小學(xué)奧數(shù)-幾何五大模型(等高模型)

1、 模型一三角形等高模型 已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式： 三角形面積底高2 從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積. 如果三角形的底不變，高越大 （?。切蚊娣e也就越大（?。?； 如果三角形的高不變，底越大 （?。?，三角形面積也就越大（小）； 這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí) 1 發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的1，則三角形面積與原來(lái) 3 的一樣.這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同 時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的

2、情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀. 在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論： 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如圖Si :S2 a:b 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖Sa acd Sa BCD ； 反之，如果Saacd Sabcd，則可知直線 AB平行于CD 等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比. 【例1】 【

3、解析】 你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成：3個(gè)面積相等的三角形； 4個(gè)面積相等的三角形； 6個(gè)面積相等的三角形。 如下圖，D、E是BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)，答案不唯一： 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考: 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考: 【例2】 如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上。 求三角形ABC的面積是三角形 ABD面積的多少倍？ 求三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的多少倍? 【解析】 【例3】 【解析】 【鞏固】 因?yàn)槿切?ABD、三角形 ABC和三角形ADC在分別以BD、BC和DC為底時(shí)，它們的高都是從 A 點(diǎn)向BC邊上所作的垂

4、線，也就是說(shuō)三個(gè)三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面積 12高26高 三角形ABC的面積 （12 4）高28高 三角形ADC的面積 4高2 2高 4 所以，三角形 ABC的面積是三角形 ABD面積的-倍； 3 三角形ABD的面積是三角形 ADC面積的3倍。 如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面 積是平方厘米。 DC 圖中陰影部分的面積等于長(zhǎng)方形 ABCD面積的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。 （2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題）如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積 是平方厘米。 【解析】根據(jù)面積比例模型，可知圖

5、中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也 等于平行四邊形面積的一半，為50 2 25平方厘米。 【鞏固】如下圖，長(zhǎng)方形 AFEB和長(zhǎng)方形FDCE拼成了長(zhǎng)方形 ABCD，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是20，寬是12,則 它內(nèi)部陰影部分的面積是 。 B E C C 【解析】根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積的一半，為-20 12 120。 2 【例4】如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形 ABCD邊上的中點(diǎn)，H為AD 邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積。 【解析】 本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用。 連接BH、CH。 AE EB , -S

6、X AEHSX BEH 同理, 二S陰影 BFHSx CFH 2s長(zhǎng)方形ABCD ,SVCGH =SVDGH , 1 -5628（平方厘米） 2 【鞏固】 圖中的 分的面積是 E、F、G分別是正方形 ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是12，那么陰影部 O 【解析】把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的 方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了 3個(gè)邊就都被分成了相等的三段。把H和這些分點(diǎn)以及正 9個(gè)形狀各不相同的三角形。這9個(gè)三角形的底邊分別是 在正方形的3個(gè)邊上，它們的長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)的三分之一。陰影部分被分割成了 3個(gè)三角形，右的面積和第5個(gè)第6個(gè)三角形相等。 因此這3個(gè)陰影三角形的

7、面積分別是 ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部陰影的總面積就等 于正方形面積的三分之一。正方形的面積是144，陰影部分的面積就是 48。 【例5】 H為AD邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積 長(zhǎng)方形ABCD的面積為36 cm2，E、F、G為各邊中點(diǎn), 是多少？ 【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接BH、HC，如下圖: 可得: :S EHB S AHB、 2 S fhb S CHB、S DHG 2 1S S DHC ， 2 而 SABCD S AHB S CHB S CHD 36 即S EHB S BHFS DHG 1 (S, AHB S CHBS CHD ) 1 -36 18 ； 2 2

8、 而S EHBS BHFS DHG S陰影 S EBF ， S EBF BE BF 1 1 ( AB) i 1 (BC) 1 36 4.5 2 2 2 2 8 所以陰影部分的面積是： S陰影 18 Sebf 18 4.5 13.5 解法 二：特殊點(diǎn)法。找 H的特殊點(diǎn)，把H點(diǎn)與D點(diǎn)重合， O 【例6】 那么圖形就可變成右圖: 這樣陰影部分的面積就是DEF的面積, S陰影SabcdS AED S BEF S cfd 36 根據(jù)鳥頭定理, 1 11 36 - 2 22 則有: 1 丄 2 2 36 36 13.5。 長(zhǎng)方形ABCD的面積為 36，E、F、 多少？ G為各邊中點(diǎn), H為AD邊上任意一點(diǎn)

9、，問(wèn)陰影部分面積是 【解析】 【鞏固】 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法。由于 那么陰影部分的面積就是 AEF與 ADG的面積之和，而這兩個(gè)三角形的面積分別為長(zhǎng)方形ABCD 1 1 面積的-和-，所以陰影部分面積為長(zhǎng)方形 ABCD面積的 113 ，為36 3 -13.5。 84 848 8 （法2）尋找可利用的條件，連接 BH、 HC，如右上圖。 1 可得：S EHBS AHB、 S FHBS CHB、 S DHGS DHC ， 而 ABCD S AHB S CHBS CHD36， 2 2 2 即 S EHBS BHFS DHG 1 (S AHB S CHB 1 S CHD )36 18 ； 2 2

