003-004光與影——點直線平面的投影

1、光與影 第二章 點、直線、平面的投影 目錄目錄 投影的基本知識投影的基本知識 點的投影點的投影 直線的投影直線的投影 平面的投影平面的投影 投影變換投影變換 平面直線的相對位置平面直線的相對位置 第一節(jié)第一節(jié) 投影的基本知識投影的基本知識 在日常生活中看到這樣一些現(xiàn)象：在日常生活中看到這樣一些現(xiàn)象： 物體在燈光或日光照射下，會在地面、墻面或其物體在燈光或日光照射下，會在地面、墻面或其 它物體的表面上產(chǎn)生影子，并能在某種程度上顯示出它物體的表面上產(chǎn)生影子，并能在某種程度上顯示出 物體的形狀和大小，并隨光線照射方向的不同而變化。物體的形狀和大小，并隨光線照射方向的不同而變化。 投影的方法就是人們從

2、這些自然現(xiàn)象中抽象出來的。投影的方法就是人們從這些自然現(xiàn)象中抽象出來的。 1、投影的形成、投影的形成 H 光線光線 影子影子 光線光線 投影投影 H 投影面投影面 投射線投射線 規(guī)定規(guī)定：影子落在一個平面影子落在一個平面 上，且光線可穿透物體，上，且光線可穿透物體， 使得所產(chǎn)生的影子不象真使得所產(chǎn)生的影子不象真 是影子那樣黑色一片，而是影子那樣黑色一片，而 能在影子范圍內(nèi)有線條來能在影子范圍內(nèi)有線條來 顯示物體的完整形象。顯示物體的完整形象。 應用通過物體的一組選定的直線，在一個選定應用通過物體的一組選定的直線，在一個選定 的面上形成的圖形，稱為該物體在該面上的的面上形成的圖形，稱為該物體在該

3、面上的投影投影。 2、投影的分類投影的分類 按照投射線之間的關系和對投影面的方按照投射線之間的關系和對投影面的方 向不同向不同 投投 影影 中心投影中心投影 平行投影平行投影 正投影正投影 斜投影斜投影 中心投影法中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間投射中心、物體、投影面三者之間 的相對距離對投影的大小有影響。的相對距離對投影的大小有影響。 度量性較差度量性較差 投射線投射線 投影中心投影中心 物體物體 投影面投影面 投影投影 物體位置改物體位置改 變，投影大變，投影大 小也改變小也改變 這種投射線這種投射線 集中于一點時集中于一點時 的投影稱為中的投影稱為中 心投影心投影。 2、投影的

4、分類投影的分類 按照投射線之間的關系和對投影面的方按照投射線之間的關系和對投影面的方 向不同向不同 平行投影平行投影 正投影正投影 斜投影斜投影 投射線垂直于投射線垂直于 投影面時的投影投影面時的投影 稱為正投影。稱為正投影。 投射線傾斜于投射線傾斜于 投影面時的平行投影面時的平行 投影稱為斜投影。投影稱為斜投影。 2、投影的分類投影的分類平行投影平行投影 投射線垂直于投射線垂直于 投影面時的投影投影面時的投影 稱為正投影。稱為正投影。 S 1.1.正投影正投影 S H A B C a b c 2、投影的分類投影的分類平行投影平行投影 投射線傾斜于投射線傾斜于 投影面時的平行投影面時的平行 投

5、影稱為斜投影。投影稱為斜投影。 H 2.2.斜投影斜投影 90 S S A B C a b c 平行投影法平行投影法 投影大小與物體和投影面之間的距離無關。投影大小與物體和投影面之間的距離無關。 度量性較好度量性較好 工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。 投射線互相平行投射線互相平行 且垂直于投影面且垂直于投影面 斜角投影法斜角投影法 投射線互相平行投射線互相平行 且傾斜于投影面且傾斜于投影面 直角（正）投影法直角（正）投影法 即即:正投影法正投影法 3、 平行投影的特性平行投影的特性 1.真實性真實性 當線段或平面平行于投影面時，其平行投影反當線段或平面平行于投影面時

6、，其平行投影反 映實長或實形。這種投影性質(zhì)稱為真實性。映實長或實形。這種投影性質(zhì)稱為真實性。 A a b B B A C a c b H H 3、平行投影的特性平行投影的特性 2.積聚性積聚性 當直線或平面平行于投射線時，（在正投影時，則垂當直線或平面平行于投射線時，（在正投影時，則垂 直于投影面），則直線的平行投影積聚為一點；平面的平直于投影面），則直線的平行投影積聚為一點；平面的平 行投影積聚為一條直線。這種性質(zhì)稱為積聚性。行投影積聚為一條直線。這種性質(zhì)稱為積聚性。 A a(b) B H B A C H c a b H 3、 平行投影的特性平行投影的特性 3.類似性類似性 當直線或平面傾斜

