數(shù)學能力專項練習

1、能力型試題專項訓練 一、方程與方程組一、方程與方程組 1一元一次方程根的判別式與韋達定理綜合題 例 1. 已知一元二次方程有兩個實數(shù)根,在數(shù)軸上表示的點在表示的點的右02 22 pxx 21,x x 2 x 1 x 邊，且距離為,求的值1pp 例 2.已知關于 x 的一元二次方程的兩實根的倒數(shù)和大于零，)(01) 12() 1( 22 為實數(shù)mxmxm 求的取值范圍m 例 3.已知函數(shù)的圖像與軸的支點為，求 2 20072008yxxx) 0 , (),(nom 的值 22 (20082008)(20082008)mmnn 例 4 是否存在常數(shù),使關于的方程的兩個實根滿足？如果存kx06)74

2、(9 22 kxkx 2 3 2 1 x x 在，求出所有滿足條件的 k 的值，如果不存在，請說明理由 例 5已知關于的方程有兩個非 0 實根，問是否能同號，求出x0) 1(44 22 mxmx 21,x x 21,x x 相應的 m 的取值范圍，若不能同號，請說明理由 例 6已知關于的方程為（x3, 0) 1() 1(2)2( 2 kkxkxk (1).求證：此方程總有實數(shù)根 (2).當方程有兩個實數(shù)根，且兩根平方和為時，求的值k 例 7已知 k 為正整數(shù)，關于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根x0)3(2)2( 2 kxkxk, (1).求 k 的值 (2).若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)

3、過點，mxky)2( x nk y ) 2 1 ( ），（ 求這個一次函數(shù)和反比例的解析式。 例 8.已知關于的一元二次方程x02 2 1 2 22 kkxx (1).求證：不論 k 為何值，方程總有兩個不相等的實根 (2).設是方程兩根，且,求 k 的值 21,x x522 211 2 1 xxkxx 例 9已知是關于的二次方程的兩個實數(shù)根，是關于 y)(, 2121 xxxxx0) 1( 2 nxmx 21, y y 的二次方程的兩個實數(shù)根，且,求的值06) 1( 2 myny2, 2 2211 xyyxnm, E BO D A 例 10.已知關于的方程=0 x 22 12mxx (1).

4、求證:方程總有兩個實數(shù)根 (2).設方程兩個實數(shù)根為,且， 求的 21,x x2 2 2 2 1 xxm 2.方程與幾何綜合題 例 11.如圖，O 為線段 AB 上一點，以 OB 為半徑的圓 O 交 AB 于點 C,以 AO 為直徑的半圓交圓 O 于點 C,過 B 作 BEAB 交 AD 于 E (1).求證：AE 切圓 O 于點 D (2).若 AC=2,且 AC,AD 的長是關于 x 的方程=0 的兩根，求 EB 的長54 2 kxx (3).當點 O 位于 AB 上何處時ODC 恰好為等邊三角形。 例 12.已知方程有兩個相等實根，是的三邊，且0)1 (2)1 ( 22 xcbxxacb

5、a,ABC cab2 (1).求cba: (2).若上述三角形最短邊為 5，而方程的兩根平方和為最長邊的 3 倍，求 m 的值3)1 ()2(xmxx D C BO E A F E M C D A B G C F E B A O D E D C A B O 例 13.如圖，在中，為上一點，以 O 為圓心，OB 為半徑的半圓交 AB 于 E，與ABC 90BOAB AC 切于點 D,AD=2,AE=1 求證：是方程的兩個根 BCDAOD SS ,0545110 2 xx 例 14.如圖，在梯形 ABCD 中,AD/BC,AD=AB,AE 是高，且 AE= , 2 35 8 13 ABC ABCD

