線性二次型最優(yōu)一階倒立擺控制器系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)（一階倒立擺）設(shè)計(jì)者： 班 級(jí)：學(xué) 號(hào)：指導(dǎo)教師： 線性二次型最優(yōu)一階倒立擺控制器設(shè)計(jì)摘要：本文針對(duì)單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的平衡控制問題進(jìn)行了研究。倒立擺控制是一個(gè)經(jīng)典的控制平衡課題。作為一個(gè)自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，倒立擺一直被用作實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)的控制設(shè)備。倒立擺的穩(wěn)定控制相當(dāng)困難，通過對(duì)它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，而且在控制過程中可以有效反映控制中的關(guān)鍵問題。首先建立倒立擺的模型，然后進(jìn)行模型驗(yàn)證，通過分析模型的性能，進(jìn)行線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)，用matlab進(jìn)行仿真，通過一次次的修改參數(shù)來達(dá)到良好的性能要求。關(guān)鍵詞：線性二次型 倒立擺 仿真abstract: in

2、this article, single-stage inverted pendulum control problem of the balance of the study. control of inverted pendulum is a classic control subjects balance. as a naturally unstable system，inverted pendulum has been used for real-time control system controls the experiment. the stability of inverted

3、 pendulum is very difficult to control，through its research not only can solve the problem of control theory，also involved in the control theory based on three main. firstly, the inverted pendulum model，model by analyzing the performance of the inverted pendulum，design the linear quadratic controlle

4、r，and then use matlab to simulate，modifying the parameters again and again to achieve good performance requirements. keywords: linear quadratic inverted pendulum simulate正文：一、引言倒立擺是典型的快速、多變量、非線性、絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)是自動(dòng)控制理論中比較典型的控制對(duì)象,許多抽象的控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性和系統(tǒng)抗干擾能力等,都可以通過倒立擺系統(tǒng)直觀地表現(xiàn)出來，因此它成為了自動(dòng)控制理論研究的一個(gè)較為普遍的研究對(duì)

5、象。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)被控對(duì)象,是快速、多變量、開環(huán)不穩(wěn)定、非線性的高階系統(tǒng),必須施加十分有力的控制手段才能使之穩(wěn)定。事實(shí)上，人們一直在試圖尋找不同的控制方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制，以便檢查或說明該方法對(duì)嚴(yán)重非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。matlab是美國math works軟件公司于1984年推出的一種用于科學(xué)計(jì)算的高性能語言，它集數(shù)值計(jì)算、圖形圖像顯示以及編程于一體，是常用的控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)工具。1990年,math works軟件公司為matlab設(shè)計(jì)了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具simulink。這是matlab軟件的一個(gè)擴(kuò)展軟件模塊。該模塊提供了一個(gè)建模、分析與仿真等多種

6、物理與數(shù)學(xué)問題的軟件環(huán)境，并為圖形用戶界面提供了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖模型，從而使用戶可以既快又方便地對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真而不必書寫任何代碼程序。因此，該工具很快就在控制工程界獲得了廣泛的認(rèn)可，它使仿真軟件進(jìn)入了系統(tǒng)模型的圖形組態(tài)階段。早在20世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院的控制論專家就根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出了研究一階倒立擺的實(shí)驗(yàn)設(shè)備。此后關(guān)于一階倒立擺的控制方法和思路在軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和其它一般工業(yè)過程中都有著廣泛的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、飛機(jī)安全著陸、化工過程控制以及日常生活中常見的一些重心在上、支點(diǎn)在下的控制問題等，均涉及到

7、“立擺問題”。 對(duì)倒立擺的研究在現(xiàn)實(shí)中也有一定的指導(dǎo)意義，航天器的發(fā)射就是很好的例子，未來仿人類機(jī)器人的發(fā)展也離不開倒立擺模型。一直以來,很多種控制方法已經(jīng)應(yīng)用到倒立擺的控制當(dāng)中。二、理論基礎(chǔ)1、在現(xiàn)代控制理論中，通過極點(diǎn)配置使系統(tǒng)性能滿足某種籠統(tǒng)性能指標(biāo)的方法稱為常規(guī)綜合。而目標(biāo)是確保系統(tǒng)性能指標(biāo)在某種意義下的最優(yōu)控制，稱為最優(yōu)控制。對(duì)于線性控制，如果選取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化的問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型問題。使用線性二次型最優(yōu)控制器進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和校正的最大優(yōu)點(diǎn)是不必根據(jù)要求的性能指標(biāo)確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，只

8、需根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線卻找出合適的狀態(tài)變量和空置量的加權(quán)矩陣。二次型最優(yōu)控制原理 設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 二次型性能指標(biāo)函數(shù)3:其中:加權(quán)陣q和r是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重,q是半正定陣,r陣是正定陣。最優(yōu)控制規(guī)律：其中：k為最優(yōu)反饋增益，p為黎卡提矩陣方程的解。黎卡提矩陣方程：則，最優(yōu)反饋增益k為：lqr參數(shù)由matlab語句k=lqr（a,b,q,r）,取q=diag（1000,0,70,0），求得k=-31.623,-20.151,72.718,13.155，即為lqr控制器控制器參數(shù)。matlab函數(shù) step函數(shù) 求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 lqr函數(shù)lqr函數(shù)用來設(shè)計(jì)連

