(完整版)一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題的十二種思維

1、 一元二次方程整數(shù)根問(wèn)題的十二種思維策略一.利用判別式- 4x + 4 = 0例1.（2000 年黑龍江中考題）當(dāng)m 是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x 的一元二次方程mx2- 4mx + 4m - 4m -5 = 0與x的根都是整數(shù)。22解：方程mx=16-16m0，得 m1- 4x + 4 = 0有整數(shù)根，2- 4mx + 4m - 4m -5 = 0又方程x有整數(shù)根225v=16m - 4(4m - 4m - 5) 0 得m -2245綜上所述， m14x 可取的整數(shù)值是-1，0，1當(dāng)m=-1 時(shí)，方程為x2 -4x+4=0 沒(méi)有整數(shù)解，舍去。而 m0 m=1例2（1996 年四川競(jìng)賽題）已知方程x解

2、：設(shè)原方程的兩個(gè)正整數(shù)根為x ，x ，則m=(x +x )為負(fù)整數(shù).+ mx - m +1= 0有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求m 的值。21212v= m + 4m - 42一定是完全平方數(shù)+ 4m - 4 = k設(shè)m2 （ 為正整數(shù)）k2(m + 2) - k = 822即：(m + 2 + k)(m + 2 - k) = 8m+2+km+2-k,且奇偶性相同m +2 + k = 4 m + 2 + k = -2或m + 2 - k = 2 m + 2 - k = -4解得m=10（舍去）或 m=5。當(dāng) m=5 時(shí) ，原方程為 x2 -5x+6=0，兩根分別為 x =2，x =3。21二.例3（

3、2000 年全國(guó)聯(lián)賽）設(shè)關(guān)于x 的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k 的值。利用求根公式(k - 6k + 8)x + (2k - 6k - 4)x + k = 42222 v= (2k - 6k - 4) - 4(k - 4)(k - 6k + 8) = 4(k - 6)解：22222-2k + 6k + 4 2(k - 6)2由求根公式得x =2(k - 6k +8)224= -1-, x = -1-即 x1k- 42k - 224由于 x-1，則有k - 4 = -,k - 2 = -x +1x +11224-= 2兩式相減，得x +1 x +112(x + 3) = -2即

4、 x12= 2, x = -4 x = -2, x = -2 x =1,x = -5由于x ，x 是整數(shù)，故可求得x或或1212121210分別代入，易得k= ，6，3。3三.利用方程根的定義2 - -2 = 0 x - 2x - b(b -1) = 0有相同的整數(shù)根？2例4.b 為何值時(shí)，方程 x bx和并且求出它們的整數(shù)根？解：兩式相減，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)(1+ b) - b(1+ b) - 2 = 0當(dāng) b2 時(shí),x=1+b,代入第一個(gè)方程,得2解得b=1,x=2當(dāng)b=2 時(shí),兩方程無(wú)整數(shù)根.b=1,相同的整數(shù)根是2四.利用因式分解(a -1)x + 2x - a

5、-1 = 0例5.（2000 年全國(guó)競(jìng)賽題）已知關(guān)于x 的方程的根都是整數(shù)，2那么符合條件的整數(shù)a 有_個(gè).解: 當(dāng)a=1 時(shí),x=1當(dāng)a1 時(shí),原方程左邊因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=02=1,x = -1+即得x1- a12 x 是整數(shù) 1-a=1,2,a=-1,0,2,3由上可知符合條件的整數(shù)有5 個(gè).- (m -1)x + m +1 = 0例6.(1994 年福州競(jìng)賽題) 當(dāng)m 是什么整數(shù)時(shí),關(guān)于x 的方程x的兩根都是整數(shù)?2解：設(shè)方程的兩整數(shù)根分別是x ，x ，由韋達(dá)定理得12x + x = m -1l x x = m +1l 1212 x x- x - x =

6、2由- 消去 ，可得m1221(x -1)(x -1) = 3 =13 = -1(-3)12 -1=1或 x -1= -1x則有 11-1= 3x -1= -32x2 =2x = 0x解得：1或 1x = 42x = -22= 7m= -1由此或 0，分別代入，得m或x1 x = 82五.利用根與系數(shù)的關(guān)系例 7.(1998 年全國(guó)競(jìng)賽題) 求所有正實(shí)數(shù) a,使得方程2 - ax + 4a = 0僅有整數(shù)根.x解：設(shè)方程的兩整數(shù)根分別是 x ，x ，且x1 x122由根與系數(shù)的關(guān)系得x + x = a 0lx1 x = 4a 0l122a x a由得224a = x x x a將代入得121a

