小數(shù)修訂劉加霞博士觀點

1、劉加霞博士觀點：一年級的學生是怎么知道加、減法的“得數(shù)”的？由于成人進行加、減法計算幾乎是一種自動化的行為，因此就容易對學生在學習加、減法計算過程中的思維活動，特別是所經(jīng)歷的思維發(fā)展過程認識不足要么忽視其思維過程，要么將自認為的“理由”強加給學生。學生算得加、減法結(jié)果的模式主要有以下兩種。1單一性概念結(jié)構(gòu)單一性概念結(jié)構(gòu)指在計算時涉及一個計數(shù)單位。例如，20以內(nèi)的加減法，它的運算對象只有一個讀數(shù)單位“一”。雖然計算結(jié)果出現(xiàn)計數(shù)單位“十”，但“十”并沒有作為獨立的計數(shù)單位再進一步參與計算。美國學者富森又進一步將“單一性概念結(jié)構(gòu)”細化為三個階段，或者說三個水平：第一階段：加項或和的單一表示。在這一階

2、段，兒童主要借助于“實物”，將“合并”在一起的“實物”從“1”開始數(shù)起。例如，在本教學過程中，為什么是5只鴨子呢？學生就是一只鴨子對應于一個“數(shù)”，指著一只鴨子“數(shù)”1、另一只鴨子數(shù)“2”“數(shù)”到5，從而得出結(jié)果是“5只鴨子”。第二階段：兩數(shù)相加的和仍是“數(shù)”出來的，只不過兒童已經(jīng)有了進一步的發(fā)展，他們不再是從“1”數(shù)起，而是從第一個加數(shù)開始，繼續(xù)數(shù)下去。例如，639，兒童的計算過程就是繼續(xù)數(shù)：7、8、9，數(shù)“3個”數(shù)就結(jié)束，所以639。對一年級學生而言，這是一個比較復雜的過程，涉及到“雙重計數(shù)”。在“繼續(xù)數(shù)”的過程中，兒童也容易出錯。例如，638，6、7、8。第三階段：利用已知事實計算結(jié)果。

3、這個階段的主要特點是學生在計算時會利用已知的事實。例如，學生計算97，若其過程為97（91）610616，則這一計算過程顯然直接用到了9110，10616這些“事實”，即學生運用“湊整”法進行計算是思維的高級階段。2多單位概念結(jié)構(gòu)多單位概念結(jié)構(gòu)主要指進行豎式計算時，運算的對象即計數(shù)單位已經(jīng)不僅僅是單一的“一”，而要涉及多個計數(shù)單位，如“十”、“百”富森指出，形成多單位概念結(jié)構(gòu)，即掌握豎式加、減法計算的三個必要前提是：（1）認識到只有同一數(shù)位的數(shù)才能直接進行加、減法；（2）同一數(shù)位上的數(shù)的加、減法與個位數(shù)的加、減法完全相同；（3）“進位”和“退位”。顯然，牢固掌握個位數(shù)的加、減法是迅速準確地進行

4、多位數(shù)加、減法的一個必要前提。因為，“20以內(nèi)的加、減法”是整個計算教學的核心。由此可以看出，對加、減法的理解的核心仍是對數(shù)的“十進位值制”的理解，加、減法的核心是相同讀數(shù)單位“個數(shù)”進行“加”或“減”，當“滿十”時就要向前一位“進一”。把握數(shù)學的本質(zhì)是一切教學法的根為什么數(shù)學中火熱的發(fā)明會變成現(xiàn)實中冰冷的美麗，教材是“教學法的顛倒”，教師與學生都在形式上的理解，造成目前數(shù)學教學的難堪境地。或許認真閱讀本文論點，對當前教育改革大有促進！ 有位學者曾經(jīng)這樣描述數(shù)學的表達形式：沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一

5、邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，因此他說：教材是“教學法的顛倒”。（這位智者就是費賴登塔爾） 教材所呈現(xiàn)的是形式化的、冰冷的結(jié)果，教學如果從這些“冰冷”的形式開始，學生就不可能經(jīng)歷“火熱”的數(shù)學思考過程。 實際數(shù)學教學時，從“形式”開始，學生就容易出現(xiàn)“形式”上的理解。為了避免“形式”上的教，一線教師需要將“學術(shù)形態(tài)的數(shù)學轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學（張奠宙）”，為此需要：關(guān)注學生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，自然地實現(xiàn)由“生活概念向科學概念的運動（杜威）”； 關(guān)注數(shù)學概念、知識發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力與過程；關(guān)注現(xiàn)實問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程，真正讓學生經(jīng)歷“建模

