導(dǎo)數(shù)和極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、導(dǎo)數(shù)和極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 摘 要 極限和導(dǎo)數(shù)是微風(fēng)中的重要內(nèi)容，是應(yīng)用微積分的方法解決實(shí)際問題的重要思想來源.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際、彈性、消費(fèi)者剩余等諸多問題都涉及到極限和導(dǎo)數(shù)這兩個(gè)思想方法.本文就針對這幾個(gè)問題簡單分析一下極限和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)；極限；彈性；邊際；消費(fèi)者剩余經(jīng)過十余年的初等數(shù)學(xué)教育和四年的專業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以說，我們到目前為止已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了許多數(shù)學(xué)的理論知識(shí)，但是在實(shí)踐的生活和學(xué)習(xí)中，能夠被真正用到的具體的數(shù)學(xué)定理并不是很多.而在這些年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們形成的思維習(xí)慣、思考方式、所領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，卻在我們的學(xué)習(xí)和生活中，時(shí)時(shí)刻刻都在發(fā)揮這積

2、極的作用.也可以說，正是由于數(shù)學(xué)的特殊性，更使得我們這些天天從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)工作的數(shù)學(xué)人受益終生.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們會(huì)接觸到許許多多的概念、性質(zhì)、方法和結(jié)論，在學(xué)習(xí)這些概念、性質(zhì)、方法和結(jié)論的同時(shí)，更要了解和領(lǐng)會(huì)其中的精神實(shí)質(zhì)和獨(dú)特的思想方法.如果僅把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)看做是知識(shí)的“復(fù)制”，那么，即使你學(xué)習(xí)了再多的數(shù)學(xué)定理和公式，也避免不了教條的形式，成為一堆“死”的知識(shí)的堆砌，缺乏靈活的應(yīng)用，難以發(fā)揮數(shù)學(xué)本身所蘊(yùn)含的積極的作用.如果我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候真正掌握到數(shù)學(xué)思想和精神實(shí)質(zhì)，那么，我們也就可以說做到了對數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用，可由現(xiàn)有的有限的定理、公式、方法來演繹出千變?nèi)f化的結(jié)論，這也

3、便顯示出了數(shù)學(xué)的巨大力量.因而，從某種意義上講，數(shù)學(xué)的細(xì)想方法和精神實(shí)質(zhì)的學(xué)習(xí)比數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)更具有實(shí)用價(jià)值.經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際、彈性、消費(fèi)者剩余等許多問題都涉及到極限和導(dǎo)數(shù)這兩個(gè)思想方法.下面我們就針對這幾個(gè)問題簡單分析一下極限和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.1 極限導(dǎo)數(shù)的基本概念“極限”和“導(dǎo)數(shù)”的概念是微積分中最基本的概念.微分中大量的其他概念都是由極限來表達(dá)的.如導(dǎo)數(shù)的概念和定積分的概念都是建立在極限的基礎(chǔ)之上的，而在微積分中，又有很大一部分知識(shí)是用導(dǎo)數(shù)來表示和解決得.微積分建立在初等數(shù)學(xué)之上，能解決諸多初等數(shù)學(xué)說解決不了的問題，其基本原因在于它引進(jìn)了新的思想方法，即“極限”和“導(dǎo)數(shù)”的思想方法.

4、“極限”思想揭示了常量與變量，有限與無限，勻速運(yùn)動(dòng)與變速運(yùn)動(dòng)等一系列對立統(tǒng)一及矛盾相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系.“導(dǎo)數(shù)”的思想是一個(gè)相關(guān)變化率的思想，因變量由于自變量的改變而產(chǎn)生的相關(guān)變化量.其幾何意義為某點(diǎn)切線的斜率，在物理學(xué)中也可以理解為瞬時(shí)變化率.“極限”和“導(dǎo)數(shù)”的思想方法是微積分中的一個(gè)重要內(nèi)容，是應(yīng)用微積分來解決實(shí)際問題的重要思想來源.而經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際、彈性、消費(fèi)者剩余等許多問題恰好運(yùn)用“極限”和“導(dǎo)數(shù)”的思想方法來解決的.運(yùn)用“極限”和“導(dǎo)數(shù)”的思想方法來研究經(jīng)濟(jì)學(xué)以及相關(guān)學(xué)科的內(nèi)容，對于我們學(xué)習(xí)者來說，真我知識(shí)的本質(zhì)變得更加容易和輕松.以我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”為例來說明極限的思想