10、 1 1 ( 2 2 1 BC)36 4.5。 8 而 S EHB S BHF S DHG S陰影S EBF ,S 1 ebf BE BF 2 1 AB)(- 2 所以陰影部分的面積是： S陰影18 S EBF 18 4.5 13.5 。 H為AD邊上任意一點(diǎn)，找 H的特殊點(diǎn)，把H點(diǎn)與A點(diǎn)重合（如左上圖） 在邊長(zhǎng)為 6厘米的正方形 ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分, 分別與P點(diǎn)連接，求陰影部分面積。 （法1 ）特殊點(diǎn)法。由于 P是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè) 影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的 P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則陰

11、1 1 -和-，所以陰影部 46 【例7】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC，AD 面積的幾倍？ 12厘米，DE 3厘米.求三角形ABC的面積是三角形 EBC 【解析】 因?yàn)锳D垂直于BC,所以當(dāng)BC為三角形ABC和三角形EBC的底時(shí)，AD是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC的高， 于是：三角形 ABC的面積 BC 12 2 BC 6 三角形EBC的面積 BC 3 2 BC 1.5 所以三角形 ABC的面積是三角形 EBC的面積的4倍. 【例8】如圖，在平行四邊形 ABCD中，EF平行AC,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與VBEC等積的三角形一 共有哪幾個(gè)三角形？ 【解析】VAEC、VAF

12、C、VABF . 【鞏固】如圖，在 VABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié) BE、CE,那么與VABE等積的三角形一共 有哪幾個(gè)三角形？ 【解析】3 個(gè)，VAEC、VBED、VDEC . 【鞏固】如圖，在梯形 ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)? AD 【解析】 V ABD 與 V ACD , VABC 與 V DBC , VABO 與 V DCO . 【例9】 （第四屆”迎春杯”試題）如圖，三角形 ABC的面積為1，其中AE 3AB , BD 2BC，三角形BDE 的面積是多少？ 【解析】 連接 CE，: AE 3AB , 又 BD 2BC , S BDE BE

13、 2 AB , SvbCE2SVACB 2 Svbce 4Svabc 4 . 【例10】（2008年四中考題）如右圖，AD 的面積是平方厘米. DB , AE EF FC ,已知陰影部分面積為 5平方厘米, ABC 【解析】 連接CD 根據(jù)題意可知，DEF的面積為 DAC面積的-,DAC的面積為 ABC面積的-，所 3 2 111 以 DEF的面積為 ABC面積的-.而 DEF的面積為5平方厘米，所以ABC的面積為 2 36 1 530 （平方厘米） 6 AD的長(zhǎng)是 AE長(zhǎng)的3倍，EF的長(zhǎng)是BF 【鞏固】圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn), 長(zhǎng)的3倍.那么三角形 AEF的面

14、積是多少平方厘米？ 【解析】 D VABD , VABC等高，所以面積的比為底的比，有 S/ABDBD1 過(guò)A作BD的平行線，與 CB的延長(zhǎng)線交于 A 【例18】 （第三屆華杯賽”初賽試題） 面積的15%，黃色三角形面積是 連接A D，則VA CD與四邊形ABCD等積. 一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形 2 21cm .問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高相加為長(zhǎng)方形的寬，所以黃色三角形與綠 色三角形的面積和為長(zhǎng)方形面積的50%，而綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%，所以黃色三角形 2 60 ( cm ). 面積占

15、長(zhǎng)方形面積的 50% 15% 35% . 已知黃色三角形面積是 21cm2，所以長(zhǎng)方形面積等于 21 35% 【例19】 O是長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，已知 OBC的面積是5cm2 , 積是多少？ OAB的面積是 2 _ , 2cm，求 OBD的面 【解析】 由于ABCD是長(zhǎng)方形，所以Saod Sboc *abcd，而Sabd 則S BOC S OAB S OBD , 所以S OBD S BOC S OAB 1 -SabCD，所以 2 5 2 3cm2. S AOD S BOC S ABD , 【例20】 PBD的面積為8平方 如右圖，過(guò)平行四邊形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)P作邊的平行線 EF、GH，若

16、分米，求平行四邊形 PHCF的面積比平行四邊形 PGAE的面積大多少平方分米? 【解析】 根據(jù)差不變?cè)恚笃叫兴倪呅蜳HCF的面積與平行四邊形 PGAE的面積差，相當(dāng)于求平行四邊 形BCFE的面積與平行四邊形 ABHG的面積差. 如右上圖，連接CP、AP . 由于 S bcp S ADP S ABP S bdp 1 、 S ADP，所以s BCP S ABP S 2 BDP 1 而 S BCP SbcFE , 2 S ABPSabHG , 2 所以 SBCFESABHG2 S BCP S ABP 2S BDP 16 (平方分米). 【例21】如右圖，正方形 ABCD的面積是20 , 求陰影

