云大數(shù)學(xué)分析習(xí)作讀書報(bào)告格式（字）

1、云大數(shù)學(xué)分析習(xí)作讀書報(bào)告格式（500字） 云 南 大 學(xué)數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（1）讀書報(bào)告題 目： 學(xué) 院： 專 業(yè)： 姓名、學(xué)號： 任課教師： 時(shí) 間：摘 要關(guān)鍵詞：以下為正文部分：小標(biāo)題四號宋體字，其余均為小四號宋體字。撰寫時(shí)請刪除！12參考文獻(xiàn)1 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解，吉米多維奇原著，費(fèi)定暉等編著，山東大學(xué)出版社，2005.2 論如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才在求職中的優(yōu)勢，楊漢春，張 慶，高等理科教育，No.4（2003）：2226.3 12345 第二篇：數(shù)學(xué)分析習(xí)作課(2)讀書報(bào)告張偉 11600字 云 南 大 學(xué)數(shù)學(xué)分析習(xí)作課（2）讀書報(bào)告題 目： 兩類曲線積分性質(zhì)及曲面積分學(xué) 院： 物理科學(xué)技術(shù)學(xué)院

2、專 業(yè)： 數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)專業(yè) 姓名、學(xué)號： 張偉 20101050105 任課教師： 時(shí) 間： 2011年6月30日（星期四 ）摘要：1一 曲線積分：1第一類曲線積分的性質(zhì)與應(yīng)用；2第二類曲線積分的性質(zhì)與應(yīng)用；3兩類曲線積分的對比。二曲面積分：1.第一類曲面積分的性質(zhì)與應(yīng)用；2.第二類曲面積分的性質(zhì)與應(yīng)用；3.兩類曲面積分的對比。關(guān)鍵詞：曲線積分，曲面積分，概念，性質(zhì)，計(jì)算，運(yùn)用。 內(nèi)容：一曲線積分：（一）第一類曲線積分：1.第一類曲線積分概念：（1） 模塊分解法：設(shè)幾何形體?是一可求長的空間曲線段l，在這個(gè)幾何形體?上定義了一個(gè)函數(shù)f?，?.將此幾何形體?分為若干可以度量的小塊?1，?2，?n

3、，把他們的度量大小仍記為?i?i?1,2,?,n?.并令d?max?i的直徑，在每一塊?i中任意取一點(diǎn)?i，作下列和式（也1?i?n稱為黎曼和數(shù)，或積分和數(shù)）?f?i?i，如果這個(gè)和式不論對于?怎i?1n樣劃分以及?i在?i上如何選取，只要當(dāng)d?0時(shí)恒有同一極限I,則稱此極限為f?在幾何形體?上的黎曼積分，記為：?f?d?，也就是?f?d?lim?f?i?i.這個(gè)極限是與?的分法及?i取法無關(guān)的. d?0i?1n點(diǎn)列描述法：（2） 點(diǎn)列分解法：設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)f(x,y)在L上有界在上任意插入一點(diǎn)列M1,M2,?,Mn?1把分成n個(gè)小弧段.設(shè)第i個(gè)小弧段的長度為?si

4、.又(?i,?i)為第i個(gè)小弧段上任意取定的點(diǎn)作乘積 2f(?i,?i)?si(i?1,2,?,n),并作和?f(?i,?i)?si,如果當(dāng)各小弧段長度的最大i?1n值?0時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為f(x,y)函數(shù)在曲線弧上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作?f(x,y)ds,即 L?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si ?0i?1n（3）"?"說法表達(dá)為：如果對任意?0及一定數(shù)I，總存在一個(gè)數(shù)?0，對于任意?的分法，只要d?時(shí)，不管點(diǎn)?i在?i上如何選取，恒有?f?ii?1?ni?，則稱I為f?在?上的黎曼積分，記為：?f?d?.這時(shí)，我們也稱f

5、?在?上可積.2，第一類曲線積分的性質(zhì)（公式推導(dǎo)）：（1）若?fi?x,y?ds?i?1,2,?,k?存在，ci?i?1,2,?,k?為常數(shù)，則?LL?cf?x,y?dsiii?1k也存在，且?L?cf?x,y?ds?c?f?x,y?ds iiii?1i?1LiLikk（2）若曲線段L由曲線L1，?，且?f?x,y?ds?i?1,2,?,k?L2，Lk首尾相接而成，都存在，則?f?x,y?ds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,y?ds LkLi?1Li?f?x,y?ds與?g?x,y?ds都存在，且在L上f?x,y?g?x,y?，則?f?x,y?ds?g?x,y?ds(4) 若?f?x,y