7、于投影面時，則直線的正投影為小當直線或平面傾斜于投影面時，則直線的正投影為小 于實長的直線，平面的正投影為小于實形的平面圖形，如于實長的直線，平面的正投影為小于實形的平面圖形，如 三角形仍投射成三角形。這種性質(zhì)稱為類似性。三角形仍投射成三角形。這種性質(zhì)稱為類似性。 b c a d H A B B C D A a b 3、 平行投影的特性平行投影的特性 4從屬性從屬性 點在直線上，點的投影一定在該直線的同面投影上。點在直線上，點的投影一定在該直線的同面投影上。 這種性質(zhì)稱為從屬性。這種性質(zhì)稱為從屬性。 5 5定比性定比性 直線上兩線段上的長度之比，等于它們的平行投影的直線上兩線段上的長度之比，等

8、于它們的平行投影的 長度之比，這種性質(zhì)稱為定比性。長度之比，這種性質(zhì)稱為定比性。 若若: K在在AB上上 則則: k在在 ab上上 AK:KB=ak:kb a b K A B H k 3、平行投影的特性平行投影的特性 6平行性平行性 相互平行的直線在同一投影面上的平行投影仍然相互相互平行的直線在同一投影面上的平行投影仍然相互 平行，且空間線段的長度之比等于它們的同面投影的長度平行，且空間線段的長度之比等于它們的同面投影的長度 之比，這種性質(zhì)稱為平行性。之比，這種性質(zhì)稱為平行性。 若若 ABCD 則則 abcd a c b d a c b f e d H H A C D B A B C D F

9、E 第二節(jié)第二節(jié) 點的投影點的投影 空間點空間點A A的單面投影的單面投影 H A a 由單面投影定空間點的位置由單面投影定空間點的位置 H a C B A 只根據(jù)點在一個投影面上的投影，不能確定該點只根據(jù)點在一個投影面上的投影，不能確定該點 在空間的位置。在空間的位置。 分角的概念分角的概念 中途返回請按“ESC” 鍵 我國采我國采 用第一用第一 分角分角 H H W W V V 一、三投影面體系一、三投影面體系 正立投影面（簡稱正正立投影面（簡稱正 面用面用V V表示）表示） 水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面用平面用H H表示）表示） 側立投影面（簡稱側側立投影面（簡稱側 面用面

10、用W W表示）表示） O O X X Z Z OXOX軸軸 V V面與面與H H面的交線面的交線 OZOZ軸軸 V V面與面與W W面的交線面的交線 OYOY軸軸 H H面與面與W W面的交線面的交線 三個投影面三個投影面 互相垂直互相垂直 Y Y 原點原點O O X X Y Y Z Z O O V V H H W W 向后向后旋轉旋轉 90 向下旋轉向下旋轉90 不動不動 注意：注意： OY軸一分為軸一分為 二：二： YH、Yw 三、投影面展開三、投影面展開 W W H H V V O O X X Z Z Y Y 二、空間點在三個投影面上的投影二、空間點在三個投影面上的投影 a 正面投影正面

11、投影 a 水平投影水平投影 a 側面投影側面投影 a a a A A 規(guī)定規(guī)定: 空間點空間點-用大寫字母表用大寫字母表 示。示。 投影點投影點-用相應小寫字用相應小寫字 母表示。母表示。 X X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a 向后向后旋轉旋轉 90 向下旋轉向下旋轉90 不動不動 注意：注意： OY軸一分為軸一分為 二：二： YH、Yw 三、投影面展開三、投影面展開 45 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影 H V OX a a Z aX az a” W YH YW 帶邊框的三面投影圖帶邊框的三面投影圖 O X a a Z aX az a”

12、 YH YW aYH aYW 去邊框的三面投影圖去邊框的三面投影圖 點的三面投影規(guī)律點的三面投影規(guī)律 （1 1）點的水平投影和正面投影的連線垂直于）點的水平投影和正面投影的連線垂直于OXOX軸軸 （aaOX) ) （2 2）點的正面投影和側面投影的連線垂直于）點的正面投影和側面投影的連線垂直于OZOZ軸軸 （aa”O(jiān)Z) ) H V O X A a a W Y Z a” ax ay az 45 O X a a Z aX az a” YH YW aYH aYW 點的三面投影規(guī)律點的三面投影規(guī)律 (3)(3)各投影到投影軸的距離，等于該點到通過該軸的各投影到投影軸的距離，等于該點到通過該軸的 相鄰