17、 BPD的面積. 【解析】 連接AC交BD于0點(diǎn)，并連接P0.如下圖所示, 可得PO/DC，所以 S bpo S cpo S bpo 、 1 因?yàn)閟Sabcd 4 DPO與 CPO面積相等（同底等高），所以有: S PDO 1 4 S bpd , 205，所以 S bpd 15 510 . 【鞏固】 5，求陰影 BPD的面積. 【解析】 連接AC交BD于0點(diǎn), 可得PO/DC，所以 S bpo S cpo S bpo 、 1 因?yàn)閟Sabcd 4 并連接P0.如右上圖所示， DPO與 CPO面積相等（同底等高），所以有： S PDO S BPD , 3，所以 Sbpd 532 . 【例22】在

18、長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)0,形成等腰 AOB的面積為16，等腰 DOC的面積占長(zhǎng)方形面積 的18%，那么陰影 AOC的面積是多少？ 【解析】先算出長(zhǎng)方形面積，再用其一半減去 可求出 AOC的面積. DOC的面積（長(zhǎng)方形面積的 18%），再減去 AOD的面積，即 1 根據(jù)模型可知 S cod S aob Sabcd , 2 又AOD與BOC的面積相等，它們的面積和等于長(zhǎng)方形面積的一半, 1 所以 Sabcd 16(18%) 2 50， 所以 AOD的面積等于長(zhǎng)方 1 形面積的丄, 4 1 所以 S AOC S acd S aod S COD Sabcd 25%Sabcd 18%Sabcd 25

19、12.5 9 2 3.5 【例23】（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形 分別是其兩腰 AB、CD的中點(diǎn)，G是EF上的任意一點(diǎn)，已知 ADG的面積為 面積恰好是梯形 ABCD面積的，則梯形ABCD的面積是 20 ABCD 中，E、F 2 一 15cm ,而 BCG 的 2 cm 【解析】如果可以求出 ABG與 CDG的面積之和與梯形 ABCD面積的比，那么就可以知道ADG的面積占 梯形ABCD面積的多少，從而可以求出梯形ABCD的面積. 如圖，連接CE、DE 則S AEG S DEG , S BEG S CEG , 是 S ABG S CDG S CDE 要求

20、 CDE與梯形ABCD的面積之比，可以把梯形 ABCD繞F點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，變成一個(gè)平行四邊形.如 下圖所示： 1 半.（也可以根據(jù) 2 111 S AED S AFD S ADC , S BEC S AED S ABC S ADC 222 1 Sabcd 得來(lái)） 2 那么，根據(jù)題意可知ADG的面積占梯形 ABCD面積的 173 2 2）20，所以梯形ABCD的面積是 32 15100cm 20 小結(jié)：梯形一條腰的兩個(gè)端點(diǎn)與另一條腰的中點(diǎn)連接而成的三角形，其面積等于梯形面積的一半， 這是一個(gè)很有用的結(jié)論. 本題中，如果知道這一結(jié)論，直接采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)G與E重合，則CDE 的面積占梯形面積的一半

21、，那么ADG與BCG合起來(lái)占一半. 【例24】如圖所示，四邊形 ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等. FF 【解析】本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等 高的平行四邊形面積的一半. 證明：連接BE .（我們通過(guò) ABE把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起.） 1 在平行四邊形 ABCD中，Sa abe - AB AB邊上的高, 2 1 ABE SwABCD . 2 冋理，Sa abe 1 -Syaegf ,平行四邊形ABCD與AEGF面積相等. 2 E 【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBGF的長(zhǎng)B

22、G為10厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米? E A B A B F F C C G 本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等 （長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平 ) ) H H A A E E G G B B C D C A B A B 三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積 EFGH的面積是三角形 DEF面積的二倍 如圖，正方形 ABCD DU 連接DE，DF，則長(zhǎng)方形 的邊長(zhǎng)為6，AE 1.5，CF 2.長(zhǎng)方形EFGH的面積為 F C F C Sa def 6 6 1.5 6 22 6 24.5 42 16.5 ,所以長(zhǎng)方形 EFGH 面積為 33 Sefgb .

