因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一， 它被廣泛地應(yīng) 用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法 靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需 的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú) 特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組 分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解 的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹、提公因式法 . ： ma+mb+mc=m（a+b+c）、運(yùn)用公式法 .在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因 式分解

2、中常用的公式，例如：2 2 2 2( 1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a2-b 2=(a+b)(a-b) ；(2) (a b)2 = a 2 2ab+b2 a 22ab+b2=(a b)2；2 2 3 3 3 3 2 2(3) (a+b)(a-ab+b ) =a +b a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) (a-b)(a2 +ab+b2) = a 3-b 3 a 3-b 3=(a-b)(a 2 +ab+b2) 下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：2 2 2 2(5) a +b+c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；(6) a 3+b3+c 3-3abc=(a+b

3、+c)(a 2+b2+c 2-ab-bc-ca) ；ab bc ca ，例已知a, b, c是ABC的三邊，且a2b2 c2則 ABC 的形狀是（ ）A. 直角三角形B 等腰三角形C 等邊三角形 D 等腰直角三角形解： a2 b2 c2ab bc ca2222a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca(a b)2(b c)2 (ca)20a b c三、分組分解法 .（一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn 分析：從“整體”看,這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提,也不能運(yùn)用 公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一

4、組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。* 每組之間還有公因式!解：原式=(am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)-=(m n )(a b)例2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 第三、四項(xiàng)為一組。解：原式=(2ax 10ay) (5by bx) =2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四項(xiàng)為一組； 第二、三項(xiàng)為一組。原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)= x(2a b) 5y(2a b)(2a b)(x 5y)練習(xí)：分解因式 1、a2 ab ac bcxy x y 1(二)分組后能直接

5、運(yùn)用公式例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因 式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式= (x2(x(xy2)y)(xy)(x(ax ay) y) a(x y a)y)例4、分解因式：a22abb22 c解：原式= (a2! 2abb2)2 c=(ab)2c2=(ab c)(a bc)練習(xí)：分解因式3、2x2x9y23y4 、2 x2y2 z2yz綜合練習(xí)：(1)3 x2x y2xy3y(2)2 axbx2bxaxa b(3) x2 6xy9y216a2 8a1(4)2 a6ab12b9b24a(5) a4 2a32

6、 a9(6)4a2x 4ayb2xb2y(7) x2 2xyxz2yz y(8)2 a2a b2 ,2b 2ab 1(9)y(y 2)(m1)(m1)(10) (ac)(ac)b(b2 a)(11)a2 (b c)b2(a c)c2(a b)32abc( 12)ab33 c3abc四、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為 1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)進(jìn)行分解。特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1 ；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；(3) 次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律例.已知Ov a 0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。于是 9 8a為完全平方數(shù)，a 1

7、例5、分解因式：x2 5x 6 分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有 2 X 3的分解適合，即 2+3=5。12. .解：x2 5x 6 = x2(23)x 2 31 二=(x 2)(x 3)1x 2+1 X 3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù) 的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式：x2 7x 61-1二(-1 ) + (-6 ) = -7236 (3) x 4x 5(2) y 2y 15解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)=

8、(x 1)(x6)1-6練習(xí) 5、分解因式(1) x214x24 (2) a215a練習(xí) 6、 分解因式(1) x x 2 x2 10x 24（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為條件：（1） a a1a2（2）c c1c2（3）b a分解結(jié)果：ax2 bx1的二次三項(xiàng)式 ax2 bx ca2CiaiaCiC2b ai C2 a2 Cic=(aix Ci)(a2X C2)例7、分解因式：3x2 iix io分析：i -23-5（-6）+（ -5）= -ii解：3x2 iix i0=（x 2）（3x5）練習(xí)7、分解因式：（i） 5x2 7x 6(3) i0x2 i7x 32(2) 3x 7x 22(4) 6y2

9、iiy i0（三）二次項(xiàng)系數(shù)為 i的齊次多項(xiàng)式例8分解因式：a2 8ab i28b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。8b+(-i6b)= -8b解：a2 8ab i28b22 =a8b(i6b)a 8b ( i6b)=(a8b)(ai6b)i 8bi -i6b J-練習(xí)8、分解因式(i) x22 23xy 2y (2) m2 26mn 8n (3) aab 6b2（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為 i的齊次多項(xiàng)式例 9、2x2 7xy 6y22 2例 iO、x y 3xy 2把xy看作一個(gè)整體ii， -2(-3y)+(-4y)= -7y-i)+(-2)=-3解：

