電磁感應(yīng)中的一類重要問題――磁動力問題

1、電磁感應(yīng)中的一類重要問題磁動力問題電磁感應(yīng)是高中物理的重點(diǎn)內(nèi)容， 涉及的知識面廣， 綜合性 強(qiáng)，對學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題能力要求較高， 是高考的 重點(diǎn)內(nèi)容之一。 磁動力問題考察楞次定律、 法拉第電磁感應(yīng)定律、 右手定則、閉合電路歐姆定律、安培力的大小和方向、牛頓運(yùn)動 定律、功能關(guān)系、功率等有關(guān)知識，考察面很廣，應(yīng)用性很強(qiáng)。 筆者通過對磁動力問題目前所能涉及到的例題的詳盡分析， 以便 更好地幫助學(xué)生提高對這類問題的分析能力、 處理能力， 進(jìn)而深 入理解物理知識的內(nèi)在聯(lián)系。導(dǎo)體切割磁感線是電磁感應(yīng)中常見的一類模型， 但大多數(shù)是 磁場不動，導(dǎo)體桿運(yùn)動。而當(dāng)磁場運(yùn)動時(shí)，磁場會給桿一個(gè)向前 的安培

2、力，即磁動力。問題：如圖所示， 光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)， 間距為 L,導(dǎo)軌左端接有阻值為 R的電阻。質(zhì)量為 m的導(dǎo)體棒垂直跨接 在導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好。通過沿導(dǎo) 軌安裝的通電線圈， 在一矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場， 磁場方向豎 直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B。開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū) 域的右端，當(dāng)磁場以速度 v1 勻速向右移動時(shí)：一、電流方向的判斷磁場向右運(yùn)動， 相當(dāng)于導(dǎo)體桿相對磁場向左運(yùn)動， 由右手定 則判斷，大拇指向左，電流方向沿桿由上而下。1. 動力來源：（1）電流由上而下，由左手定則得，導(dǎo)體桿受到的安培力 向右，即磁動力，使桿向右運(yùn)動。動力原理如傳送帶

3、原理。（ 2）當(dāng)磁場以速度 v1 勻速向右移動時(shí)，導(dǎo)體桿以向右運(yùn)動 時(shí)（），回路中的感應(yīng)電動勢。實(shí)際上，當(dāng)桿與磁場有相對運(yùn)動 時(shí)，是桿相對磁場的速度。應(yīng)用：加速1. 磁場勻速運(yùn)動例 1、（北京海淀）如圖所示，兩根平行長直金屬導(dǎo)軌傾斜放置，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為e，導(dǎo)軌的間距為L,兩導(dǎo)軌上端之間接有阻值為 R的電阻。質(zhì)量為 m的導(dǎo)體棒ab垂直跨接 在導(dǎo)軌上，接觸良好，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為卩，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)。 在導(dǎo)軌平面上的矩形區(qū) （如圖中虛線 框所示）域內(nèi)存在著勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向上，磁 感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。當(dāng)磁場以某一速度沿導(dǎo)軌平面勻速向上運(yùn) 動時(shí)，導(dǎo)體棒以速度

4、 v0 隨之勻速向上運(yùn)動。設(shè)導(dǎo)體棒在運(yùn)動過 程中始終處于磁場區(qū)域內(nèi)。求：（1）通過導(dǎo)體棒 ab 的電流大小和方向；（2）磁場運(yùn)動的速度大小；（3） 維持導(dǎo)體棒勻速向上運(yùn)動，外界在時(shí)間t 內(nèi)需提供的能量是多少？ 解析：（1）導(dǎo)體棒 ab 做勻速運(yùn)動，受力平衡，設(shè)通過導(dǎo)體 棒的電流為 I ，則BIL= a mgcosB +mgsin 6 解得 I=由左手定則判定，電流的方向由 b 到 a（2）當(dāng)導(dǎo)體棒以恒定速度 v0 勻速運(yùn)動時(shí)，設(shè)磁場運(yùn)動的速 度為 v則 E=BL（v-v0 ） 通過導(dǎo)體棒的電流 I= 導(dǎo)體棒受到的安培力 F=BIL 解得 v=（3）外界提供的能量一部分轉(zhuǎn)化為電阻R中的焦耳熱，一

5、部分克服摩擦力和重力做功。在時(shí)間 t 內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱 Q=I2Rt= 在時(shí)間 t 內(nèi)導(dǎo)體棒上滑的距離克服摩擦力和重力做功 W克=在時(shí)間t內(nèi)外界提供的能量E=Q+V克解得 E=例 2、（北京海淀）磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具，它是 經(jīng)典電磁學(xué)與現(xiàn)代超導(dǎo)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。 磁懸浮列車具有兩個(gè) 重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使 車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸。 另一是驅(qū)動系統(tǒng)， 就是 在沿軌道安裝的繞組（線圈）中，通上勵(lì)磁電流，產(chǎn)生隨空間作 周期性變化、 運(yùn)動的磁場， 磁場與固定在車體下部的感應(yīng)金屬框 相互作用，使車體獲得牽引力。為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來由，