6、 S S梯形 40 1311 BCAD (1).求B (2).設點 M 是對角線 AC 上一點，DM 的延長線交 BC 與 F,當時，求作以 CF,DF 的長為根的 32 3125 ADM S 一元二次方程 例 15.如圖，AD 是圓 O 的直徑，直線 交圓 O 于 E、F 兩點，作 AB于 B,DC于 C,CD 交圓 O 于 Glll (1).求證：DFFGBEAD (2).設 AB=m,BC=n,CD=p,求證:是方程的兩個根BAFFADtan,tan0 2 pnxmx (3).若(2)中方程滿足,判斷 與圓 O 的位置關系mpn4 2 l 例 16.如圖,AB 是圓 O 的直徑,AC 切

7、圓 O 于 A,CB 交圓 O 于 D,BEDE 于 E,DE,BE 是方程 C D B O A 的兩根(DEB)。它的兩個銳角正弦值恰為方程 的兩根。他的內(nèi)切圓半徑為，拋物線過 A、B、C 三點0) 1(24 2 mxmx13 cbxaxy 2 (1).求 m 的值 (2).求拋物線的解析式 (3).在拋物線上是否存在點 P,使=8,若存在，求出 P 的坐標，若不存在說明理由 APB S3 二. 函數(shù)型綜合題函數(shù)型綜合題 1.函數(shù)與方程 例 19.在平面直角坐標系內(nèi)，O 為坐標原點，二次函數(shù)的圖像交 x 軸于點)4()5( 2 kxkxy ,且) 0 , (), 0 , ( 21 xBxA8

8、) 1)(1( 21 xx (1).求二次函數(shù)的解析式 (2).若將上述二次函數(shù)圖像沿 x 軸向右平移 2 個單位，設平移后圖像與 y 軸交點為 X.頂點為 p,求 的面積。POC 例 20.在 RTABC 中， ACB=90 ,BCAC,以斜邊 AB 所在直線為 x 軸，以斜邊 AB 上的高所在直線為 y 軸建立 直角坐標系，若，且線段 OA,OB 的長度是關于 x 的一元二次方程17 22 OBOA 的兩根0)3( 2 mmxx (1).求 C 點坐標 (2).以斜邊 AB 為直徑作圓與 y 軸交于另一點 E,求過 A、B、E 三點的拋物線的解析式 (3).拋物線上是否存在點 P,使得與全

9、等？若存在，求出符合條點的 P 點。若不存在，說明理ABPABC 由 例 21.如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，RTABC 斜邊 AB 在 x 軸上，點 C 坐標為(0,6),AB =15,CBACAB. 且 tanCAB,tanCBA 是關于 x 的方程的兩根0 2 nmxx (1).求 m 和 n 的值。 O x y B C O A (2).若ACB 的平分線交 x 軸于 D.求直線 CD 的解析式 (3).在(2)的條件下，直線 CD 上是否存在點 M，過點 M 做 BC 平行線，交 y 軸于 N,使以 M,N,B,C 為頂點的 四邊形是平行四邊形。若存在，請直接寫出 M 的坐標，若不存在請說

10、明理由 例 22如圖，直徑為 13 的圓 O 經(jīng)過原點 O,并且與 x 軸、y 軸分別交于點 A、B 兩點，線段 OA、OB 的長(OAOB) 是方程的兩根060 2 kxx (1).求線段 OA,OB 的長 (2).已知 C 在劣弧 OA 上，連接 BC 交 OA 于 D,當時，求點 C 的坐標CBCDOC 2 (3).在圓上是否存在點 P,使得.若存在，求出 ABDPOD SS P 的 坐 標， 若 不 存 在， 說 明 理 由 x OC B A C B D O F E A 2.函數(shù)與幾何 例 23.在中， ，圓 A 的半徑為 1。若點 0 在 BC 上運動(與 B,CABC22,90AC