10、原式(x 2y)(2x3y)解：原式 =（xy1)(xy2)練習(xí)9、分解因式： （1）15x27xy4y2(222) a x 6ax8綜合練習(xí)10、（ 1) 8x67x31(2)12x2211xy 15y(3)(xy)23(xy) 10( 4) (ab)24a 4b3(5)2xy25x2y 6x2(6)m2 4mn4n23m 6n2(7)x24xy4y22x 4y3（8)5(a b) 223(a2b2) 10(ab)2(9)4x24xy6x3y y210(10 )12(x y)2 11(x222 y2 )2(xy)2思考：分解因式：abex2 (a2b2e2)xabe五、換元法。例 13、分解

11、因式( 1) 2005x 2(2005 21)x2005(2) (x 1)(x2)(x3)(x6) x2解：(1)設(shè) 2005= a ，則原式 =ax2 (a2 1)x a=(ax 1)(x a)(2005x 1)(x 2005)（2）型如abed e的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。原式=(x227x 6)(x25x 6)2 x設(shè) x25x6 A，則 x27x6A2x原式:=(A22x)A x2= A2 2Ax2 x=(A22x)2 =(x26x6)2練習(xí) 13、分解因式（1 ) (x2 xyy2)24xy(x222 y2)2) (x2 3x2)(4x28x3) 903) (a

12、2 1)2 (a2 5) 2 4(a2 3)2例 14、分解因式（ 1） 2x4 x3 6x2 x 2觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于 x的降幕排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少 1, 并且系數(shù)成“軸對(duì)稱(chēng)” 。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式” 。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式=x2(2x2則x2原式=x2x2( t22)1 ) 2)=xx丄t22x2 2=x 2t2(x2102t 5 t=x22x(X-o2=x 2x x=(x 1)2(2x(2) x4 4x3 x2 4x=2x25x2x1)( x1x2)解：原式=x2(x2 4x設(shè)x 1 y，則xx原式=x2 (y2x2

13、(x12x24y 3) = x (y 1)(y1y2 23)x練習(xí) 14、(1) 6x4 7x3(2)x4 2x31 21)( x 3)= xx7x2(x36x2 x2 16x2)1 x23x解法1拆項(xiàng)。1 3x21)(x2 x1)(x2 x1)( x24x1)( x 2)23解法2添項(xiàng)。4x 4原式=x3(x (x (x (x1)原式=：X3 3x2=x(x2 3x:x(x 1)( x(x 1)(x2(x 1)(x4x4)4)4x2)21) 3( x1 3x4)1)(x3)(4x4( x4)4)1)(2)x9x6x33解:原式=(x91) (x61)(x31)3=(x1)(x63x1)(x3

14、1)(x31) (x31)3=(x1)(x63x13x1 1)六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。34例15、分解因式(1) x3x2=(x1)(x2x 1)(x62x33)練習(xí)15、分解因式（1）3x9x8（2）(x1)4(x21)2 (x1)4（3）x47x21（4）x4x22ax1 a 2（5）4x4 y(xy)4（6）2a2b22a2c22b2c2a 4 b 4 c4七、待定系數(shù)法。n)6=(x 3y m)(x 2y n)xy 6y2 (m n)x (3n 2m)y mn2xy 6y (m n)x (3n 2m)y mnm2 n3例 16、分解因式 x2 xy 6 y2 x 13y 6 分析：原式

15、的前 3項(xiàng) x2 xy 6y 2可以分為 （x 3y）（x 2 y） ，則原多項(xiàng)式 必定可分為 （x 3y m）（ x 2y 解：設(shè) x2 xy 6y2 x 13 y （x 3y m）（x 2y n） = x22 2 2mn13n 2m 13 ， mn 622x y mxx xy 6y x 13y 6 = x對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得原式=（x 3y 2）（x 2y 3）（2）如果 x3 ax 2bx 8 有兩個(gè)因式為x1和 x 2 ，求 ab的值（ 1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為(xy)(xy）,故此多項(xiàng)式分解的形式必為 (x ya)(xyb)解：設(shè) x 22y mx5 y 6=(xy a)(