7、4a = x x x 21 214 x 81顯然 x 4，故 x 可取 5，6，7，8。11從而易得 a=25，18，16。六.構(gòu)造新方程例 8.(1996 年全國(guó)聯(lián)賽)方程(x - a)(x -8)-1= 0有兩個(gè)整數(shù)根,求 a 的值.(x -8) + (8- a)(x -8) -1 = 0解：原方程變?yōu)?+ (8- a)y -1 = 0設(shè) y=x-8，則得新方程為y2設(shè)它的兩根為 y ，y ，則y1+ y = a -8, y y = -112212x 是整數(shù)，y ，y 也是整數(shù)，則 y ，y 只能分別為 1，-1 或-1，12121即 y +y =02a=8。1七.構(gòu)造等式例 9.(200

8、0 年全國(guó)聯(lián)賽 c 卷) 求所有的正整數(shù) a,b,c,使得關(guān)于 x 的方程 x - 3ax + 2b = 0, x - 3bx + 2c = 0, x - 3cx + 2a = 0 的所有的根都是正整數(shù).222, x , x , x , x , x解：設(shè)三個(gè)方程的正整數(shù)解分別為x，則有123456x - 3ax + 2b = (x - x )(x - x )212x - 3bx + 2c = (x - x )(x - x )234x - 3cx + 2a = (x - x )(x - x )256令x=1，并將三式相加，注意到x 1（i=1，2，6），有i3- (a + b + c) = (1

9、- x )(1- x ) + (1- x )(1- x ) + (1- x )(1- x ) 0 + 0 + 0 = 0123456但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0故 a=b=c=1八.分析等式2 - ( 3 +1) + 3 - 6 = 0例10.(1993 年安徽競(jìng)賽題) n 為正整數(shù)，方程xxn有一個(gè)整數(shù)根，則n=_.解：不妨設(shè)已知方程的整數(shù)根為，則a2- ( 3 +1)a + 3n - 6 = 0- a - 6 = 3(a - n)整理。得a2因?yàn)閍 為整數(shù)，所以a- a - 6為整數(shù)23(a - n) 也一定是整數(shù)，要使 3(a - n) 為整

10、數(shù)，必有a = n- a - 6 = 0 n - n - 6 = 0由此得a，即 22解得n=3 或-2（舍去） n=3。九.反客為主+ 2(2a -1)x + 4(a - 3) = 0例11.(第三屆祖沖之杯競(jìng)賽題)求出所有正整數(shù)a,使方程ax2至少有一個(gè)整數(shù)根.解：由原方程知 x2，不妨將方程整理成關(guān)于的一元一次方程(x + 4x + 4)a = 2x +1222x +12得a =1（因?yàn)槭钦麛?shù)）(x + 2)2 則得(x + 4)(x - 2) 0解得-4 x 2因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2。分別代入a 的表達(dá)式，故所求的正整數(shù)a 是1，3，6，10。十.利用配方法(a

11、 -1)x - 2(5a +1)x + 24 = 0例12. (第三屆祖沖之杯競(jìng)賽題) 已知方程22有兩個(gè)不等的負(fù)整數(shù)根,則整數(shù)a 的值是_.解：原方程可變?yōu)?10ax - x - 2x + 24 = 02a x22-10ax + 25 = x + 2x +1即 2a x22(ax - 5) = (x +1)22ax -5 = (x +1)64=, x =得：x12a-1a +1當(dāng)a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5 時(shí)，x 為負(fù)整數(shù)。1但a=0 時(shí)，x 0； a=-5 時(shí),x = =-1212又 a-1 a=-2。十一.利用奇偶分析例13.(1999 年江蘇第14 屆競(jìng)賽題)已知方程 2x-1999x + a = 0 有兩個(gè)質(zhì)數(shù)根,則常數(shù)a=_.解：設(shè)方程的兩個(gè)質(zhì)數(shù)根為x ，x ( x x )1212由根與系數(shù)的關(guān)系得x +x =1999.12顯然 x =2,x =1997,于是a=219