1.1.1任意角-教案(人教A版必修4)

1、1.1任意角和弧度制 1.1.1 任意角 三維目標(biāo) 1知識(shí)與技能 （1）理解任意角（正角、負(fù)角、零角）的概念、象限角與區(qū)間角的概念. （2）掌握終邊相同角的表示方法，會(huì)用角的集合表示一些實(shí)際問(wèn)題中的角. 2. 過(guò)程與方法 借助于角、直角坐標(biāo)系和單位圓等工具來(lái)引導(dǎo)學(xué)生了解任意角的概念，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形 結(jié)合的思想方法來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題. 3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 （1）通過(guò)對(duì)角的概念的探究提高學(xué)生的推理能力.（2）通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué) 生應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫. 難點(diǎn)：終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫. 教學(xué)建議 首先通過(guò)

2、實(shí)際問(wèn)題（撥手表、體操中的轉(zhuǎn)體、齒輪旋轉(zhuǎn)等）引出角的概念的推廣問(wèn)題，引 發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，然后用具體例子，將初中學(xué)過(guò)的角和概念推廣到任意角，在此基礎(chǔ)上引 出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在自己已有經(jīng)驗(yàn)（生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)） 的基礎(chǔ)上，更好地認(rèn)識(shí)任意角、象限角、終邊相同的角等概念. 課標(biāo)解讀 1了解任意角的概念. 2.理解終邊相同角的含義及其表示.（重點(diǎn)） 知識(shí)1 任意角 【問(wèn)題導(dǎo)思】 將射線OA繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？ 【提示】有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向. 1. 定義 角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形. 2. 分類 正角、

3、負(fù)角與零角 正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角； 負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角； 零角：一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角. 知識(shí)2 象限角 【問(wèn)題導(dǎo)思】 把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角, 則其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？ 【提示】 終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi). 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合. 象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角. 知識(shí)3 終邊相同的角 【問(wèn)題導(dǎo)思】 30 390 750 ，30 + k 360 (k Z)的角的終邊有什么關(guān)系? 【提示】 相同. 所有與角a

4、終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S= 日B=a+ k 360 , k Z，即任一與角 a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和. 類型1 角的基本概念 例1下列命題 第一象限角一定不是負(fù)角； 第二象限角大于第一象限角; 第二象限角是鈍角； 小于 180的角是鈍角、直角或銳角 其中不正確的序號(hào)為 【思路探究】 解答本題可根據(jù)角的大小特征，位置特征進(jìn)行判斷 【自主解答】一330角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以不正確. 120角是第二象限角，390角是第一象限角，顯然 390 120 所以不正確. 480角是第二象限角，但它不是鈍角，所以不正確. 0。角是小于180角，但它既不是鈍

5、角，也不是直角或銳角，故不正確. 【答案】 1. 解決此類問(wèn)題關(guān)鍵在于正確理解象限角及銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念， 嚴(yán)格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. 2. 判斷結(jié)論正確與否時(shí)，若要說(shuō)明結(jié)論正確，需要嚴(yán)格的推理論證，若要說(shuō)明結(jié)論錯(cuò) 誤，只需舉出反例即可. 下列說(shuō)法正確的是() A 銳角是第一象限角 B 鈍角比第三象限角小 C.三角形的內(nèi)角必為第一、二象限角 D 小于90。的角都是銳角 【解析】一100是第三象限角，但一10090故B錯(cuò)；90角是直角三角形的內(nèi)角, 但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C錯(cuò)；30小于90 不是銳角，故 D錯(cuò). 【答案】A 類型2 終邊相同的角 例2 已知角

6、a= 2 010 把a(bǔ)改寫成k 360 +Z,0 B360 的形式，并指出它是第幾象限角； (2)求0,使B與a終邊相同，且360 X720 【思路探究】 先求出3,判斷角a所在的象限，用終邊相同的角表示0滿足的不等關(guān) 系，求出k和0 【自主解答】 由2 010除以360得商為5,余數(shù)為210 取 k= 5, 3= 210 a= 5X 360 + 210 又3= 210是第三象限角, a為第三象限角. (2)與2 010終邊相同的角： k360 2 010 (k Z). 令一360 k 360 + 2 010 720 (k Z), 解得6令 k - 3協(xié) Z). 所以 k= 6, 5, 4.