6、我們給出如下 的簡化模型，圖（甲）是實(shí)驗(yàn)車與軌道示意圖，圖（乙）是固定 在車底部金屬框與軌道上運(yùn)動磁場的示意圖。 水平地面上有兩根 很長的平行直導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間有豎直（垂直紙面）方向等距離間隔 的勻強(qiáng)磁場Bl和B2,二者方向相反。車底部金屬框的寬度與磁 場間隔相等，當(dāng)勻強(qiáng)磁場 Bl和B2同時(shí)以恒定速度v0沿導(dǎo)軌方 向向右運(yùn)動時(shí)， 金屬框也會受到向右的磁場力， 帶動實(shí)驗(yàn)車沿導(dǎo) 軌運(yùn)動。設(shè)金屬框垂直導(dǎo)軌的邊長 L=0.20m、總電阻R=l.6 Q,實(shí)驗(yàn) 車與線框的總質(zhì)量 m=2.0kg,磁場Bl=B2=B=1.0T,磁場運(yùn)動速度 v0=10m/s?；卮鹣铝袉栴}：（1）設(shè) t=0 時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零

7、，求金屬框受到的磁 場力的大小和方向；（2）已知磁懸浮狀態(tài)下，實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動時(shí)受到恒定的阻力 f1=0.20N ，求實(shí)驗(yàn)車的最大速率 vm；（3）實(shí)驗(yàn)車 A 與另一輛磁懸浮正常、質(zhì)量相等但沒有驅(qū)動 裝置的磁懸浮實(shí)驗(yàn)車 P掛接，設(shè)A與P掛接后共同運(yùn)動所受阻力 f2=0.50N。A與P掛接并經(jīng)過足夠長時(shí)間后的某時(shí)刻，撤去驅(qū)動系統(tǒng)磁場，設(shè)A和P所受阻力保持不變，求撤去磁場后A和P還 能滑行多遠(yuǎn)？解析：（ 1） t=0 時(shí)刻，線框相對磁場的速度為 v0=10m/s ， 金屬框 A 中產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，設(shè)瞬時(shí)電動勢大小為 E0E0=2BLv=4.0V 設(shè)線框中的電流大小為 I0 ，根據(jù)閉合電路歐姆定

8、律I0=2.5A設(shè)金屬框A受到的磁場力的大小為 F0,根據(jù)安培力公式 F0=2BI0L=1.0N 方向向右（2）金屬框A達(dá)到最大速度vm時(shí)相對磁場的速度為（vO-vm）， 設(shè)此時(shí)線圈中的感應(yīng)電動勢為E1,貝U E仁2BL（ vO-vm）設(shè)此時(shí)金屬框中的電流為 I1 ，根據(jù)歐姆定律I1= 實(shí)驗(yàn)車達(dá)到最大速度時(shí)受力平衡， f1=2BI1L 整理得： f1=解得：vm=8.0m/s1 分（3）設(shè)A與P掛接后再次達(dá)到勻速運(yùn)動時(shí)的速度為v2,同理可得f2=解得 v2=5.Om/s設(shè)撤去磁場后A和P還能滑行的距離為s，根據(jù)動能定理解得 s=100m2. 磁場勻加速運(yùn)動例 3、（北京海淀）磁懸浮列車是一種高

9、速運(yùn)載工具，它具 有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提 供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來與軌道脫離接觸從而減小阻力。 另 一是驅(qū)動系統(tǒng)， 即利用磁場與固定在車體下部的感應(yīng)金屬框相互 作用，使車體獲得牽引力， 下圖是實(shí)驗(yàn)列車驅(qū)動系統(tǒng)的原理示意 圖。在水平面上有兩根很長的平行軌道PQ和MN軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場 B1和B2,且B1和B2的方向相反，大小相 等，即B1=B2=B在列車的底部固定著繞有 N匝相同的閉合矩形 金屬線圈，并且與之絕緣。整個(gè)線圈的總電阻為R,每個(gè)矩形金屬線圈abed垂直軌道的邊長Lab=L，且兩磁場的寬度均與金屬 線圈 ad 的邊長相同（列車的車廂在圖中