5、方法.“割圓術(shù)”亦即求單位圓周長.以1為單位作圓，然后將其六等分，作圓的內(nèi)接正六邊形，這個(gè)內(nèi)接正六邊形的周長比較接近該單位圓的周長.然后一次作內(nèi)接正十二邊形、內(nèi)接正二十四邊形、內(nèi)接正四十八邊形等等.劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”就是說，所作的圓內(nèi)接正多邊形越來越接近圓周.如此一直下去，則圓內(nèi)接正多邊形無限接近圓周.即這一串內(nèi)接正多邊形的周長是，由此所構(gòu)成的數(shù)列記為：，當(dāng)越大時(shí)，內(nèi)接正多邊形與圓的差異也越小，當(dāng)無限增大時(shí)，則就無限接近于常數(shù).在數(shù)學(xué)中，我們就把這個(gè)值稱為數(shù)列的極限，記為：（當(dāng)）.以下說明對極限概念語言的理解.一是對的理解.是可任意

6、給定的正數(shù)，但它是可變的，而當(dāng)被給定之后，又是固定不變的，它可以比任意正數(shù)都小.二是對無限逼近的理解.判定當(dāng)時(shí)，等價(jià)于判斷趨于，用代數(shù)式子距離來描繪這個(gè)無窮的過程.距離越來越小，就越來越逼近固定數(shù).結(jié)合前面對的理解，用描述越來越逼近的過程.三是存在性的理解.描述無限過程中的穩(wěn)定性，與任意相對應(yīng)的必是一個(gè)穩(wěn)定的，這里只是一個(gè)界定，表示描述后面的無窮多項(xiàng)具有.綜合以上各個(gè)分析，我們就可以用語言來描述極限的定義，對于任意給定的，存在，當(dāng)時(shí)，有，則稱數(shù)列的極限是.記為.在學(xué)習(xí)了極限的概念之后，倒數(shù)的概念就容易理解多了.設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域有意義，當(dāng)自變量有改變量（，且仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)的改變量為

7、，如果極限：存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（或微商），記為或.下面我們就經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾類重要概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)極限和導(dǎo)數(shù)思想方法作一些探討.2 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的有關(guān)概念2.1 彈性彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，用定量的描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反映程度.或者說，經(jīng)濟(jì)變量變化百分之一會(huì)使另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)百分之幾. 我們先給出一般函數(shù)的彈性定義如下： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且，如果極限：存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的點(diǎn)彈性，記為；而稱比值：為函數(shù)在點(diǎn)與點(diǎn)之間的弧彈性.由定義可知：且當(dāng)很小時(shí)，有：弧彈性如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則稱為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)彈性函數(shù)，簡稱為彈性函數(shù).2

8、.2 需求對價(jià)格的彈性需求對價(jià)格的彈性是指假設(shè)某商品的市場需求量為，價(jià)格為，需求函數(shù)為可導(dǎo)，則稱：為該商品的需求價(jià)格彈性，簡稱為需求彈性，記為，且為負(fù)值.2.3邊際邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個(gè)重要的概念，通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率.利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，即邊際分析方法，是經(jīng)濟(jì)理論中的一個(gè)重要的分析方法.2.3.1 邊際成本在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí)所增加的總成本.設(shè)某產(chǎn)品長臨危單位時(shí)，所需的總成本為，稱為總成本函數(shù)，簡稱為成本函數(shù).但產(chǎn)量由變?yōu)闀r(shí)，總成本函數(shù)的改變量為，這時(shí)，總成本函數(shù)的平均變化率為：，它表示產(chǎn)量由編導(dǎo)時(shí)，在平均意義治安的邊際成本.當(dāng)總成本函數(shù)可導(dǎo)時(shí)