6、?ds存在，則?f?x,yds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,yds(5) 若?f?x,y?ds存在，L的弧長為s，則存在常數(shù)c，使得?f?x,y?ds?cs，(3)若LLLLLLLLL其中inff?x,y?c?supf?x,y? LLL3,第一類曲線積分的計(jì)算：（1） 對參數(shù)方程：若曲線C（A,B）：x?t?,y?t?,?t?,是光滑的，即?/?t?,?/?t? 在?,? 連續(xù)，且不同時(shí)為0，函數(shù)f?x,y?在C連續(xù)，則函數(shù)f?x,y?在C（A,B）存在第一類曲線積分，且 3?CA,B?f?x,y?ds?f?t?,?t?/2t?/2tdt?（2）對坐標(biāo)方程：曲線C（A,B）是由方程y=

7、y(x)給出，且y/?x?在?a,b?連續(xù)時(shí)，上式表示為：?C?A,B?f?x,y?ds?f?x,y?x?y/2xdxab4,第一類曲線積分的應(yīng)用：(1) 計(jì)算?Lyds, 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)B?1,1?之間的一段弧.解：由于L由方程y?x2(0?x?1)給出，因此10?Lyds=?1x2?(x2)?2dx=?x?4x2dx1?1?12=?(1?4x)?=(55?1) ?12?012(2)求 I?解：令Cx2?y2ds，其中C是圓周x2?y2?ax,a?0C1:y?ax?x2,C2:y?ax?x2,y/?由公式則：I? ?a0a?2x2ax?x2,ds?y/2dx?a2

8、ax?x2dxCx2?y2ds?C1x2?y2ds?2C2x2?y2dsx2?ax?x2aa2ax?xa0dx?ax2?ax?x2a2ax?x2dx?2?aax2ax?x2?aa?dx?x?aa2a?2a2(3) 計(jì)算曲線積分?(x2?y2?z2)ds, 其中?為螺旋線x?acost,y?asint,z?kt上相應(yīng)于t從0到2?的一段弧. 解：?(x2?y2?z2)ds2?2?02?(acots)?(asint)2?(kt)2?(?asint)2?(acots)2?k2dt?(a2?k2t2)a2?k2dtk23?2?22?2?a?k?at?t?3?03?(4) 物理計(jì)算：2?a2?k2(3a

9、2?4?2k2)4計(jì)算半徑為R, 中心角為2?的圓弧L關(guān)于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度?1).解：取以x軸為對稱軸，則I=?y2ds L利用L的參數(shù)方程x?Rcos?,y?Rsin?(?)于是I?yds?R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?L?2?R3?R?sin?d?23?2sin2?3?R(?sin?cos?)?2?（一） 第二類曲線積分：1.第二類曲線積分的概念：設(shè)L為一條有向光滑或逐段光滑曲線，其方向由A到B，且設(shè)F（x,y,z）是定義在L上的向量函數(shù)，表示式為又設(shè)P,Q,R都是有界函數(shù).將LF?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z

10、?k，自A到B分為n個(gè)有向小弧段?si?i?1,2,?,n?，每個(gè)小弧段?si 的起點(diǎn)為Ai，終點(diǎn)為Ai?1，有向弧段?si的大小為?si，方向與AiAi?1的方向一致，?si的表示式為?si?xii?yij?zik，在每一段內(nèi)任取一點(diǎn)?i,?i,?i?，作和式（即黎n?niiii?曼iiii和）?F?,?,?s?(P?,?,?xi?1i?1?Q?i,?i,?i?yi?R?i,?i,?i?zi)，當(dāng)n?d?max?si?，令d?0，如果極限?lim?F?i,?i,?i?si存在，并且I1?i?nd?0i?1與L的劃分以及與?i,?i,?i?的選取無關(guān)，則稱此極限為F（x,y,z）在L上的第L二

11、類L曲線積分，記為?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz.其中L的方向是從A到B，ds?dxi?dyj?dzk,dx,dy,dz理解為ds在x軸，y軸，z軸上的 5投影，是帶有符號的.2.第二類曲線積分的性質(zhì)（積分與方向有關(guān)）：（1）A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j ?LA?tds?L(Pcos?Qcos?)ds（2）?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?LP(x,y)dx?LQ(x,y)dy（3）?Pdx?Qdy?Pdx?Qdy，其中L?表示有向弧段L的反方向弧段 LL?（4） ?kPdx?Qdy?k?Pdx?Qdy，k為任意常