16、 xy b)則x22y mx5 y 6= x22y(ab)x (ba) yababma2a2比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得：ba5，解得：b 3或b3ab6m1m1當(dāng) m1時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) m 1時(shí)，原式 =(x y2)(xy3)；當(dāng)m1時(shí)，原式=(x y2)(x y3)例 17 、（ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)，多項(xiàng)式解此多項(xiàng)式。5 y 6 能分解因式，并分(2)分析：x3 ax2 bx 8是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘, 因此第三個(gè)因式必為形如 x c的一次二項(xiàng)式。解：設(shè) x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x2)(x c)x3 ax2 bx 8 = x3(3c)x2(2 3c)x

17、2ca 3 ca7二 b 2 3c解得b14 ,2c 8c4二 a b=21練習(xí)17、(1)分解因式x2 3xy10y2x9y2(2)分解因式x2 3xy2y25x7y6(3)已知：x2 2xy3y26x14yp能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù) p并且分解因式。(4)k為何值時(shí)，x22xyky23x5y 2能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一:一、填空題1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的 的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解 因式。32分解因式： m -4m= .3、分解因式： x 2-4y 2= _2 ,4、 分解因式：x 4x 4=。n no o5、將x -y 分解因

18、式的結(jié)果為(x +y )(x+y)(x-y)，貝U n的值為.2 2 2 26、若 x y 5,xy 6，則 x y xy =, 2x 2y =。二、選擇題7、 多項(xiàng)式15m3n2 5m2n 20m2n3的公因式是()8、F列各式從左到右的變形中，是因式分解的是A、2a 3 a 3 a 9 Ba2 b2C、2a 4a 5 a a 45m22m列多項(xiàng)式能分解因式的是(22+1(C)x10.(A)x 2-y(B)x2 :+y+y)(D)x2-4x+42 2 2 2A、5mn b 、5m n c、5m n d、5mn22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫(xiě)出第（5）個(gè)等式。2(xy-1)(yx+1

19、)11.把(x y)( y x)分解因式為(A. (x y) (x y 1)B. ( y x)C. (y x) (y x 1)D. (y x)12下列各個(gè)分解因式中正確的是()2 2 2A. 10ab c+ 6ac + 2ac = 2ac (5b + 3c)2 2 2B. ( a b) ( b a) =( a b)( a b + 1)C. x (b+ c a) y (a b c) a+ b c =( b + c a) (x + y 1)2D. ( a 2b) (3a+ b) 5 (2b a) =( a 2b) (11b 2a)13. 若k-12xy+9x 2是一個(gè)完全平方式，那么k應(yīng)為().4

20、 C三、把下列各式分解因式：14、nx ny15、4m2 9n22 2 218、x 416x192 2、9(m n) 16(m n)；五、解答題2 0、如圖，在一塊邊長(zhǎng)a=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng) b =3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。21、如圖，某環(huán)保工程需要一種空心混凝土管道，它的規(guī)格是內(nèi)徑d 45cm，外徑D 75cm長(zhǎng)I 3m。利用分解因式計(jì)算澆制一節(jié)這樣的管道需要多少立方米的混凝土 （取，結(jié)果保留2位有效數(shù)字）aid 1/2）若上述方法都行不通， 可以嘗試用配方法、 換元法、 待定系數(shù)法、經(jīng)典二：、* 因式分解小結(jié)知識(shí)總結(jié)歸納因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾

21、個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法 互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣 泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成冪的形式；6. 題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；7. 因式分解的一般步驟是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首 先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不 能實(shí)施，可用分組分解法，

22、分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利 用公式法繼續(xù)分解；試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法； 下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例 1. 分解因式 x5 x 4 x 3 x2 x 1分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把X 5 X 4 X 3 和X2X 1 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后， 再進(jìn)一步分解； 也可把 X54X，X3 X2 ，X 1分別看成一組此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。解一：原式(X5X4X3)(X2X1)X3(X2X1) (X2X1)(X31)(X2X 1)(X1)(X2X 1)(X 2X1)解