9、，其變化率表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本，即邊際成本函數(shù)是中成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù).其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義是：近似等于產(chǎn)量為時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所需增加的成本，這是因?yàn)椋?.3.2 邊際收入在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際收入定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的銷售收入.該產(chǎn)品的銷售量為時(shí)的總收入為，稱為總收入函數(shù)，簡稱收入函數(shù).當(dāng)可導(dǎo)時(shí)，收入函數(shù)的變化率，稱為銷售量為時(shí)該產(chǎn)品的邊際收入.它近似等于銷售量為時(shí)再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品說增加（或減少）的收入.2.3.3 邊際利潤在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際利潤定義為多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所加的利潤.設(shè)產(chǎn)品銷售量為時(shí)的總利潤為，稱為（總）利潤函數(shù).當(dāng)可導(dǎo)時(shí)，稱為銷售量為時(shí)邊際利潤，它近似于銷售量為時(shí)，再多銷

10、售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（或減少）的利潤.由于總利潤函數(shù)可以改寫為總收入與總成本之差.即有：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知：即邊際利潤利潤為邊際收入與邊際成本之差.2.3.4 邊際替代率和消費(fèi)者剩余在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際替代率定義為在維持效用水平或滿足程度不變得前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)時(shí)，需要放棄另一種商品的消費(fèi)數(shù).消費(fèi)者剩余定義為商品的價(jià)值與價(jià)格之間的差額，或者是消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格與實(shí)際支付的價(jià)格的差額.顯然，就消費(fèi)者剩余這一概念而言，一種商品對不同的消費(fèi)者存在不同的消費(fèi)者剩余，即存在個(gè)體差異.其原因就在于不同的消費(fèi)者對同一商品的需求是不同的.例如可樂對于一部分人是很受歡迎的，那么，他們會(huì)認(rèn)為花

11、2塊5買一瓶是很值得的，而對那部分不喜歡可樂的人而言，花2塊5買一瓶可樂可以說是浪費(fèi).3 極限和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用3.1 在彈性中極限和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以需求價(jià)格彈性為例.先看一下需求弧彈性的概念，需求弧彈性是指用表示某商品的需求曲線上兩點(diǎn)之間的需求量的相當(dāng)變動(dòng)對價(jià)格的相對變動(dòng)的反應(yīng)程度，間單的說表示需求曲線上兩點(diǎn)間的彈性（平均值）.設(shè)某產(chǎn)品的單位售價(jià)為，該產(chǎn)品的市場需求量為，它的需求函數(shù)為.如圖：則兩點(diǎn)之間的需求彈性系數(shù)為：再看需求點(diǎn)彈性的概念.需求點(diǎn)彈性是指價(jià)格水平上，但價(jià)格波動(dòng)很小是所引起的需求量變化的敏感程度.在上述程度下，需求點(diǎn)彈性系數(shù)為： 由需求的弧彈性系數(shù)和需求的點(diǎn)彈性系數(shù)表達(dá)式，

12、我們可以發(fā)現(xiàn)，需求的弧彈性系數(shù)與需求的點(diǎn)彈性系數(shù)本質(zhì)上是相同的，區(qū)別在于前者為價(jià)格變動(dòng)量較大的需求曲線上兩點(diǎn)間的彈性（平均值），后者為價(jià)格變動(dòng)量無窮小的需求曲線上某一點(diǎn)的彈性.用式計(jì)算點(diǎn)彈性，其優(yōu)點(diǎn)在于只需知道需求曲線的形狀，就可以求出與點(diǎn)相對應(yīng)的精確地彈性系數(shù).為了求出某一點(diǎn)的彈性，用在需求曲線上“兩點(diǎn)間的彈性”代替“某一點(diǎn)的彈性”求得彈性這個(gè)亮的近似值，然后在通過取極限的方法實(shí)現(xiàn)從近似到精確的過渡.在這里，使“兩點(diǎn)間的彈性”與“某一點(diǎn)的彈性”轉(zhuǎn)化的條件是取極限，不取極限同樣也就不能實(shí)現(xiàn)從近似到精確地轉(zhuǎn)化.例1. 若某種商品的需求函數(shù)為，為需求量，為價(jià)格，討論其彈性變化.解 由彈性定義可得，

