應(yīng)用統(tǒng)計學(xué) 4 隨機(jī)分布與概率分布

1、本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)： 1 1、了解隨機(jī)變量及其分類；、了解隨機(jī)變量及其分類； 2 2、了解隨機(jī)變量與概率分布的關(guān)系，了解分布曲線、了解隨機(jī)變量與概率分布的關(guān)系，了解分布曲線 （函數(shù)）、密度曲線（函數(shù)）的含義及其之間的關(guān)系；（函數(shù)）、密度曲線（函數(shù)）的含義及其之間的關(guān)系； 3 3、理解隨機(jī)變量的期望、方差及矩、理解隨機(jī)變量的期望、方差及矩 4 4、了解重要的離散型和連續(xù)型概率分布、了解重要的離散型和連續(xù)型概率分布 1 1、1 1 基本概念基本概念 1、1、1 隨機(jī)試驗與事件 人們在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，發(fā)現(xiàn)對人們在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中，發(fā)現(xiàn)對 自然界和社會上所觀察到的現(xiàn)象大體分為兩自然界和社會上

2、所觀察到的現(xiàn)象大體分為兩 類：類： 一類是事前可以預(yù)料的，即在一定條件一類是事前可以預(yù)料的，即在一定條件 下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱之為下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱之為必必 然現(xiàn)象然現(xiàn)象或或決定性的現(xiàn)象決定性的現(xiàn)象； 另一類是事前不可另一類是事前不可 預(yù)料的，即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行觀察或試預(yù)料的，即在相同條件下重復(fù)進(jìn)行觀察或試 驗時，有時出現(xiàn)有時不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為驗時，有時出現(xiàn)有時不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為 偶然現(xiàn)象偶然現(xiàn)象或或隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象。 在現(xiàn)實生活中，例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們在現(xiàn)實生活中，例如，在產(chǎn)品檢驗問題中，我們 關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，關(guān)心的是抽

3、樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中， 我們關(guān)心的是某時期正在工作的車床數(shù)。對于這類隨我們關(guān)心的是某時期正在工作的車床數(shù)。對于這類隨 機(jī)現(xiàn)象，其試驗結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨機(jī)現(xiàn)象，其試驗結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨 著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。著試驗的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。 然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也 常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。比如，在投硬幣問題中，每常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。比如，在投硬幣問題中，每 次實驗出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有聯(lián)系，次實驗出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有聯(lián)系， 但我們可以通過指定數(shù)但我們可以通過

4、指定數(shù)“1”1”代表正面，代表正面，“0”0”代表反代表反 面，為了計算面，為了計算n n次投擲中出現(xiàn)的正面就只須計算其中次投擲中出現(xiàn)的正面就只須計算其中 “1”1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗的結(jié)果與出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗的結(jié)果與 數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。 一般地，如果為某個隨機(jī)事件，則一定可以通一般地，如果為某個隨機(jī)事件，則一定可以通 過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系： 這就說明了，不管隨機(jī)試驗的結(jié)果是否具有數(shù)量的這就說明了，不管隨機(jī)試驗的結(jié)果是否具有數(shù)量的 性質(zhì)，我們都可以建立性質(zhì)，我們都可以建立樣本空間樣本空間和和實數(shù)空間實數(shù)空間的對

5、應(yīng)的對應(yīng) 關(guān)系，使之與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系，稱關(guān)系，使之與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系，稱x為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。 不發(fā)生 發(fā)生 a a x 0 1 隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系 對所對所考察的隨機(jī)現(xiàn)象，當(dāng)引入隨機(jī)變量以考察的隨機(jī)現(xiàn)象，當(dāng)引入隨機(jī)變量以 后，隨機(jī)事件即可用隨機(jī)變量滿足某關(guān)系式來后，隨機(jī)事件即可用隨機(jī)變量滿足某關(guān)系式來 描述，反之，給出隨機(jī)變量描述，反之，給出隨機(jī)變量x滿足某關(guān)系式，滿足某關(guān)系式， 它將表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象中的某個事件。它將表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象中的某個事件。 比如：例比如：例1 1中，中， 0x 表示該試驗中表示該試驗中“反面朝上反面朝上”事件。事件。 1x 表示該試驗中表示該試驗

