材料習(xí)題解答[第五章](20210319212649)

1、5-1構(gòu)件受力如圖5-26所示。試：（1）確定危險點的位置；（2）用單元體表示危險點的應(yīng)力狀態(tài)（即用縱橫截面截取危險點的單元體，并畫出應(yīng)力）d1 ArF（a）（ c）（d）題5-1圖解：a） 1） 危險點的位置：每點受力情況相同，均為危險點；2）用單元體表示的危險點的應(yīng)力狀態(tài)見下圖。b）1） 危險點的位置：外力扭矩 3T與2T作用面之間的軸段上表面各點;2）應(yīng)力狀態(tài)見下圖。c）1）危險點：A點，即桿件最左端截面上最上面或最下面的點；2）應(yīng)力狀態(tài)見下圖d）1 ）危險點：桿件表面上各點;）應(yīng)力狀態(tài)見下圖a)b)c)d)5-2試寫出圖5-27所示單元體主應(yīng)力a 1、a 2和c 3的值，并指出屬于哪一

2、種應(yīng)力狀態(tài)（應(yīng)力單位為MPa402050a解：a)b)c)a)b) 題 5-2 圖 c)6=50 MPa,二2 =6=0,屬于單向應(yīng)力狀態(tài)r1=40 MPa,二2=0,二3= 30 MPa,屬于二向應(yīng)力狀態(tài)6=20 MPa, c2=10 MPa,匕二一30 MPa,屬于三向應(yīng)力狀態(tài)5-3已知一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖 5-28所示(應(yīng)力單位為MPa。試用解析法求指定斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。20a)解:a)取水平軸為b)3050j 4030 4030* 20b)題5-3圖x軸，則根據(jù)正負(fù)號規(guī)定可知:；x=50MPa , ；y=30MPa , x=0, a 二30帶入式(5-3 ), (5-4 )得=4

3、5MPa=-8.66MPa取水平軸為X軸，根據(jù)正負(fù)號規(guī)定:x = -40MPa , y=0 ,x =20 MPa , a =120帶入公式，得:40 cos240 - 20sin 240 =7.32MPaX二0sin 24020COS240 =7.32MPa2C）取水平軸為X軸，則cx= -10MPa ,二 y=40MPa , x= -30MPa, a =30代入公式得：-10 40-10 -40cos60 -（-30）sin60 =28.48MPa2 2x= 10 40sin 60 -30COS60 =-36.65MPa25-4已知一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖5-29所示（應(yīng)力狀態(tài)為 MPa。試用解析

4、法求： 指定斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力及其方位，并在單元體上畫出主應(yīng)力狀態(tài)；（3）最大切應(yīng)力題5-4圖a）b）c）a）解：（1）求指定斜截面的上應(yīng)力取水平軸為x軸，則X = 100MPa，匚 y=40MPa , X=40MPa,a =45帶入公式，得:100 40100 -40cos9022100 _ 40-.=一 si n9040cos90 = 30MPa2-40s in 90 =30 MPa求主應(yīng)力及其方向，由公式（5-8 ）得:10040按代數(shù)值J 一匚2 -匚3得120 MPa20J =120 MPa,二2 =20 MPa,匚3 = 0 MPa由公式（5-7）可求得主應(yīng)力方向2：0=

5、53.13， :0 = 26.57最大主應(yīng)力Ci的方向與X軸正向夾角為順時針26.573)最大切應(yīng)力由公式(5-20) max 二匸 3 =12 =60MPa 2 2b )解：(1)求指定斜截面上的應(yīng)力取水平軸為 x 軸，二 X=60MPa , cy= -20MPa ,x= -30MPa, a = -30代入公式得:60 +(-20) 60-(-20)qa 八cos(-60 ) 30sin(-60 )=14.02MPa=60 (20)sin(-60) 30cos(60) = -49.64MPa(2)求主應(yīng)力及其方向，由公式(5-8 )得：= 60!士 叵S2+(_30)2 = 70 MPa2

6、認(rèn) 2 丿-30按代數(shù)值G _匚2 匚3得6 =70 MPa,二2 =0 MPa,匚3 - -30 MPa由公式(5-7)可求得主應(yīng)力方向2： 0=36.87，: 0 = 18.43最大主應(yīng)力二1的方向與X軸正向夾角為逆時針26.57如圖所示：3)最大切應(yīng)力由公式(5-20 ) max = J 7-(3叭 50MPa2 2c)解:取水平軸為x軸，則-x=60MPa，二y=0 , x= -40MPa, a = -150代入公式得:a60 0300) (40)si n(300) =79.64MPa2 2 60 40sin( 300) - 40cos( -300) =5.98Mpa2（2）求主應(yīng)力及