23、2 正方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGB面積相等.長(zhǎng)方形的寬8 8 10 6.4（厘米） 冋理，Sa ABG 行四邊形）三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半. 證明：連接 AG .（我們通過(guò) ABG把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起 1 在正方形ABCD中，Saabg AB AB邊上的高， 2 SA ABG1弘BCD （三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的 2 如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC,如果VADE的面積為4平方厘米.求三角形 CDF 面積. D 【解析】 【例25】 【解析】 【例26】 的 E E 【解析】 連結(jié)AF、CE. -SvADESvACE ； SvCD

24、FSvACF ； 又VAC與EF平行， Sv ACESvACF . SvadeSvcdf4 （平方厘米）. 【鞏固】 如右圖，在平行四邊形 的面積. ABCD中，直線CF交AB于E，交DA延長(zhǎng)線于F，若Sa ade 1，求 BEF 【解析】 【例27】 【例28】 本題主要是讓學(xué)生并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等 相等）和等量代換的思想連接AC . TAB /CD ，ade ace 同理AD / BC ,. Sacf Saabf 又Sa ACFSa ACESa AEF ,ABF 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是 【解析】 如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn) 厘米，求陰影部分的面積. Sa BEFSa AE

25、F , （或夾在一組平行線之間的三角形面積 - Sa aceSa bef , 即Sa BEFSa ade1 . 6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米. D、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長(zhǎng)為10 P K P K 【解析】對(duì)于這種幾個(gè)正方形并排放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對(duì)角線，連得的這些對(duì)角 線互相都是平行的, 如右圖所示，連接 得 S DGE S 方厘米. BGE , 從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化. FK、GE、BD，則BD/GE/FK，根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可 Skge Sfge，所以陰影部分的面積就等于正方形GFE

26、B的面積，即為102 100平 【鞏固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是 4厘米，求三角形 ABC的面積. 【解析】 這道題似乎缺少大正方形的邊長(zhǎng)這個(gè)條件，實(shí)際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長(zhǎng)沒(méi)關(guān)系連接 AD（見右上圖），可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長(zhǎng)，高都等于大正 方形的邊長(zhǎng)，所以面積相等因?yàn)槿切蜛GD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉 這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABG與三角形GCD面積仍然相等.根 據(jù)等量代換，求三角形 ABC的面積等于求三角形 BCD的面積，等于4 4 2 8. 【鞏固】 （2008年西

27、城實(shí)驗(yàn)考題）如圖，ABCD與AEFG均為正方形，三角形 ABH的面積為6平方厘米，圖 中陰影部分的面積為 【解析】 【鞏固】 【解析】 如圖，連接AF ,比較 別相等，所以 ABF與 正方形ABCD和正方形 ABF與 ADF，由于 AB AD , FG FE，即 ABF與ADF的底與高分 ADF的面積相等，那么陰影部分面積與 ABH的面積相等，為6平方厘米. 則圖中陰影面積為多少平方厘米? F CEFG ,且正方形 方法一：三角形 BEF的面積 BE EF 2 , 梯形EFDC的面積 （EF CD） CE 2 而四邊形CEFH是它們的公共部分，所以， BE EF 三角形 2三角形BEF的面積，

28、 DHF的面積 三角形BCH的面積, 進(jìn)而可得，陰影面積三角形BDF的面積 三角形BCD的面積 10 10 2 50（平方厘 米） 方法二：連接 CF，那么CF平行BD , 所以，陰影面積三角形BDF的面積 三角形BCD的面積 50（平方厘米） 【鞏固】（人大附中考題）已知正方形 ABCD邊長(zhǎng)為10,正方形BEFG邊長(zhǎng)為6,求陰影部分的面積. 【解析】如果注意到DF為一個(gè)正方形的對(duì)角線 （或者說(shuō)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊），那么容易想到 DF與 CI是平行的所以可以連接 CI、CF，如上圖. 1 由于DF與CI平行，所以 DFI的面積與 DFC的面積相等而 DFC的面積為10 4 -20，所 2

29、 以DFI的面積也為20. 【例29】（2008年”華杯賽”決賽）右圖中，ABCD和CGEF是兩個(gè)正方形，AG和CF相交于H ,已知CH 等于CF的三分之一，三角形 CHG的面積等于6平方厘米，求五邊形 ABGEF的面積. 【解析】連接AC、GF，由于AC與GF平行，可知四邊形 ACGF構(gòu)成一個(gè)梯形. 1 由于 HCG面積為6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的-，根據(jù)梯形蝴蝶 2 定理或相似三角形性質(zhì)，可知 FHG的面積為12平方厘米，AHF的面積為6平方厘米，AHC的 面積為3平方厘米. 那么正方形CGEF的面積為 6 12 2 36平方厘米，所以其邊長(zhǎng)為 6厘米. 又A

30、FC的面積為6 3 9平方厘米，所以 AD 9 2 6 3（厘米），即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3厘 2 1 米.那么，五邊形 ABGEF的面積為：36 9 3 - 49.5（平方厘米）. 2 【例30】（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、F分別是梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的 點(diǎn)，DF FC,并且甲、乙、丙3個(gè)三角形面積相等.已知梯形 ABCD的面積是32平方厘米.求圖 中陰影部分的面積. 【解析】因?yàn)橐?、丙兩個(gè)三角形面積相等，底DF FC .所以A到CD的距離與E到CD的距離相等，即 AE 1 與CD平行，四邊形 ADCE是平行四邊形，陰影部分的面積平行四邊形 ADCE的面積的-

