2019-2020學(xué)年度九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：矩形

1、 2019-2020 學(xué)年度九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：矩形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【要點梳理】要點一、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點詮釋：矩形定義的兩個要素：是平行四邊形；有一個角是直角.即矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.要點二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱

2、圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線） .對稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的第 1 頁 共 10 頁 所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角

3、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.推論：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；直角三角形中 30所對的直角邊等于斜邊的一半.第 2 頁 共 10 頁 （3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形的性質(zhì)1、如圖所示，已知四邊形 abcd 是矩形，pbc 和qcd 都是等邊三角形，且點 p在矩形上方，點 q在矩形內(nèi)求證：(1)pbapcq30

4、；(2)papq【思路點撥】(1)矩形的四個內(nèi)角都等于 90，利用條件pbc 和qcd 都是等邊三角形，容易求得pba 和pcq 度數(shù)；(2)利用(1)的結(jié)論以及矩形的性質(zhì)進一步證明pabpqc(sas)，從而證得 papq【答案與解析】證明：(1) 四邊形 abcd是矩形， abcbcd90 pbc和qcd是等邊三角形， pbcpcbqcd60， pbaabcpbc30，pcdbcdpcb30pcqqcdpcd30，故pbapcq30(2) 四邊形 abcd是矩形， abdc pbc和qcd是等邊三角形，第 3 頁 共 10 頁 pbpc，qcdcab abqc，pbapcq，pbpc pa

5、bpqc， papq【總結(jié)升華】利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時，針對問題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可舉一反三：【變式】如圖所示，把矩形紙片 abcd 沿 ef 折疊，使點 b 落在邊 ad上的點 處，點 a落在點 處ab(1)求證：； =b e bf(2)設(shè) ae ，ab ，bf ，試猜想 之間有何等量關(guān)系，a、b、cabc并給予證明【答案】證明：(1)由折疊可得bfe = bfe adbc， ，bef = bfe = bfe， = b e b f =b e bf(2)猜想理由：2a +b = c22由題意，得，a e ae a a b ab b = =由(1)知 =b e bf c

6、=第 4 頁 共 10 頁 在abe 中，a = 90 ae = aab = b be = c2a +b = c222、如圖所示，矩形 abcd中，ac、bd相交于 o，ae平分bad交bc于 e，cae15，求boe的度數(shù)【思路點撥】boe在boe中，易知obe30，直接求boe有困難，轉(zhuǎn)為考慮證 bobe由 ae 平分bad 可求bae45得到abbe，進一步可得等邊aob有 abob證得 bobe【答案與解析】解： 四邊形 abcd是矩形，11 dababc90，ao ac，bo bd，acbd22 aobo ae平分bad， bae45 aeb904545bae beab cae15，

7、 bao60 abo是等邊三角形 boab，abo60 bebo，obe30180-30 boe= 752【總結(jié)升華】矩形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線第 5 頁 共 10 頁 分成四個等腰三角形，因此矩形中的計算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中去解決類型二、矩形的判定3、（2016濠江區(qū)一模）如圖，在 abcd 中，abd 的平分線be 交 ad 于點 e，cdb 的平分線 df 交 bc 于點 f，連接 bd（1）求證：abecdf；（2）若 ab=db，求證：四邊形 dfbe 是矩形【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出 ab=cd，a=c求出abd=cdb推出ab

8、e=cdf，根據(jù) asa 推出全等即可；（2）根據(jù)全等得出 ae=cf，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出 adbc，ad=bc，推出 debf，de=bf，得出四邊形 dfbe 是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出deb=90，根據(jù)矩形的判定推出即可【答案與解析】證明：（1）在abcd 中，ab=cd，a=cabcd，abd=cdbbe 平分abd，df 平分cdb，abe= abd，cdf= cdb第 6 頁 共 10 頁 abe=cdf在abe 和cdf 中，abecdf（asa）（2）abecdf，ae=cf，四邊形 abcd 是平行四邊形，adbc，ad=bc，debf，de=bf，四邊形 df

9、be 是平行四邊形，ab=db，be 平分abd，bead，即deb=90平行四邊形 dfbe 是矩形【總結(jié)升華】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力舉一反三：【變式】 （2015 春 邗江區(qū)期中）如圖，四邊形 abcd 中，對角線ac、bd 相交于點 o，ao=co，bo=do 中，且abc+adc=180（1）求證：四邊形 abcd 是矩形（2）若adf：fdc=3：2，dfac，則bdf 的度數(shù)是多少？第 7 頁 共 10 頁 【答案】（1）證明：a0=c0，b0=d0四邊形

10、 abcd 是平行四邊形，abc=adc，abc+adc=180，abc=adc=90，四邊形 abcd 是矩形；（2）解：adc=90，adf：fdc=3：2，fdc=36，dfac，dco=9036=54，四邊形 abcd 是矩形，oc=od，odc=54bdf=odcfdc=18類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)4、如圖所示，bd、ce 是abc 兩邊上的高，g、f 分別是 bc、de的中點求證：fgde第 8 頁 共 10 頁 【答案與解析】證明：連接 eg、dg， ce是高， ceab 在 rtceb中 ，g是 bc的中點，11 eg bc，同理 dg bc22 egdg又 f是 ed的中點， fgde【總結(jié)升華】直角三角形斜邊中線的性質(zhì)是依據(jù)矩形的對角線互相平分且相等推出來的根據(jù)這個性質(zhì)又可以推出直角三角形的斜邊上的中線把直角三角形分成了兩個等腰三角形溫馨提示：若題目中給出直角三角形斜邊上的中點，常設(shè)法用此性質(zhì)解決問題舉一反三：【變式】如圖，mon90，矩形 abcd的頂點 a、b分別在邊 om，on上，當(dāng)b在邊 on上運動時，a隨之在邊 om上運動，矩形abcd 的形狀保持不變，其中 ab2，bc1，運動過程中，點 d到點 o的最大距離為（）145