13、投影面的距離。相鄰投影面的距離。( (也等于空間點到投影面的距離也等于空間點到投影面的距離) ) a ax = a az =A 到到V 面面的距離的距離 a ax= a aYW =A 到到H 面面的距離的距離 a az = aaYH =A 到到W 面面的距離的距離 H V O X A a a W Y Z a” ax ay az O X a a Z ax az a” YW aYH aYW YH 點的三面投影規(guī)律點的三面投影規(guī)律 【例2-1】已知點已知點A的的水平投影水平投影a和和正面投影正面投影a , ,求側面投影求側面投影a”。 中途返回請按“ESC” 鍵 aa” a OX Z YW YH 特

14、殊位置的點特殊位置的點 下一頁下一頁 特殊位置的點特殊位置的點 1 1投影面上的點投影面上的點： 一投影與該點本身重合，另外兩投影在投影軸上。一投影與該點本身重合，另外兩投影在投影軸上。 2 2投影軸上的點投影軸上的點： 兩投影重合于該點本身，另外一投影與原點兩投影重合于該點本身，另外一投影與原點O O重合。重合。 3 3一點與原點重合一點與原點重合：三個投影亦均與原點重合。：三個投影亦均與原點重合。 H V O X C B b W Y Z Dddd” b” b c c” OX Z YH YW bb” cc” c c ddd” 點的投影與坐標的關系點的投影與坐標的關系 H V A a a W

15、Y Z a” aX ay az O X A點到點到W W面的距離面的距離( (Aa”)=A點的點的x坐標（坐標（Oax x) ) A點到點到V V面的距離面的距離( (Aa)=A點的點的y坐標（坐標（Oay y) ) A點到點到H面的距離面的距離( (Aa)=)=A點的點的z坐標（坐標（Oaz z) ) O X a a Z az aX a” YH YW aYH aYW X Z Y y yx x z z 后后前前 后后 前前 左左右右 a a a A b b b B X Y Z Z YH X YW b b aa” b” a 兩點的相對位置兩點的相對位置 是指平行于投影軸是指平行于投影軸X、Y、Z

16、 的左右、前后和上下的相對關系。的左右、前后和上下的相對關系。 X值大的點值大的點在左在左 Y值大的點值大的點在前在前 Z值大的點值大的點在上在上 B點在點在A點的左邊點的左邊 A點在點在B點的前邊點的前邊 A點在點在B點的上邊點的上邊 左左右右 上上 下下 上上 下下 第三節(jié)第三節(jié) 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點 兩點的相對距離，并非指兩點的相對距離，并非指 兩點間的真實距離，而是指平兩點間的真實距離，而是指平 行行 X、Y、Z軸的距離，即到軸的距離，即到W、 V和和H面的距離差面的距離差, ,即：即： 一、兩點的相對距離一、兩點的相對距離 坐標差：坐標差： X（長度差）（長度

17、差） Y（寬度差）（寬度差） Z（高度差）（高度差） 二、重影點及可見性重影點及可見性 兩點位于某一投影面的兩點位于某一投影面的同同 一條投射線上一條投射線上，則它們在這，則它們在這 一個投影面上的投影互相重一個投影面上的投影互相重 疊，該兩點疊，該兩點稱為對該投影面稱為對該投影面 的一對重影點的一對重影點。 一個投影面上重影點的可見性，必須依靠該兩點一個投影面上重影點的可見性，必須依靠該兩點 在另外的投影面上的投影來判定。在另外的投影面上的投影來判定。 規(guī)定規(guī)定：重合投影標記為：可見點寫在前面，把不：重合投影標記為：可見點寫在前面，把不 可見點的字母寫于后面；或者將不可見點加以圓括號?？梢婞c

18、的字母寫于后面；或者將不可見點加以圓括號。 H B a(b) A O Z X YH YW V W H Z X Y O O Z X YH YW A B D C F E b a a(b) b a c(d) d c d c e f f e e(f ) ef e f e(f ) c d cd c(d) a(b) b a a b V Z X W H Y V W H Z X Y O O O Z X YH YW 二、重影點及可見性重影點及可見性 H面的重影面的重影 點點A、B V面的重面的重 影點影點C、D W面的重面的重 影點影點E、F三種情況三種情況 第四節(jié)第四節(jié) 直直 線線 的的 投投 影影 直線的投

19、影直線的投影 直線的實長直線的實長 直線上的點直線上的點 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 直線的投影特性直線的投影特性 空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以 有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直 線上任意兩點的位置確定（或直線上一點及指向）。線上任意兩點的位置確定（或直線上一點及指向）。 直線的投影一般仍為直線。直線的投影一般仍為直線。 HH 直線的投影特性直線的投影特性 H a(b) BA a b ba A B A B 當直線垂直投影面時，其投影當直線垂直投影面時，其投影積聚為一點積聚為一點，如