7、將k的值代入k 360牛2 010中， 得角B的值為一150 ； 210 : 570 1. 把任意角化為 a+ k 360 (k Z且0 a360 )的形式，關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(a 的絕對(duì)值較小)也可用除法. 2要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的 角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值. 若將例題中“角 a= 2 010 ”，改為“ a=- 315，其他條件不變，結(jié)果如何? 【解】用315除以360商為1,余數(shù)為45 k= 1, 3= 45, 因此 a= 360 + 45 I a是第一象限角. 與一315。終邊相同的角:k 360 315 Z）

8、, 令一360 k 360 315 720 （k Z）, 123 解得一- k23（k Z）, 所以 k= 0,1,2. 將k值代入k 360 315中， 得所求角為一315 45和405 類型3 象限角與區(qū)域角的表示 例3如圖1 1 1,終邊落在陰影部分（不包括邊界）的角的集合是（） 圖 111 A . o|k 360 + 30 ak 360 + 45 k Z B. |k 180 + 150 k180 + 225 k Z C. 林360 + 150 k 360 + 225 k Z D. o|k 360 + 30 a 適合題意的角的集合 k Z 【自主解答】 在 0360內(nèi)落在陰影部分角的范圍

9、為大于150而小于 225，所以在 終邊落在陰影部分（不包括邊界）的角的集合為 * 360 150 ak 360牛225 k Z. 【答案】 C 1. 先在360。360。范圍內(nèi)確定區(qū)域角起止邊界處角，再把端點(diǎn)處加上360。的整數(shù)倍 即得 2. 區(qū)域角的表示問(wèn)題，遵循先從特殊再到一般的規(guī)律寫出，即先選擇一個(gè)合適的角度 為 360 區(qū)間，寫出落在陰影部分的角的集合，然后再在端點(diǎn)處加上周角的整數(shù)倍表示終邊 落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合.注意結(jié)果盡量表示為一個(gè)連續(xù)區(qū)間. 寫出下圖 1 1 2 中陰影部分 （不含邊界 ）表示的角的集合. 圖 1 1 2 所以終邊落在 【解】 在180。180內(nèi)落在陰影部分

10、角集合為大于45。小于45 , 陰影部分（不含邊界）的角集合為 a 45 + k -360 a45 + k -360 , k Z 忽視象限角范圍致誤 若a是第二象限角，試確定 2 a亍是第 幾象限角. 【錯(cuò)解】由題意得90a180, 所以有 180 2 a360 a 45 290 a 故有2a為第三象限角、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上角，2為第一象限角. 【錯(cuò)因分析】 致錯(cuò)原因是把 a是第二象限角范圍誤認(rèn)為是大于90而小于180，而應(yīng) 是 o|90 豐 k360 a180t k 360 k Z才完整. 【防范措施】正確理解象限角的含義及范圍是避免此類錯(cuò)誤的關(guān)鍵. 【正解】(1)由題意得 9

11、0 + k 360 a180 + k 360 (k Z), 180 + 2k 3602 a360 + 2k 360 (k Z). 故2 a是第三或第四象限角或終邊落在y軸非正半軸上的角. (2)由得 45 + k 180 a90 + k 180 (k Z), 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k= 2n(n Z),得 a 45 + n 360 290 + n 360 n Z), 故和第一象限角. 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令 k= 2n + 1(n Z)得 a 45 + 180 + n 360 ?90 + 180 + n 360 (n Z), 即 225 + n 360和70 + n 360 n Z), 故2為第三象限角.

12、 綜上可知;為第一或第三象限角. 課堂小結(jié) 1. 理解任意角的概念要抓住四個(gè)要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊和射線的旋轉(zhuǎn)方向. 2象限角的確定依賴于角的終邊位置的確定，要注意對(duì)表達(dá)式中的k進(jìn)行分類討論, 以確定角的終邊的位置. 3熟練掌握終邊相同的角的公式及應(yīng)用，明確象限角的概念與內(nèi)涵是解題的依據(jù). 1. 將射線OM繞端點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。所得的角為（） A . 120 B . - 120 C. 60D. 240 【解析】由于射線0M繞0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故所得角為正角120 【答案】A 2. （2013開(kāi)封高一檢測(cè)）下列各角中，與角 330。的終邊相同的角是（） A. 510 B. 150 C.-

13、150 D . - 390 【解析】與330終邊相同的角的集合為S=日3= 330 + k 360, k Z, 當(dāng) k =- 2 時(shí)，3= 330 - 720 - 390 故選 D. 【答案】D 3. 將885 化為 a+ k 360 （0 a 360 k Z）的形式是. 【解析】885 = - 1080 + 195= ( 3) X 360 + 195 【答案】195 + (-3) X 360 4 .如果B為小于360。的正角，B的4倍角的終邊與 B的終邊重合，求B的值. 【解】 依題意4吐k 360 +B,且0 0360 , 0= k 120 取 k = 1 或 k= 2,. 0= 120或

