矩陣[向陽教學(xué)]

1、第二章 矩陣 矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，它在線性代數(shù)與數(shù)學(xué)的 許多分支中有重要的應(yīng)用，是解決許多問題的重要工具。 本章的目的是介紹矩陣概念及其與運(yùn)算，并討論一些基 本性質(zhì)。 1基礎(chǔ)教學(xué) 2.1 矩陣的概念 例1 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，今年四個(gè)季度的產(chǎn) 量分別如下表所示： 季度季度 產(chǎn)品產(chǎn)品甲甲乙乙丙丙季度季度 產(chǎn)品產(chǎn)品甲甲乙乙丙丙 一a11a12a13三a31a32a33 二a21a22a23四a41a42a43 表中的aij表示第i季度第j種產(chǎn)品的 產(chǎn)量，這里i=1,2,3,4;j=1,2, 3。這 張產(chǎn)品的產(chǎn)量表可用以下符號(hào)表 示： 111213 212223 313233 41

2、4243 aaa aaa aaa aaa 2基礎(chǔ)教學(xué) 例2 含有n個(gè)未知量m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 的系數(shù)也可以排列成一個(gè)矩形陣列 (2.4) mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 3基礎(chǔ)教學(xué) 例3 生產(chǎn)m 種產(chǎn)品需用n種材料，如果以aij表示 生產(chǎn)第i種產(chǎn)品(i=1,2,m)耗用第j種材料 (j=1,2,n)的定額，則消耗定額可用一個(gè)矩形 表表示，如表2.1 所示。這個(gè)由m行n列構(gòu)成 的消耗定額表，也可以排成矩形陣列(2.4),它 描述了生

3、產(chǎn)過程中產(chǎn)品的產(chǎn)出與投入材料的數(shù) 量關(guān)系，這個(gè)矩形陣列稱為矩陣。 4基礎(chǔ)教學(xué) 表2.1 1 2 i m 1 2 j n 定額 材料 產(chǎn)品 11 a 12 a1j a 1n a 21 a 22 a2 j a 2n a 1 i a 2i a ij a in a 1m a 2m a mj a mn a 5基礎(chǔ)教學(xué) 定義1 由mxn個(gè)數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排 成 m行n列的數(shù)表 叫做m行 n列矩陣，簡趁稱mxn矩陣。這mxn 個(gè)數(shù)叫做矩陣A的元素 ，aij叫做矩陣A的第i行 第j列的元素。 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 6基礎(chǔ)教學(xué) v

4、元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是 復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。本書中的矩陣 除特別說明外，都指實(shí)矩陣。 v 上述的矩陣A也簡記為 A=(aij)mxn 或 A=(aij) vmxn矩陣A也記為Amxn 7基礎(chǔ)教學(xué) l兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)， 稱它們是同型矩陣； l若A=(aij)mxn與B=(bij)mxn是同型矩陣，并且 它們對(duì)應(yīng)元素相等，即 那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B (1,2,;1,2, ) ijij abim jn 同型矩陣與矩陣相等同型矩陣與矩陣相等: : 8基礎(chǔ)教學(xué) v當(dāng)行數(shù)m與列數(shù)n相等時(shí),A稱為n階方陣； l單位矩陣 n階方陣 叫作n階單位矩陣，簡記為E或En

5、 特點(diǎn)：從左上角到右下角的直線（叫左對(duì) 角線)上的元素都是1，其他元素都是0 100 010 001 n E 方陣和幾類特殊的方陣方陣和幾類特殊的方陣 9基礎(chǔ)教學(xué) l對(duì)角矩陣 n階方陣 叫作對(duì)角矩陣 特點(diǎn)：不在主對(duì)角線上的元素都是0 1 2 00 00 00 n A 10基礎(chǔ)教學(xué) l數(shù)量矩陣 n階方陣 叫作數(shù)量矩陣 特點(diǎn)：主對(duì)角線上的元素都相等，其他元素都 是0 00 00 00 a a A a 11基礎(chǔ)教學(xué) l上三角矩陣 n階方陣 叫作上三角矩陣 特點(diǎn)：位于主對(duì)角線下方的元素都是0 11121 222 0 00 n n nn aaa aa A a 12基礎(chǔ)教學(xué) l 下三角形矩陣 n階方陣 叫