23、二：原式5=(XX4)32(XX )(X1)X4(X 1)X2(X 1)(X1)(X1)(X4X 1)(X1)( X 422X21)2X(X1)(X2X 1)(X 2X1)2. 通過(guò)變形達(dá)到分解的目的例 1.分解因式 X33X24解一：將 3X2 拆成 2X22X，則有原式32X2X(X24)X2 (X 2)(X2)(X2)2(X 2)(X2X2)(X 1)(X2)2解二：將常數(shù) 4 拆成 1 3 ，則有 原式 x3 1 (3x 2 3)2(x 1)(x2 x 1) (x 1)(3x 3) (x 1)(x2 4x 4)2(x 1)(x 2) 23. 在證明題中的應(yīng)用例：求證：多項(xiàng)式 (x2 4

24、)(x 2 10x 21) 100的值一定是非負(fù)數(shù)分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。 本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。22證明： (x2 4)(x2 10x 21) 100(x2)(x2)(x3)(x7)100(x2)(x7)(x2)(x3)100(x25x14)(x25x6)100設(shè) y x2 5x ，則原式 (y 14)(y 6) 100 y2 8y 16 (y 4)2無(wú)論y取何值都有(y 4)20(x2 4)(x 2 10x 21) 100的值一定是非負(fù)數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例：分解因式： (a 2b c)3 (a b)3 (b c)3

25、分析：本題若直接用公式法分解， 過(guò)程很復(fù)雜，觀察 a+b，b+c 與 a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。解：設(shè) a+b=A， b+c=B，a+2b+c=A+BA3 3A2B 3AB2 B3 A3 B32 23A2B 3AB23AB(A B)3(a b)(b c)(a 2b c)說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要 的。中考點(diǎn)撥例 1.在 ABC 中，三邊 a,b,c 滿(mǎn)足 a216b2 c2 6ab I0bc 0求證：a c 2b證明： a216b2 c2 6ab I0bc 02222a26ab9 b2c210bc25b20即(a3b)2(c5b)20(a 8

26、b c)(a 2b c) 0 a b ca 8b c，即 a 8b c 0于是有a 2b c 0即 a c 2b說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類(lèi)題不 能丟分。1 1例2.已知：x 丄2収3 丄xx3解：X3+ (x -)(x21-)XXx(x 1)(x 丄)22 1x x2 12說(shuō)明：利用x2丄 (x -)2 2等式化繁為易。xx題型展示1.若x為任意整數(shù)，求證：(7x)(3 x)(4 x )的值不大于100。解：(7x)(3x)(4x2)100(x 7)(x2)(x3)(x2) 100(x2 5x 14)(x2 5x6) 100(x25x)8(x2!5x)16(x2

27、5x 4)20(7x)(3 x)(4x2)100說(shuō)明：代數(shù)證明問(wèn)題在初二是較為困難的問(wèn)題。一個(gè)多項(xiàng)式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形 成完全平方是一種常用的方法。2.將2 ,a (a1)2(a2a)2分解因式，并用分解結(jié)果計(jì)算6272 422。解:a2(a1)2(a2a)2a2a22a1 (a2 a)22(a2a)12 2(a a)(a2a1)26272422(3661)24321849實(shí)戰(zhàn)模擬3.矩形的周長(zhǎng)是28cm 兩邊 x,y使x3x2y xy23y o ,求矩形的面積。4.求證:n35n是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)）5.b2 c211 111 a

28、(b 1 b(1 ac(- -)3，求a b零實(shí)數(shù)，且a+b+c的值。1.分解因式：（1）3x510x4 8x33x210x8（2）(a23a3)(a23a 1)5（3）2 x2xy23y3x 5y2（4）x37x62.已知：xy 6,xy1，求：x3 y3的值。6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較 a2 b2 c2和4a2b2的大小。經(jīng)典三： 因式分解練習(xí)題精選一、填空： (30 分)1、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則 m的值等于。222、x2 x m (x n) 2則 m = n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4、 若 xm yn=(x y2 )(x y2)(

