理論力學(xué)--10動(dòng)力學(xué)[稻谷書(shū)苑]

1、例題1. 曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn) 動(dòng),OA = AB = r.滑塊B的運(yùn)動(dòng)方 程為x=2rcos如滑塊B 的質(zhì)量為m，摩擦及連桿AB的質(zhì)量不計(jì).求當(dāng)=t=0時(shí) 連桿AB所受的力. O A B 1教學(xué)運(yùn)用 解:取滑塊B為研究對(duì)象，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析和 受力分析。 （由于桿的質(zhì)量不計(jì)（由于桿的質(zhì)量不計(jì),AB為二力桿且受平為二力桿且受平 衡力系作用衡力系作用.） B N mg F x = 2rcos = t ax = - 2r2cos max = - Fcos F = 2 mr2 2教學(xué)運(yùn)用 例題2. 滑輪系統(tǒng)如圖所示.已 知m1 = 4kg , m2 = 1kg和 m3 = 2kg.

2、滑輪和繩的質(zhì)量及摩擦均 不計(jì).求三個(gè)物體的加速度.( g = 10m/s2 ) O C m1 m2 m3 3教學(xué)運(yùn)用 解解:建立圖示坐標(biāo)建立圖示坐標(biāo). x1 + xC = c1 (x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c2 321 32 3333 2222 1111 32 1 02 0 TTT TT xmTgm xmTgm xmTgm xxx xx C C O C m1 m2 m3 x T1 T2 T3 m1g m2g m3 g 4教學(xué)運(yùn)用 解上述方程組得: 2 3 2 2 2 1 /2 /6 /2 smx smx smx o T1 Tc Tc c T2T3 Fo 5教學(xué)運(yùn)用 例題

3、例題3：細(xì)繩長(zhǎng)為：細(xì)繩長(zhǎng)為l,上端固定在上端固定在O點(diǎn)，下端系一質(zhì)量為點(diǎn)，下端系一質(zhì)量為m的小的小 球球,在鉛垂面內(nèi)作微幅擺動(dòng)。初時(shí)，繩的偏角為在鉛垂面內(nèi)作微幅擺動(dòng)。初時(shí)，繩的偏角為 o,小球無(wú)初小球無(wú)初 速釋放。求：繩微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。速釋放。求：繩微小擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，進(jìn)行運(yùn)動(dòng) 受力分析，如圖。受力分析，如圖。 F V F= m a, - mgsin= mdv/dt ml dv/dt=l sin= +mg=0 令令K = g/l, 2 +k =0 2 此方程的通解為此方程的通解為: =Acos(kt +) t=0時(shí)時(shí)=o，V=Vo=

4、(l )o =o = - Aksin o=Acos =0 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得：A=o, =0 微小擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為微小擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：= ocos(kt) o l o n mg F 6教學(xué)運(yùn)用 例題4.質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力F = acost i+bsint j作用 下運(yùn)動(dòng),其中a,b與均為常數(shù),在初瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原 點(diǎn)且初速度為零.求在瞬時(shí)t ,(1)質(zhì)點(diǎn)的位置;(2)質(zhì)點(diǎn) 的速度. 解: Fx = acostF y = bsint mdvx /dt =(acost) t v x dttamdv x 00 cosmvx=a sint t m a vx sin mdvx=(acost)dt o

5、y x F 7教學(xué)運(yùn)用 同理可以積得: tx dttadxm 00 sin t m a x cos1 2 t m b vy cos1 tt m b y sin 2 dx/dt= a m sint 8教學(xué)運(yùn)用 例題5. 水平面上放一質(zhì)量為M 的三棱柱A 其上放一 質(zhì)量為 m 的物塊 B , 設(shè)各接觸面都是光滑的.當(dāng)三棱 柱A具有圖示的加速度ae時(shí),討論滑塊下滑的加速度及 與斜面間的相互作用力. B A ae 9教學(xué)運(yùn)用 解: 取物塊B為研究對(duì)象. B ae mg N ar m(ar+aecos) = mgsin (1) maesin = N-mgcos (2) 聯(lián)立(1)(2)式解得: ar =