6、中“正面朝上正面朝上”事件。事件。 事件事件 點(diǎn)數(shù)不少于點(diǎn)數(shù)不少于3 3次次 可表示為可表示為 .3x 隨機(jī)變量有三種類型：隨機(jī)變量有三種類型： 一、離散型隨機(jī)變量：變量的取值只能用整數(shù)表一、離散型隨機(jī)變量：變量的取值只能用整數(shù)表 示的隨機(jī)變量；示的隨機(jī)變量； 二、連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量只能在某個區(qū)間二、連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量只能在某個區(qū)間 內(nèi)取值，或其取值結(jié)果需要區(qū)間才能反映；內(nèi)取值，或其取值結(jié)果需要區(qū)間才能反映； 三、混合型隨機(jī)變量：既不是完全的離散型隨機(jī)三、混合型隨機(jī)變量：既不是完全的離散型隨機(jī) 變量，也不是完全的連續(xù)型隨機(jī)變量。變量，也不是完全的連續(xù)型隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量的概率分布

7、隨機(jī)變量的概率分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x，其取值可能為，其取值可能為x1、x2、xn，對應(yīng)的，對應(yīng)的 概率分別為概率分別為p1、p2、pn，一一對應(yīng)。，一一對應(yīng)。 概率分布表由兩個基本要素構(gòu)成，一是隨機(jī)變量的概率分布表由兩個基本要素構(gòu)成，一是隨機(jī)變量的 取值，二是隨機(jī)變量值對應(yīng)的發(fā)生概率。取值，二是隨機(jī)變量值對應(yīng)的發(fā)生概率。 離散型概率分布和連續(xù)型概率分布，是兩類最基本離散型概率分布和連續(xù)型概率分布，是兩類最基本 的概率分布。的概率分布。 隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù) 1.1.定義：設(shè)定義：設(shè) 是是 上的隨機(jī)變量，對上的隨機(jī)變量，對 x rx r， 稱稱 = p x= p x為為

8、 的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 2.2.設(shè)設(shè)f f（x x）是隨機(jī)變量）是隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，則具有如下的分布函數(shù)，則具有如下 性質(zhì)：性質(zhì)： （1 1）單調(diào)非降性：即對任意）單調(diào)非降性：即對任意x1x2,f(x1)x1x2,f(x1)f(x2);f(x2); （2 2）規(guī)范性：）規(guī)范性： （3 3）右連續(xù)性）右連續(xù)性: : 對于任意一個函數(shù)，若滿足上述三條性質(zhì)的話，則對于任意一個函數(shù)，若滿足上述三條性質(zhì)的話，則 它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 )(xf 0)(lim)( xff x 1)(lim)( xff x 都有即rx )()(lim)0( 0 xfxxfxf

9、x 3.3.運(yùn)算：若 ， 則有： rba)(xf ( )( ) lim( )(0) ( )(0) 1( ) 1(0) ( )(0) (0)(0) (0)( ) xa p abf bf a paf xf a papapaf af a paf a paf a p abf bf a p abf bf a p abf bf a 例例1 1：已知 的分布函數(shù)為： 求： 31 3212/11 213/2 102/ 00 )( x x x xx x xf 42,2/1,1,3pppp 解： 12/112/111)2()04(2442 4/34/11)2/1 (12/112/1 6/12/13/2)01 ()

10、 1 (1 1)3(3 ffppp fpp ffp fp 例例2 2：已知 的分布函數(shù)為： 確定a并求 11 10 00 )( 2 x xax x xf 7 . 03 . 0p 解：由右連續(xù)性知 ，而 ，a=1 即 則 1)(lim 1 xf x 2 1) 1 (af 10 ,)( 2 xxxf 4 . 03 . 07 . 0)3 . 0()07 . 0(7 . 03 . 0 22 ffp 概率密度函數(shù)的性質(zhì)： 其中，f(x)為概率密度。 見課本例題。 rxxf,0)()1( 1)()()2( fdxxf )()( )()3( xfxf xxf 則 處連續(xù)，在若 0)(lim)4( xf x