29、x2 y4)，貝H m= n=5、在多項(xiàng)式3y2?5y315y5中，可以用平方差公式分解因式的有 ，其結(jié)果是 。6、若 x22(m 3)x 16是完全平方式，則 m=。7、x2()x 2 (x 2)(x)8、已知 1 x x2x2004 x2005 0,則 x29、若 16(a b)2 M 25 是完全平方式 M=。10、x2 6x _ (x 3)2 ， x2 _ 9 (x 3)211、若 9x2 k y2 是完全平方式，則 k=。12、若 x24x 4 的值為 0，則 3x212x5 的值是 。13、若 x2ax 15 (x 1)( x 15)則 a =_。14、若 xy 4,x 2 y26

30、 則 xy_ 。15 、方程 x2 4x 0 ，的解是 _。二、選擇題：（ 10 分）1 、多項(xiàng)式a(a x)(x b) ab(ax)(bx） 的公因式是（）A、 a 、B、 a(a x)(x b)C 、 a(ax) D 、 a(x a)2、若 mx2kx 9 (2x 3)2 ，則m， k 的值分別是（ ）A、 m= 2， k=6 ，B、 m=2，k=12 ， C、m= 4，k=12、D m=4， k=12 、3、下列名式：x2y2,x2y2,x2y2,（x）2（y）2,x4y4 中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1 個(gè)，B、2 個(gè)，C、3 個(gè)，D 4 個(gè)11 114、計(jì)算（1 22）（1

31、衣）（1己）。102）的值是（）,C 丄,D.20 101120、分解因式：（30分）1、x4 2x335x22 、 3x6 3x22 23、25(x 2y)4(2y x)224、x 4xy 1 4y55、x x6、x317、ax2 bx2 bx ax b a& x418x281429、9x 36y10、(x 1)(x 2)(x 3)(x4)24四、代數(shù)式求值（15分）11、已知 2x y , xy 2，求 2x4y3 x3y4 的值。32、若x、y互為相反數(shù)，且（x 2）2 （y 1）2 4，求x、y的值3、已知a b 2，求（a2b2)2 8(a2b2)的值五、計(jì)算:（15）（1）3.66

32、 -42.6620012000（2）11222 2(3) 2 568 56 222 44六、試說(shuō)明：（8分）1、對(duì)于任意自然數(shù) n, （n 7）22（n 5）都能被動(dòng)24整除。2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積加上其中較大的數(shù)，所得的數(shù)就是夾在這兩個(gè)連續(xù)奇 數(shù)之間的偶數(shù)與較大奇數(shù)的積。七、利用分解因式計(jì)算（8分）1、一種光盤(pán)的外 D=厘米，內(nèi)徑的d=厘米，求光盤(pán)的面積。（結(jié)果保留兩位 有效數(shù)字）2、正方形1的周長(zhǎng)比正方形 2的周長(zhǎng)長(zhǎng)96厘米，其面積相差 960平方厘 米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。八、老師給了一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)分別對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn) 行了描述： 甲：這是一個(gè)三次四項(xiàng)式乙：三次項(xiàng)系數(shù)為

33、1常數(shù)項(xiàng)為1。丙：這個(gè)多項(xiàng)式前三項(xiàng)有公因式?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法若這四個(gè)同學(xué)描述都正確請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿(mǎn)足這個(gè)描述的多項(xiàng)式，并將 它分解因式。（4分）經(jīng)典四:因式分解一、選擇題1、代數(shù)式 a3b2 1 a2b3,2八 3. 22 2 A、a b B 、a b C1 a3b4+ a4b3,a 4b2 a2b4 的公因式是()22 33. 3、a b D 、a b2、用提提公因式法分解因式5a(x y) 10b (x y)，提出的公因式應(yīng)當(dāng)為()A、5a 10b B、5a+ 10b C、5(x y) D、y x3、 把一8mi + 12mi+ 4m分解因式，結(jié)果是()A、 4m(2r

