小學(xué)奧數(shù)：扶梯問題.專項練習(xí)及答案解析

1、 教學(xué)目標(biāo)1對扶梯問題中順(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。2在扶梯的相遇與追及問題中引入消元思想。3解決行程問題時畫線段圖可以幫助解題。知識精講一、扶梯問題說明扶梯問題與流水行船問題十分相像，區(qū)別只在與這里的速度并不是我們常見的“千米每小時”，或者“米每秒”，而是“每分鐘走多少個臺階”，或是“每秒鐘走多少個臺階”。從而在扶梯問題中“總路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“靜止時可見臺階總數(shù)”。二、扶梯問題解題關(guān)鍵1、當(dāng)人順著扶梯的運動方向走臺階時，相當(dāng)與流水行船中的“順?biāo)旭偂?，這里的水速就是扶梯自身的臺階運行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的實際速度

2、扶梯靜止可見臺階總數(shù)=時間人速+時間扶梯速=人走的臺階數(shù)+扶梯自動運行的臺階數(shù)2、當(dāng)人沿著扶梯逆行時，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的實際速度扶梯靜止可見臺階總數(shù)=時間人速-時間扶梯速=人走的臺階數(shù)-扶梯自動運行的臺階數(shù)。【例 1】 小明站著不動乘電動扶梯上樓需30 秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需 12 秒，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3 星【題型】解答11【解析】電梯每秒完成，電梯加小明徒步上樓每秒完成，小明徒步上樓每秒完成30121111-=，所以小明徒步上樓需1= 20 (秒)12 30 20【答案】20 秒20【鞏固

3、】 如果在乘電動扶梯的同時小明繼續(xù)向上走需 12 秒到達樓上，如果在乘電動扶梯的同時小明逆著向下走需 24 秒到達樓下（千萬別模仿?。?，那么電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需多少秒？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3 星【題型】解答1111【解析】小明徒步走的速度是( + ) 2 =，所以小明徒步上樓需1 =16 (秒).12 241616【答案】16 秒3-2-7.扶梯問題.題庫page 1 of 5教師版 【例 2】 在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20 級臺階后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過30 級臺階到達地

4、面從站臺到地面有【考點】行程問題之扶梯問題 【難度】3 星級臺階【題型】填空【解析】小強每秒走一階，需要20 1 = 20 秒；每秒走 2 階，需要30 2 =15 秒設(shè)電梯每秒鐘需要走x 階，由電梯長度可得：20(1+ x) =15(2 + x) ，解得x = 2 那么扶梯長度為20(1+ 2) = 60 （階）本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過 20 秒后到達地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過 15 秒到達地面問：從站臺到地面有多少級臺階？”采用牛吃草問題的方法，電梯 20 -1

5、5 = 5 秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強多走的階數(shù)：215 -1 20 =10 階，電梯的速度為10 5 = 2 階/秒，扶梯長度為20(1+ 2) = 60 （階）【答案】60 階【鞏固】 在地鐵車站中，從站臺到地面架設(shè)有向上的自動扶梯小強想逆行從上到下，如果每秒向下邁兩級臺階，那么他走過100 級臺階后到達站臺；如果每秒向下邁三級臺階，那么走過75 級臺階到達站臺自動扶梯有多少級臺階?【考點】行程問題之扶梯問題【難度】3 星【題型】解答xx【解析】設(shè) 50 秒扶梯向上走x 級，則 25 秒走 級由扶梯長度可得100 - x = 75 - 22解得x = 50 扶梯長100- 50 = 50 (級

6、)?！敬鸢浮?0 級【例 3】 小丁在捷運站搭一座電扶梯下樓如果他向下走14階，則需時30 秒即可由電扶梯頂?shù)竭_底部；如果他向下走28 階，則需時18 秒即可由電扶梯頂?shù)竭_底部請問這座電扶梯有幾階？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答【關(guān)鍵詞】臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，決賽【解析】首先從題中可以看出兩種情況下小丁的速度是不相同的，否則兩次走過的階數(shù)之比為1: 2 ，時間之比也應(yīng)該為1: 2 才對既然小丁的速度有變化，那么應(yīng)該考慮其中的不變量，也就是電扶梯的速度不變假設(shè)這座電扶梯有 階，那么在第一種情況下電扶梯走了 (x -14) 階，第二種情況下電扶梯走了xx -14 x - 28(x

7、 - 28) 階，根據(jù)電扶梯的速度相同可得=，解得x = 49 3018即這座電扶梯有 49 階【答案】49 階【例 4】 在商場里，小明從正在向上移動的自動樓梯頂部下120 級臺階到達底部，然后從底部上90 級臺階回到頂部自動樓梯從底部到頂部的臺階數(shù)是不變的，假設(shè)小明單位時間內(nèi)下的臺階數(shù)是他上的臺階數(shù)的2 倍則該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)為【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答3-2-7.扶梯問題.題庫page 2 of 5教師版 【解析】本題要知道向上與向下的時間之比 ( 即是電梯運行時間的比 ) ，可用量化思120 90想:x= 60:90 = 2:3 ，設(shè)該自動樓梯從底到頂

