三角形一邊的平行線知識(shí)講解

1、三角形一邊的平行線知識(shí)講解 責(zé)編：常春芳 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論；判定定理及推論；以及平行線分線段成比例定理的推 導(dǎo)與應(yīng)用； 2、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題； 3、 經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過(guò)程，初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分 類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論 1性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例 2. 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊 對(duì)應(yīng)成比例. 要點(diǎn)詮釋： (1) 主要的基

2、本圖形：分 A型和X型; A型 (2)常用的比例式: DB EC AB AE DB AC AB EC AC 3. 三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心 要點(diǎn)詮釋： (1)重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍 2)重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn). 要點(diǎn)二、三角形一邊的平行線判定定理及推論 1. 判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的 第三邊. 2. 推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線(這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè))所得的對(duì)應(yīng)線段 成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 要點(diǎn)詮釋： 判斷平行線的

3、條件中，只能是被截的兩條直線的對(duì)應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與 作比例). 要點(diǎn)三、平行線分線段成比例定理 1.性質(zhì)定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例 2 .平行線等分線段定理： 兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等， 么在另一條直線上截得的線段也相等. 要點(diǎn)詮釋: (1 )平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例; (2) 平行線分線段成比例沒(méi)有逆定理； (3) 由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒(méi)有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算 問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化到“A “ X型中. 【典型例題】 類型一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理 1

4、.如圖已知直線.；截厶ABC三邊所在的直線分別于 E F、D三點(diǎn)且AD=BE. 【答案與解析】 過(guò)D作DK / AB交EC于K點(diǎn). EF EB CA 膽 貝 y 二二 又 AD=BE 舉一反三 【變式】如圖，在ABC, DG/ EC, EG BC求證：AE2 AB AD AG AC AG AC， 【答案】 DG/ EC/.一 AE AE / EG/ BC/- AB AD AE AE AB， 即 AE2 AB AD . 2已知， ABC中，G是三角形的重心，AG丄GC, AG=3, GC=4,求BG的長(zhǎng). BC 【答案與解析】延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D , / G是三角形的重心， 點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)

5、， 又T AG丄 GC, AG=3, GC=4, AC=5,即卩 DG=, / BG:GD=2:1. BG=5. BC 【總結(jié)升華】 三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍 類型二、三角形一邊的平行線判定定理 3如圖，AM是厶ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交 AC、AB于E、D兩點(diǎn)求 證：DE/ BC. 【答案與解析】 延長(zhǎng)AM到H,使HM=MP，連接BH、CH / BM=MC 四邊形BPCH是平行四邊形 / BH/ CD, CH/ BE 在厶ABH和厶ACH中， 亠 AD AP AE 有-, BD AH AC DE/ BC : 【總結(jié)升華

6、】平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例 舉一反三 【變式】如圖，在 ABC (AB AC)的邊 AB上取一點(diǎn) D,在邊 AC上取一點(diǎn) E使AD=AE直線DE和 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P求證：空 BD CP CE 【答案】過(guò)點(diǎn)C作CF/ AB交DP于點(diǎn)F, / CF/ AB,./ ADE=Z EFC / AD=AE/.Z ADE=Z AED=Z FEC / EFC=Z FEC CF=CE / CF/ AB .BP BD CP CF 即 BP BD CP CE 類型三、平行線分線段成比例定理 4. 如圖，已知點(diǎn) D、F在厶ABC的邊AB上，點(diǎn) E在邊AC上，且 DE/ BC, 丄斗，求證：EF DC. / DE/ BC, ? EF/ DC. 【總結(jié)升華】 本題考查了平行線分線段成比例.注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，以防錯(cuò)解. 舉一反三 【變式】如圖，直線11 /12/ 13,直線AC分別交11,12,13于點(diǎn)A,B,C,直線DF分別交11,12,13于 點(diǎn)D, E, F, AC與DF相交于點(diǎn) G,且AG=2, GB=