11、隨機(jī)變量的期望、方差及矩隨機(jī)變量的期望、方差及矩 一、期望一、期望 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 .)()4( )()(),()()()3( ; )()()()2( ;)()()(1) : )()( )( 11 11 1 bxeabxa xexeyexexye xexexe bxaebaxexe dxxxfxe pxxe n i i n i i n i i n i i i ii 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 二、方差 離散型 連續(xù)型 .)()()var()5( );var()var()var()4( );var()var()var()3( );var()var()var()2( ; 0)var() 1 ( :

12、 )()()var( )()var( 22 22 2 2 1 2 xexex ybxabyax yxyx xabaxx c dxxfxexx pxexx i i ii 方差的性質(zhì) 三、矩 矩在統(tǒng)計學(xué)中常用來描述隨機(jī)變量的分布特征，均值等統(tǒng)計 參數(shù)有些可以用矩來表示。矩可分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。 - - 原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 隨機(jī)變量x對原點(diǎn)離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望e（xr），稱為隨機(jī) 變量x的r階原點(diǎn)矩，以符號mr表示，即: mr= e（xr） （r = 1，2，3，。，n） （4-3-14） 對離散型隨機(jī)變量，r階原點(diǎn)矩為: mr= e（xr）= 對連續(xù)型隨機(jī)變量，r階原點(diǎn)矩為:mr= e（xr）=

13、當(dāng)r=1時，m1= e（x1）= ，即一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望， 也就是算術(shù)平均數(shù)（均值）。 - 中心矩中心矩 隨機(jī)變量x對分布中心e（x）離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望 ex-e（x） r，稱為隨機(jī)變量x的r階中心矩，以 符號r表示，即: r = ex-e（x） r 對離散型隨機(jī)變量，r階中心矩為: r= ex-e（x） r= 對連續(xù)型隨機(jī)變量，r階中心矩為: r= ex-e（x） r= 當(dāng)r=2時，2 = ex-e（x） 2= 2 ，即二階中心 矩就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方（稱方差）。 重要的離散型概率分布重要的離散型概率分布 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x只取只取兩個值兩個值 和和 ， 并且已知并且已知 0 x 1 x

14、 pxxppxxp)(1)( 10 稱這種只取兩個值的分布為兩點(diǎn)分布。稱這種只取兩個值的分布為兩點(diǎn)分布。 特別：若特別：若 , 1, 0 10 xx 則稱這種分布為則稱這種分布為(0-1)(0-1)分布。其分布列為：分布。其分布列為： 0 1 x k ppp1 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 定義2、2、3 pqxpxe)var(,)( 在bernoulli試驗中,假設(shè)每次試驗成功的概率為p 那么,在n次試驗中,成功k次的概率為 ),;(pnkb knkk n ppc )1( 在第k次試驗中才成功的概率為 pppkg k 1 )1();( 在第k次試驗時恰好成功第r次的概率為 rkrr k ppcprkf

15、)1(),;( 1 1 二項分布二項分布 幾何分布幾何分布 負(fù)二項分布負(fù)二項分布 二項分布：在獨(dú)立試驗概型中，重復(fù)進(jìn)行二項分布：在獨(dú)立試驗概型中，重復(fù)進(jìn)行n次次 試驗時試驗時a發(fā)生發(fā)生k次的概率已知為：次的概率已知為： ), 1 , 0(,)1 (),(nkppcpknp knkk n y 如果用隨機(jī)變量如果用隨機(jī)變量 表示表示 發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 的的 可能取值為：可能取值為： 相應(yīng)的分布列為：相應(yīng)的分布列為： ya nk, 2 , 1 , 0 ), 1 , 0(,)1 ()(nkppckyp knkk n 容易驗證：容易驗證： 1)1 ()( 0 n n k ppkyp 這種分布