31、，所以 2 陰影部分的面積乙的面積 2 .設(shè)甲、乙、丙的面積分別為 1份，則陰影面積為 2份，梯形的面積 為5份，從而陰影部分的面積32 5 2 12.8（平方厘米）. 【例31】如圖，已知長(zhǎng)方形 ADEF的面積16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么 三角形ABC的面積是多少？ 【解析】方法一：連接對(duì)角線 AE ADEF是長(zhǎng)方形 【例32】 -S ADE S aef Sxadef 2 DB S adb 3 FC S ACF 1 DE S ADE 8 EF S AEF 2 BE DE DI B 5 CE FE CF 1 DE DE 8， EF EF 2 -S bec 1 5

32、1 5 16 - 2 8 2 2 13 -S ABC Sxadef s ADBS ACF S c :BE 2 方法二 :連接 BF ，由圖知 Sa abf 1 6 2 aaef面積 的 一半，所以 C 是EF SA ABC 16 3 4 2.56.5 8，所以 S BEF 的 1 中點(diǎn)，因 16 BCE 5，又由Sa ACF4，恰好是 Sabcf 5 22.5，所以 如圖，在平行四邊形 ABCD 中, BE EC, CF 2FD .求陰影面積與空白面積的比. 【解析】方法一：因?yàn)锽E EC , CF 2FD ，所以Saabe Sg邊形 ABCD ,Sa ADF 4 X Sa bfd y則有X

33、1 y , 2x y 2 2 ,設(shè) Sa bed X 3 解得，所以Sa ACF : SACFB(2 2)：(4 3 1) 1:2 y 4 方法三：過(guò)F點(diǎn)作FG /BC交AE于G點(diǎn)，由相似得CD : DF ED :DG 1:1,又因?yàn)锳D 2DE，所 以AG:GE AF: FB 1:2，所以兩塊田地 ACF和CFB的面積比 AF : FB 1:2 【例39】（2008年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)2試）如圖, 成9個(gè)面積相等的小三角形，那么DI BC 45, AC 21, ABC被分 FK 【解析】由題意可知，BD : BC S BAD : S abc 2:9 ,所以 BD |BC 1

34、0 ,CD BC BD 35 ;又 DI : DC S dif : S dfc 2:5,所以 DI -DC 14 5 同樣分 析可得FK 10 DI FK 14 10 24. 【鞏固】（2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題）如圖，在角 并且 OAB、 ABC、 BCD、 CDE、 MON的兩邊上分別有 A、 DEF的面積都等于1，則 C、E 及 B、D、 DCF的面積等于 F六個(gè)點(diǎn), 【解析】 【例40】 根據(jù)題意可知，OD：DF Soed：Sdef 4:1，所以 DF 11 OD , S DCF S OCD 44 【解析】 AE M分別為直角梯形 ABCD兩邊上的點(diǎn)，且 EB 3 求陰影部分的面積.

35、 5, DQ、 CP、ME彼此平行，若 AD 5 , BC 7 , 連接CE、DE 由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四邊形 CDQP是梯形，且ME與該梯形的兩個(gè)底平行，那么三 角形QME與DEM、三角形PME與CEM的面積分別相等， 所以三角形PQM的面積與三角形 CDE 的面積相等而三角形 CDE的面積根據(jù)已知條件很容易求出來(lái). 由于ABCD為直角梯形，且 AD 5 , BC 7 , AE 5 , EB 3，所以三角形CDE的面積的面積為： 111 57 535 53 725 .所以三角形PQM的面積為25 【例41】 （2007年人大附中分班考試題 的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為 222

36、 ）已知ABC為等邊三角形，面積為 400, D、E、F分別為三邊 143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形HBC） 【解析】 【例42】 因?yàn)镈、E、F分別為三邊的中點(diǎn), 邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形 根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有 Sabc SW SAMHN 所以 DE、DF、EF是三角形ABC的中位線，也就與對(duì)應(yīng)的 ABN和三角形AMC的面積都等于三角形 ABC的一半，即為200. 為s ABN S AMC Samhn，即 400 S丙 200200 Samhn，所以 又 S陰影S ADF SSAMHN，所以 S陰影S甲S乙S丙 S ADF 143 1 -40043. 4 （2009年四中入

37、學(xué)測(cè)試題）如圖，已知CD 5 , DE 7 , EF 成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是 65,那么三角形 15 , ADG FG 6，線段AB將圖形分 的面積是. G G 根據(jù)題意可知， CF 5 7 15 27 ； DG 7 15 6 28 ； 15 12 21 所以， S BEF S CBF , S 27 BEC S 27 CBF , S AEG 28 S ADG 21 15 7 12 于是： S ADGS CBF 65; S ADG S CBF 38; 28 27 28 27 可得S ADG 40 故三角形 ADG的面積是 40. 連接AF , BD . ,S AEDS AD