34、2 3m)B、 4m(2r2+ 3 m- 1)C、一 4m(2rfi 3m- 1)D、一 2m(4rf 6m+ 2)4、把多項(xiàng)式2x4 4x2分解因式，其結(jié)果是()A、2( x4 2x2) B、 2(x4+ 2x2) C、 x2(2x2 + 4) D、2x2(x2 + 2)5、( 2)A、一 219981998 l( 2) 1999 等于(1998B 2C、)199921999D 26、把16- x4分解因式，其結(jié)果是()A (2 x)4B、(4 + x2)( 4 X2)C、(4 + x2)(2 + x)(2 x) D 、(2 + x) 3(2 x)7、 把a(bǔ)4 2a2b2+ b4分解因式，結(jié)

35、果是()A a2(a2 2b2) + b4 B、(a2 b2)2C 、(a b)4 D 、(a +2 2b) (a b)&把多項(xiàng)式2x2 2x+ -分解因式，其結(jié)果是()21 2 1 2 1 2 1A、(2x -) B 、2(x -) C 、(x -) D 、- (x 2 2 2 21)29、若9a2+ 6(k 3)a + 1是完全平方式，則k的值是()A、土 4 B 、土 2 C 、3 D 、4 或 210、 ( 2x y)(2x + y)是下列哪個(gè)多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果()八“22“22“22f“22A 4x y B 、4x + y C 、一 4x y D 、一 4x + y11、多項(xiàng)式x2

36、+ 3x 54分解因式為()A (x + 6)(x 9)B、(x 6)(x + 9)C、(x + 6)(x + 9)D、(x 6)(x 9)二、填空題21、2x 4xy 2x =(x 2y 1)2、 4a3b2 10a2b3 = 2a2b2()3、 (1 a)mn+ a仁()(mn 1)2 24、m(n n) (n m)=()()5、 x2 () + 16y2=()22 26、x () =(x + 5y)( x 5y)7、 a2 4(a b)2=() ()8、a(x + y z) + b(x + y z) c(x + y z)= (x + y z) ()9、 16(x y)2 9(x + y)

37、 2=() ()10、(a + b)3 (a + b)=(a + b) () ()211、x23x2=()(212、已知 x2px12=(x2)(x 6) ，則 三、解答題1、把下列各式因式分解。(1)x 2 2x3(2)3y_)p=36y23y(5)25m210mn n2x)(6)12a2b(x y) 4ab(y (3)a 2(x 2a)2a(x 2a)2(4)(x2) 2 x 2(7)(x 1)2(3x2)(2 3x)(8)a25a6(9)x 2 11x24(10)y212y282(11)x + 4x 5(I2)y4 3y3 28y22、用簡(jiǎn)便方法計(jì)算。(1) 99$ + 999(2) 2

38、022 542 + 256X 3521997 199721996 1998Io003、已知：x + y= ,xy=1.求 x y + 2x y + xy 的值。2四、探究創(chuàng)新樂(lè)園1 91、若 a b=2,a c=丄，求(b c)2+ 3(b c) + 的值2 411io992、求證：11 11 11 =11 X 109經(jīng)典五:因式分解練習(xí)題一、填空題：L 4a1 + 8aa + 24a = Ja(2. (a 3)(3 2a)=(3 a)(3 2a);3. ab1 = ab(a_bX4. fl - a- 1 (- 1)；5. 0.00的/ = ( 0匚云一 JJ+土二仗一 _)h7.(卅一血+

39、1 = ( )hE Ss- C )二(屜-)(4-9)；9. /-y- J + 切=J-()=()(10. 2ax-10矽+5by-血=2江 一試 二()()；IL x2+ 3x- lOCx )(x)；12. 若 m2 3rn2=(m+ a)(m + b)，貝U a=, b=;3 1 3 1i鼻- g y 二伐-yX )?14. J 一 bc+aJax = (/+ 日b)=()();15. 當(dāng)m= , x2+ 2(m 3)x + 25是完全平方式.二、選擇題：1. 下列各式的因式分解結(jié)果中，正確的是 A. a2b+ 7ab b= b(a2 + 7a)B. 3x2y 3xy 6y=3y(x 2)

40、(x + 1)C. 8xyz 6x2y2 = 2xyz(4 3xy)D. 2a2 + 4ab 6ac= 2a(a + 2b 3c)2. 多項(xiàng)式m(n 2) m2(2 n)分解因式等于B （n 2）（mA（n 2）（mm2）m2）Cm（n2）（m 1）Dm（n2）（m1）3在下列等式中，屬于因式分解的是 A. a（x y） + b（m+ n） = ax+ bm- ay+ bnBa22abb21=（ab）21C. 4a2 + 9b2 = （ 2a+ 3b）（2a + 3b）D. x27x8=x（x 7）84. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 A. a2+ b2B. a2+ b2C. a2