6、 gsin - aecosN= m(gcos+aesin) 討論:(1)當(dāng)ae=gtg時(shí)ar = 0; N= mg/cos (2)當(dāng)aegtg時(shí)ar 0. (3)當(dāng)ae=-gctg時(shí)ar = g/sin, N=0; am = g 此時(shí)m即將與斜面脫離而成為自由體. 10教學(xué)運(yùn)用 例題：質(zhì)量為例題：質(zhì)量為 1kg 的重物的重物 M ，系于長(zhǎng)度為，系于長(zhǎng)度為 l = 0.3m 的線上，線的的線上，線的 另一端固定于天花板上的另一端固定于天花板上的O點(diǎn)，重物在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)而點(diǎn)，重物在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)而 使懸線成圓錐面的母線，且懸線與鉛垂線間的夾角恒為使懸線成圓錐面的母線，且懸線與鉛垂

7、線間的夾角恒為600。試求。試求 重物運(yùn)動(dòng)的速度和線上張力重物運(yùn)動(dòng)的速度和線上張力 600 l r z 11教學(xué)運(yùn)用 v mg FT 600 l r b n z 解：選解：選 重物重物M 為研究對(duì)象為研究對(duì)象 M上的力有重力上的力有重力 mg及懸線的拉力及懸線的拉力 FT ，同在懸線，同在懸線OM與軸與軸Oz 所構(gòu)成的平面內(nèi)。所構(gòu)成的平面內(nèi)。 12教學(xué)運(yùn)用 v mg FT 600 l r b n z F F r v m F dt dv m b n t 0 2 60cos 0 F mg T 0 60sin 0 FT 13教學(xué)運(yùn)用 v mg FT 600 l r b n z F F r v m F

8、 dt dv m b n t 0 2 60cos 0 F mg T 0 60sin 0 FT N mg FT 6 .19 60cos 0 sm m rF v T 1 . 2 60sin 0 14教學(xué)運(yùn)用 已知已知:勻速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 時(shí)小球掉下。時(shí)小球掉下。 0 求求:轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n. 例例10-4粉碎機(jī)滾筒半徑為粉碎機(jī)滾筒半徑為，繞通過(guò)中心的水，繞通過(guò)中心的水 平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。 為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在 時(shí)才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)時(shí)才掉下來(lái)。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n 。

9、0 15教學(xué)運(yùn)用 解：研究鐵球解：研究鐵球cos 2 mgF R v m N R n v 30 其中 解得時(shí)當(dāng), 0, 0 N F 0 cos549. 9 R g n 球不脫離筒壁。時(shí)當(dāng),49. 9 R g n 已知已知:勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。 時(shí)小球掉下。時(shí)小球掉下。 求求:轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n. 0 16教學(xué)運(yùn)用 例題：電梯以加速度例題：電梯以加速度a上升，在電梯地板上，放上升，在電梯地板上，放 有質(zhì)量為有質(zhì)量為m的重物。求重物對(duì)地板的壓力。的重物。求重物對(duì)地板的壓力。 a 解：取重物為研究對(duì)象解：取重物為研究對(duì)象 進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)分析。進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)分析。 N mg Fy= m ay N -

10、mg=m a N=mg+ma=N （靜反力；附加動(dòng)反力）（靜反力；附加動(dòng)反力） 討論：若加速度方向向下討論：若加速度方向向下 則則N=mg - ma=N (1)a=g時(shí)，時(shí)，N=0；(2)ag時(shí)，重物離底。時(shí)，重物離底。 17教學(xué)運(yùn)用 例題：汽車質(zhì)量為例題：汽車質(zhì)量為m,以勻速以勻速V駛過(guò)拱橋，橋頂點(diǎn)的曲率駛過(guò)拱橋，橋頂點(diǎn)的曲率 半徑為半徑為R。求車對(duì)橋頂?shù)膲毫?。求車?duì)橋頂?shù)膲毫Α?解：取汽車為研究對(duì)象，進(jìn)行解：取汽車為研究對(duì)象，進(jìn)行 運(yùn)動(dòng)、受力分析如圖。運(yùn)動(dòng)、受力分析如圖。 mg N an n Fn=man, mg - N = mv2/ R N=mg - mv 2 / R=N an=V 2

11、/ R=g時(shí)， N=0 an=V 2 飛車。/ Rg時(shí)， 18教學(xué)運(yùn)用 例例1：圓輪質(zhì)量為：圓輪質(zhì)量為m,半徑為半徑為R，以角速度，以角速度 沿地面作純滾動(dòng)。沿地面作純滾動(dòng)。 求：圓輪的動(dòng)量。 c o Vc 解：O點(diǎn)為瞬心。 質(zhì)心的速度為 Vc=R 動(dòng)量 P=mR ( ) 19教學(xué)運(yùn)用 二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理: 微分形式: dP/dt = mdv/dt=ma=F即：dP/dt=F *、守恒定理: 若 F= 0 則 P= c (恒矢量) 若 Fx= 0 則 Px = c (恒量) 積分形式: 上式向坐標(biāo)軸投影：dPx/dt=Fx IdtFPP t t 2 1 12 20教學(xué)運(yùn)用 四