6、作下三角形矩陣 特點(diǎn)：位于主對(duì)角線上方的元素都是0 11 2122 12 00 0 nnnn b bb A bbb 13基礎(chǔ)教學(xué) 對(duì)稱矩陣 設(shè)A為n階方陣，如果 那么A稱為。 特點(diǎn)：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 反對(duì)稱矩陣 設(shè)A為n階方陣，如果 那么A稱為反。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 11121 12222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 121 122 12 0 0 0 n n nn aa aa aa 14基礎(chǔ)教學(xué) l只有一行的矩陣 叫做行矩陣； l只有一列的矩陣 稱為列矩陣。 123 (,) n Aa

7、a aa 1 2 m b b B b v零矩陣: 元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作0, 注意:不同型的零矩陣是不同的。 其他常用的矩陣其他常用的矩陣 v負(fù)矩陣: 元素全部變?yōu)橄喾磾?shù)稱為原矩陣的負(fù)矩陣。 A ij a ij 若則-A= -a 15基礎(chǔ)教學(xué) 一、矩陣的加法一、矩陣的加法 定義2 兩個(gè)m行n列矩陣A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 對(duì)應(yīng)位置相加得到的m行n列的 矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記為 A+B，即 注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這 兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算。 ()()() ijm nijm nijijm n ABabab 第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算 16基礎(chǔ)教學(xué) 矩

8、陣加法的運(yùn)算律： （1） （2） 由此規(guī)定矩陣的減法為 ABBA ()()ABCABC (3)()0,0AAAA () ijij ABABab 17基礎(chǔ)教學(xué) 二、數(shù)與矩陣相乘二、數(shù)與矩陣相乘 l定義3 以數(shù)乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的 矩陣稱為數(shù)與矩陣A的積，記作A或A，如果 A=(aij)mxn ，那么 l數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律： （1） （2） （3） （4） () ijm n AAa ()()u AuA ()u AAuA ()ABAB 1AA 18基礎(chǔ)教學(xué) 注意： 矩陣的數(shù)乘與行列式的數(shù)乘是不一樣的， 矩陣的數(shù)乘是數(shù)乘矩陣每一個(gè)元素，行列式的數(shù)乘 是數(shù)乘行列式的某行（某列）的每一元素。 19

9、基礎(chǔ)教學(xué) 例2.3 設(shè) 求A-B,2A-B 121213 ,. 354147 AB 解： 121213112 354147202 AB 121213031 22 354147541 AB 20基礎(chǔ)教學(xué) 例2.4 設(shè) 且A+2X=B,求X 15795197 ,. 24683216 AB 解： A+2X=B,得X=1/2(B-A) 51971579 11 ()() 3216246822 2211 4422 1 ) 17 1272211 22 BA 21基礎(chǔ)教學(xué) 三、矩陣的乘法：三、矩陣的乘法： l 定義4 設(shè)A=(aij) 是一個(gè)mxs矩陣， B=(bij) 是一個(gè)sxn矩陣，那么規(guī)定矩陣A與矩陣

10、B的乘 積是一個(gè)mxn矩陣 C=(cij) ，其中 并把此乘積記作C=AB 稱為A左乘B或B右乘A 1 122 1 s ijijijissjikkj k ca ba ba ba b (1,2,;1,2, )im jn 22基礎(chǔ)教學(xué) 注意 (1) 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣） 的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行 數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘 (2)乘積的第i行第j列的元素等于左矩陣 的第i行元素與右矩陣第j列的對(duì)應(yīng)元素的 乘積之和。 23基礎(chǔ)教學(xué) 例 求矩陣 與 的乘積AB與BA； 10 03 A 30 21 B 30 23 BA 30 63 AB 解解: ABBAv注意：注意： 24基礎(chǔ)教學(xué) 例2.6