38、G , 28 【解析】 【鞏固】 (第四屆希望杯)如圖，點(diǎn)D、E、F在線段CG上，已知CD FG 4厘米，AB將整個(gè)圖形分成上下兩部分， 方厘米，則三角形 ADG的面積是多少平方厘米？ 下邊部分面積是 2厘米，DE 67平方厘米, 8厘米，EF 20厘米， 上邊部分面積是166平 【解析】 B 連接AF設(shè) AFG的面積是x ,由于FE：FG： ED 20： 4： 8 5：1：2所以 AFE的面積是5x、 【鞏固】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為12,陰影部分的面積為 60,那么四邊形EFGH的面積是 AED的面積是2x由于上半部分的面積是166平方厘米所以 FEB的面積是 ( 166 5x x 166 6

39、x)平方厘米，因?yàn)橄掳氩糠值拿娣e是67平方厘米所以AEBC的面積是 (67 2x)平方厘米，因?yàn)镕E是EC的2倍所以可以列方程為：166 6x 2 ( 67 2x )解得x 16 , ADG的面積為x 5x 2x 8x 8 16 128平方厘米. 10,四邊形EFGH的面積為 5,那么陰影部分的面積 【例43】(2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為 是. 【解析】如圖所示，設(shè) AD上的兩個(gè)點(diǎn)分別為 M、N .連接CN . 根據(jù)面積比例模型，CMF與 CNF的面積是相等的，那么 CMF與 BNF的面積之和，等于 CNF 與 BNF的面積之和，即等于BCN的面積.而 BCN的面積為正方形 AB

40、CD面積的一半，為 2 1 10-50. 2 又 CMF與BNF的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形EFGH的面積，所以陰影 部分的面積為：50 5 240. 【解析】如圖所示，設(shè) AD上的兩個(gè)點(diǎn)分別為 M、N .連接CN . 根據(jù)面積比例模型，CMF與 CNF的面積是相等的，那么 CMF與 BNF的面積之和，等于 CNF 與 BNF的面積之和，即等于BCN的面積.而BCN的面積為正方形 ABCD面積的一半，為 122 -72 . 2 又 CMF與BNF的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)四邊形EFGH的面積，所以四邊 形EFGH的面積為： 726026 . 【例44】（20

41、08年走美六年級(jí)初賽）如圖所示，長(zhǎng)方形 ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70, AB 8 , AD 15，四邊形EFGO的面積為 . 【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形 EFGO的面積之和，以及三角形 AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形 EFGO的面積. 由于長(zhǎng)方形 ABCD的面積為15 8 120，所以三角形BOC的面積為 1 120 30 ,所以三角形 AOE和 4 3 DOG的面積之和為12070 20 ; 4 1 又三角形 AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120- 2 30,所以四邊形EFGO的面積 為 30 20 10. 另解：從整體

42、上來(lái)看，四邊形EFGO的面積 三角形AFC面積 而三角形AFC面積 三角形BFD面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即 積減去陰影部分的面積，即 120 70 50,所以四邊形的面積為 三角形BFD面積 白色部分的面積, 60,白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面 60 50 10 . 【鞏固】（2008年”華杯賽”初賽）如圖所示，矩形ABCD的面積為24平方厘米.三角形ADM與三角形BCN 的面積之和為7.8平方厘米，則四邊形 PMON的面積是 平方厘米. 【解析】因?yàn)槿切蜛DO與三角形BCO的面積之和是矩形 ABCD的面積的一半，即12平方厘米，又三角形 ADM與三角形BCN的面積之和為7.8平方厘米，則三角

43、形AMO與三角形BNO的面積之和是4.2平 方厘米，則四邊形PMON的面積 三角形ABP面積 三角形AMO與三角形BNO的面積之和 三角 形ABO面積 12 4.2 6 1.8（平方厘米） 【鞏固】如圖所示，矩形 ABCD的面積為36平方厘米，四邊形 PMON的面積是3平方厘米，則陰影部分的 面積是平方厘米. 【解析】因?yàn)槿切蜛BP面積為矩形 ABCD的面積的一半，即18平方厘米，三角形 ABO面積為矩形 ABCD 的面積的丄，即9平方厘米，又四邊形PMON的面積為3平方厘米，所以三角形AMO與三角形BNO 4 的面積之和是18 9 3 6平方厘米. 又三角形ADO與三角形BCO的面積之和是

44、矩形 ABCD的面積的一半，即18平方厘米，所以陰影部 分面積為18 6 12（平方厘米） 【鞏固】（2008年清華附中考題）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD的面積是36, E是AD的三等分點(diǎn)，AE 2ED，則陰 影部分的面積為. 【解析】如圖，連接OE . 根據(jù)蝴蝶定理，ON : ND Scoe：Scde _ S CAE : S CDE 1：1，所以 S OEN 1S S OED , 2 2 OM : MA 1 S BOE : S BAE s BDE : S BAE 1 1： 4，所以 S OEM S OEA 2 5 又 S oed 1 1 S目形ABCD3 , s OEA 2S OED 6，所以陰影