41、b2D. （ a2） + b25 .若9x2 + mxy+ 16y2是一個(gè)完全平方式，那么 m的值是 A. 12B. 24C. 12D. 126. 把多項(xiàng)式 an+4 an+1 分解得 Aan(a4a)Ban-1 (a31)Can+1(a 1)(a 2a1)D an+1(a 1)(a 2 a 1)7. 若 a2 + a= 1,貝U a4 + 2a3 3a2 4a+ 3 的值為A. 8B . 7C. 10D. 128. 已知 x2+ y2+ 2x 6y+ 10=0,那么 x, y 的值分別為 A.x=1,y=3B.x=1,y= 3C. x= 1 , y=3D. x=1 ,y= 39. 把(m2

42、+ 3m)4 8(m2 + 3m)2 + 16 分解因式得 A. (m+1) 4(m+ 2)2B. (m1)2(m 2)2(m2+ 3m 2)C. (m+4) 2(m 1)2D. (m+1)2(m+ 2)2(m2+ 3m 2)210. 把 x2 7x60 分解因式,得A（x 10）（x 6） 12）C（x 3）（x 20） 12）11把 3x22xy8y2 分解因式，得A（3x 4）（x 2） 4）（x 2）C（3x 4y）（x 2y） 4y）（x 2y）12把 a2 8ab33b2 分解因式，得A（a 11）（a 3） 11b）（a 3b）C（a 11b）（a 3b）11b）（a 3b）13

43、把 x43x22 分解因式，得A（x 2 2）（x 21） 2）（x 1）（x 1）14多項(xiàng)式 x2axbxab 可分解因式為B（x 5）（xD（x 5）（x B （3xD （3x B （aD（a B （x 2D （x 2 C（x 2 2）（x 21） 2）（x 1）（x 1）A（x a）（x b）B（x a）（x b）C（x a）（x b）D （x a）（x b）15一個(gè)關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式，其 x2 項(xiàng)的系數(shù)是 1，常數(shù)項(xiàng) 是12，且能分解因式，這樣的二次三項(xiàng)式是 Ax211x12 或 x2 11x 12Bx2 x12 或 x2 x12C. X2 4x 12 或 X2 +4x 12D.

44、以上都可以16下列各式 x3x2x 1，x2yxyx，x22xy2 1， （x 2+ 3x） 2 （2x + 1）2中，不含有（x 1）因式的有 A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè)17.把 9x2+ 12xy 36y2 分解因式為 A. （x 6y+ 3）（x 6x 3）B. （x 6y+ 3）（x 6y 3）C. (x 6y+ 3)(x + 6y 3)D （x 6y3）（x 6y3）18下列因式分解錯(cuò)誤的是Aa2bcac ab=（ab）（a c）Bab5a3b 15=（b 5）（a 3）Cx23xy 2x6y=（x 3y）（x 2）Dx26xy 19y2=（x3y1）（x 3y

45、1）19已知 a2x22xb2 是完全平方式，且 a，b 都不為零，則a與b的關(guān)系為A.互為倒數(shù)或互為負(fù)倒數(shù)B .互為相反數(shù)C.相等的數(shù)D .任意有理數(shù)20.對(duì) x44 進(jìn)行因式分解，所得的正確結(jié)論是A.不能分解因式x22x2B .有因式C. （xy 2）（xy 8） 2）（xy 8）D . （xy21.把 a4 2a2b2b4 a2b2 分解因式為A（a2b2ab）2B（a 2b2ab）（a 2b2ab）C（a2b2ab）（a 2b2ab）D （a2b2ab）222 （3x 1）（x 2y） 是下列哪個(gè)多項(xiàng)式的分解結(jié)果A3x26xyx2yx2yCx2y3x26xy 3x2 6xy2364a8b2 因式分解為A（64a 4b）（a 4b） b）（4a 2 b）C（8a 4 b）（8