13、需求量對價(jià)格的彈性為：于是當(dāng)取某個(gè)確定的值時(shí)，在此價(jià)格處的點(diǎn)的彈性也就不確定了. 我們首先分析當(dāng)需求相對變化率與價(jià)格相對變化率相等，即：時(shí)的值，由可知：. 當(dāng)時(shí)，即在這一價(jià)格范圍內(nèi)，隨價(jià)格的減少， 也遞減.也就是說，在這是，若采取壓價(jià)措施，因需求增加的百分比小與價(jià)格下降的百分比，所以企業(yè)總收入會(huì)減少. 當(dāng)時(shí)，即在這一價(jià)格范圍內(nèi)，隨價(jià)格的增加而增加.如果采取提價(jià)措施，因需求下降的百分比大于價(jià)格增加時(shí)的百分比，所以總收入也會(huì)減少.通過以上分析，如果該企業(yè)進(jìn)行價(jià)格調(diào)整時(shí)，參照以上分析方法，當(dāng)彈性時(shí)，采取降價(jià)措施，能達(dá)到薄利多銷的目的；當(dāng)彈性時(shí)，最好的方法時(shí)按兵不動(dòng)，毫不費(fèi)力就可以獲得最大收益；當(dāng)彈性

14、時(shí)，可以提高價(jià)格，不會(huì)因盲目降價(jià)促銷而影響利潤.否則隨意的調(diào)價(jià)會(huì)因產(chǎn)品的積壓或不能回收成本而使企業(yè)陷入困境，難以在競爭中謀發(fā)展，下面我們用一個(gè)圖標(biāo)來概括一下彈性與價(jià)格及收益的關(guān)系：3.2 在編輯問題中，極限和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用我們現(xiàn)在以邊際利潤和邊際成本為例，探討一下導(dǎo)數(shù)思想在邊際利潤和邊際成本中的應(yīng)用.現(xiàn)在假設(shè)產(chǎn)品數(shù)是連續(xù)變化的，于是單位產(chǎn)品可以無限的細(xì)分.如果產(chǎn)品已經(jīng)是在此水平上，若產(chǎn)量增至，那么總成本相應(yīng)的增量是，它與的比為.這表示在和之間總成本的平均變化率.若令，取極限就可以得到邊際成本.顯然，它近似地表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品，使增加一個(gè)單位產(chǎn)品總成本的增加量.同理我們可以利用導(dǎo)數(shù)定義邊際收

15、入、邊際利潤、邊際需求等等.下面我們結(jié)合立體分析這幾個(gè)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義.例2. 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為，需求函數(shù)為：，其中為成本，為需求量，為單價(jià)，, , , , 均為正常數(shù)，且.求：利潤最大的產(chǎn)量及最大利潤；需求對價(jià)格的彈性；需求對價(jià)格的彈性的絕對值為1時(shí)的產(chǎn)量.解 利潤函數(shù)為：（觀察容易發(fā)現(xiàn)為只關(guān)于的函數(shù)，故應(yīng)將用來表示，并參與計(jì)算，）故：此處運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的最值問題的理論來解決最大利潤問題.兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得：再令：，有再對對求導(dǎo)數(shù)，得：顯然,故當(dāng)時(shí)，最大，其值為：需求函數(shù)對單價(jià)的導(dǎo)數(shù)為：，所以需求對價(jià)格的彈性為：由上式，根據(jù)題意有：，解之得即需求對價(jià)格的彈性的絕對值為1時(shí)的產(chǎn)品生產(chǎn)量為