45、部分面積為： 1 1 362.7 3 4 25 【例45】（清華附中分班考試題）如圖，如果長(zhǎng)方形 ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面 積是多少平方厘米？ 【解析】如圖，過(guò)M、N、P、Q分別作長(zhǎng)方形 ABCD的各邊的平行線.易知交成中間的陰影正方形的邊長(zhǎng) 為3厘米，面積等于9平方厘米.設(shè) MQD、 NAM、 PBN、QCP的面積之和為 S，四邊形MNPQ 的面積等于x，則：；J，解得x 32.5（平方厘米）. 【例46】（2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽 ）如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為 10cm的正方形，則陰影部分四邊形的面積是cm2 . 【解析】 【鞏

46、固】 【解析】 Z r P M 21 如圖所示，分別過(guò)陰影四邊形 知長(zhǎng)方形MNPQ的面積為4 從圖中可以看出，原圖中四個(gè)空白三角形的面積之和的 2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG 四個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，等于正方形 ABCD的面積加上長(zhǎng)方形 MNPQ的面積，為10 10 4 104平 方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和為 EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長(zhǎng)方形MNPQ，易 1 4平方厘米. 104 2 52平方厘米，那么陰影四邊形 EFGH的面積為 100 52 48平方厘米. 如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長(zhǎng)為 厘米？ 12厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積

47、是多少平方 如圖所示，分別過(guò)陰影四邊形 Z K r p M / EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長(zhǎng)方形MNPQ，易 知長(zhǎng)方形MNPQ的面積為4 從圖中可以看出， 四個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，等于正方形 2 8平方厘米. 原圖中四個(gè)空白三角形的面積之和的2倍，等于AENH、BFME ABCD的面積加上長(zhǎng)方形 MNPQ的面積，為 152 2 76平方厘米，那么陰影四邊形 、CGQF 、 DHPG 12 12 8 152平 方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和為 144 76 68平方厘米. EFGH的面積為 【鞏固】已知正方形的邊長(zhǎng)為 10, EC 3 , BF 2，則S四邊形abcd B

48、 F B F 【解析】 如圖，作BM AE于M , CN BM于N . 則四邊形ABCD分為4個(gè)直角三角形和中間的一個(gè)長(zhǎng)方形，其中的4個(gè)直角三角形分別與四邊形 ABCD周圍的4個(gè)三角形相等，所以它們的面積和相等， 而中間的小長(zhǎng)方形的面積為 3 2 6，所以 S四邊形ABCD 10 10 3 2 3 253 【例47】 如圖，三角形AEF的面積是17, DE、BF的長(zhǎng)度分別為11、3.求長(zhǎng)方形 ABCD的面積. 【解析】 如圖，過(guò)F作FH / AB，過(guò)E作EG / AD , FH、EG交于M，連接AM . 則S矩形ABCDS矩形AGMHS矩形GBFM S矩形MFCES矩形HMED AG AH 2

49、S amf 2S emf 2S ame DE BF 2S aef 11 3 2 17 67 另解：設(shè)三角形 ADE、CEF、ABF的面積之和為s，則正方形 ABCD的面積為s 17 . 從圖中可以看出，三角形 ADE、CEF、ABF的面積之和的2倍，等于正方形 ABCD的面積與長(zhǎng)方 形AGMH的面積之和，即2s s 1711 3，得s 50，所以正方形ABCD的面積為50 17 67 . 【例48】（2008年第二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD中，AB 67 , BC 30 . E、F分別是AB、BC邊上的兩點(diǎn)， BE BF 49 .那么，三角形 DEF面積的最小值

50、 是. 【解析】由于長(zhǎng)方形ABCD的面積是一定的，要使三角形DEF面積最小，就必須使 ADE、 BEF、 CDF 的面積之和最大. 由于 ADE、 BEF、 CDF都是直角三角形，可以分別過(guò) E、F作AD、CD的平行線，可構(gòu)成三 個(gè)矩形 ADME、CDNF和BEOF，如圖所示. 容易知道這三個(gè)矩形的面積之和等于ADE、 BEF、 CDF的面積之和的2倍，而這三個(gè)矩形的面 積之和又等于長(zhǎng)方形 ABCD的面積加上長(zhǎng)方形 MDNO的面積.所以為使 ADE、 BEF、 CDF的 面積之和最大，只需使長(zhǎng)方形MDNO的面積最大. 長(zhǎng)方形MDNO的面積等于其長(zhǎng)與寬的積，而其長(zhǎng) DM AE，寬DN CF ,由

51、題知 AE CF AB BC BE BF 6730 4948，根據(jù)”兩個(gè)數(shù)的和一定，差越小，積越大”， 所以當(dāng)AE與CF的差為0，即AE與CF相等時(shí)它們的積最大， 此時(shí)長(zhǎng)方形MDNO的面積也最大，所 以此時(shí)三角形DEF面積最小. 當(dāng)AE與CF相等時(shí)，AE CF 48 224，此時(shí)三角形 DEF的面積為： 1 67 3067 3024 242717 .（也可根據(jù) 67 3067 24 30 24 43 6717 得到三角 形DEF的面積） 【例49】（2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試）ABCD是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示，P是內(nèi)部任意 一點(diǎn)，BL DM 4、BK DN 5，那么陰影部分的面積