7、其方向，由公式（5-8 ）得:260 0 2(60-0、2 80i1 +(事0)2= MPa 2 丿 -20按代數(shù)值二！ _匚2 _匚3得i =120 MPa, “2 - 20 MPa, “3=0 MPa由公式（5-7）可求得主應(yīng)力方向2： 0=53.13,:- 0 = 26.57最大主應(yīng)力-的方向與X軸正向夾角為逆時針26.57 如圖所示：3）最大切應(yīng)力301:20-20由公式（5-20）“3，。-(-20)max2 25-5已知一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖5-30所如圖所示（應(yīng)力狀態(tài)為 MPa。試用圖解法求：（1）指定斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力及其方位，并在單元體上畫出主應(yīng)力狀態(tài)；（3）最大切應(yīng)力

8、按比例量的E點坐標(biāo)即為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：xE =ba=60MPa yE = %=3.7MPa（2）求主應(yīng)力及其方程應(yīng)力圓中A、B兩點橫坐標(biāo)對應(yīng)二向應(yīng)力狀態(tài)的兩個主應(yīng)力：XA = ；max=44.14MPa, XB=f= 15.86Mpa按照 g_g_；3得約定，可得三個主應(yīng)力為：=44.14MPa，二2 =15.86MPa，匚3 =0MPa由D轉(zhuǎn)向A的角度等于20。量得2 ： 0=45 （順時針）因此，最大主應(yīng)力與 x軸正方向夾 角為順時針22.5 o（3）最大切應(yīng)力等于由 GJ畫出的應(yīng)力圓的半徑max=22.07MPab）解：首先做應(yīng)力圓：其中 D （0, -20 ） D （50,

9、+20）1）斜截面與y軸正方向夾角45（逆），因此從D逆時針量20=90得E點：xE a=5MPa yE 二=25Mpa2）XA = ；max=57MPa XB = f= -7Mpa按照二 1 _ 二2 -I 得二 1 =57MPa,二 2 =0MPa, 3 = -7MPa主應(yīng)力方向：最大主應(yīng)力與 y軸夾角為1 . DCA =19.33 （順）23）最大切應(yīng)力等于由二13畫出的應(yīng)力圓的半徑：ma32MPa（c）解：由圖示應(yīng)力狀態(tài)可得應(yīng)力圓上兩點D （-20 , 20）和D （30, -20 ）連DD交二軸于C,以C為圓心，DD為直徑作圓，即為應(yīng)力圓，如圖所示1） 斜截面與x軸正方向夾角為60

10、（順），因此由D順時針量120得E點xE 二二;=34.82MPa,yE 二-=11.65MPa2）主應(yīng)力及其方位應(yīng)力圓與二軸的兩個交點A,B的橫坐標(biāo)即為兩個主應(yīng)力：xA = max =37MPaxB=min= -27Mpa因此匚 1 =37MPa,二 2 =0MPa,二3 = -27MPa由D到A的夾角為逆時針38.66 ,因此最大主應(yīng)力為由y軸正方向沿逆時針量 19.33所得截面上的正應(yīng)力。3）最大切應(yīng)力為由二6畫出的應(yīng)力圓半徑 max =32 MP35-6 一矩形截面梁，尺寸及載荷如圖5-31所示，尺寸單位為 mm試求：（1）梁上各指定點的單元體及其面上的應(yīng)力；（2）作出各單元體的應(yīng)力圓

11、，并確定主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。題5-6圖解：1）各點的單元體及應(yīng)力由梁的靜力平衡求得Fa二Fb =250 kNA,B,C三點所在截面上的彎矩 M =250 10B C =14.06 MPa 2）作各單元體的應(yīng)力圓A 點：cr 1 = 0,cr2 =Q3 =93.75 MPa max=46.875MPaB點：xA=S=3.9MPa xB =b3 =50.7 MPa a 2 = 0，壬 max=27.3MPaC點：xA1 =18.75MPa, xB =：；2 =0，二3= -18.75 MPa， max=18.75MPa5-7試用解析法求圖5-32所示各單元體的主應(yīng)力及最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa

12、0.25 =62500Nm 剪力 Fq =250 kNPa=93.75MPa（壓應(yīng)力）1 2-0.1 0.2二 B A =46.875MPa（壓應(yīng)力） 63250 103=X2 0.1 0.2Pa =18.75MPaa）b）c）題5-7圖解:a)主應(yīng)力二i =50 MPa,由于其它兩方向構(gòu)成純剪切應(yīng)力狀態(tài),所以有，ma-3=50MPa2b) 一個主應(yīng)力為50MPa其余兩個方向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示crx =30MPa cry= -20MPa，j=20MPa代入公式(5-8)30 (-20)2 _230 -(20)、237I +20= MPa27所以匚 1 =50MPa,二2 =37MPa,二 3 =