10、未畫出）。當(dāng)兩磁場 Bl 和B2同時(shí)沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動時(shí)，金屬框也會受到向右的磁場 力，帶動列車沿導(dǎo)軌運(yùn)動。已知列車車廂及線圈的總質(zhì)量為M，整個(gè)線圈的電阻為 R。（1）假設(shè)用兩磁場同時(shí)水平向右以速度 v0 作勻速運(yùn)動來起 動列車， 為使列車能隨磁場運(yùn)動， 列車所受總的阻力大小應(yīng)滿足 的條件；（2）設(shè)列車所受阻力大小恒為 f ，假如使列車水平向右以 速度 v 做勻速運(yùn)動， 求維持列車運(yùn)動外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的3）設(shè)列車所受阻力大小恒為 f ，假如用兩磁場由靜止沿水平向右做勻加速運(yùn)動來起動列車，當(dāng)兩磁場運(yùn)動的時(shí)間為 t1 時(shí)，列車也正在以速度 v1 向右做勻加速直線運(yùn)動，求兩磁場開 始運(yùn)動后到列

11、車開始起動所需要的時(shí)間 t0 。解：（ 1）列車靜止時(shí)，電流最大，列車受到的電磁驅(qū)動力最大設(shè)為Fm此時(shí)，線框中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E仁2NBLvO線框中的電流： I1=整個(gè)線框受到的安培：力 Fm=2NBI1L 列車所受阻力大小為：（2）當(dāng)列車以速度 v 勻速運(yùn)動時(shí)，兩磁場水平向右運(yùn)動的 速度為v，金屬框中感應(yīng)電動勢金屬框中感應(yīng)電流又因?yàn)椋呵蟮茫寒?dāng)列車勻速運(yùn)動時(shí)，金屬框中的熱功率為 P1=I2R 克服阻力的功率為 P2=fv 所以可求得外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量為 E=I2R+fv=（3）根據(jù)題意分析可得，為實(shí)現(xiàn)列車最終沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動， 其加速度必須與兩磁場由靜止開始做勻加速直線

12、運(yùn)動的加速度相同，設(shè)加速度為a,則t1時(shí)刻金屬線圈中的電動勢金屬框中感應(yīng)電流：又因?yàn)榘才嗔Γ核詫α熊?，由牛頓第二定律得：解得： 設(shè)從磁場運(yùn)動到列車起動需要時(shí)間為 t0 ，則 t0 時(shí)刻金屬線 圈中的電動勢：金屬框中感應(yīng)電流：又因?yàn)榘才嗔Γ核詫α熊?，由牛頓第二定律得：解得：例 4、（上海）如圖所示，光滑的平行長直金屬導(dǎo)軌置于水 平面內(nèi)，間距為L、導(dǎo)軌左端接有阻值為 R的電阻，質(zhì)量為 m的 導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上。 導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)， 且接觸 良好。在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁 場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B。開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場區(qū)域的右 端，當(dāng)磁場以速度 v1 勻速

13、向右移動時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動， 同時(shí)受到水平向左、 大小為 f 的恒定阻力， 并很快達(dá)到恒定速度， 此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場區(qū)域內(nèi)。（1）求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度 v2；（2）為使導(dǎo)體棒能隨磁場運(yùn)動，阻力最大不能超過多少？（3）導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做 的功和電路中消耗的電功率各為多大？4）若 t=0 時(shí)磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運(yùn)動， 經(jīng)過較短時(shí)間后， 導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動， 其 v-t 關(guān)系如圖 (b)所示，已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棋睥瞬時(shí)速度大小為 vt，求導(dǎo)體 棒做勻加速直線運(yùn)動時(shí)的加速度大小。解析：( 1)速度恒定時(shí)有：，可得：( 2)(3) P導(dǎo)體棒，P電路

14、( 4)因?yàn)椋瑢?dǎo)體棒要做勻加速運(yùn)動，必有為常數(shù)，設(shè)，則， 可解得：總結(jié)：若金屬棒在運(yùn)動中不受阻力， 最終金屬棒將達(dá)到和磁 場相同的速度勻速運(yùn)動， 回路中不再有感應(yīng)電流， 不受安培力的 作用；若金屬棒在運(yùn)動中受阻力 f ，金屬棒以恒定的速度勻速運(yùn) 動，磁場和金屬棒保持恒定的速度差，即()；若磁場由靜止開 始做勻加速直線運(yùn)動， 當(dāng)安培力增大到等于金屬棒所受的最大靜 摩?力時(shí)() ，金屬棒開始做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動，最終 以和磁場相同的加速度勻加速運(yùn)動， 從而保證二者之間恒定的速 度差。要使金屬棒加速或維持最大速度，必須給系統(tǒng)補(bǔ)充能量： 線框內(nèi)部要產(chǎn)生焦耳熱；由于受到阻力，摩擦生熱；金屬棒動能

