1.3.三角函數(shù)的誘導公式 (教、學案)

1、 1.3.1三角函數(shù)的誘導公式（一）一、教學目標：1.借助單位圓，推導出正弦、余弦和正切的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題2.通過公式的應用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)學生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。二、重點與難點：重點：四組誘導公式的記憶、理解、運用。難點：四組誘導公式的推導、記憶及符號的判斷；三、學法與教學用具：（1）、與學生共同探討，應用數(shù)學解決現(xiàn)實問題；（2）、通過模擬試驗，感知應用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣四、教學過程：創(chuàng)設情境

2、：我們知道，任一角都可以轉(zhuǎn)化為終邊在內(nèi)的角，如何進一步求出它的三角函數(shù)值？我們對范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值是熟悉的，那么若能把內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，則問題將得到解決，這就是數(shù)學化歸思想研探新知1. 誘導公式的推導由三角函數(shù)定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即有公式一： （公式一）誘導公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為之間角的正弦、余弦、正切?！咀⒁狻浚哼\用公式時，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫成，是不對的【討論】：利用誘導公式（一），將任意范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到角后，又如何將角間的角轉(zhuǎn)化到角呢？ 除此之外還有一些角，它們的終邊具

3、有某種特殊關系，如關于坐標軸對稱、關于原點對稱等。那么它們的三角函數(shù)值有何關系呢？ 若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，那么與的三角函數(shù)值之間有什么關系？特別地，角與角的終邊關于軸對稱，由單位圓性質(zhì)可以推得： （公式二）特別地，角與角的終邊關于軸對稱，故有 （公式三）特別地，角與角的終邊關于原點對稱，故有 （公式四）所以，我們只需研究的同名三角函數(shù)的關系即研究了的關系了?！菊f明】：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；記憶方法： “函數(shù)名不變，符號看象限”；【方法小結】：用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；化為內(nèi)的三角函數(shù)；

4、化為銳角的三角函數(shù)。可概括為：“負化正，大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）。2、例題分析：例1 求下列三角函數(shù)值：（1）； （2）分析：先將不是范圍內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導公式一）或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導公式化到范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的值。解：（1）（誘導公式一）（誘導公式二）（2）（誘導公式三）（誘導公式一）（誘導公式二）方法小結：用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般步驟是：化負角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；化為內(nèi)的三角函數(shù)；化為銳角的三角函數(shù)?？筛爬椋骸柏摶蠡?，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）。例2 化

5、簡解：原式3 課堂練習：（1）若，則的取值集合為（ ）abcd（2）已知那么（ ）abcd（3）設角的值等于（ ）abcd（4）當時，的值為（ ）a1b1c1d與取值有關（5）設為常數(shù)），且 那么 a1b3 c5d7 （ ）（6）已知則 . 4、課堂練習答案：（1）、d （2）、c （3）、c （4）、a （5）、c （6）、 25、作業(yè)：根據(jù)情況安排6 板書設計： 三角函數(shù)的誘導公式（一）基本概念： 例1 課堂練習 例2 臨清三中數(shù)學組 編寫人：賈明磊 審稿人： 龐紅玲 李懷奎1.3.1三角函數(shù)的誘導公式（一）課前預習學案預習目標：回顧記憶各特殊銳角三角函數(shù)值，在單位圓中正確識別三種三角函數(shù)

6、線。預習內(nèi)容：1、背誦30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；2、在平面直角坐標系中做出單位圓，并分別找出任意角的正弦線、余弦線、正切線。提出疑惑：我們知道，任一角都可以轉(zhuǎn)化為終邊在內(nèi)的角，如何進一步求出它的三角函數(shù)值？我們對范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值是熟悉的，那么若能把內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，則問題將得到解決。那么如何實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化呢？課內(nèi)探究學案一、學習目標：（1）.借助單位圓，推導出正弦、余弦和正切的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題（2）.通過公式的應用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程

7、，培養(yǎng)學生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。二、重點與難點：重點：四組誘導公式的記憶、理解、運用。難點：四組誘導公式的推導、記憶及符號的判斷；三、學習過程：（一）研探新知1. 誘導公式的推導由三角函數(shù)定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即有公式一： （公式一）誘導公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為之間角的正弦、余弦、正切?！咀⒁狻浚哼\用公式時，注意“弧度”與“度”兩種度量制不要混用，如寫成，是不對的【討論】：利用誘導公式（一），將任意范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到角后，又如何將角間的角轉(zhuǎn)化到角呢？ 除此之外還有一些角，它們的終邊具有某

8、種特殊關系，如關于坐標軸對稱、關于原點對稱等。那么它們的三角函數(shù)值有何關系呢？ 若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，那么與的三角函數(shù)值之間有什么關系？特別地，角與角的終邊關于軸對稱，由單位圓性質(zhì)可以推得： （公式二）特別地，角與角的終邊關于軸對稱，故有 （公式三）特別地，角與角的終邊關于原點對稱，故有 （公式四）所以，我們只需研究的同名三角函數(shù)的關系即研究了的關系了?！菊f明】：公式中的指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；記憶方法： “函數(shù)名不變，符號看象限”；【方法小結】：用誘導公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是： ； ； ?？筛爬椋骸?”（有時也直接化到銳角求值）。