16、稱為二項分布，又稱這種分布稱為二項分布，又稱y y服從參數(shù)服從參數(shù) 為為 和和 的二項分布，記為：的二項分布，記為： ).,(pnbynp k , 2 , 1 k 如果如果a在在第第 次發(fā)生，則前次發(fā)生，則前 次次1k ) ,2, 1(,)1 ()( 1 kppkxp k 都是都是 發(fā)生，從而發(fā)生，從而 的概率為：的概率為：akx 稱稱 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的幾何分布。的幾何分布。p x 例例1 1 在事件在事件a 發(fā)生概率為發(fā)生概率為 的貝努利試驗的貝努利試驗 中，如果用中，如果用 表示事件表示事件a 首次首次發(fā)生時的試驗次發(fā)生時的試驗次 數(shù)，則數(shù)，則 為一隨機(jī)變量，可能的取值為：為一隨機(jī)

17、變量，可能的取值為： p x x 二項分布的性質(zhì)二項分布的性質(zhì) 0 kxp(1) 1)( 00 n n k knkk n n k qpqpckxp(2) 當(dāng)n=1時,x的可能取值只有0和1,可以用來描述只有 成功和失敗的試驗.此時稱x服從0-1 分布分布 ),(pnbx若則其分布函數(shù)為 )0( )( 0 0 xqpc kxpxxpxf x k knkk n x k 的圖象如右圖)(xf 02468101214161820 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 例例1.八門炮同時向某一個目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈八門炮同時向某一個目標(biāo)各射擊一發(fā)炮彈,有不有不 少

18、于兩發(fā)炮彈命中時少于兩發(fā)炮彈命中時,目標(biāo)被摧毀目標(biāo)被摧毀.假設(shè)每門炮是否假設(shè)每門炮是否 命中目標(biāo)相互獨(dú)立命中目標(biāo)相互獨(dú)立,且命中目標(biāo)的概率都是且命中目標(biāo)的概率都是0.6,求求: (1)命中目標(biāo)命中目標(biāo) 的炮彈數(shù)的概率分布的炮彈數(shù)的概率分布; (2)目標(biāo)被摧毀的概率目標(biāo)被摧毀的概率. 解:設(shè)x為命中的炮彈數(shù) 由于每門炮是否命中目標(biāo)相互獨(dú)立 且命中目標(biāo)的概率都是0.6 bernoulli試驗 (2) “目標(biāo)被摧毀”這一事件等價 于 2x 所以,目標(biāo)被摧毀的概率為 212xpxp 101xpxp 711 8 800 8 4 . 06 . 04 . 06 . 01cc=0.991 )6 . 0 , 8

19、( bx 8 ,2 , 1 ,0,4 . 06 . 0),;( 8 8 kcpnkbkxp kkk (1) 其概率分布為 所以 例例2.某車間有某車間有10臺耗電各為臺耗電各為7.5千瓦的機(jī)床千瓦的機(jī)床,每臺機(jī)床每臺機(jī)床 的工作情況相互獨(dú)立的工作情況相互獨(dú)立,且每臺機(jī)床平均每小時工作且每臺機(jī)床平均每小時工作12 分鐘分鐘,求求: (1) 某一時刻正在工作的機(jī)床數(shù)的概率分布某一時刻正在工作的機(jī)床數(shù)的概率分布 (2) 全部機(jī)床用電超過全部機(jī)床用電超過48千瓦的可能性有多大？千瓦的可能性有多大？ 解: 設(shè)某一時刻同時工作的機(jī)床數(shù)為x 每臺機(jī)床工作與否相互獨(dú)立,工作的概率為12/60=0.2 所以)2