52、是 【解析】 （法1）特殊點(diǎn)法由于 P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，不妨設(shè) P點(diǎn)與A點(diǎn)重合（如上中圖），那么陰影部分就是 AMN和 ALK .而 AMN的面積為（12 5) 4 214 , ALK的面積為（12 4） 5 220，所以 Spbk）申豺2 S4號(hào)） 陰影面積 S dnm Sblk 1 4 510 ; 2 陰影部分的面積為14 20 34. （法2）尋找可以利用的條件，連接AP、BP、CP、DP可得右上圖所示: 112 則有：S PDC S pabSabcd12 72 22 冋理可得：S PAD S PBC 72 ； 1 而 S PDM : S PDC DM : DC 4:121:3 ,即 Sp

53、dm - S pdc ; 3 同理： S PBL S PAB , S PND S PDA , S PBK 5 S S PBC ; 3 12 12 所以： (S PDM S PBL ) (S PND S PBK)(S PDCS PAB) 5 (S PDA S PBC ) 3 12 而(S (S dnm (S PND PDM S pbl) S BLK )； 1 5 S PNM S PLK (S PDC 3 S pab) 12 (S PDAS PBC ) (S DNM 1 5 即為： 72 72 10 2 24 30 2034. 3 12 所以陰影部分的面積是: S BLK ) 【例50】如圖所示，

54、在四邊形 邊形PQRS的面積之比. ABCD 中, E , F , G , H分別是ABCD各邊的中點(diǎn)，求陰影部分與四 【解析】 Sl , S BGC S DHC 1 1 1 1 連接 BD知S S ABD ,s S ABD , S1 S ABD ,S2 S BCD ； 2 2 2 2 所以 S S2 1 S S ABD S BCD Sabcd ； 2 2 同理 S S4 Sabcd 于是 S1S2S3 因此四塊陰影 的面積和就等于四邊形 PQRS的面積. （法2）特殊值法（只用于填空題、選擇題），將四邊形畫成正方形，很容易得到結(jié)果. 【鞏固】（2008年”希望杯”二試六年級(jí)）如圖，E、F、G

55、、H分別是四邊形 ABCD各邊的中點(diǎn)，F(xiàn)G與FH 交于點(diǎn)O , Si、S2、S3及S4分別表示四個(gè)小四邊形的面積.試比較 S S3與S2 S4的大小. CC 【解析】如右圖，連接AO、BO、CO、DO，則可判斷出，每條邊與 O點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都被分為面積相 等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于Si S3、S2 S4這兩個(gè)不同的組合，所以可知 Si S3 S2 S4 . 3: 2:1 , AD:BC 1:2，已知 【例 51】如圖，四邊形 ABCD 中，DE:EF:FC 3:2:1 , BG:GH:AH 四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形EFHG的面積 . 【解析】運(yùn)用三角形面積與底和高

56、的關(guān)系解題. DE:EF:FC 3:2:1 ,BG: GH : AH 3:2:1，所以, 在ABC中, S BCG S ABC , 2 在ACD中, S aed 1S S ACD , 2 在AEG中, S aeh 1S S HEG , 2 在CEG中, S CFG S EFG . 2 因?yàn)镾 BCG S AED 111 SABCSACDS ABC SACD 222 1 2 Sabcd2S bcg , 所以Sagce SaBCD S bcg S aed422 . 又因?yàn)镾agce S AEH 1 S HEG S CFGS EFG S HEG 2 1 S HEG S EFG S EFG 2 連接A

57、C、AE、GC、GE，因?yàn)?3 S S HEG 2 3 所以 Sefgh2 3 2 S 3S S EFGSefGH , 2 【拓展】如圖，對(duì)于任意四邊形ABCD，通過(guò)各邊三等分點(diǎn)的相應(yīng)連線，得到中間四邊形 EFGH的面積是四邊形 ABCD的幾分之幾？ EFGH，求四邊形 B 【解析】分層次來(lái)考慮: B B 如下左圖, Sbmd Sabd 2 ,Sbpd 3 Scbd 所以Smbpd (Sabd Scbd) Sabcd 3 2 3 . 又因?yàn)镾dom SpoM : ,SmnpSbnp , 所以Smnpo Smbpd S1 Smnpo 2 1 Sabcd Sabcd . 2 3 3 2 3 2 嚴(yán);所以 MJ：BD 1：2 ； 1 1 1 1 Smnpo Sabcd Sabcd 3 3 3 9 1 如右上圖，已知 MJ -BD , OK 3 所以ME:EO 1:2，即E是三等分點(diǎn); 同理，可知F、G、H都是三等分點(diǎn); 所以再次應(yīng)用的結(jié)論，可知，Sefgh 【例52】（2008年日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克大賽決賽 ）有正三角形 ABC，在