14、 0= 240 一、選擇題 1. 已知A=第一象限角, B = 銳角, C=小于90。的角,那么A、B、C關(guān)系是 A . B=AA CB . BUC=C C. A C D . A = B= C 【解析】 銳角大于0小于90故C B，選項(xiàng)B正確. 【答案】 B 2. 把1 485 轉(zhuǎn)化為 a+ k 360 (0 aV360 k Z)的形式是() A . 45 4X 360 B . 45 4X 360 C. 45 5X 360 D . 315 5X 360 只有D 【解析】 B、C選項(xiàng)中a不在0360范圍內(nèi)，A選項(xiàng)的結(jié)果不是1 485 正確. 【答案】 D 3 .若a是第二象限角，則180 a是(

15、) A .第一象限角B .第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 【解析】可借助于取特殊值法，取a= 120，則180 120 = 60. 【答案】A 4若a與B的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則有() A a= B+ 180 B a= 3- 180 C a=- 3 D a= 3+ (2k+ 1) 180 , k Z 【解析】a與3的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則兩角的終邊相差180的奇數(shù)倍，可得 a= 3+ (2k+ 1) 180 k Z. 【答案】D 5. 以下命題正確的是() A .第二象限角比第一象限角大 B A = a|a= k 180 k Z, B = 3| 3= k 90 k Z，貝U AB C

16、.若 k 360 ak 360 + 180 (k Z)，貝U a為第一或第二象限角 D .終邊在x軸上的角可表示為 k 360 (k Z) 【解析】A不正確，如一210 30. 在 B 中，當(dāng) k= 2n, k Z 時(shí)，=n 180 n Z. A B,. B 正確. 又C中，a為第一或第二象限角， 或在y軸的非負(fù)半軸上， C不正確，顯然D不正確. 【答案】B 二、填空題 6. (2013哈爾濱高一檢測(cè))與一2 002終邊相同的最小正角是 . 【解析】 與2 002。終邊相同的角的集合為 3 3=- 2 002 + k 360 k Z，與2 002 終邊相同的最小正角是當(dāng)k= 6時(shí)，3=- 2

17、002 -P6X 360 = 158 【答案】158 7. 若將時(shí)鐘撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)了 度，時(shí)針轉(zhuǎn)了 度. 【解析】撥慢時(shí)針為逆時(shí)針形成正角，分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為晉0=6 5分鐘轉(zhuǎn) 30 過(guò)30 時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)為 石=0.5 , 5分鐘轉(zhuǎn)過(guò)2.5 . 60 【答案】30 2.5 8. (2013哈爾濱高一檢測(cè))在四個(gè)角一20 - 400 - 2 000 600沖，第四象限的角 的個(gè)數(shù)是. 【解析】一20是第四象限的角；一400 = - 360- 40也是第四象限的角；一2000 =(6) X 360 + 160 是第二象限的角；600 = 360 240 是第三象限的角.所以第四象

18、 限的角的個(gè)數(shù)是 2 個(gè) 【答案】 2 個(gè) 三、解答題 9若角a的終邊和函數(shù)y= X的圖象重合，試寫出角a的集合. 【解】 在0360范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為135和315 終邊為 y= x 的角的集合是 o|a= k 360 牛 135 k Z U a| a= k 360 315 k Z = a| a= 2k 180 135 k Z U o| a= (2k + 1) 180 135 ； k Z = a| a= k 180 牛 135 ； k Z. 10.在與 530終邊相同的角中，求滿足下列條件的角. (1) 最大的負(fù)角； (2) 最小的正角； (3) 720到 360的角 【解】 與53

19、0終邊相同的角為k 360 + 530 , k Z. (1) 由360 k360 + 530 0且k Z可得k = 2,故所求的最大負(fù)角為190 (2) 由 0 k360 + 530 360 且 k Z 可得 k= 1, 故所求的最小正角為 170 . (3) 由720 k360 + 530 360。且 k Z 得 k= 3,故所求的角為 550 11 .如圖 1 1 3 所示. 圖113 （1）分別寫出終邊落在 OA, OB位置上的角的集合； 寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合. 【解】終邊落在OA位置上的角的集合為 o|a= 90 + 45 + k 360 135 + k360 k Z. 終邊落在OB位置上的角的集合為 日 3= 30 + k360 k Z. （2）由題圖可知，終邊落在陰影部分（包括邊界）角的集合是由大于或等于一 等于135范圍內(nèi)的所有與之終邊相同的角組成的集合，故終邊落在陰影部分 的集合為 Y 30 + k 360 范 fC 135 范 k 360 k Z. 【教師備課資源】 象限角的判斷 k Z = a= 30。而小于或 （包括邊界）的角 已知a是第一象限角， 在的象限. 【解】Ta是第一象限角， k 360 范 av k 360 范 90 k Z. 2k 360 v 2