20、圖（，如圖（a）所）所 示；當直線平行投影面時，其投影與直線本身示；當直線平行投影面時，其投影與直線本身平行且相等平行且相等，如，如 圖（圖（b）所示；當直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線）所示；當直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線 本身的本身的長度縮短長度縮短，如圖（，如圖（c）所示。）所示。 (a)(b)(c) OX B A a b a b OX a a b b 直線的投影圖直線的投影圖 V H 作直線的投影，只需作出直線上兩端點的投影，并連接該作直線的投影，只需作出直線上兩端點的投影，并連接該 兩點在同一投影面上的投影（簡稱同面投影）即可。兩點在同一投影面上的投影（簡稱同面投影）

21、即可。 在投影圖中，直線的投影用在投影圖中，直線的投影用粗實線粗實線表示。直線的名稱可由表示。直線的名稱可由 其端點表示（如直線其端點表示（如直線AB，三個投影表示為，三個投影表示為ab、ab、ab）；）； 也可以用一個字母表示（直線也可以用一個字母表示（直線L，它的投影表示為它的投影表示為l、l、l)。 直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置 在三投影面體系中，根據(jù)直線與投影面的相對位在三投影面體系中，根據(jù)直線與投影面的相對位 置不同，直線可分為置不同，直線可分為投影面垂直線投影面垂直線、投影面平行線投影面平行線和和 一般位置直線一般位置直線。前二者統(tǒng)稱為。前二者統(tǒng)稱為特殊位置直線特殊

22、位置直線。 投影面垂直線投影面垂直線 垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的 直線稱為直線稱為投影面垂直線投影面垂直線。投影面垂直線有三種情況：。投影面垂直線有三種情況： 垂直于垂直于H面的直線稱為面的直線稱為鉛垂線鉛垂線； 垂直于垂直于V面的直線稱為面的直線稱為正垂線正垂線； 垂直于垂直于W面的直線稱為面的直線稱為側垂線側垂線。 鉛垂線鉛垂線 ABH 單擊橙 色按鈕 鉛垂線鉛垂線 ABH H H面垂直線具有下列投影特性：面垂直線具有下列投影特性： (1)(1)在在H H面上的投影積聚成一點面上的投影積聚成一點; ; (2)(2)在另外兩個投影面上

23、在另外兩個投影面上V V、W W的投影，反映了實長，并共同平的投影，反映了實長，并共同平 行于同一條投影軸行于同一條投影軸Z Z。 Z XO YH YW b a b a a(b) b a(b) a a b A B V W Y X Z O H O Z X YH YW V W H Z X Y O O Z X YH YW 三種投影面垂直線的立體圖、投影圖三種投影面垂直線的立體圖、投影圖 A B A B B A b a a(b) b a (a)b a b a b a b ba a(b ) ab a b a(b ) b a ba (a)b a(b) b a a b V Z X W H Y V W H Z

24、 X Y O O O Z X YH YW 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線 投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 投影特性：直線在其垂直的投影面上的投影投影特性：直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點積聚為一點； 在另兩投影面上的投影在另兩投影面上的投影共同平行于這兩個投影面交成的投影軸共同平行于這兩個投影面交成的投影軸 （或分別垂直于相應的投影軸），且（或分別垂直于相應的投影軸），且反映直線實長反映直線實長。 讀圖時，讀圖時，只要一投影積聚為一點，只要一投影積聚為一點，即可斷定該直線是投影即可斷定該直線是投影 面垂直線（垂直于積聚投影所在投影面）。面垂直線（垂直于積聚投影所在投影

25、面）。 O Z X YH YW O Z X YH YW ab a b a(b ) b a ba (a)b a(b) b a a b O Z X YH YW 投影面平行線投影面平行線 平行于某一個投影面，傾斜于另兩個投影面的直平行于某一個投影面，傾斜于另兩個投影面的直 線稱為線稱為投影面平行線投影面平行線。投影面平行線有三種情況：。投影面平行線有三種情況： 平行于平行于H面的直線稱為面的直線稱為水平線水平線； 平行于平行于V面的直線稱為面的直線稱為正平線正平線； 平行于平行于W面的直線稱為面的直線稱為側平線側平線。 水平線水平線 ABH X z a b a b O YH YW b a Z a a

26、 b a b b A B V W Y X O (1)(1)在在H面上的投影，平行于直線本身，且為等長；該投影面上的投影，平行于直線本身，且為等長；該投影 與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線對其他兩個投與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線對其他兩個投 影面傾角的大小。影面傾角的大小。 H (2)(2)直線在它不平行的兩個投影面上直線在它不平行的兩個投影面上V、W的兩個投影，共同的兩個投影，共同 垂直于這兩個投影面交成的投影軸垂直于這兩個投影面交成的投影軸Z。 V W H Z X Y O Z X YH YW Z X YH YW O Z X YH YW 三種投影面平行線三種投影面平行線