20、 . 0 ,10( bx (1)同時工作的機(jī)床數(shù)的概率分布為 10,2 , 1 ,0,8 . 02 . 0),;( 10 10 kcpnkbkxp kkk (2) 48千瓦可供6臺機(jī)床同時工作 “用電超過48千瓦”等價于“有7臺或以上的 機(jī)床同時工作”其概率為: 10 7 107 k kxpxp 01010 10 199 10 288 10 377 10 8 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 08 . 02 . 0cccc =0.00086 二、幾何分布和負(fù)二項分布二、幾何分布和負(fù)二項分布 在bernoulli試驗中,每次試驗成功的概率為p,若 以x表示首次成功時的試驗次數(shù)

21、表示首次成功時的試驗次數(shù),則x的概率函數(shù)為 ,2 , 1,)1( 1 kppkxp k 我們稱具有上述特征的隨機(jī)變量服從參數(shù)為p 的幾何分布幾何分布 0 kxp 1 1 1)1( k k pp 顯然 如果以以y表示第表示第r次成功時的試驗次數(shù)次成功時的試驗次數(shù),則y的 概率分布為 , 1,)1( 1 1 rrkppckxp rkrr k 稱具有上述特征的隨機(jī)變量服從參數(shù)為r,p的負(fù)二負(fù)二 項分布。項分布。 0 kxp 1)1( 1 1 rk rkrr k ppc 泊松分布的應(yīng)用是相當(dāng)泊松分布的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，比如電信廣泛的，比如電信 傳呼臺每天接受到的傳呼次數(shù)，某繁華交叉街傳呼臺每天接受到的

22、傳呼次數(shù)，某繁華交叉街 口每小時經(jīng)過的車輛數(shù)等都服從口每小時經(jīng)過的車輛數(shù)等都服從泊松分布泊松分布 ，而，而 且由下面定理可以看到二項分布與泊松分布有且由下面定理可以看到二項分布與泊松分布有 著密切的聯(lián)系。著密切的聯(lián)系。 解解: : 依據(jù)分布列的性質(zhì)依據(jù)分布列的性質(zhì): 1 ! 0 ae k a k k 從而從而 . ea 這個分布稱為泊松這個分布稱為泊松(poisson)分布分布. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x的分布列為的分布列為： 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a . 0, 2 , 1 , 0, ! )( k k akxp k 0 k p且且 1 1 k k p 解得解得 泊松分布泊松分布 051015202

23、530 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 2 10 20 例例1 1 某種藥品的過敏反應(yīng)率為某種藥品的過敏反應(yīng)率為 ， 今有今有2000020000人使用此藥品，求人使用此藥品，求2000020000人中發(fā)生過人中發(fā)生過 敏反應(yīng)的人數(shù)不超過敏反應(yīng)的人數(shù)不超過3 3的概率。的概率。 0001. 0 解解 以以 表示表示2000020000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人 數(shù)，則數(shù)，則 服從二項分布服從二項分布 ，所，所 求的概率為：求的概率為： )0001. 0 ,20000(b x x 85713. 018064. 027068. 027067. 01

24、352. 0 )3 ,0001. 0 ,20000()2 ,0001. 0 ,20000( ) 1 ,0001. 0 ,20000()0 ,0001. 0 ,20000( )3()2() 1()0()3( pp pp xpxpxpxpxp 如果利用近似公式如果利用近似公式 )( ! )1(npe k ppc k knkk n 計算，可以得到：計算，可以得到： ，且，且20001. 020000 ) 3()2() 1()0() 3(xpxpxpxpxp 2 3 2 2 2 1 2 0 ! 3 2 ! 2 2 ! 1 2 ! 0 2 eeee 85712. 013534. 0 3 19 3 19

25、2 e 比較兩個結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。比較兩個結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。 例例3 3 某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.90.9， 求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)x的概率分布的概率分布. . 解：解： x 可能的取值為可能的取值為0 0、1 1、2 2 p(x =0)=(0.1)(0.1)=0.01 p(x =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 p(x =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 p(x =0)+ p(x =1)+ p(x =2)=1 例例4 4 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中