12、四.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (1)運(yùn)動(dòng)定理: M ac = R(e) e zc e yc e xc RzM RyM RxM (2)守恒定理: 若 R(e) = 0 則 vc = c (恒矢量), vco = o, rc=恒矢量 若 R(e)x = 0 則 vcx = c (恒量), vcxo= 0, xc = 恒量 dp/dt=d(miVi)/dt=d(MVc )/dt=midVi/dt =MdVc /dt=miai= Mac =R (e) 21教學(xué)運(yùn)用 例題2. 圖示橢圓規(guī)尺AB的 質(zhì)量為 2m1 ,曲柄OC的質(zhì)量 為m1 ,而滑塊A和B的質(zhì)量均 為m2.已知OC=AC=CB=l ,曲 柄

13、和尺的質(zhì)心分別在其中點(diǎn) 上,曲柄繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 為常量.求圖示瞬時(shí)系統(tǒng)的 動(dòng)量. O B C A t 22教學(xué)運(yùn)用 解:系統(tǒng)由四個(gè)物體組成. 滑塊A和B的質(zhì)心與橢圓規(guī)尺AB 的質(zhì)心C總是重合在一起,而AB作 平面運(yùn)動(dòng).瞬心為I. O B C A t I IC = OC = l vC vD OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)D為質(zhì)心. D lvD 2 1 lvC BAABOC PPPPP lmP OC1 2 1 lmmmPPP BAAB )2( 221 = 2(m1+m2)l P = (2.5m1 + 2m2)l 23教學(xué)運(yùn)用 例題3. 小車重W1= 2kN, 車上有一裝沙的箱重 W2=1kN,以3.5km/

14、h的速度在光滑直線軌道上勻速 行駛.今有一重W3= 0.5kN的物體鉛垂落入沙箱中, 如圖.求此后小車的速度. 又設(shè)重物落人沙箱后,沙 箱在小車上滑動(dòng) 0.2 s 后,始與車面相對(duì)靜止, 求車 面與箱底間相互作用的摩擦力. 24教學(xué)運(yùn)用 解:取小車,沙箱和重物組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象 R(e)x = 0 Px = Px0 設(shè)重物落入后小車 最后具有的速度為v o v g WW v g WWW 21321 v0 = 3.5 km/h解得: v = 3km/h N1N2 W W3 25教學(xué)運(yùn)用 取小車為研究對(duì)象. N1 N2 P2x - P1x = I(e)x tFvv g W o 1 F = 0.1

15、4 kN W1 F N 26教學(xué)運(yùn)用 例題4.均質(zhì)桿AD 和 BD長(zhǎng)為l 質(zhì)量分別為6m和4m , 鉸接如圖.開(kāi)始時(shí)維持在鉛垂面內(nèi)靜止.設(shè)地面光滑, 兩桿被釋放后將分開(kāi)倒向地面.求D點(diǎn)落地時(shí)偏移 多少. AB D 60 (系統(tǒng)的質(zhì)心的 x坐標(biāo)守衡.沿y 方向運(yùn)動(dòng)) 27教學(xué)運(yùn)用 AB D 60 解:取AD和BD組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象. C1和C2分別為AD桿和BD桿 的質(zhì)心.C為系統(tǒng)的質(zhì)心. C1C2 = 0.5l mm lm CC 46 5 .04 1 = 0.2l 取過(guò)質(zhì)心C的鉛垂軸為 y 軸建立坐標(biāo)如圖. C1 C2 C x y O xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l x

16、D0 28教學(xué)運(yùn)用 畫(huà)系統(tǒng)受力圖. AB D 60 C1 C2 C x y O 6mg 4mg 已知vc0 = 0則vcx = 0 由于R(e)x = 0則vcx = c 系統(tǒng)的質(zhì)心沿y軸作直線運(yùn)動(dòng).當(dāng) D點(diǎn)落地 時(shí)C點(diǎn)應(yīng)與O點(diǎn)重合. N1 N2 29教學(xué)運(yùn)用 畫(huà)系統(tǒng)完全落地時(shí)的位置圖. AB D O C1C2 (C) mm ml CC 46 4 1 = 0.4l xD = 0.5l - 0.4l = 0.1l x = xD - xD0= 0.1l - 0.05l = 0.05l x y 30教學(xué)運(yùn)用 例題5.圖示質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)半圓形板,受力偶 M作用,在鉛垂面內(nèi)繞 O軸轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)的角