27、 B A ab a b a b A B b O a b a a b a b a b b a B A abab a b b O a b a a b O a b a bb a V W H Z X Y O V W H Z X Y O 水平線水平線正平線正平線側平線側平線 三種投影面平行線三種投影面平行線 投影特性：投影特性：直線在其平行的投影面上的投影，直線在其平行的投影面上的投影，平行于直線平行于直線 本身，且反映實長本身，且反映實長；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分 別別反映了直線與另兩投影面的傾角反映了直線與另兩投影面的傾角；在另兩投影面上的投影在另兩

28、投影面上的投影共共 同垂直于這兩個投影面交成的投影軸（或分別平行于相應的投同垂直于這兩個投影面交成的投影軸（或分別平行于相應的投 影軸），且不反映線段的實長影軸），且不反映線段的實長。 讀圖時，讀圖時，一個投影平行于投影軸，而另一投影傾斜于投影一個投影平行于投影軸，而另一投影傾斜于投影 軸，軸，即可斷定該直線是投影面平行線。即可斷定該直線是投影面平行線。 Z X YH YW Z X YH YW O Z X YH YW abab a b b O c b c c b O a b a bb a 一般位置直線一般位置直線 1.一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 三個投影面上的投影三個投影面上

29、的投影均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸，且小于空間線段的實，且小于空間線段的實 長；三個投影與相應軸的夾角均不反映直線對投影面的傾角。長；三個投影與相應軸的夾角均不反映直線對投影面的傾角。 a a a a b a b b A Z V W Y X O H B X O YH YW Z a b a b a b 一般位置直線一般位置直線 1.一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 讀圖時，讀圖時，只要直線的任兩投影呈傾斜狀態(tài)只要直線的任兩投影呈傾斜狀態(tài)，即可斷定該直，即可斷定該直 線是一般位置直線。線是一般位置直線。 a a a a b a b b A Z V W Y X O H B X O YH

30、YW Z a b a b a b 【例】【例】 試判斷三棱錐各棱線相對于投影面的位置試判斷三棱錐各棱線相對于投影面的位置 X O a a b YH SA、SC: YW Z b c s c a (c ) s b 一般位置直線一般位置直線 SB : 側平線側平線 AB、BC:水平線 水平線 AC : 側垂線側垂線 s 直線上的點直線上的點 直線上一點的投影，必在該直線的同面投影上，且符合點直線上一點的投影，必在該直線的同面投影上，且符合點 的投影規(guī)律的投影規(guī)律。 (點點E在直線在直線AB上，點上，點 K不在直線不在直線AB上上 ) a a b A V X O H B XO a b a b b K

31、E e k e k e k k e b 直線上的點的投影直線上的點的投影 判斷點是否在直線上判斷點是否在直線上 一般情況下一般情況下，根據(jù)點，根據(jù)點 的兩個投影是否在直線的同的兩個投影是否在直線的同 面投影上就可以確定。面投影上就可以確定。 當當直線是某一投影面直線是某一投影面 的平行線的平行線時，還應觀察直線時，還應觀察直線 所平行的那個投影面上的投所平行的那個投影面上的投 影，才能判別一點是否在直影，才能判別一點是否在直 線上。線上。 X O a a b YH YW Z a b c c c 故故C點不在點不在AB上。上。 直線上的線段之比直線上的線段之比 點點E在直線在直線AB上上 AE:

32、EBae:eb ae: eb ae: eb。 a a b A V X O H B b E e e 由平行投影的特性可知：若點在線上，由平行投影的特性可知：若點在線上，點分空間線段長度之點分空間線段長度之 比等于其同面投影長度之比比等于其同面投影長度之比。 【例【例 】 試把已知線段試把已知線段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：分析：由定比性知：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，為此，用幾何作圖的，為此，用幾何作圖的 方法分線段方法分線段AB的一個投影（如的一個投影（如ab）為）為ac:cb2:3，可得，可得C點的水平投影點的水平投影c；然后；然后 按直線上點的投影特

33、性在按直線上點的投影特性在ab上定出上定出c，C（c、c）即為所求。即為所求。 a b 作圖：作圖：（1）過投影）過投影a作任意輔助線作任意輔助線aB0， 在此線上度量五等分，使在此線上度量五等分，使 aC0:C0B0=2:3，確定，確定C0； （2）連）連b和和B0，再過，再過C0作輔助線平行作輔助線平行 于于B0b交交ab于點于點c，在水平投影在水平投影ab上得上得 分點分點C的水平投影的水平投影c ； （3）再由）再由c向上作鉛垂連系線，在正向上作鉛垂連系線，在正 面投影面投影ab上得分點上得分點C的正面投影的正面投影c。 b B0 C0 a c c d 定比法定比法:把正面投影把正面投