6、”的過程，體驗到數(shù)學之于解決實際問題的重要意義；更需要關(guān)注學生的樸素問題與思維過程，真正激發(fā)學生探究的愿望，發(fā)展理智的好奇。 因此，一個數(shù)學教師專業(yè)成長的核心是對數(shù)學學科本質(zhì)的把握。 數(shù)學的學科本質(zhì)是什么呢？ 數(shù)學學科本質(zhì)一：對基本數(shù)學概念的理解。 小學階段所涉及的數(shù)學概念都是非?；?、非常重要的，“越是簡單的往往越是本質(zhì)的”，因此對小學階段的基本數(shù)學概念內(nèi)涵的理解是如何學習數(shù)學、掌握數(shù)學思想方法、形成恰當?shù)臄?shù)學觀、真正使“情感、態(tài)度、價值觀”目標得以落實的載體。 所謂“對基本數(shù)學概念的理解”是指了解為什么要學習這一概念？這一概念的現(xiàn)實原型是什么？這一概念特有的數(shù)學內(nèi)涵、數(shù)學符號是什么？以這一

7、概念為核心是否能構(gòu)建一“概念網(wǎng)絡圖”。 小學數(shù)學的基本數(shù)學概念主要有：十進位值制、單位（份）、用字母表示數(shù)、四則運算；位置、變換、平面圖形；統(tǒng)計觀念。 數(shù)學學科本質(zhì)二：對數(shù)學思想方法的把握?；緮?shù)學概念背后往往蘊涵重要的數(shù)學思想方法。數(shù)學的思想方法極為豐富，小學階段主要涉及哪些數(shù)學的思想方法呢？這些思想方法如何在教學中落實呢？我們的基本觀點是在學習數(shù)學概念和解決問題中落實。 小學階段的重要思想方法有：分類思想、轉(zhuǎn)化思想（叫“化歸思想”可能更合適）、數(shù)形結(jié)合思想、一一對應思想、函數(shù)思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法等。 數(shù)學學科本質(zhì)三：對數(shù)學特有思維方式的感悟。 每一學科

8、都有其獨特的思維方式和認識世界的角度，數(shù)學也不例外，尤其數(shù)學又享有“鍛煉思維的體操、啟迪智慧的鑰匙”的美譽。 小學階段的主要思維方式有：比較、類比、抽象、概括、猜想驗證，其中“概括”是數(shù)學思維方式的核心。 數(shù)學學科本質(zhì)四：對數(shù)學美的鑒賞。 能否領(lǐng)悟和欣賞數(shù)學美是一個人數(shù)學素養(yǎng)的基本成分，能夠領(lǐng)悟和欣賞數(shù)學美也是進行數(shù)學研究和數(shù)學學習的重要動力和方法。能夠把握數(shù)學美的本質(zhì)也有助于培養(yǎng)學生對待數(shù)學以及數(shù)學學習的態(tài)度，進而影響數(shù)學學習的進程和學習成績。 數(shù)學的基本原則：求真、求簡、求美。 數(shù)學美的核心是：簡潔、對稱、奇異，其中“對稱”是數(shù)學美的核心。 數(shù)學學科本質(zhì)五：對數(shù)學精神（理性精神與探究精神）

9、的追求。 可以說，數(shù)學的理性精神（對“公理化思想”的信奉）與數(shù)學的探究精神（好奇心為基礎，對理性的不懈追求）是支撐著數(shù)學家研究數(shù)學進而研究世界的動力，也是學生學習數(shù)學研究世界的最原始、最永恒、最有效的動力。有過程的教學促進高水平的理解常聽一線老師訴苦說：現(xiàn)在的學生真難教，水平參差不齊。的確，在學習新知識前，學生早已不是一張“白紙”。作為教師，該怎么辦？ 知道事實不等于真理解面對學生已經(jīng)知道“答案”時，我們需要追問：有多少學生知道答案？有多少學生真正理解要學習的內(nèi)容？ 例如，對于“長方體的體積=長寬高”，如果學生通過背誦記住這一公式，那么他獲得的知識僅僅是“事實性知識”。如果學生通過拼擺單位小正

10、方體而得到“大長方體”的體積就是單位小正方體的個數(shù)，即數(shù)小正方體的個數(shù)就能求出長方體的體積，但是“數(shù)”比較麻煩，再進一步發(fā)現(xiàn)大長方體的體積是“長寬高”，這時他對長方體體積公式的理解就達到“概念性水平”。如果學生能進一步深入分析，就會發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長方體的一個面的面積以及對應這個面的高有關(guān)。在教師的引導下，學生綜合應用所學知識，得出長方體的體積還可以通過“一個面的面積乘以這個面所對應的高”來求出，這時學生對該公式的理解就達到了“方法性水平”，因為這個公式不僅僅適用于長方體而且適用于一切柱體。學生不但了解了公式產(chǎn)生的來龍去脈，并且能在所涉及的概念與概念之間，以及概念與已有的經(jīng)驗之間建立起聯(lián)系，