26、為止，已知他每發(fā)命中的概率是為止，已知他每發(fā)命中的概率是p p，求所需射求所需射 擊發(fā)數(shù)擊發(fā)數(shù)x的概率函數(shù)分布列的概率函數(shù)分布列. 解解: : 顯然，顯然，x 可能取的值是可能取的值是1,2,1,2, ， 于是于是 ppaapxp)1 ()() 2( 21 papxp)() 1( 1 設(shè)設(shè) = 第第 發(fā)命中發(fā)命中， ，k , 2 , 1k k a ppaaapxp 2 321 )1 ()() 3( 2xp0xp1xp2xp 6 0 ! 0 6 e 6 1 ! 1 6 e 6 2 ! 2 6 e =0.06197 查表查表(累積概率累積概率) 例例5.一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為一

27、輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為 6的的poisson分布，問一年中不多于兩次斷點(diǎn)的概率分布，問一年中不多于兩次斷點(diǎn)的概率. 解:設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為x )6( px則 所以,一年中不多于兩次斷電的概率為 二項分布的泊松二項分布的泊松(poisson)分布逼近分布逼近 knkk n qpcpnkbkxp ),;( ),(pnbx n很大時, 計算困難 定理定理 在n重bernoulli試驗中, apn表示事件用 在一次試驗中發(fā)生的概率, 它與n有關(guān). 常數(shù)），則時如果(, n npn e k ppcpnkb k knkk n nn ! )1(lim),;(lim 這個定理稱為這個定

28、理稱為poisson定理定理 結(jié)論:),(pnbx設(shè)大小適中而充分大如果npn, nppx參數(shù)為近似服從則),( 這個結(jié)論稱為二項分布的二項分布的poisson逼近逼近 一般當(dāng)p10 以上時,就可以使 用poisson逼近. ),08. 0 ,20(b)6 . 1(p 概率函數(shù)圖象 051015202530 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 )08. 0 ,20(b )6 . 1(p , 2 , 1,)1 ()( 1 kppkxp k 類似地，有類似地，有 這就是求所需射擊發(fā)數(shù)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)x的分布列的分布列. 這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及這一節(jié)，

29、我們介紹了離散型隨機(jī)變量及 其概率分布其概率分布. . 對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概 率函數(shù)率函數(shù), ,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. . 下一部分，將介紹重要的連續(xù)型隨機(jī)變量。下一部分，將介紹重要的連續(xù)型隨機(jī)變量。 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x取值在區(qū)間取值在區(qū)間 上，上， 并且取每一點(diǎn)的可能性是相同的，則稱并且取每一點(diǎn)的可能性是相同的，則稱x服從服從 區(qū)間區(qū)間 上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：),(baux ba, ba, 寫出它的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。寫出它的分布函數(shù)及概率密度函數(shù)。 2 2、4 4、

30、2 2 均勻分布均勻分布 定義定義2 2、4 4、2 2 , , 1 , , 0 )()( bx bxa ab ax ax xxpxf . , 0 , 1 )()( 其它其它 bxa ab xfxf 由幾何概率的定義容易得到由幾何概率的定義容易得到x x的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 從而概率密度為：從而概率密度為： 指數(shù)分布：若隨機(jī)變量指數(shù)分布：若隨機(jī)變量x具有概率密度具有概率密度 , 00 0 )( x xe xf x 0 則稱則稱x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布。 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如 元件的壽命元件的壽命. . 常簡記為：常簡記為

31、：.)(ex容易看出：容易看出： 0)(xf 0 1)(dxedxxf 且且 所以所以 確是一確是一概率密度。概率密度。)(xf 解解 (1)(1)由指數(shù)分布的定義可得由指數(shù)分布的定義可得 例例1 1 對服從參數(shù)為對服從參數(shù)為0.0150.015的指數(shù)分布的的指數(shù)分布的 變量變量x x, ,試計算試計算: : (1) (1)x x 取值大于取值大于100100的概率的概率; ; (2) (2)若要求若要求p p( (x x x x) 0.1,) 0.1,問問x x應(yīng)在什么范應(yīng)在什么范 圍內(nèi)圍內(nèi)? ? 223. 0015. 01 11001100 5 . 1 100 0 015. 0 100 e