34、影e 所分所分 cd的比的比m:n移到移到cd上面作出上面作出 e 。 X O c d c 分析：分析：分析：由投影可知分析：由投影可知CD為側平線，由為側平線，由e 不能直接對應不能直接對應 作出投影作出投影e，因此可用定比法或第三投影作圖。，因此可用定比法或第三投影作圖。 nm n m 作出第三面投影：作出第三面投影： 先作出先作出 CD的側面投影的側面投影cd，再在，再在 cd上作出上作出e，最后在，最后在cd上上 找到找到e。 Z c d YH YW e e e 【例【例 】已知側平線】已知側平線CD上一點上一點E的正面投影的正面投影e，要求作出點，要求作出點E的水的水 平投影平投影e

35、。 直線的跡點直線的跡點 直線與投影面的交點，稱為該直線的直線與投影面的交點，稱為該直線的跡點跡點。 水平跡點水平跡點或或H面跡點面跡點：直線與直線與H投影面的交點；投影面的交點； 正面跡點正面跡點或或V面跡點：面跡點：直線與直線與V投影面的交點；投影面的交點； 側面跡點側面跡點或或W面跡點：面跡點：直線與直線與W投影面的交點。投影面的交點。 跡點是投影面上的點，故跡點在它所在的投影跡點是投影面上的點，故跡點在它所在的投影 面上的投影，與本身重合，在另外投影面上的投影在面上的投影，與本身重合，在另外投影面上的投影在 投影軸上。投影軸上。 b a A V X O H B b n N n m 延長

36、延長AB直線，與直線，與H面面 交于交于M點（點（水平跡點水平跡點），）， 其其H面投影面投影m在在ab上又與上又與 M重合，而重合，而V面投影面投影 m必必 在在OX軸上又在軸上又在ab 上；上； 延長延長AB直線，與直線，與V面面 交于交于N點（點（正面跡點正面跡點），）， 其其V面投影面投影n在在ab上又與上又與 N重合，而重合，而H面投影面投影n在在 OX軸上又在軸上又在ab上。上。 mM a 直線的跡點直線的跡點 直線上的線段之比直線上的線段之比 求作跡點投影的過程：求作跡點投影的過程： 水平跡點：水平跡點：延長延長AB的正面投的正面投 影影ab 與與OX軸相交于軸相交于m, ,再由

37、再由 m引引OX軸的垂線與直線的水軸的垂線與直線的水 平投影平投影ab的延長線相交得的延長線相交得m。 正面跡點：正面跡點：延長延長AB的水平投的水平投 影影ab與與OX軸相交于軸相交于n,再由再由n引引 OX軸的垂線與直線的正面投軸的垂線與直線的正面投 影影ab的延長線相交得的延長線相交得n。 XO a a b b m m n n 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 兩直線在空間的相對位置有三種：即兩直線在空間的相對位置有三種：即平行平行、相交相交、 交叉交叉。特殊情況下為互相。特殊情況下為互相垂直垂直。兩平行、相交直線均。兩平行、相交直線均 為為共面直線共面直線，交叉兩直線為，交叉兩直線為異

38、面直線異面直線。 c d 平行兩直線平行兩直線 若空間兩直線互相平行，則其同面投影也平行；反之，若若空間兩直線互相平行，則其同面投影也平行；反之，若 兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定平行。兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定平行。 V W H c d a b c d B A C D a b a b X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d 平行兩直線平行兩直線 根據(jù)投影根據(jù)投影判斷兩直線是否平行判斷兩直線是否平行: 對于對于一般位置的兩直線一般位置的兩直線，僅根據(jù)直線的任意兩個同面投影，僅根據(jù)直線的任意兩個同面投影 是否平行即可判別它們在空間是

39、否平行；是否平行即可判別它們在空間是否平行； X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d X O a 對于對于平行于同一投影面的兩直線平行于同一投影面的兩直線，則需要有一組是被平行的，則需要有一組是被平行的 投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和長度之比是否一致投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和長度之比是否一致 來確定。來確定。 Z YH YW 平行兩直線平行兩直線 b a b c d c d a b d c X O a Z YH YW b a b c d d c a b d c 平行平行 不平行不平行 相交兩直線相交兩直線 若空間兩直線相交，則其同面投影也