15、的增加。這些能量全部來源于外界使磁場運(yùn)動的能量。二、減速例 5、(北京海淀)如圖虛線框內(nèi)為某種電磁緩沖車的結(jié)構(gòu) 示意圖，在緩沖車的底板上沿車的軸線固定有兩個(gè)足夠長的平行絕緣光滑導(dǎo)軌PQ MN在緩沖車的底部還安裝有電磁鐵（圖中 未畫出），能產(chǎn)生垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng) 度為B。在緩沖車的PQ MN導(dǎo)軌內(nèi)有一個(gè)由高強(qiáng)度材料制成的 緩沖滑塊K滑塊K可以在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，在滑塊 K上繞 有閉合矩形線圈abed，線圈的總電阻為R,匝數(shù)為n，ab的邊長 為L。緩沖車的質(zhì)量為 ml （不含滑塊K的質(zhì)量），滑塊K的質(zhì)量為m2為保證安全，要求緩沖車廂能夠承受的最大水平 力（磁場力）為Fm設(shè)緩

16、沖車在光滑的水平面上運(yùn)動。（1）如果緩沖車以速度v0與障礙物碰撞后滑塊 K立即停下， 請判斷滑塊K的線圈中感應(yīng)電流的方向，并計(jì)算感應(yīng)電流的大 ?。唬?）如果緩沖車與障礙物碰撞后滑塊 K立即停下，為使緩 沖車廂所承受的最大磁場力不超過 Fm，求緩沖車運(yùn)動的最大速 度；（3）如果緩沖車以速度 v 勻速運(yùn)動時(shí)，在它前進(jìn)的方向上 有一個(gè)質(zhì)量為m3的靜止物體C，滑塊K與物體C相撞后粘在一 起，碰撞時(shí)間極短。設(shè) m仁m2=m3=m& ed邊進(jìn)入磁場之前，緩 沖車（包括滑塊K）與物體C已達(dá)到相同的速度，求相互作用的 整個(gè)過程中線圈 abed 產(chǎn)生的焦耳熱。解析：（1）由右手定則判斷出感應(yīng)電流的方向是 abe

17、da （或 逆時(shí)針）緩沖車以速度v0碰撞障礙物后滑塊 K靜止，滑塊相對 磁場的速度大小為 v0線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E0=nBLv0 線圈中的電流： I0= 解得： I0=.(2)設(shè)緩沖車的最大速度為 vm， 碰撞后滑塊 K 靜止，滑塊相對磁場的速度大小為vm。線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E1=nBLvm 線圈中的電流 I1=線圈 ab 邊受到的安培力 F1=nBI1L 依據(jù)牛頓第三定律，緩沖車廂受到的磁場力 F1=F1 依題意F1 w Fm 解得： vm=(3)設(shè)K、C碰撞后共同運(yùn)動的速度為 vl,由動量守恒定 律m2v=( m2+m)3 v1解得： v1=設(shè)緩沖車與物體C共同運(yùn)動的速度為v2

18、 由動量守恒定律( m1+m)2 v=(m1+m2+m)3v2 設(shè)線圈abed產(chǎn)生的焦耳熱為Q,依據(jù)能量守恒Q=+- 解得： Q= 例 6、(北京海淀)渦流制動是一種利用電磁感應(yīng)原理工作 的新型制動方式， 它可對高速運(yùn)行的磁懸浮列車進(jìn)行制動。 它的 基本原理如下圖甲所示。 水平面上固定一塊鋁板， 當(dāng)一豎直方向 的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經(jīng)過時(shí)， 鋁板內(nèi)感應(yīng)出 的渦流會對磁鐵的運(yùn)動產(chǎn)生阻礙作用。某研究所制成如上圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁 懸浮列車的渦流制動過程。 車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)， 它只能 在長為L1=0.6m,寬L2=0.2m的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生豎直方向的勻強(qiáng) 磁場，其它地方的磁場忽略不計(jì)。將鋁板簡化為長大于 L1 ，寬 也為 L2 的單匝矩形線圈，間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為 L2,每個(gè)線圈的電阻為 R1=0.1 Q,導(dǎo)線粗細(xì)忽略不計(jì)，簡化的 俯視圖如上圖乙 1。在某次實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)模型車速度為 v0=20m/s 時(shí)，啟動電磁鐵系統(tǒng)開始制動， 由于磁感應(yīng)強(qiáng)度可隨車速的減小 而自動增大（由車內(nèi)速度傳感器控制），但最大不超過B1=2T，所以制動開始時(shí)車立即以 a1=2m/s2 的加速度做勻減速直線運(yùn) 動，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到 B1 時(shí)就保持不變，直到模型車停止運(yùn) 動。已知模型車的總質(zhì)量為 m仁36kg空氣阻力不計(jì)。不考慮磁 感應(yīng)強(qiáng)度的變化引