8、的臺階數(shù)為 級，自動樓梯的2 1x + 2y =120x - 3y = 90x =108y = 6，解得速度為 y 級/單位時間則有：即該自動樓梯從底到頂?shù)呐_階數(shù)為 108 級【答案】108 級【鞏固】 商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40 級到達樓上，男孩走了 80 級到達樓下如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的 2 倍，則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答【解析】當(dāng)電梯靜止時，無論是由下往上，還是由上往下，兩個孩子走的階數(shù)都是電梯的可見階數(shù)當(dāng)電梯運行

9、時，女孩所走的階數(shù)與電梯同時間內(nèi)所走的階數(shù)之和等于電梯可見階數(shù)，男孩所走的階數(shù)與電梯同時間內(nèi)所走的階數(shù)之差也等于電梯可見階數(shù).因為男孩的速度是女孩速度的 2 倍，所以男孩走 80 階到達樓下與女孩走 40 階到達樓上所用時間相同，則在這段時間內(nèi)，電梯所走的階數(shù)也相同.有：40 + 電梯走的階數(shù)= 80 - 電梯走的階數(shù)，可得電梯走的階數(shù)為(80- 40) 2 = 20（階），所以電梯可見階數(shù)為40 + 20 = 60 （階）.【答案】60 階【鞏固】 商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結(jié)果女孩走了 40 級到達樓上，男孩走了 80

10、 級到達樓下如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的 3 倍，則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答80 40【解析】男孩與女孩走完電梯的時間比為： := 2:33 1所以有80 = 電梯可見部分級數(shù)+2電梯運行速度40 = 電梯可見部分級數(shù)-3電梯運行速度電梯運行速度= 8 (級)解得所以電梯可見部分級數(shù)為：80 - 28 = 64 (級)【點評】本題的關(guān)鍵是求出男孩和女孩走完電梯的時間比，另外結(jié)合二元一次方程比較容易理解數(shù)量關(guān)系請對比原例題，體會其中的數(shù)量關(guān)系【答案】64 級【鞏固】 自動扶梯以均勻的速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子

11、要從扶梯上樓，已知男孩每分走 20級，女孩每分走15 級，結(jié)果男孩用了5 分到達樓上，女孩用了6 分到達樓上問該扶梯露在外面的部分共有多少級？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答1 1 1【解析】男孩每分鐘比女孩每分鐘多行扶梯級數(shù)的 - =5 6 30，相差 20 -15 = 5 級，因此自3-2-7.扶梯問題.題庫page 3 of 5教師版 1動扶梯露在外面的部分共有5 =150級30【答案】150 級【例 5】 小志與小剛兩個孩在電梯上的行走速度分別為每秒 2 個臺階和每秒 3 個臺階，電梯運行后，他倆沿電梯運行方向的相同方向從一樓走上二樓，分別用時28 秒和 20秒，那

12、么如果小志攀登靜止的電梯需要用時多少秒？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答【解析】小志和小剛順向攀登運行的電梯分別都攀登了 282 = 56 級和 203 = 60 級，小剛比小志多走了60 - 56 = 4 級 ，這 4 級臺階實際上是小志多走的 8 秒鐘內(nèi)，電梯“縮”進去的，因此電梯的運行速度為每秒半個臺階，那么在小剛登梯的20 秒內(nèi)，電梯也“縮”了10 級，所以電梯所能見到的部分是60+10=70 級，所以，小志攀登靜止的電梯分別需要用時 702=35 秒【答案】35 秒【例 6】 小淘氣乘正在下降的自動扶梯下樓，如果他一級一級的走下去，從扶梯的上端走到下端需要走36

13、級如果小淘氣沿原自動扶梯從下端走到上端(很危險哦，不要效仿!)，需要用下樓時5 倍的速度走60 級才能走到上端請問這個自動扶梯在靜止不動時有多少級?【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答【解析】小淘氣上樓走 60 級的時間，下樓只能走60 5 =12 (級)而下樓走了 36 級，所以下樓用的時間是上樓時間的36 12 = 3(倍).設(shè)小淘氣上樓的時間自動扶梯走了 級，則下樓的時間內(nèi)自動扶梯走了3x 級x根據(jù)自動扶梯的級數(shù)可列方程：36 + 3x = 60 - x ，解得 x = 6 (級)，自動扶梯有60 - x = 54 (級)【答案】54 級【例 7】 甲在商場中乘自動扶梯從

14、一層到二層，并在順扶梯運行方向向上走，同時乙站在速度相等的并排扶梯從二層到一層當(dāng)甲乙處于同一高度時，甲反身向下走，結(jié)果他走了 60 級到達一層如果他到了頂端再從“上行扶梯”返回，則要往下走80 級那么，自動扶梯不動時甲從下到上要走多少級？【考點】行程問題之扶梯問題【難度】4 星【題型】解答3【解析】首先，由于第一種情況下甲往下走時走的總臺階數(shù)是第二種情況下的60 80 = ，41也就是說在相同時間內(nèi)，自動扶梯由上往下走了兩層高度的 ，而甲和自動扶梯43共同走了兩層高度的 ，說明第一種情況下，甲乙相遇時甲的高度是兩層之間高43度 的 那 么 可 知 甲 和 自 動 扶 梯 的 速 度 和 與 自 動 扶 梯 的 速 度 之 比 是43434: 1-= 3:1 ，說明甲走動的速度是扶梯速度的 2 倍如果甲沿著扶梯向下走，