12、數(shù) LL?k?k?（5） 若?Pidx?Qidy,?i?1,2,?,k?存在，則?ciPi?dx?ciQi?dy存在，且： LL?i?1?i?1?k?k?k?ciPi?dx?ciQi?dy?ci?L?i?1?i?1?i?1?Pdx?Qdy?，其中c?i?1,2,?,k?為常數(shù) Liii（6） 若有向曲線L是有向曲線L1,L2,?,Lk首尾相接而成，則?LiPdx?Qdy?i?1,2,?,k?存在，且：?Pdx?Qdy?Li?1kLiPdx?Qdy3.第二類曲線積分的計(jì)算：（1） 對參數(shù)方程： 設(shè)光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),z=(t) 且t從?到?變化時(shí)L從點(diǎn)A到點(diǎn)B變化，設(shè)向量函數(shù)

13、F?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，則AB?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz AB=?P?x?t?,y?t?,z?t?x/?t?Q?x?t?,y?t?,z?t?y/?t?R?x?t?,y?t?,z?t?z/?t?dt ?（2） 對坐標(biāo)方程：設(shè)光滑曲線L:y=y(x),z=z(x) 且x從a到b變化時(shí)L從點(diǎn)A到點(diǎn)B變化，則:AB?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dzba=?P?x,y?x?,z?x?Q?x,y?x?,z?x?y/?x?R?x,y?x?,z?x?z/?x?dx4

14、.第二類曲線積分的應(yīng)用：6 ?（1）若對任意的x，y有解：由格林公式將 ?Q?P，設(shè)C是有向閉曲線，則Pdx?Qdy ?C?x?yCP(x,y)dx?Q(x,y)dy?(D?Q?P?)dxdy ?x?y?Q?P知，應(yīng)該填寫：0 ?x?y其中D為C l圍成的平面區(qū)域，及條件（2）?ydx?xdy?_，其中l(wèi)是延圓周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周 l解：因?yàn)閳A周(x?1)2?(y?1)2?1所圍圓面積D為：12?，由格林公式得：?ydx?xdy?lD(1?1)dxdy=2?，應(yīng)該填寫：2?（3）（物理中的計(jì)算）彈性力的方向向著坐標(biāo)原點(diǎn)，力的大小與質(zhì)點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)x2y2的距離成比例，設(shè)此點(diǎn)反

15、時(shí)針方向描繪出橢圓2?2?1的正四分之一，球彈性ab力所做的功。?解：依胡克定律，彈性力F?k?xi?yj? ? 功的微分為： dA?F?ds?k?xi?yj?dxi?dyj?k?xdx?ydy? ?x2y2從而A?k?xdx?ydy?， 其中C為橢圓2?2?1的正四分之一弧段，即abC從(a,0)到(0,b)的一段弧段， ?x?acost?，,0?t?2?y?bsint?0令故 A?2?k?a2costsint?b2sintcostdt?k2a?b22?即彈性力做功為k2a?b2. 2?（三）兩類曲線積分見的聯(lián)系：?x?x?s?設(shè)L為從A到B的有向光滑曲線，它以弧長s為數(shù).L:?,0?s?l

16、，若?y?ys?P(x,y),Q(x,y)為曲線L上的連續(xù)函數(shù)，則7?Pdx?Qdy?P?x,y?cos?t,x?Q?x,y?cos?t,y?ds?LL，其中dxdy?cos?t,x?,?cos?t,y? dsds二曲面積分：（二）第一類曲面積分：1.第一類曲面積分的概念：（2） 模塊分解法：設(shè)幾何形體?是一可求面積的曲面片S，在這個(gè)幾何形體?上定義了一個(gè)函數(shù)f?，?.將此幾何形體?分為若干可以度量的小塊?1，?2，?n，把他們的度量大小仍記為?i?i?1,2,?,n?.并令在每一塊?i中任意取一點(diǎn)?i，作下列和式（也d?max?i的直徑，1?i?n稱為黎曼和數(shù)，或積分和數(shù)）?f?i?i，如果

17、這個(gè)和式不論對于?怎i?1n樣劃分以及?i在?i上如何選取，只要當(dāng)d?0時(shí)恒有同一極限I,則稱此極限為f?在幾何形體?上的黎曼積分，記為：?f?d?，也就?是?f?d?lim?f?i?i.這個(gè)極限是與?的分法及?i取法無關(guān)?d?0i?1n的.（2）"?"說法表達(dá)為：如果對任意?0及一定數(shù)I，總存在一個(gè)數(shù)?0，對于任意?的分法，只要d?時(shí)，不管點(diǎn)?i在?i上如何選取，恒有?f?ii?1?ni?，則稱I為f?在?上的黎曼積分，記為：?f?d?.這時(shí)，我們也稱f?在?上可積.2, 第一類曲面積分的計(jì)算：（1）設(shè)有光滑曲面 S:z?z?x,y?,?x,y?D，f?x,y,z?為S上