9、（二）、例題分析：例1 求下列三角函數(shù)值：（1）； （2）分析：先將不是范圍內(nèi)角的三角函數(shù)，轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)（利用誘導公式一）或先將負角轉(zhuǎn)化為正角然后再用誘導公式化到范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的值。例2 化簡（三） 課堂練習：（1）若，則的取值集合為（ ）abcd（2）已知那么（ ）abcd（3）設角的值等于（ ）abcd（4）當時，的值為（ ）a1b1c1d與取值有關（5）設為常數(shù)），且 那么 a1b3 c5d7 （ ）（6）已知則 . 課后練習與提高一、選擇題 1已知，則值為（ ）a. b. c. d. 2cos (+)= ，,sin(-) 值為（ ） a. b. c. d. 3化簡：得

10、（ ）a. b. c. d.4已知，那么的值是（ ） a b c d 二、填空題5如果且那么的終邊在第 象限6求值：2sin(1110) sin960+三、解答題7設，求的值8已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。8解： sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) - sin(3p - a) = 2cos(4p - a)- sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0 1.3.2三角函數(shù)誘導公式（二）【教材分析】 三角函數(shù)的誘導公式是普通高中課程標準實驗教科書必修四第一章第三節(jié)，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)的誘導公

11、式中的公式二至公式六。這節(jié)是誘導公式（二）的推導，在誘導公式（一）的推導中用到了一次對稱變換，這節(jié)是利用兩次對稱變換推導到的誘導公式，充分體現(xiàn)對稱變換思想在數(shù)學中的應用，在練習中加以應用，讓學生進一步體會的任意性；綜合誘導公式（一）、（二）總結出記憶誘導公式的口訣：“奇變偶不變，符號看象限”，了解從特殊到一般的數(shù)學思想的探究過程，培養(yǎng)學生用聯(lián)系、變化的辯證唯物主義觀點去分析問題的能力。誘導公式在三角函數(shù)化簡、求值中具有非常重要的工具作用，要求學生能熟練的掌握和應用?！窘虒W目標】1.借助單位圓，推導出正弦、余弦第五、六組的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有

12、關三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題2.通過公式的應用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)學生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。3. 培養(yǎng)學生的化歸思想，使學生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的一條行之有效的途徑.【教學重點難點】教學重點：掌握角的正弦、余弦的誘導公式及其探求思路教學難點：角的正弦、余弦誘導公式的推導.【學情分析】學生在前面第一類誘導公式學習中感受了數(shù)形結合思想、對稱變換思想在研究數(shù)學問題中的應用，初步形成用對稱變換思想思考問題的習慣，對于兩次對稱變換思想的應用是上一節(jié)課的深化；學生對高中數(shù)學知識有了一定了解和掌握，也形成了自己的學習方法

13、和習慣，對學習高中數(shù)學有了一定興趣和信心，且具有了一定的分析、判斷、理解能力和交流溝通能力。但由于誘導公式多，學生記憶困難，應用時易錯，應該滲透歸納總結的學習方法，讓學生找規(guī)律，體現(xiàn)自主探究、共同參與的新課改理念?！窘虒W方法】1學案導學：見后面的學案。2新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習檢查、總結疑惑情境導入、展示目標合作探究、精講點撥反思總結、當堂檢測發(fā)導學案、布置預習【課前準備】1學生的學習準備：預習“三角函數(shù)的誘導公式”，完成預習學案。2教師的教學準備：多媒體課件制作，課前預習學案，課內(nèi)探究學案，課后延伸拓展學案。3.教學手段：利用計算機多媒體輔助教學.【課時安排】1課時【教學過程】一、預習檢查、

14、總結疑惑檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。二、復習導入、展示目標1.創(chuàng)設情境：問題1：請同學們回顧一下前一節(jié)我們學習的與、的三角函數(shù)關系。設置意圖：利用幾何畫板的演示回顧舊知及公式推導過程中所涉及的重要思想方法（對稱變換，數(shù)形結合）激發(fā)學生學習動機。學生活動：結合幾何畫板的演示，學生回憶誘導公式(一)的推導過程，回答誘導公式(一)的內(nèi)容。多媒體使用：幾何畫板；ppt問題2： 如果兩個點關于直線y=x對稱，它們的坐標之間有什么關系呢？若兩個點關于y軸對稱呢？設置意圖：檢驗學生對兩種對稱變換的點的坐標的變化規(guī)律的掌握程度，為后面的教學作鋪墊。通過分析問題情境，提出本節(jié)

15、課研究的問題。學生活動：點p(a,b) 關于直線y=x的對稱點q的坐標為(b,a)；點p(a,b) 關于y軸的對稱點r的坐標為(-a,b)。2.探究新知：問題1：如圖：設的終邊與單位圓相交于點p，則p點坐標為 ，點p關于直線y=x的軸對稱點為m，則m點坐標為 ， 點m關于y軸的對稱點n，則n的坐標為 ，xon的大小與的關系是什么呢？點n的坐標又可以怎么表示呢？設置意圖：結合幾何畫板的演示利用同一點的坐標變換，導出誘導公式，滲透對稱變換思想和數(shù)形結合思想。學生活動：學生看圖口答p（，），m（，），n（-，），xon=n（，）（教師在引導學生分析問題過程中，積極觀察學生的反映，適時進行激勵性評價）