11、并能根據(jù)不同的條件靈活選擇公式解決問題。在此基礎上，學生還能進一步解釋“長方體的體積等于一個面的面積乘以這個面上的高”嗎？在教學中，有個學生這樣回答：我把長方體看成是“底面”這樣的小薄片一片一片壘起來的，那么長方體的體積不就是這個“小薄片”的面積乘以壘的“高度”嗎？這名學生所獲得的知識就已經(jīng)達到了“主體性水平”，他所獲得的這一知識，是通過反思“創(chuàng)造”出來的。學生學習數(shù)學時，往往停留在“事實性水平”的理解上。在教學中，我們必須辨別出學生的理解所達到的程度，設計恰當活動促進學生對知識的高水平理解。有過程的教學促進學生高水平的理解“數(shù)學是系統(tǒng)化了的常識?！毙W數(shù)學中的很多概念都蘊含了樸素的數(shù)學思想，

12、基本上都來源于學生的生活經(jīng)驗。從理論上說，學生認識這些樸素的思想應該很容易，但為什么學生學習“課本上的數(shù)學”就有很多困難呢？原因主要在于數(shù)學的學科定義高度概括、抽象，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過程，直接學習現(xiàn)成的結(jié)論不符合小學生的思維水平與認知特點。因此，弗羅登塔爾認為“教材是教學法的顛倒”。如果教師的教學沒有過程，而只是簡單的模仿、記憶、背誦、訓練，則容易使學生的理解僅僅處于事實性水平。教師無過程教學的根源主要有兩點：一是缺少追問學科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲備。對于前者，我們強調(diào)教師追問為什么學習這些內(nèi)容、所學習內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括

13、學生的生活概念、學生的思維水平與認知特點及學生已有的知識儲備。當教師對這兩個根源有深入的思考后就能設計出有過程的教學。設計有過程的教學，需要教師關(guān)注數(shù)學概念、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力，關(guān)注學生樸素的問題與思維過程，關(guān)注學生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注學生的思維過程，利用思維過程中的沖突、質(zhì)疑與障礙使學生獲得高水平理解力，激發(fā)學生學習的愿望與動機，體會到創(chuàng)造的樂趣。下面是一位教師教學“減法的初步認識”時發(fā)生的主要事件，該課就是一節(jié)過程充分的課：教師先利用電腦動畫設計了一個停車場的情境，學生很快發(fā)現(xiàn)了信息并提出了問題：停車場原來有5輛小汽車，

14、開走了2輛，問停車場還剩幾輛小汽車？學生順利地列出算式并計算。教師請學生利用手中的學具，自己動手創(chuàng)造一個用減法解決的問題，并列式解決。這一環(huán)節(jié)的設計目的是讓每個學生都親歷減法意義的感知過程，并板書出學生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)減法的意義作素材準備。但在交流匯報時，一個小女孩到實物展臺前，一邊演示“小水果”學具，一邊介紹自己剛才的操作過程：“我本來拿了5個小水果，送給同桌2個，問我還剩幾個水果？我列的算式是5-2=3?！痹捯魟偮洌硪晃荒泻⒑暗剑骸霸趺催€是5-2=3??？重復了！不能寫到黑板上?！闭古_前的女孩不服氣地為自己辯解：“我沒重復，這次不是汽車，是水果。”坐在下面

15、的男孩竟站起來反駁：“反正你的算式是5-2=3，還說不重復？”女孩一臉疑惑地看著教師。教師首先請學生發(fā)表自己的看法，大部分學生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結(jié)果。這時教師問：“你還能想一件事情，也用5-2=3來表示嗎？”孩子們的思維活躍了起來，編出了很多的情境。例如：教室有5個小朋友，走了2個，還剩下3個。草地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，還剩下3朵。5支鉛筆，丟了2支，還剩3支這時剛剛發(fā)完言的一個學生不肯坐下：“我還能說這樣的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領(lǐng)真大呀！”教師繼續(xù)捅破“窗戶紙”：“有的事情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個算式來表示呢？”學生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個算式所表示的意思都是一樣的。這時，教師趁熱打鐵，又問：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一個數(shù)8都可以表示什么？”學生脫口而出：“那太多了！”看到孩子們意猶未盡的樣子，教師又問：“你現(xiàn)在有什么想法？”其中一個學生說：“我覺得數(shù)和算式都太神奇了，能表示那么多不同的事物?！毙W生對所學知識不能都達到高水平理解由于數(shù)學的學科特點及小學生的思維特點、生活經(jīng)驗，學生對所學習的內(nèi)容不能都達到高水平的理