量子力學(xué)復(fù)習(xí)題--大題

1、1. 2在OK附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求其德布羅意波長解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv,如果所考慮的粒子是非相對論性的電子（E動 eC2），那么如果我們考察的是相對性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動能僅為 3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平 方的乘積，即0.51 106eV，因此利用非相對論性的電子的能量一一動量關(guān)系式， 這樣，便有_h_Kehc9 / 131.24 10m2 0.51 106 390.71 10 m0.71 nm在這里，利用了以及6hc 1.24 10 eV meC20.51 106eV最后，對2 3.7 10931.5 10he2

2、ee2E作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長就越短， 因而這個(gè)粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時(shí)，這 個(gè)粒子的波長就越短，因而這個(gè)粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世 界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二 象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。1. 3氦原子的動能是E 3kT （k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氦原子的德 2布羅意波長。解根據(jù)31k K 10 3 eV，知本題的氦原子的動能為333E -kT -k K 1.5 10 eV, 22顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 核e2這樣，便有he.2 核e2E0

3、.37 10 9m0.37 nm這里，利用了核 e24 931101.24 10eV 3.7 109eV最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為 kT,這樣，其相應(yīng)的德布羅意波 長就為hehe.2 c2E 2 ke2T據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時(shí)這種粒子的波 動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時(shí)， 粒子間的相干性 就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布， 而必須 用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米公布。p.52 2.1.證明在定態(tài)中，幾率流密度與時(shí)間無

4、關(guān)證：對于定態(tài)，可令(r，t)(r)f(t)丄Et(r)eJi*2 ()itEt * * Et Et2 (r)e(r)e )(r)e( (r )e )1 *2 (r)(r)*(r)(r)可見J與t無關(guān)。2.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度:1 ikri er(2) 21 ikrer從所得結(jié)果說明i表示向外傳播的球面波,2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波解：JJ2只有r分量在球坐標(biāo)中ro -r1rsin(1) J1( 11 r1e2 r1）ikreikr) !erikr/ 1 ikr 、-(e )r r rk-o r111-ik_)-( rrrkrr1ik)r。與r同向。表示向外傳播的球面波(

5、2) J2(2可見，J2與r反向2-de2 r2-(2 r表示向內(nèi)ikr/ 1 ikr -(e )r rik-)1 ikr. 1 ikre(e)ror r r-(r2ik1)ror r（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)（x） eikx，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?dx dx2波函數(shù)不能按I （X） dx 1方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同#3.8.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為 a，如果粒子的狀態(tài)由波函 數(shù)(x) Ax (a x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)（x）的形式可知一維無限深

6、勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為()J2sin x, 0 x a(x) a a0,x 0, x a2 a2(n 1,2,3,)能量的幾率分布函數(shù)為2(E) CnCn(x) (x)dxx (x)dx先把（x）歸一化，由歸一化條件,2(x) dxA2x2(ax)dxA22(a20 22ax x )dxaA2 0 (a2x2 2ax3 x4)dx55552 a a a 2 aA() A2 325303030 .5 sin aCnax(a x)dxx sin0xdxaa 2 . n x sin xdx0a2 152a24 J|1n3(E)nxcosa.nxsin xaCn1)n240 1

7、960-66 ， nn0, n3a2- n2a3.nsin xa3 3 cos-x na(1)n21, 3, 5,2, 4, 6,2 nx cos x a(x)H? (x)dx(x)2?-2(x)dx聲X(X0a5a)2 dbx(xa)dx30 2a0x(xa)dx30 2(a3 a5 ( 22 a523.10 粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，勢能為U(r),r a;0, r a求粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)解：據(jù)題意，在r a的區(qū)域，U(r)，所以粒子不可能運(yùn)動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)0(r a)由于在ra的區(qū)域內(nèi)，U(r)0。只求角動量為零的情況，即0，這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。

8、即粒子的幾率分布與角度、無關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與、無關(guān)。設(shè)為(r)，則粒子的能量的本征方程為2 r dr2u令 U(r) rE , k2 雪，得dr其通解為u(r) A cos kr B sin krAB(r)_ cos kr sin krrr波函數(shù)的有限性條件知，(0)有限，則(r)Bsinkr r由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有(a) 0Bsinka(n 1,2,)EnB n(r)sin rr a其中B為歸一化，由歸一化條件得(r /r2 sin draB2 sin 20n ,rdr 2 aBa歸一化的波函數(shù)(r)r.nsin ra4.3 求在動量表象中線性諧振子的能

9、量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定諤方程為2 2 討 t)2$c(p，t)EC(p,t)12x2222即 22 2 dp2Ctp,t)(E 2)c(p,t)02兩邊乘以，得c(p,t)(竺丄)qp,t) 01 dp令Pp,2EC(p,t)(2)C(p,t)0跟課本P.39(2.7-4)式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為En (n 4)1 2p2丄EntC(p,t) Nne2 Hn( p)e式中Nn為歸一化因子，即NnTV24.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。2x22x29 / 13Hpp*p(x)R p(x)dx15 / 13ipxedxipx)e2 r(ip)21( P p)

10、x edx2 122 -(p p)xx e dxJ (p p) 1()22丄(P2 epP)xdx22iP /、12 、21-(p P)x(p p)() 2e dx22ip 222f-(pp)222 (p p)p2f-(p2(p p) p5.3設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個(gè)能級:E01及Eo2，現(xiàn)在受到微擾R的作用,微擾矩陣元為出2 H21 a，HnH22b ； a、b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。解：由微擾公式得E(1)1 nH（H mnE(o)E nE(0)EmE01)H11E02)H22 bE012)H m1E01E0m2aE01 E02E1 E01E2E2F（2）Hm,22 a

11、02mE02E0mE02 E01能量的二級修正值為2bE01 E022b E02 E015.7計(jì)算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時(shí)所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。解:J 2 p 1s N 2 p A2 p 1s21N2pN2p 1097.1.證明:證:由對易關(guān)系？x ?yN2p 362810es34esp 3736c82252 14es368 3 c2510es342a。N2N2p93.1 10 W則J 213.1W2110.2eV2i ?z反對易關(guān)系?x?X ?yi ?z上式兩邊乘?z，得? ? ?x y zi ?；?2 ix y z7.5設(shè)氫的狀態(tài)是1-R2i(r)Yn(,)2 3R2i(r)Yio(,)2求軌道角動量z分量?z和自旋角動量z分量Sz的平均值;? e ? e ?求總磁矩M 旦L2的z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）解：可改