18、的連續(xù)函數(shù)，則?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?x,y?zx?zydxdy （坐標(biāo)22SD方程）（2）若光滑曲面 S:x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?D，f?x,y,z?為S上的連續(xù)函數(shù)，則 8?Sf?x,y,z?d?f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?FG?F2dudv， D其中E?xu/2/2/2/2/2/2?yu?zu,F?xuxv?yuyv?zuzv,G?xv?yv?zv（參數(shù)方程）3.第一類曲面積分的應(yīng)用：（1）計(jì)算 ?SxyzdS, 其中S是曲面z?x2?y2介于z?0,z?1之間的部分解：對于曲面z?x2?y2， ?z?z?2x,?2

19、y， ?x?yS在xy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈：x2?y2?1，故： ?Sxyz?xyx2?y2D?2x?2ydxdy?4?xyx2?y2?2x?2ydxdy2222D1? 其中D1為單位圓在第一象限中的部分，此部應(yīng)用了對稱性.極坐標(biāo)變換得：?4?xyx?yD1?22?2x?2ydxdy?4?2220sin?cos?d?r5?4r2dr?2?r5?4r2dr0011變換u?4r2，得（2）計(jì)算曲面積分?SxyzdS?51 ?84420dS，其中曲面?是由平面z?h?0?h?a?截球面 zx2?y2?z2?a2的頂部9圖1 解： 曲面?的方程為z?a2?x2?y2，它在坐標(biāo)面xoy上的投影為圓形的閉

20、區(qū)域：x2?y2?a2?h222?zx?zy?aa?x?y222，所以dS ?z?Dxy利用極坐標(biāo)計(jì)算上面的積分，得到2?dSardrd?22?d?00za?ra2?r2?Dxy?1?2?a?ln?a2?r2?2?0（3）計(jì)算曲面積分? ?2?alnahdS1?x?y2，其中曲面?是由平面x?y?z?1以及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面解：如上圖，曲面?由曲面?1,?2,?3,?4組成，其中?1,?2,?3,?4分別是平面x?y?z?1，x?0,y?0,z?0上的部分?1?x?y?1dS2?dx?011?xdy01?x?y21?3?ln2?；2?10?1?x?y?2dS2?dz?0111?zd

21、y01?ydx2?1?ln2； ?1?x?y?3dS2?dz?011?x1?z01?xdy2?1?ln2； 1 2?1?x?y?4dS2?dx?001?x?y2?ln2?得?1?x?y?dS21?1?1?ln2?1?ln2?ln2?ln2?2?2? 3?3?1ln22?（二）第二類曲面積分：（*） 曲面的側(cè)的概念：（1）單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個(gè)典型例子。（2）曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向: 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè). 設(shè)法向量為 ?(cos? , cos? , cos?),則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第

22、三個(gè)分量?0, 即選“+”號時(shí)，應(yīng)有cos?0，亦即法線方向與Z軸正向成銳角. 類似確定其余各側(cè)的法線方向. 封閉曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).111，第二類曲面積分的概念：在光滑的曲面S上任取一點(diǎn)P0，過點(diǎn)P0的法線有兩個(gè)方向，選定一個(gè)方向?yàn)檎?，?dāng)點(diǎn)P在曲面S上連續(xù)變動(dòng)（不越過曲面的邊界）時(shí)，法線也連續(xù)變動(dòng).當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)P0出發(fā)沿著曲面S上任意一條閉曲線又回到點(diǎn)P0時(shí)，如果法線的正向與出發(fā)時(shí)的法線正向相同，稱這種曲面S是雙側(cè)曲面，否則稱為單側(cè)曲面.設(shè)S是光滑曲面，預(yù)先給定了曲面的側(cè)，亦即預(yù)先給定了曲面上的單位法向量n0，又設(shè)f?x,y,z?是一個(gè)向量，f?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?