11、 設(shè) 1 035 ,2 3 AB 1035 20350610 30915 BA 1 03520 1 3 25 321 3 AB 則則: ABBAv注意：注意： 25基礎(chǔ)教學(xué) 例2.7 設(shè) 112233 , 112233 ABC 113300 113300 AC 112200 112200 AB 則則: ,ABACC但Bv注意：注意： 26基礎(chǔ)教學(xué) 矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況 下，ABBA這表現(xiàn)在三個(gè)方面， l 首先，乘法規(guī)則要求左矩陣的列數(shù)等于右 矩陣的行數(shù)，否則沒有意義，即使當(dāng)AB有 意義時(shí)，BA不一定有意義； l其次，即使AB與BA都有意義，它們的階數(shù) 不一定相等； l最后，當(dāng)相

12、乘的矩陣都是n階方陣，這時(shí)AB 與 BA都有意義，而且都是n階方陣， 由上例知也不一定相等。 27基礎(chǔ)教學(xué) 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律： （1） （2） （3） 對(duì)于單位矩陣E，易知 ()()AB CA BC ()A BCABAC()AB CACBC mm nm n E AA m nnm n AEA ()()()ABA BAB（其中為數(shù)） 28基礎(chǔ)教學(xué) 定義n階方陣的冪： Ak=AAA (k個(gè)A相乘) v 顯然只有方陣的冪才有意義， 由于矩陣乘法一般滿足結(jié)合律，所以方陣 的冪滿足以下運(yùn)算規(guī)律： (1) (2) (3) klk l A AA () klkl AA ()k kk ABA B 29基礎(chǔ)教學(xué)

13、例 試證： 證明:當(dāng)n=1時(shí)，等式自然成立 設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即 要證n=k+1成立，此時(shí)有 于是等式得證 10 1 10 1n n ), 2 , 1(n 10 1 10 1k k 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 1 k kk 10 ) 1(1 1100110 11011 kkk 30基礎(chǔ)教學(xué) 例2.8 設(shè)有線性變換 111 1122133 221 1222233 ya xa xa x ya xa xa x 111 1122133 221 1222233 331 1322333 xb zb zb z xb zb zb z xb zb zb z 求從求從z1,z2,z3到到

14、y1,y2 的線性變換。的線性變換。 解：以上兩式可以寫成：解：以上兩式可以寫成： 1 1112131 2 2122232 3 x aaay x aaay x 11112 1 22122 2 33132 xbb z xbb z xbb 即即Y=AX和和X=BZ 31基礎(chǔ)教學(xué) 解：以上兩式可以寫成：解：以上兩式可以寫成： 1 1112131 2 2122232 3 x aaay x aaay x 11112 1 22122 2 33132 xbb z xbb z xbb 即即Y=AX和和X=BZ 則則Y=（AB）Z 1112 11121311 2122 21222322 3132 bb aaay

15、z bb aaayz bb 111 11122113 31111 12122213 322 221 11222123 31121 12222223 322 ()() ()() ya ba ba bxa ba ba bx ya ba ba bxa ba ba bx 故故 32基礎(chǔ)教學(xué) 例2.9 設(shè) 求 解: 1 2 n A 3 A 111 2223 nnn A 2 1 1 2 2 2 2 n n 3 1 3 2 3 n 33基礎(chǔ)教學(xué) 事實(shí)上 1 1 2 2 n n n n n n AA 則 34基礎(chǔ)教學(xué) 含有n個(gè)未知量m個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組 的系數(shù)也可以排列成一個(gè)矩形陣列 則AX=b mnmn

16、mm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 1112111 2122222 12 , n n mmmnnm aaaxb aaaxb AXb aaaxb 35基礎(chǔ)教學(xué) 定義定義7 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新 矩陣，叫作A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT 四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置 13 21 01 T A 120 311 A 例如例如 的轉(zhuǎn)置矩陣為 矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律矩陣轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律 (1)() TT AA (3)()T TT ABAB (2)()T T AA (4)()T TT ABB A 36基礎(chǔ)教學(xué) 只證明性質(zhì)(4) 設(shè)