40、相交，且各投影的交若空間兩直線相交，則其同面投影也相交，且各投影的交 點符合點的投影規(guī)律。點符合點的投影規(guī)律。 V W H B A C D a b X Z Y O cd c d a b k k K c d b a k X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d k k k 反之，若兩直線的同面投影相交，且各同面投影的交點的反之，若兩直線的同面投影相交，且各同面投影的交點的 連線符合空間一點的投影特性，則兩直線在空間一定相交。連線符合空間一點的投影特性，則兩直線在空間一定相交。 兩條一般位置直線，只要任意兩組同面投影符合上述條件，兩條一般位置直線，只要任意兩組同面投影

41、符合上述條件， 即可肯定兩直線相交。即可肯定兩直線相交。 f e f e e f g h g h g h 不相交不相交 相交兩直線相交兩直線 如兩直線中，只要有一條為如兩直線中，只要有一條為某投影面的平行線某投影面的平行線，如要判別，如要判別 它們是否相交，應畫出在該投影面上的同面投影才能肯定，或它們是否相交，應畫出在該投影面上的同面投影才能肯定，或 者利用分比法來判定。者利用分比法來判定。 a b c b a d c d c d 不相交不相交 相交兩直線相交兩直線 e a 【例】【例】 判別四邊形判別四邊形ABCD是否為平面四邊形。是否為平面四邊形。 O 分析：分析：若四邊形若四邊形ABCD

42、為平面四邊形，則四邊形的兩對角線一為平面四邊形，則四邊形的兩對角線一 定相交，否則為空間四邊形。定相交，否則為空間四邊形。 a 作圖：作圖：（1）連接）連接ac和和ac； （2）連接）連接bd和和bd； （3）檢查）檢查ac和和bd的交點的交點與與 ac和和bd的交點的交點連線是否垂直連線是否垂直 于于OX軸。因交點連線軸。因交點連線不垂不垂 直于直于OX軸，所以可判別四邊形軸，所以可判別四邊形 ABCD不是平面四邊形。不是平面四邊形。 a X b c d b c d 否否 空間既不平行又不相交的兩直線，稱為空間既不平行又不相交的兩直線，稱為交叉兩直線交叉兩直線。交叉兩。交叉兩 直線的各面投影

43、不具備兩平行或相交直線的投影特性。直線的各面投影不具備兩平行或相交直線的投影特性。 交叉兩直線交叉兩直線 X O a Z YH YW b a b c d d c a b d c 交叉交叉 f e f e e f g h g h g h 交叉交叉 V X O H 交叉兩直線交叉兩直線 空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點是空間兩個點空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點是空間兩個點 的重合投影，這兩個點分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投的重合投影，這兩個點分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投 射線上，是射線上，是重影點重影點。投影時，需判斷重影點的。投影時，需判斷重影點的可見性可見性。

44、A B CD b a d c a b c d M N m(n) n m k (l ) L K k l a a X b c d b c O d m(n) m n l k k (l ) V H 垂直兩直線垂直兩直線 相交兩直線的夾角的投影一般不反映角的實際大小，只有當相交兩直線的夾角的投影一般不反映角的實際大小，只有當 構成夾角的構成夾角的兩直線平行于同一投影面時兩直線平行于同一投影面時，在該投影面上的投影反，在該投影面上的投影反 映兩直線間的映兩直線間的真實夾角真實夾角， b a c B A C a b c a b c b a c V H 垂直兩直線垂直兩直線 空間垂直空間垂直的兩直線，若其中有

45、的兩直線，若其中有一條直線平行于某一投影面一條直線平行于某一投影面， 另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線在該投影面上的在該投影面上的 投影反映直角投影反映直角，此定理稱為，此定理稱為直角投影定理直角投影定理。 b a c B A C a b c ABBC、 ABBb abAB ABBbcC平面平面 abBbcC平面平面 abbc。 證明：證明： V H 垂直兩直線垂直兩直線 空間垂直空間垂直的兩直線，若其中有的兩直線，若其中有一條直線平行于某一投影面一條直線平行于某一投影面， 另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線另一條不平行也不垂直于該投

46、影面時，則兩直線在該投影面上的在該投影面上的 投影反映直角投影反映直角，此定理稱為直角投影定理。，此定理稱為直角投影定理。 b a c B A a b a b c b a c 垂直兩直線垂直兩直線 逆定理：即若兩直線的逆定理：即若兩直線的同面投影垂直同面投影垂直，且其中一條直線平行且其中一條直線平行 該投影面該投影面，則可判定該兩直線在，則可判定該兩直線在空間相互垂直空間相互垂直。 V H b a c B A C a b c a b c b a c 垂直兩直線垂直兩直線 直角投影定理不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于直角投影定理不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于交叉交叉 垂直的兩直線。垂直