9、續(xù)系統(tǒng)的lq調(diào)節(jié)器，調(diào)用格式為k,p,e=lqr(a,b,q,r),可計(jì)算連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益矩陣k。 lsim函數(shù)sys=ss（a，b，c，d）（ss：state space model）用來求出lsim函數(shù)所需的系統(tǒng)參數(shù)“sys”其調(diào)用格式為lsim（sys，u，t） 此函數(shù)畫出ltl系統(tǒng)sys對(duì)由u和t描述的輸人信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)。三、對(duì)象模型建立在忽略了空氣流動(dòng)阻力，以及各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示 其中：m：小車質(zhì)量 m：為擺桿質(zhì)量 j：為擺桿慣量 f：加在小車上的力 x：小車位置 ：擺桿與垂直向上方向的夾角 l ：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度

10、 根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律以及剛體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可知：（1） 擺桿繞其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為（2） 擺桿重心的運(yùn)動(dòng)方程為聯(lián)立上述4個(gè)方程，可以得出式中j為擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：為便于設(shè)計(jì)計(jì)算，并考慮到系統(tǒng)實(shí)際工作在平衡位置附近，可先對(duì)系統(tǒng)的精確模型進(jìn)行必要的簡化處理。若只考慮在其工作點(diǎn)附近0=0附近（）的細(xì)微變化，則可以近似認(rèn)為： 經(jīng)過拉氏變換可得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型：四、線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)與仿真系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為方程組（27）對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下： (212)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：其中，小車的質(zhì)量m=0.5kg，倒立擺的質(zhì)量m=0.5kg,小車的摩擦系數(shù)b=0.1,端點(diǎn)與倒立擺質(zhì)心的距離0.3m，

11、倒立擺的慣量i=0.006kgm2,輸入量u=f是施加在小車上的力。（1） 分析原系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應(yīng)。首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。然后根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)情況與期望性能指標(biāo)之間的差距，確定校正手段，編程如下：clear all%系統(tǒng)參數(shù)初始化m=0.5;m=0.2;b=0.1;i=0.006;g=9.8;l=0.3;%系統(tǒng)狀態(tài)方程描述p=i*(m+m)+m*m*l2;a=0 1 0 0;0 -(i+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(m+m)/p 0;b=0;(i+m*l2)/p;0;m*l/p;c=

12、1 0 0 0;0 0 1 0;d=0;0;%求解系統(tǒng)的特征值：p=eig(a) %矩陣a的特征值向量t=0:0.01:1;step(a,b,c,d,1,t)求的系統(tǒng)的特征值如下p = 0 5.5651 -0.1428 -5.6041系統(tǒng)有一個(gè)位于右半平面的極點(diǎn)，故不穩(wěn)定。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖1所示，上圖是小車坐標(biāo)x的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度的階躍響應(yīng)曲線。所以必須加入校正裝置。圖一（2） 線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器的關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣q。一般來說，q選擇的越大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需的時(shí)間越短。首先選擇q=c*c,r=1，然后根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)。編程如下：%q和

13、r矩陣的選擇x=1;y=1;q=x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 y 0;0 0 0 0;r=1;%求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài)k=lqr(a,b,q,r)%求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程ac=(a-b*k);bc=b;cc=c;dc=d;%輸出系統(tǒng)階躍仿真t=0:0.02:5;u=ones(size(t); %階躍信號(hào)y,x=lsim(ac,bc,cc,dc,u,t);plot(t,y(:,1),.-,t,y(:,2); %繪制兩條輸出曲線title(inverted pendulum lq step response);xlabel(time(sec);ylabel(response);grid;l

14、egend(cart,pendulum)此時(shí)求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：k = -1.0000 -1.6567 18.6854 3.4594 圖二從圖二可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標(biāo)的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負(fù)值）；另一方面過渡時(shí)間和上升時(shí)間都很大，必須重新校正。校正的方法就是加大加權(quán)矩陣q的值。取x,y分別為以下值進(jìn)行仿真x1050100200500500100100030003000y1050100200500100500100500100通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當(dāng)x=5000,y=100時(shí)效果比較理想。此時(shí)狀態(tài)反饋矩陣 k = -70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238圖三從圖三可知，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯改善，上升時(shí)間和過渡過程時(shí)間都滿足最初設(shè)計(jì)要求。綜上所述，基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制，通過求解代數(shù)riccati方程，得到的狀態(tài)反饋矩陣k，可以使系統(tǒng)的各狀態(tài)獲得漸進(jìn)穩(wěn)定特性。它的不足之處在于，加權(quán)矩陣q、r的