17、速度為,角 加速度為. C點(diǎn)為半圓板的質(zhì)心,當(dāng)OC與水平線成任 意角時(shí),求此瞬時(shí)軸O的約束反力.(OC=4R/3) C O M 31教學(xué)運(yùn)用 C O M aCn aC 解:取半圓板為研究對(duì)象. sincos 3 4 2 ji R acn cossin 3 4 ji R ac sincos 3 4 2 R a cx cossin 3 4 2 R a cy 32教學(xué)運(yùn)用 C O M aCn aC 畫(huà)受力圖. XO = maCx YO - mg = ma Cy sincos 3 4 2 mR X O cossin 3 4 2 mR mgYO XO YO mg 應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 33教學(xué)運(yùn)用 例例11

18、-1 11-1 電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上, ,定子和外殼定子和外殼 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 . .定子和機(jī)殼質(zhì)心定子和機(jī)殼質(zhì)心 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)轉(zhuǎn)子質(zhì) 心心 , , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基礎(chǔ)的水平及鉛直求基礎(chǔ)的水平及鉛直 約束力約束力. . 1 m 2 m 1 O 2 OeOO 21 34教學(xué)運(yùn)用 temgmmFycos)( 2 221 temFxsin 2 2 得得 emp 2 temp x cos 2 temp y sin 2 解解: : 12 d d y y p Fm gm g t d d x x p F t 由由 35教學(xué)運(yùn)

19、用 xtemsin 2 2 方向方向: : 動(dòng)約束力動(dòng)約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動(dòng)約束力附加動(dòng)約束力 本題的附加動(dòng)約束力為本題的附加動(dòng)約束力為 ytemcos 2 2 方向方向: : 電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí)電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí), , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ; 電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱動(dòng)約束力動(dòng)約束力, ,上面給出的是動(dòng)約束上面給出的是動(dòng)約束 力力. . 0 x FgmmFy)( 21 36教學(xué)運(yùn)用 求求: :電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)電機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng). . 例例 11-6 11-6 地面水平地面水平, ,光滑光滑, ,已知已知 , , , , ,初始靜止初始靜止, , 常量常量. .

20、 1 m 2 m e (系統(tǒng)的質(zhì)心的 x坐標(biāo)守衡.) 37教學(xué)運(yùn)用 21 21 )sin()( 2 mm seamsam xC axC 1 解解: :設(shè)設(shè) 由由 , , 21 CC xx sin 21 2 e mm m s 得得 38教學(xué)運(yùn)用 例題. 質(zhì)量均為m的小球A和B置于光滑水平面上, 用長(zhǎng)為l的細(xì)繩相連.開(kāi)始時(shí)給球B一初速度v, 如圖 所示.求AB連線再次處于與初始位置平行時(shí), AB連 線平移的距離. v A B （系統(tǒng)的動(dòng)量守衡。） 39教學(xué)運(yùn)用 v A B 解:取小球A和B組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象. 由于R(e) = 0 則 P = c 即質(zhì)心 的速度為恒矢量. (m+m)vc = m

21、vvc = 0.5v 即系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng). 系統(tǒng)作平面運(yùn)動(dòng). vB = vC + vBC vBC = 0.5v vA = vC + vACvAC = - 0.5v vAC vBC C 40教學(xué)運(yùn)用 計(jì)算系統(tǒng)的角速度. vBC = 0.5l = 0.5v = v/l T = 2/ = 2l/v 當(dāng)AB 連線再次處于與初始位置平行時(shí), 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期 s = vC t = 0.5v(l/v) = 0.5 l v A B vAC vBC C 41教學(xué)運(yùn)用 例題. 在圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)桿OA、AB與均質(zhì)輪的質(zhì) 量均為m,OA桿的長(zhǎng)度為l1,AB桿的長(zhǎng)度為l2,輪的半 徑為R,輪沿水平面作純滾動(dòng).在圖示瞬時(shí),OA桿的角 速度為,求整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量. O A B 42教學(xué)運(yùn)用 解:系統(tǒng)由三個(gè)物體組成. O A B OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)C為質(zhì)心. AB桿作瞬時(shí)平動(dòng). 輪作平面運(yùn)動(dòng)B為質(zhì)心. CvC vA vB BABOA PPPP 1 2 1 lvC 1 lvv BA 1 2