13、 -27MPa=6=50 _27max = 38.5MPab) 一個主應(yīng)力為-30MPa,其余兩方向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示取-x=120MPa-y = 40MPa, x=-30MPa代入公式-maxmin12040伽一40】2+(-30)2130MPa30所以 J =130MPa,二 2 =30MPa,二3 =0MPa130 -( -30)2=80 MPa5-8單元體各面上的應(yīng)力如圖5-33所示。試作三向應(yīng)力圖，并求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力題5-8圖解：a) 三個主應(yīng)力為,二2 3 =0三向應(yīng)力圓可作如下b) 這是一個純剪切應(yīng)力狀態(tài) 二=叮2 =0,二3 =7其三向應(yīng)力圓為 max= T三向應(yīng)力狀態(tài)：一個

14、主應(yīng)力為零先做一二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，得 Ci3再由二1門2和二23分別作應(yīng)力圓 三個應(yīng)力圓包圍的陰影部分各點對應(yīng)三向應(yīng)力狀態(tài)5-9二向應(yīng)力狀態(tài)如圖5-34所示。試作應(yīng)力圓并求主應(yīng)力(應(yīng)力單位為MPa。題5-9圖解：畫出二向應(yīng)力狀態(tài)的單元體，取水平方向為x軸，則匚x二? ,；y=50MPa , x二？，a =30 時二- =80MPa,=0代入式(5-3 ) (5-4 )=80Mpa =0rx=70MPa , x=-10 3 MPa可做應(yīng)力圓如圖所示由應(yīng)力圓可求的三個主應(yīng)力分別為-1 =80MPa,匚2 =40MPa,二3 =0MPa最大切應(yīng)力為 max=40MPa5-10圖5-35所示棱柱形

15、單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)，AB面上無應(yīng)力作用。試求切應(yīng)力 t和三個主應(yīng)力。題5-10圖解：畫出二向應(yīng)力狀態(tài)單元體，取水平方向為x軸則二x=15MPa，二y= -15MPa , x = t，a =135 時二：=0,： =0代入式(5-3 ) (5-4 )=0=0（自然滿足）由上式解得.x=15MPa主應(yīng)力可由公式（5-8 ）求(-佝(-15)一15)-(-15)12+(一15)20 MPa-30因此三個主應(yīng)力為 ：匚1 =0 ,二2 =0 ,二3 =-30MPamax=k30)=l5MPa5-11已知單元體的應(yīng)力圓或三向應(yīng)力圖如圖5-36所示（應(yīng)力單位為 MPa。試畫出單元體的受力圖，并指出應(yīng)力圓

16、上A點所在截面的位置a)d)AC200.(TTA(TO-3030TA-(T010170b)A-101050T1730(T200(Te)f)題5-11圖5-12圖5-37所示單元體為二向應(yīng)力狀態(tài)。已知： 二=80MPa,；y =40 MPa,=50 MPa0題5-12圖解:試求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。-x =80MPa，二y=40MPa , x= t ,二：=50MPa, a =60將以上已知數(shù)據(jù)代入公式（5-3 ）再把;x，二y , . x代入公式（5-8 ）求主應(yīng)力8040=2280-40、2 80I +02 = MPa2 丿40因此三個主應(yīng)力為 ：二 1 =80 MPa, - 2 =40 MP

17、a，二 3 =-30MPa-1 -3-m ax=40MPa題5-16圖解:5-13如圖5-38所示單元體處于二向應(yīng)力狀態(tài)。已知兩個斜截面a和B上的應(yīng)力分別為- 40 MPa也=60 MPa； J = 200 MPa,.= 60 MPa。試作應(yīng)力圓，求出圓心坐標(biāo)和應(yīng)力圓半徑R。題5-13圖解：已知二 一 =40MPa,；=200MPa, 一 =60MPa, =60MPa由上面兩組坐標(biāo)可得應(yīng)力圓上兩點D,D2,連DD,作其垂直平分線交a軸于C點，以C為圓心，CD為半徑作圓即為所求應(yīng)力圓。由圖中幾何關(guān)系可得圓心坐標(biāo)C（120,0）半徑 R= 602 802 =100K任意兩互垂方向的線應(yīng)變和；。do

18、5-14今測得圖5-39所示受拉圓截面桿表面上某點試求所受拉力F。已知材料彈性常數(shù) E、v，圓桿直徑題5-14圖解:圍繞K點取單元體，兩截面分別沿 和 ”方向。如下圖所示由廣義胡克定律聯(lián)求解得，=丄& - ICT% xyEE E ； J我們還可以取K點的單元體如下，即沿桿件橫截面，縱截面 截取根據(jù)單元體任意兩相互垂直截面上的正應(yīng)力之和為一常量 得：又二=FAE ； E ； 1,2所以F二二A=d1 A 45-15今測得圖5-40所示圓軸受扭時，圓軸表面K點與軸線成30方向的線應(yīng)變；30 試求外力偶矩T。已知圓軸直徑d ,彈性模量E和泊松比v。題5-15圖解：圍繞K點沿 30方向和與之垂直的方向