11、ABBAC 點不重合),設 OB=x,AOC 面積為 y. (1).求 y 關于 x 的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域 (2).以 0 為圓心，BO 長為半徑做圓 0,當圓 0 與圓 A 相切時，求AOC 的面積 例 24.如圖，圓 A 與圓 B 外切于點 C,DE 是兩圓的一條外公切線，切點為 D、E. (1).判斷的形狀并證明DCE (2).過 C 作 C0DE 于 E,以直線 DE 為 x 軸，OC 為 y 軸建立直角坐標系，且 OE=2,OD=8.求過 D、C、E 三點 的拋物線的解析式，并求出拋物線的頂點坐標 (3).該拋物線定點是否在連心線 AB 上？如果在,請證明，如果不在說明理

12、由 例 25.如圖，在ABC 中，AC=14,Bc=,=45 .點 O 在 AC 上移動，圓 O 始終與 AB 相切。切點為 D.26ACB 圓 O 與 AC 相交于 E、F(F 可能在 AC 延長線上) (1).設圓 O 半徑為 r,在滿足題意的點 O 中是否存在某一位置，使得圓 O 與 AB,BF 都相切？若不存在，說明理 由，若存在，求出此時 r 的長 (2).設四邊形 BDOC 的面積為 S.求 S 與 r 的函數(shù)關系式及 r 的取值范圍 B D E A C O O D E C B P A B A O Q PNM 例 26.如圖，圓 O 與 x 軸交于 A,B 兩點，與 y 軸交于 C

13、,D 兩點，圓心坐標為(1,-1),半徑為 5 (1).比較線段 AB 與 CD 的大小。 (2).求 A、B、C、D 四點的坐標 (3).過 D 作圓的切線，求這條切線的解析式 O 三三. .幾何綜合題幾何綜合題 1線段的相等關系、比例關系的證明 例 27如圖，MN 切圓 O 于 P,AB 是圓 O 的弦，于 M,BNMN 于 N,PQAB 于 QMNAM 求證：PQ= 2 BNAM 例 28.如圖，PA 為圓 O 的切線，A 為切點，PBC 為割線，APC 的平分線交 AB 于 D,交 AC 于 E (1).求證:AD=AE (2).求證:DBACAEAB E H A F CO DB O2

14、 D A F B P O1 C E C B A O P B C D A 例 29.如圖，BC 是圓 O 的直徑，ADBC 于 D,過 B 作弦 BF 交 AD 于 E,交圓于 F,交 AC 于 H,且 AE=BE 求 求:(1)AB=AF (2).BEABBCAH2 例 30.如圖，圓與圓相交于 A、B 兩點，點在圓上，過 A 的直線交兩圓于 C、D.過 B 點的直線 1 O 2 O 1 O 2 O 交兩圓于 E、F.AB 與相交于 PDO1 求證：(1).CE/DF (2).DOPOAO 11 2 1 例 31.如圖，已知弦 AB 等于圓 O 的半徑，連接 OB 并延長使 BC=OB (1)

15、.求證：AC 是圓 O 的切線 (2).請在圓上取點 D,使 AD=AC(自己完成作圖并給出證明過程) 例 32.如圖，兩圓內(nèi)切于點 P,大圓的弦切小圓于 C,PC 的延長線交大圓于 D 求證：(1).APD=BPD (2).CBACPCPBPA 2 O F E A B DC G B C D E B O A P D P C A B C Q O B A TP 例 33.如圖，內(nèi)接于圓 O,AB 延長線與過 C 點的切線 GC 相交于點 D,BE 與 AC 相交于點 F.且 CB=CE.ABC 求證:(1).BE/DG (2) FEBFCFCB 22 2.幾何的證明與計算題 例 34如圖，PAB

16、是圓 O 的割線，AB 是圓 O 的直徑，PC 為圓 O 的切線，C 為切點，BDPC 于點 D.交圓 O 于 E.PA=AO=OB=1 (1).求P 的度數(shù)。(2).求 DE 的長 例 35.如圖，圓 O 的內(nèi)接ABC 中，.AB=AC,D 是圓 O 上一點，AD 延長線交 BC 的延長線于 P. (1).求證:APADAB 2 (2).若圓 O 的直徑為 25,AB=20,AD=15,求 PC 和 DC 的長 例 36.如圖，PAQ 是直角，半徑為的圓 O 與 AP 相切于點 T.與 AQ 相交于點 B、C. (1).BT 是否平分OBA?證明你的結論 (2).若已知 AT=4,求 AB