16、.例3 某企業(yè)對銷售進(jìn)行分析指出，總收入萬元與每月產(chǎn)量噸的函數(shù)關(guān)系式為：，試確定當(dāng)月產(chǎn)量為，的邊際利潤.解：由邊際利潤的定義，可知：則，當(dāng)，25，35時(shí)，因此，有上述結(jié)果表明，當(dāng)產(chǎn)量為每月時(shí)，再生產(chǎn)，利潤將增加50萬元；當(dāng)產(chǎn)量為每月時(shí)，擴(kuò)大再生產(chǎn)就不能獲得更大的利潤；當(dāng)產(chǎn)量為每月時(shí)，再生產(chǎn)，利潤將減少100萬元.通過上面的這個(gè)實(shí)際的例子，我們可以看出，當(dāng)企業(yè)決策時(shí)，如何采用邊際利潤進(jìn)行分析，可以減少企業(yè)投資的盲目性，時(shí)企業(yè)再擴(kuò)大再生產(chǎn)都是了解投資前景，減少企業(yè)投資風(fēng)險(xiǎn)和可能造成的損失.另外，如果該企業(yè)是生產(chǎn)多種產(chǎn)品的綜合企業(yè)，通過以上這種方法計(jì)算出各種產(chǎn)品的邊際利潤率（邊際利潤與總利潤之比），

17、而使企業(yè)生產(chǎn)投資轉(zhuǎn)向邊際利潤相對較大的產(chǎn)品，使企業(yè)資金流轉(zhuǎn)更加合理，從而提高了經(jīng)濟(jì)效益，不僅有利于企業(yè)本身，也有利于市場經(jīng)濟(jì).3.3 在邊際替代率中，極限和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用邊際替代率是指在維持效用水平或滿足程度不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)時(shí)所放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù).如圖：當(dāng)時(shí)，有邊際替代率：第一步，根據(jù)邊際替代率的定義，如果消費(fèi)者增加單位商品的消費(fèi)時(shí)所放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù)是，則邊際替代率為：這是一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)的平均替代率.第二步，求極限（無限變化的精確值）.當(dāng)逐漸變小，即時(shí)，這是一個(gè)量變的過程，但是當(dāng)量變達(dá)到一個(gè)界限，平均變化率問題向某點(diǎn)的邊際變化率發(fā)展，并最終發(fā)生質(zhì)的變化.從而有

18、：待添加的隱藏文字內(nèi)容1在仔細(xì)分析過上述例子之后，我們清楚的發(fā)現(xiàn)，為了求出某一點(diǎn)的邊際替代率，用具不“以勻代非勻”求得這個(gè)量的近似值，然后再過渡到用極限的方法求出該量的準(zhǔn)確值.在這里，我們通過應(yīng)用極限，實(shí)現(xiàn)了從近似值向準(zhǔn)確值的轉(zhuǎn)化，這也正是極限解決實(shí)際問題的基本思想方法.3.4 在消費(fèi)者剩余中，數(shù)學(xué)極限思想的應(yīng)用如圖，表示實(shí)際支出的價(jià)格，表示需求曲線，是需求量，陰影線部分的長度表示愿意支付的價(jià)格與實(shí)際支付的價(jià)格的差額，面積(消費(fèi)者剩余的英文縮寫為)就是消費(fèi)者剩余.設(shè)需求曲線以反需求函數(shù)給出，計(jì)算由,所圍成的圖形的面積.如圖：第一步，計(jì)算曲邊梯形的面積的近似值（以直代曲）.把分成等份，從而將曲邊

19、梯形分成個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)曲邊梯形的面積用相應(yīng)的小矩形來代替，如圖所示，并求和得到曲邊梯形面積的近似值： .第二步，求極限.當(dāng)是有限數(shù)時(shí)，面積永遠(yuǎn)時(shí)曲邊梯形面積的近似值.只有當(dāng)增加才能提高近似的程度.當(dāng)時(shí)，通過取極限的方法實(shí)現(xiàn)從近似到精確的過渡，從而實(shí)現(xiàn)了近似值向曲邊梯形面積精確值的轉(zhuǎn)變，即：（其中）這也就是數(shù)學(xué)中的另一個(gè)重要的模型定積分，即：（其中）因此：以上就是本人對極限和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的一點(diǎn)感受，由于能力有限，多有紕漏，望老師多予批評(píng)指正.本文在寫作過程中得到了韓剛老師多次精心指導(dǎo)，在此表示感謝.參考文獻(xiàn)1. 高鴻業(yè)，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，2004年9月2. 龔德恩、范培華、胡顯佑，經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)，四川人民出版社，2004年7月3. 陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，歐陽光中，數(shù)學(xué)分析，