23、j?R?x,y,z?k，其中P,Q,R都是連續(xù)函數(shù).將S劃分為許多有向小塊?Si?i?1,2,?,n?，在?Si內(nèi)任取一點(diǎn)?i,?i,?i?，作向量?Si?n0?i,?i,?i?Si，再作和式?f?i,?i,?i?Si，i?1?n令?max?Si的直徑，如果極限limf?i,?i,?i?Si存在，并且此極限與點(diǎn)i?0?i,?i,?i?的選取無關(guān)，又與S的劃分無關(guān)，則稱它是f?x,y,z?在有向曲面S上的第二類曲n面積分?，記，為同?f?x,y,z?dSS，知即道?f?,?,?S?f?x,y,z?dS?lim?S?0iiii?1i時(shí)還?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?nSS?dS.2.第二

24、類曲面積分的性質(zhì)：（1）?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy,其中-S表示曲面S的另?SS一側(cè)（2） 若 ?Pidydz?Qidzdx?Ridxdy,?i?1,2,?,k?存在，則有：Sk?k?k?k?CiPi?dydz?CiQi?dzdx?CiRi?dxdy?Ci?i?1?i?1?i?1?S?i?1?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?iiiS（3） S?Uik?1si，且si與sj在i?j時(shí)，無公共點(diǎn)，則：?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?RdxdySi?1sik3. 第二類曲面積分的計(jì)算：12z?z?x,y?,?x,y?Dx

25、ySDxy（1）曲面S表示，其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與z軸正向的夾角余弦的符號決定；Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y?z,x?,z?dzdx?Dzx（2） 曲面S表示y?y?z,x?,?z,x?Dzx，S，其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與y軸正向的夾角余弦的符號決定P?x,y,z?dydz?P?x?y,z?,y,z?dydz?x?x?y,z?,?y,z?DyzSDxy（3）曲面S表示為,其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與x軸正向的夾角余弦的符號決定；（4）曲面S表示為： x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?Duv， ?R?x,y,z?dxdy?R

26、?x,y,z?x,y?dxdy?P?x,y,z?dydz?P?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDuvD?y,z?dudv Du,v其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與x軸正向的夾角余弦的符號決定；D?z,x?Qx,y,zdzdx?Qxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDzx其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與y軸正向的夾角余弦的符號決定；D?x,y?Rx,y,zdxdy?Rxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDxy其中符號“?”由曲面S的正側(cè)外法線與z軸正向的夾角余弦的符號決定；4. 第二類曲面積分的應(yīng)用：（1）設(shè)S?:z?c?R2?x?a?y?b的上側(cè)，

27、試計(jì)算積分 22I?x2dydz?y2dzdx?x?a?yzdxdyS?分比考慮三個(gè)積分：首先 ?x?a?yzdxdy 由于S關(guān)于x=a 平面前后對稱，而被積函數(shù)S?x?a?yz在對稱點(diǎn)處的值大小相等，符號相反，故應(yīng)有此項(xiàng)積分為零 13且 2222xdydz 由對稱性知， ?x?x?a?2ax?a?a?S?2?x?a?S?a2dydz?0， 故?2x?dydz?8a?x?a?dydz 其中S1在?S?S1?x?a,y?b2 的2部分，應(yīng)將S1?向yOz投影?:?y?b?z?c?R2,z?c,y?b則?x2dydz?8a?R2?y?b?z?cdydz?22S?4a?R3 3還有 2y?dzdx

28、仍由對稱性爾后向xOz投影，可求得S?2?ydzdxS?4b?R3 3得 I?4?a?b?R3 3（2）計(jì)算積分(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?3x)dxdy，?為球面 ?x2?y2?z2?R2取外側(cè).解： 對積分(x?y)dydz, 分別用?前和?后記前半球面和后半球面的外?側(cè), 則有 ?前 : x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2; ?后: x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2. 因此, (x?y)dydz=?前+ ?后?Dyz?R?2?y2?z2?ydydz?Dyz?ydydz?0? ?2y2?z2?R2?8?2d?y?rcos?, z?rsin

29、?0rdr ?1 ?4?R2?r2?2?322?3?r?Rr?04?R3. 3對積分(y?z)dzdx, 分別用?右和?左記右半球面和左半球面的外側(cè), ?14則有?右: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2; ?左: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2. 因此, (y?z)dydz?右+?左 ?DzxR?2?z2?x2?zdzdx?R2?z2?x2?zdzdx Dzx? ?2x2?z2?R24R2?z2?x2dzdx?R3. 3對積分(z?3x)dxdy, 分別用?上和?下記上半球面和下半球面的外側(cè), 則有 ?上: z?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2; ?下: x?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2. 因此, (z?3x)dxdy=?上+ ?下?Dxy3xdxdy?3xdxdy Dxy?2x2?y2?R2?4R2?x2?y2dxdy?R3. 3（三）兩類曲面積分間的聯(lián)系： 令?,?, ?分別是s上的法線方向與x軸正向，y軸正向，z軸正向的夾角，則有：?P?x,y,z?dydz?P?x,y,z?cos?dsSS?Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y,z?cos?dsSS?R?x,y,z?dxdy?R?x,y,z?cos?dsSS三 曲線積分與曲面