin)(0b0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.()求橢圓c的方程;()設直線l與橢圓c交于a、b兩點,坐標原點o到直線l的距離為,

4、求三角形aob面積的最大值.2.(2006年山東高考試題)己知橢圓的中心在坐標原點o,焦點在x軸上,橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,兩準線的距離為4.()求橢圓的方程;()直線l過點p(0,2)且與橢圓相交于a、b兩點,當三角形aob面積取得最大值時,求直線l的方程. 5.子題詳解:1.解:()由e=,a=b=1橢圓c:+y2=1;()設a(cos,sin),b(cos,sin)(0b0).則b=c,且=4a2=2,且b=c=1,所以,橢圓方程為+y2=1;()設a(cos,sin),b(cos,sin)(02),則saob=|x1y2-x2y1|=|cossin-cossin|=|sin(-)|,當且僅當|sin(-)|=1,即c

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