19.長方體模型中的“鱉臑”

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明長方體模型中的“鱉臑”模型解題法之八 以長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體中,存在四個(gè)面均是直角三角形的四面體,古人稱該四面體為“鱉臑”;“鱉臑”是立體幾何中的一個(gè)重要的“原子幾何體”,應(yīng)用十分廣泛;利用長方體模型研究“鱉臑”的基本性質(zhì).母題結(jié)構(gòu):己知四面體abcd中,三條棱ab、bc、cd兩兩互相垂直,且ab=a,bc=b,cd=c,有(位置關(guān)系):ab平面bcd,cd平面abc;若beac,則be面acd;若chbd,則ch面abd;若bfad,則bf面acd;若beac,bfad,則bffe;

2、efac;(度量結(jié)論):ad=;vabcd=abc;(成角公式)cosadb=;(折疊角公式)cosadbcosbdc=cosadc;(外接球):外接球球心o是ad的中點(diǎn);外接球半徑r=.母題解析:顯然成立;由bfadbf面acdbffe,bfac,又由beacac面befefac;顯然成立;顯然成立;cosadb=,cosbdc=,cosadc=cosadbcosbdc=cosadc;顯然成立. 1.度量結(jié)論 子題類型:(2006年全國高考理科試題)如圖,平面平面,a,b,ab與兩平面、所成的角分別為和,過a、b分別作兩平面交線的垂線,垂足為、,則ab:=( )(a)2:1 (b)3:1 (

3、c)3:2 (d)4:3解析:在長方體中,作出符合條件的幾何圖形,如圖,由ab與平面所成的角為baba=a=ab;ab=a=ab=ab.故選(a).點(diǎn)評(píng):凡是三條棱兩兩互相垂直的四面體均是“鱉臑”,而關(guān)于“鱉臑”的問題,利用長方體模型可直觀求解. 2.成角公式 子題類型:(2010年四川高考試題)如圖,二面角-l-的大小是600,線段ab,bl,ab與l所成的角為300.則ab與平面所成的角的正弦值是 .解析:過點(diǎn)a作平面的垂線,垂足為c,在內(nèi)過c作l的垂線,垂足為d,則adladc=600,又由abd=300,設(shè)ad=2,則ac=,cd1,ab=4sinabc=.點(diǎn)評(píng):“鱉臑”是立體幾何中重

4、要的“原子幾何體”,通過構(gòu)造“鱉臑”解決問題,是模型法的基本思想之一. 3.折疊角公式 子題類型:(2014年大綱高考試題)已知二面角-l-為600,ab,abl,a為垂足,cd,cl,acd=1350,則異面直線ab與cd所成角的余弦值為( ) (a) (b) (c) (d)解析:在長方體中,作出幾何圖形,如圖,則cosdce=cos450cos600=.故選(b).點(diǎn)評(píng):折疊角公式是立體幾何中的重要公式,有廣泛的應(yīng)用,由此,進(jìn)一步體現(xiàn)了“鱉臑”的“原子幾何體”功能. 4.子題系列:1.(2011年大綱高考文科試題)已知直二面角-l-,點(diǎn)a,acl,c為垂足,點(diǎn)b,bdl,d為垂足,若ab=

5、2,ac=bd=1,則cd=( ) (a)2 (b) (c) (d)12.(1999年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一試題)有兩塊直角三角板,一塊三角板的兩條直角邊的長分別是1,;另一塊三角板的兩條直角邊的長分別是,.這兩塊三角板有兩對(duì)頂點(diǎn)重合,且成900的二面角,則不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)的距離等于 .3.(2011年大綱高考理科試題)已知直二面角-l-,點(diǎn)a,acl,c為垂足,b,bdl,d為垂足,若ab=2,ac=bd=1,則d到平面abc的距離等于( ) (a) (b) (c) (d)14.(2006年全國高考文科試題)如圖,平面平面,a,b,ab與兩平面、所成的角分別為和,過a、b分別作兩

6、平面交線的垂線,垂足為、,若ab=12,則=( )(a)4 (b)6 (c)8 (d)95.(2010年同濟(jì)大學(xué)保送生考試試題)已知平面,點(diǎn)a,點(diǎn)b,ab與平面、所成角分別為、,點(diǎn)a、b在平面、的交線l上的垂足分別為a1、b1,則線段ab與a1b1的比值為 .6.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)設(shè)平面外一定點(diǎn)p到的距離為h,上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)a、b、c到p的距離分別為a、b、c,并且pba=900.則abc面積的最大值為 (用a、b、c、h表示).7.(2008年陜西高考試題)如圖,b,b=l,a,bb,a,b到l的距離分別是a和b,ab與,所成的角分別是和,ab在,內(nèi)的射影分別是m和n,若ab,則( )(a),mn (b),mn(c),mn (d)n8.(1988年全國高考試題)如圖,二面角-ab-的平面角是銳角,c是面內(nèi)的一點(diǎn)(它不在棱ab上),點(diǎn)d是點(diǎn)c在面上的射影,點(diǎn)e是棱ab上滿足ceb為銳角的任意一點(diǎn)