16、多媒體使用：幾何畫板；ppt問題2：觀察點n的坐標，你從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了？設置意圖：讓學生總結出公式=-，=三、例題分析例1 利用上面所學公式求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）解析：直接利用公式解決問題解：變式訓練1：將下列三角函數(shù)化為到之間的三角函數(shù)：（1） （2） （3）思考：我們學習了的誘導公式，還知道的誘導公式，那么對于，又有怎樣的誘導公式呢？設置意圖：利用已學誘導公式推導新公式。學生活動： 例2已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值解析：先利用誘導公式化簡解： sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) - sin(3p - a)

17、= 2cos(4p - a)- sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0 變式訓練2：已知，求的值。四、課堂練習1利用上面所學公式求下列各式的值：（1） （2）2將下列三角函數(shù)化為到之間的三角函數(shù)：（1） （2）五、反思總結請學生從以下幾方面總結：知識：前一節(jié)課我們學習了，的誘導公式，這節(jié)我們又學習了，的誘導公式思想方法：從特殊到一般；數(shù)形結合思想；對稱變換思想；規(guī)律： “奇變偶不變，符號看象限”。 你對這句話怎么理解？設置意圖：引導學生養(yǎng)成自己歸納總結的習慣及方法，體會知識的形成、發(fā)展、應用的過程。學生活動：觀察、思考、口答。達標檢測：1已知

18、，則值為（ ）a. b. c. d. 2cos (+)= ，,sin(-) 值為（ ） a. b. c. d. 3化簡：得（ ）a. b. c. d.4已知，那么的值是 5如果且那么的終邊在第 象限6求值：2sin(1110) sin960+7已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。練習答案：1c 2 3c 4 5二 627.解： sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) - sin(3p - a) = 2cos(4p - a)- sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0六、發(fā)導學案、布置作業(yè)1. 若，

19、則 。2.求的值?！景鍟O計】三角函數(shù)的誘導公式（二）一、誘導公式1-6 例一二、探究新知 例二三、練習 【教學反思】通過本節(jié)內(nèi)容的教學，在誘導公式與的教學過程中經(jīng)歷對對稱有關的圖形進行觀察、分析、操作、抽象概括，探索旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，探求如何運用“一個圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后都可以分解為兩個軸對稱變換的乘積”方法和過程，體驗“以局部帶整體”的作圖思想方法，進一步發(fā)展學生對對稱圖形的欣賞和探索能力，使學生體會旋轉(zhuǎn)變換在現(xiàn)實生活的意義，激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，增強審美觀念，培養(yǎng)學生的科學探究精神。誘導公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系在求任意角的三角

20、函數(shù)值，解決有關的三角變換等方面有重要的作用，特別是誘導公式中的角可以是任意角，即，它在終邊具有某種對稱性的角的三角函數(shù)變換中，應用廣泛，如后續(xù)課中，畫余弦曲線就是利用誘導公式把正弦曲線向左平移個長度單位而得到的在教學方式上采用自主探索，創(chuàng)造性解決問題，并激發(fā)學生積極主動參與課堂活動，提高學生學習數(shù)學的興趣，使學生在活動過程中，積極探索發(fā)現(xiàn)。為了完成與三角函數(shù)間的關系這一節(jié)的教學任務，我采用讓學生自主學習的教學方法。面對這個問題，學生的興趣立刻被觸發(fā)了，求知欲也十分強烈，大家都躍躍欲試，爭著進行推倒.。當學生做完三道例題時，馬上提出對于與三角函數(shù)間的關系如何推導，這時課堂氣氛十分熱烈，學生的思

21、維十分活躍，大家競相發(fā)言，課堂高潮跌起。待同學們弄明白后，及時引導學生從特殊到一般，問與三角函數(shù)間的關系如何，最后總結出：“奇變偶不變,符號看象限”整個課堂得到升華。待添加的隱藏文字內(nèi)容2 臨清三中數(shù)學組 編寫人：侯英勇 審稿人： 龐紅玲 李懷奎1.3.2三角函數(shù)誘導公式（二）課前預習學案一、預習目標熟記正弦、余弦和正切的誘導公式，理解公式的由來并能正確地運用這些公式進行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、簡單三角函數(shù)式的化簡二、復習與預習1利用單位圓表示任意角的正弦值和余弦值；_2誘導公式一及其用途： _3、對于任何一個內(nèi)的角，以下四種情況有且只有一種成立（其中為銳角）：4、 誘導公式二： 5、誘導公式三：6、誘導公式四： 7、誘導公式五： 8、誘導公式六： 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學案一、學習目標1通過本節(jié)內(nèi)容的教學，使學生進一步理解和掌握四組正弦、余弦和正切的誘導公式，并能正確地運用這些公式進行任意角的正弦、余弦和正切值的求