17、A=(aij)mxs,B=(bij)sxn, 記AB=C=(cij)mxn,BTAT=D=(dij)nxm ,于 是由矩陣的乘法規(guī)則，有 因此 所以 即D=CT ，亦即 1 s ijjkki k ca b 11 ss ijkijkjkki kk db aa b (1,2, ;1,2,) ijij dcin jm () TTT B AAB 1 (,) isi bb 1 (,)T jjs aa而BT的第i行為 ，AT的第j列為 37基礎(chǔ)教學(xué) 例：設(shè) ， ，求 113 021 A 124 311 012 B T AB)( 26 21 94 10 12 31 130 211 412 )( TTT AB

18、AB 解解 法法 1 解解 法法 2 229 614 124 311 012 113 021 AB 因?yàn)?26 21 94 )( T AB 所以 38基礎(chǔ)教學(xué) 對(duì)稱矩陣 設(shè)A為n階方陣，如果AT=A，即 那么A稱為。 特點(diǎn)：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。 ( ,1,2, ) ijji aai jn 39基礎(chǔ)教學(xué) 例2.10 設(shè)A、B為n階方陣，且A為對(duì)稱矩陣，試 證，BTAB也是對(duì)稱陣。 證：因AT=A，則 那么BTAB稱為。 ()() TTTTTTT B ABB ABB AB 40基礎(chǔ)教學(xué) 例2.11 設(shè)A為n階反對(duì)稱矩陣，且B為n階對(duì)稱矩 陣，試證，AB+BA也是反對(duì)稱矩陣。 證：因

19、AT=-A，BT=B則 那么AB+BA為反。 ()()() TTT ABBAABBA TTTT B AA B ()()BAA B ()ABBA 41基礎(chǔ)教學(xué) 定義定義2.8 由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式 （各元素的位置不變），叫作方陣A的行列式， 記作A或detA 注意：方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n 階方 陣是n2個(gè)數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而n 階行 列式則是這些數(shù)按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè) 數(shù)。 五、方陣的行列式五、方陣的行列式 42基礎(chǔ)教學(xué) 方陣行列式的運(yùn)算規(guī)律： (1) (2) (3) 其中A,B為n階方陣，為數(shù) 由(3) 可知，對(duì)于n階方陣A,B一般來說AB BA ， 但總有

20、 T AA n AA ABA B ABBA 43基礎(chǔ)教學(xué) 由行列式A的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的方陣 稱為方陣A的 nnnn n n AAA AAA AAA A 21 22212 12111 44基礎(chǔ)教學(xué) 試證試證: EAAAAA ijjninjijiij AAaAaAab 2211 EAAAA ij )( ijkj n k ki AaAAA 1 )( ij aA )( ij bAA 證明證明: 設(shè) ,記 ,則 ji ji ij 0 1 其中 故 類似有 45基礎(chǔ)教學(xué) 例2.13 設(shè) 計(jì)算|A|2和|A| abcd badc A cdab dcba 2 T abcdabcd badc

21、badc AAA cdabcdab dcbadcba 2222 2222 2222 2222 abcd abcd abcd abcd 22224 ()abcd 22222 ()Aabcd 46基礎(chǔ)教學(xué) 例2.13 設(shè) 計(jì)算|A|2和|A| abcd badc A cdab dcba 2 T abcdabcd badcbadc AAA cdabcdab dcbadcba 2222 2222 2222 2222 abcd abcd abcd abcd 47基礎(chǔ)教學(xué) 解一元線性方程解一元線性方程axb，當(dāng)，當(dāng) a 0 時(shí)時(shí), 存在一個(gè)數(shù)存在一個(gè)數(shù)a-1 ，使，使x= a-1 b為方程的解；那為方程的

22、解；那 么在解矩陣方程么在解矩陣方程Ax=b時(shí)，是否存在一個(gè)矩陣，使這個(gè)矩陣乘時(shí)，是否存在一個(gè)矩陣，使這個(gè)矩陣乘b等于等于x，這就是，這就是 我們要討論的逆矩陣問題我們要討論的逆矩陣問題 定義定義7: 對(duì)于對(duì)于n 階方陣階方陣A, 如果存在一個(gè)如果存在一個(gè)n 階方陣階方陣B, 使得使得 AB = BA = E 則稱矩陣則稱矩陣A是可逆的是可逆的, 并稱矩陣并稱矩陣B為為A的逆矩陣的逆矩陣. 第三節(jié) 逆矩陣 48基礎(chǔ)教學(xué) 如果方陣如果方陣A是可逆的是可逆的, 那么那么A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的. 這時(shí)因?yàn)檫@時(shí)因?yàn)? 設(shè)設(shè)B和和C是是A的逆矩陣的逆矩陣, 則有則有 所以所以, A的逆矩陣是