19、取單元體如左圖由沿橫縱截面單元體如右圖由公式（5-3、5-4）得:由胡克定律3?WP 二d3T 二163： d 3E ； 30所以6 32415-16 一剛性槽如圖5-41所示。在槽內(nèi)緊密地嵌入一鋁質(zhì)立方塊，其尺寸為10X 10X 10mrh鋁材的彈性模量 E=70GPa v =0.33。試求鋁塊受到F=6kN的作用時，鋁塊的三個主應(yīng)力及相應(yīng)的變形。F力作用面為一主平面，其上的正應(yīng)力為二3F 6 1032 MPa = -60MPaA102前后面為自由表面，也為主平面，-1=0由題意知；2 =0由胡克定律；2 = -1二2 -廠卞3所以二2 - 七 3 = 19.8MPa1 1M!-；2 亠3(

20、0-0.25(19.8-60)=376.2 10E200 如01 1 6 ；33 -；！ ；29 (-60 - 0.25(0 -19.8) = 763.8 10E200 109所以M h =376.2 10-6 10 =3.672 10mm5-17現(xiàn)測得圖5-42所示受扭空心圓軸表面與軸線成45方向的正應(yīng)變 心,空心圓軸外徑為D,內(nèi)外徑之比為a。試求外力偶矩T。材料的彈性常數(shù) E、V均為已知。題5-17圖解：為王平面，二1二T， J受扭圓軸表面上任一點均為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體上45和135 面上主應(yīng)力取得極大值和極小值，T由胡克定律1；1 = E 6 _3 =石代入化簡得匸，；

21、45所以e由受扭圓軸表面上一點剪應(yīng)力公式T316T 4Wp 江 D(1m )5-18現(xiàn)測得圖5-43所示矩形截面梁中性層上K點與軸線成45 方向的線應(yīng)變；45 = 50 1 0 ，材料的彈性模量 E =200GPa, + =0.25。 試求梁上的載荷F之值。K點的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示題5-18圖解:又K點有匚3二-，135方向有匚1 =.，代入到胡克定律1 1 .有；30，丘二1 -心3 * *1 JE45 Pa1比軸兩式有 F =6000 10 s45=48000N=48kN（1+0.25）5-19圖5-44所示受拉圓截面桿。已知A點在與水平線成 60。方向上的正應(yīng)變其中t由公式（3-40 ）

22、求得務(wù)0 0 = 4. Ox 10 ，直徑d=20mm材料的彈性模量 E = 200 X 103 MPa,v = 0. 3。試求載荷F。題5-19圖解：A點應(yīng)力狀態(tài)如圖所示由公式（5-3）由胡克定律又匚=FA所以2 4E 客60 1(3 -門丿12-69-420104 200 104 1043-0.3=37233.7N=37.23 kN5-20試求圖5-45所示矩形截面梁在純彎曲時 AB線段長度的改變量。已知：AB原長為a,與軸線成45, B點在中性層上，梁高為h,寬為b,彈性模量為E,泊松比為v，彎矩為M題5-20圖求AB的伸長量需先求AB方向的應(yīng)變，去AB中點位置C其應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其解

23、:中- =MycIzM 1asi n45匚=2丄bh312由此可求出AB方向及與其垂直方向的正應(yīng)力由胡克定律5-21用45應(yīng)變花測得受力構(gòu)件表面上某點處的線應(yīng)變值為 0 =-267 X 10-6, 45=-570 X 10-6 及 90 =79 X 10-6。構(gòu)件材料為 Q235鋼，E=210GPa v =0.3。試求主應(yīng)變，并求出該點處主應(yīng)力的數(shù)值和方向 解:由公式（5-36 ） 可求主應(yīng)力:2 145909210 10926779 -2 1-0.39210 10 .2 10.3、-267570 2- 570 -79 2 1053.61 106110.01 106Pa53.61110.01MPa由公式（5-34 ）求主應(yīng)變，在此之前先由（5-33）求x代入（5-34）主應(yīng)力與主應(yīng)變同方向：由（5-35 ） : tg20=x9522.75J-%-267-792 a 0=70 , a 0=355-22在某液壓機上橫梁的表面某點處，用45。應(yīng)變花測得 0 =51.6 X 10： 45 =169X10-6及 90 =-117 X 10-6。上橫梁的材料為鑄鐵，E=110GPa v =0.25。試求該點處主應(yīng)力的數(shù)值和方向