32、dxe dxxfxpxp x 5 .153 015. 0 10ln 015. 0 1 . 0ln 1 . 0ln015. 0 , 1 . 0ln1 . 0015. 0 015. 0015. 0 xx edxe xx x (2) (2) 若要求若要求 即即, 1 . 0 xxp 指數(shù)分布經(jīng)常被用來近似描述各種指數(shù)分布經(jīng)常被用來近似描述各種“壽命壽命” 分布，如無線電元件的壽命，動物的壽命，電分布，如無線電元件的壽命，動物的壽命，電 話問題中的通話時間，傳呼臺首次傳呼來到的話問題中的通話時間，傳呼臺首次傳呼來到的 時刻，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都假定是時刻，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等都假定是 服

33、從指數(shù)分布的。服從指數(shù)分布的。 , , 0 21,2 10, )( 其其它它 xx xx xfx例例2 2設(shè)設(shè) x dttfxf)()( 求求 。)(xf 解解 由定義由定義 由于由于 是分段表是分段表 達(dá)的，求達(dá)的，求 時時 注意分段求注意分段求. . )(xf )(xf 2,1 21,2 10, 0,0 1 1 0 0 x xdtttdt xtdt x xf x x . 2, 1 21, 2 12 10, 2 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xf 即即 例例3 3 設(shè)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量x 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 1, 1 10, 0, 0 )( 2 x xx x xf

34、 求求x取值在區(qū)間取值在區(qū)間(0.3,0.7)(0.3,0.7) 的概率及概率密度。的概率及概率密度。 解解: : 4 . 03 . 07 . 0 3 . 07 . 07 . 03 . 0 22 ffxp )(xfxf 其其它它,0 10,2xx 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的處的 高度，并不反映高度，并不反映x取值的概率。取值的概率。 但是這個高但是這個高 度越大，則度越大，則x取取 附近的值的概率就越大。附近的值的概率就越大。 也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概 率集中在該點(diǎn)附近的程度。率集中在該點(diǎn)附近的程度。 )(x

35、fa a 正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分 布。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近布。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近 似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首 次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯 加以推廣，所以通常稱為高斯分布。加以推廣，所以通常稱為高斯分布。 在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如 零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成 男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)

36、量，小麥的 穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或 垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服 從正態(tài)分布。從正態(tài)分布。 (1)(1)正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn) 定義定義2 2、4 4、4 4 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的的概率密度為概率密度為 , 2 1 )( 2 2 2 )( x exfx 2 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， ，則稱，則稱0 x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。 2 ),( 2 nx 記作：記作： dxe x 2 2 2 )( 2 1 dxxf)(

37、 x t令 dtdx則 dxxf)( dte t 2 2 2 1 1 事實上 2 0 2 2 dte t 2 1 )()()2(fxf的最大值為 圖象越往右越大，的重心，決定參數(shù))()()3(xfxf 的取值越離散越大， 取值的離散程度，決定參數(shù) x x 2 2 ) 4( 易知正態(tài)分布的特點(diǎn)特點(diǎn) rxxfxf)()()1( 對稱關(guān)于直線即xxf)( 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的對稱的 鐘形曲線。特點(diǎn)是鐘形曲線。特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右兩頭小，中間大，左右 對稱對稱”。 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中 峰的陡峭程度。

38、峰的陡峭程度。 其分布函數(shù)是：其分布函數(shù)是： , 2 1 )( 2 2 2 )( dtexf x t x (2)(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 1, 0 的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x xex x , 2 1 )( 2 2 x x dxexxpx 2 2 2 1 )( )(x )(x 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般 的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布態(tài)分布. . ),( 2 nx) 1, 0( n x y , ,則則 設(shè)設(shè) 根據(jù)定理根據(jù)定理, ,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 定理定理2、4、1 制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率問題制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率問題。 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了 它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表。它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表。 dtex x t 2 2 2 1 )( )(1)(xx )()()(abbxap若若) 1, 0( nx ),( 2 nx若若 )( b y a p)(bxap