17、的長 D C B A P C B D A C F A D E O B D E C B O A 例 37.已知如圖，圓 O 是ABC 的外接圓，且 AB=AC=13,BC=24.PA 切圓 O 于 A.割線 PBD 過圓心，交圓 O 于點 B、D.連接 CD (1).求證：PA/BC (2).求圓 O 的半徑及 CD 的長。 例 38.如圖，梯形 ABCD 中，AD/BC,AD=2,BC=4,對角線 AC=5,BD=3，試求該梯形的面積 6 例 39.如圖,RTABC 中，C=,以 BC 為直徑的圓 O 交 AB 于點 D,連接 OD 并延長交 CA 的延長線于 90 點 E.過 D 作 DFO

18、E 交 EC 點于 F. (1).求證：AF=CF (2).若 ED=2,求 AD 的長 5 3 sinE 例 40.已知，如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓 O,AB 是圓 O 的直徑，CE 切圓 O 于 E,AECE.,交圓 O 于 D (1).求證:DC=BC. (2).若 DC:AB=3:5,求 sinCAD 的值 A E C B P o o D A C B P M 四代數(shù)、幾何綜合題四代數(shù)、幾何綜合題 1.圓與直線綜合題 例 41).如圖，直線與 x 軸，y 軸分別交于點 A、B,OA=4,且 OA,OB 的長是關于 x 的方程的012 2 mxx 兩個根。以 OB 為直徑的圓 M 交

19、 AB 于 C.連接 CM 并延長交 x 軸于 N (1).求 AB 的解析式. (2).求線段 AC 的長. (3)求證： NANONC 2 (4).如果 D 是 OA 的中點，求證 CD 是圓 M 的切線 例 42.如圖，在直角坐標系中，以(a,0)為圓心的圓與 x 軸交于 C、D 兩點，與 y 軸交于 A、B 兩點。 O 連接 AC (1).點 E 在 AB 上，EA=EC,求證：EBAEAC 2 (2).在(1)的結論下，延長 EC 到 P,連接 PB,若 PB=PE,試判斷 PB 與圓的位置關系，并說明理由 O (3).如果 a=2,圓半徑為 4,求(2)中直線 PB 的解析式。 O

20、 2圓與方程綜合 x OD B C P A O D C Q E B A P A F EO DC B 例 43.如圖，,PB=PM 60CPBAPC 求證：(1).是等邊三角形ABC (2).PA,PB 是關于 x 的方程的兩根0 2 PDPCPCxx 例 44.在中,AB=,AC=6,BC=,P 是 AC 上與 A、C 不重合的一動點，過 P、B、C 的圓 O 交ABC3432 AB 于 D (1).設,求 y 與 x 的函數(shù)關系式，并確定 x 的取值范圍yPDPCxPA 22 , (2).P 在 AC 上何處時 y 有最小值？最小值是多少？ (3).求 y 取最小值時圓 O 的面積 例 45

21、如圖，兩同心圓，大圓的弦 AD 交小圓于 B、C,AE 切小圓于 E,連接 CE,直線 BE 交大圓于 P、Q. 已知 BE=AE, AB=a,AE=b. (1).求證：CD、CE 的長是方程的兩根0)( 2222 abxbaax (2).求 PB 的長 例 46.如圖，以 RtABC 的直角頂點 C 為原點，以兩條直角邊 AC.AB 為 x 軸、y 軸建立直角坐標系，圓 O 是 C O D EA B O C A F OB D ABC 的內(nèi)切圓，半徑為 r.兩條直角邊 a、b 是一元二次方程的兩根。AB=c014 2 mxx (1).確定 c 與 r 的關系，c 與 m 的關系 (2).當圓