23、唯一的的逆矩陣是唯一的 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C. A的逆陣記作的逆陣記作A-1 ，即若即若AB =BA = E，則，則BA-1. 49基礎(chǔ)教學(xué) 證明證明 若若A可逆可逆, 則有則有A-1, 使得使得AA-1 = E. 定理定理1 若方陣若方陣A可逆，則可逆，則| A | 0 其中其中A*為矩陣為矩陣A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. 故故 | A | A-1 | = | E | = 1, 所以所以 | A | 0. , | 1 | 1 EAA A A A A 按逆矩陣的定義得按逆矩陣的定義得,. | 1 1 A A A 定理定理2 若若| A | 0，則，則方陣方陣

24、A可逆，且可逆，且 證明證明 由由伴隨矩陣的性質(zhì)伴隨矩陣的性質(zhì): AA*= A*A = | A | E, 由由 于于| A | 0,故有故有 1* 1 AA A 50基礎(chǔ)教學(xué) 當(dāng)當(dāng)| A | = 0 時(shí)時(shí), 稱稱A為為奇異矩陣奇異矩陣, 否則稱為否則稱為非奇異矩陣非奇異矩陣. 由上述兩個(gè)定理可知由上述兩個(gè)定理可知, A是可逆矩陣的充分必要條件是是可逆矩陣的充分必要條件是| A | 0 ， 即可逆矩陣就是非奇異矩陣即可逆矩陣就是非奇異矩陣. 證明證明 因因 | A | | B | = | E | = 1, 故故| A | 0. 推論推論 若若 AB=E (或或 BA=E), 則則 B=A-1.

25、因而因而, A-1存在存在, 于是于是 B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.證畢證畢 51基礎(chǔ)教學(xué) 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) (1) 若矩陣若矩陣A可逆可逆, 則則A-1亦可逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A. (2) 若矩陣若矩陣A可逆可逆, 且且 0, 則則 A 亦可逆亦可逆, 且且 (3) 若若A, B為同階可逆方陣為同階可逆方陣, 則則AB亦可逆亦可逆, 且且 (AB)-1 = B-1A-1. (4) 若矩陣若矩陣A可逆可逆, 則則AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T. 11 1 ()AA 52基礎(chǔ)教學(xué) A A =

26、 A + , (A ) = A . 當(dāng)當(dāng)| A | 0時(shí)，還可定義時(shí)，還可定義A0 E ， A-k (A-1 )k ， 其中其中k為正整數(shù)。這樣當(dāng)為正整數(shù)。這樣當(dāng)| A | 0， , 為整數(shù)時(shí)有為整數(shù)時(shí)有 53基礎(chǔ)教學(xué) 第四節(jié) 分塊矩陣 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A, 運(yùn)算時(shí)常采用運(yùn)算時(shí)常采用分分 塊法塊法, 使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算. 我們將矩陣我們將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣, 每一個(gè)小每一個(gè)小 矩陣稱為矩陣矩陣稱為矩陣A的的子塊子塊, 以子塊為元素形成的矩陣稱以子塊為元素形成的矩陣稱 為為分塊矩陣分塊矩陣. 54基礎(chǔ)教學(xué) 1000 0100 1010 3001 A 例如例如: : 1000 0100 1010 3001 A 令 100 010 001 3 E 0 1 3 1 A)000(O) 1 ( 2 A ) 0 ( 2 13 A AE 55基礎(chǔ)教學(xué) 分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 srs r srs r BB BB B AA AA A 1 111 1 111 , (1) 加法：加法：設(shè)設(shè)A與與B是同型矩陣是同型矩陣, 采用相同的分塊法采用相同