專題數(shù)列求和的基本方法和技巧(20210428095819)

1、數(shù)列求和的基本方法與技巧、利用常用求和公式求和:解：由log 3 x1log 2 3logaxlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得Sn X X2 X3xn（利用常用公式）x(11xn)利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列求和公式：Snn(a1 an)na1n(n1)d22ng(q1)2、等比數(shù)列求和公式：Sna1(1 qn)a1anq(q1)1 q1qn 1n213、Snk n(n 1)4、Snkn(n 1)(2 n 1)k 12k 165、n 312Snk n(n1)k 12例11已知log3 x，求x23x xnx的前n項(xiàng)和log 2 3例 2設(shè) Sn = 1

2、+2+3+ +n , n N*,求 f (n)解：由等差數(shù)列求和公式得Sn1），Sn|(n 1)(n 2)（利用常用公式）f(n)Sn=n(n 32)Sn 1 n2 34n 64n 34648)250丄50當(dāng) jn 孚，即 n = 8 時(shí)，f（n）max 丄弋850二、錯位相減法求和：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求各項(xiàng) 是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an卜 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例 設(shè)數(shù)列an滿足內(nèi)2,ani an 322n1，（ 1）求數(shù)列 為 的通項(xiàng)公式；（2 ）令bn nan，求數(shù)列的前

3、n項(xiàng)和Sn解：（I）由已知，當(dāng)n 1時(shí)，an 1(a n 1an)(anan 1 )III (a2aj a13(22n 1?2n 3III2) 22(n 1) 12 。而a12,所以數(shù)列aIn的通項(xiàng)公式為an22n 1 o(U)由bn rianMn 1n 2知Sn1 22 23 3 25川n?2n 1從而22Sn1 232 253 27III n 22n1-得(122)Sn2 2325 IIIMn 12n22n 12o1即Sn _(3 n2n1)21 29例3求和：Sn1 3x 5x27x3(2n1)xn 1.解：由題可知，（2n 1）xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn 1的通

4、項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn（設(shè)制錯位）2xn 1 (2n 1)xn(錯位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 x）Sn 12x1 xn11 x(2n1)xno (2n 1)xn 1(2n 1)xn2(1 x)(1 x)例4求數(shù)列2篤，2，,繹，前n項(xiàng)的和。2 22 232n務(wù)的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列4歹423一得（1丄02解：由題可知,1二的通項(xiàng)之積2設(shè)Sn2Sn222226歹6242n歹2nSn2n2歹1盯n 2.（設(shè)制錯位）2 22 22n尹2 2nnn 12 2（錯位相減）一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4三、倒序相加法

5、求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)（印an） o例 5求證：Co 3Cn 5C：（2n 1）C； （n 1）2n證明：設(shè) Sn C0 3Cn 5C2(2n 1)C：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn (2n 1)C： (2n 1)C： 13C： C0(反序)又由cm c：m可得Sn (2n 1)C (2n 1)C：3C： 1 C： 加） + 得2Sn (2n 2)(C0 C：C；1 C：)2(n1) 2n（反序相Sn (n 1)2n例 6求 sin21 sin22 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值解：設(shè) S

6、 sin21sin 2 22sin 32 2sin 88 sin 89將式右邊反序得S sin2 89sin2 882c 2 c- 2sin 3sin 2sin（反序）又因?yàn)?sin x2 2cos(90x),sin x cos x 1+得（反序相加）2S (si n21cos21 ) (sin2 2 cos2 2 )(sin2 892cos 89 ) = 89 S = 44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。形如:an是等差數(shù)列;an n其中bn是等比數(shù)列;anf n ,n 2k

7、1, g n , n 2k, k N例已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n 3n1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和.解：Sna1 a2an212252n 3n2n3n 121 2n1 2n 2 3n 12c n 132=2_n22.例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和:1解：設(shè) Sn (1 1)(-a4)(1n 1a(丄a3n3n2)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1 1Sn (12a a1F)(1a3n2)（分組）當(dāng)a _ 1時(shí)，Sn(3n1)n(3n1)nn_2（分組求和）當(dāng)a 1時(shí)，Sn1丄a_1 1a(3n 1)n a a1 n2_ a 1(3n 1)n例 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和。解：設(shè) ak k(k

8、 1)(2k1) 2k33k2 k111n32(2k3 3k2 k)k 1nSn k(k 1)(2k 1) _k 1將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得nSn = 2k 1k3k2k _ 2(13 23n3) 3(1222n2) (1n）（分組）2 2_ n (n 1)_ 2n(n 1)(2 n 1)n(n1)2（分組求和）2 n(n 1) (n2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 .裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解,然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。把數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從an an 1得其和.適用于類似（其中an是

9、各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列, 部分無理數(shù)列和含階乘的數(shù)列等.用裂項(xiàng)法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)Sin1-cos n cos(n” tan(n 1)tan nan1n(n 1)(4)anan n .( 6)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2n 1 2n 1)1(7) ann(n 1)(n 2)2 n(n 1) (nG(8) ann 2n(n1)丄2n n(n 1)2(n 1) n 1n缶則Sn 1浪例已知等差數(shù)列an滿足：a3 7，a5a726 ,an的前n項(xiàng)和為Sn （I）求an及Sn ；1令bn

10、=a（n N*），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍37,a5 a726，所以有冃 2d 7 ，解得 a13,d2 ,2a1 10d261所以an 3(n1)=2 n+1 ;Sn=3 n+叫巴222 = n +2n。（U）由（I）知 an 2n+1，所以bF1 = 1(2n+1)21= 4111= ( n(n+1)4 n)，n+1所以Tn = 4 (1-2 + 2 1+|H-薔1 1)=4(1-)=n n+14(n+1)即數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和=侖。例9求數(shù)列解：設(shè)an則Sn的前n項(xiàng)和。（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）(32)(- n 1 n)例10 在數(shù)列an中，an汁

11、，又 bnanan 1求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.2解:an二 bnn 1 n 12 1 8(- n n 1 n2（裂項(xiàng)）數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn 8(111 1-)( ) 22 311)1(38nn 11)1(-n（裂項(xiàng)求和）例 11cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1-tan(n 1)tan ncos n cos(n 1)111111解：設(shè)Scos1 cos2cos88 cos89cos0 cos1cos1sin21（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）1_ (tan 1 sin 1tan 0 ) (tan 2tan 1 ) (tan 3tan 2 )tan 89 tan 88 1_ (tan 89 sin 11tan0) _ 而cot 1 cos1sin21原等式成立六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的 和時(shí)，可將這些