47、的兩直線。 【例】求點【例】求點C到正平線到正平線AB的距離的距離CD。 分析分析：點到直線的距離，是由該點到該直線所引垂線之長。直線：點到直線的距離，是由該點到該直線所引垂線之長。直線AB為正為正 平線，所以點平線，所以點C到到AB的距離的距離CD和和AB的正面投影的正面投影ab與與cd一定相互垂直（一定相互垂直（直角直角 投影定理投影定理）。因此，先求出垂線的正面投影，然后求出水平投影，最后用直）。因此，先求出垂線的正面投影，然后求出水平投影，最后用直 角三角形法求出垂線實長。角三角形法求出垂線實長。 a c b a c b d d CD 作圖：作圖： （1 1）作）作cdab交于交于ab

48、一一 點點d。 （2 2）由）由d 作豎直連系線交作豎直連系線交 ab于一點于一點d，并連結，并連結cd。 （3 3）利用直角三角形法求）利用直角三角形法求 出出CD的實長的實長。 【例】已知正方形【例】已知正方形ABCD對角線的投影，對角線的投影，B在在A的下的下 方試完成正方形的兩面投影。方試完成正方形的兩面投影。 分析分析：正方形對角線一定相交垂直且等長，由正方形對角線一定相交垂直且等長，由acox軸，對角線軸，對角線AC為水為水 平線，因此兩對角線的水平投影平線，因此兩對角線的水平投影acbd。又因。又因BDACac，且對角線半長，且對角線半長KC kc，由對角線的半長的水平投影，由對

49、角線的半長的水平投影kb可求出其可求出其kb的長度和的長度和K、B的的Z坐標差。坐標差。 a e b a c b d 作圖：作圖： （1 1）求中點的投影）求中點的投影k、k，并過，并過 k作對角線作對角線AC的水平投影的水平投影ac。 （2 2）直角三角形法求（）直角三角形法求（kbe）， 求出求出K、B的的Z坐標差，并求出坐標差，并求出b。 （3 3）過）過k作對角線作對角線BD的正面投的正面投 影影bd，連接對角線的端點，即完，連接對角線的端點，即完 成正方形成正方形ABCD的兩面投影。的兩面投影。 o x d k k c 第五節(jié)第五節(jié) 平平 面面 平面的投影平面的投影 平面對投影面的相

50、對位置平面對投影面的相對位置 平面上的點和線平面上的點和線 平面上的特殊線平面上的特殊線 平面幾何元素表示法平面幾何元素表示法 c b a c b a c c a b b a a b c c a b c c a a b c c a b a b d d 不在一直線上三點不在一直線上三點一直線和線外一點一直線和線外一點相交兩直線相交兩直線平行兩直線平行兩直線任意平面圖形任意平面圖形 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì) 1 1、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。 a b c c a b b a A B C X X Y Z Z YH YW a b

51、a b a b c c c O 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì) (a) b c a d 2 2、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個 類似圖形，但形狀、大小均可變化類似圖形，但形狀、大小均可變化( (圖圖a)a)。 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì) (a) b c a d d(a) c(b) (b) E F M emf 積聚 投影 3 3、平面垂直于某投影面時，在該面上的投影積聚成一、平面垂直于某投影面時，在該面上的投影積聚成一 直線直線( (圖圖b)b)。 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì) (a) b c a d d(a) c(b) (b) E

52、 F M emf 4 4、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面 圖形的真實性狀、大小和方向等圖形的真實性狀、大小和方向等( (圖圖c)c)。 (c) ba dc 跡線表示法跡線表示法 跡線是平面與投影面的交線。跡線是平面與投影面的交線。 V H W P PH PV PW 側面跡線 水平跡 線 正面跡線 P（跡線平面） 跡線平面表示法跡線平面表示法 作出跡線平面的三面投影，由此三面投影即作出跡線平面的三面投影，由此三面投影即 可確定平面?？纱_定平面。 跡線表示法跡線表示法 跡線平面表示法如圖所示：跡線平面表示法如圖所示： PV PH PW 注

53、意注意：跡線的符號用平面名稱：跡線的符號用平面名稱 的大寫字母附加投影面名稱的的大寫字母附加投影面名稱的 下標來表示，下標來表示，PH、PV、PW。 在投影圖上，通常只將跡在投影圖上，通常只將跡 線與重合的那個投影畫出，并線與重合的那個投影畫出，并 用大寫帶腳標的符號標記，凡用大寫帶腳標的符號標記，凡 和投影軸重合的投影不需畫出，和投影軸重合的投影不需畫出， 也省略標記。也省略標記。 表示特殊位置平面時，主要用此法表示。表示特殊位置平面時，主要用此法表示。 平面的分類平面的分類 根據(jù)平面相對于投影面的傾斜角度的不同，根據(jù)平面相對于投影面的傾斜角度的不同， 可分為三類：可分為三類： 一般位置平面

54、一般位置平面： 投影面平行面投影面平行面： 投影面垂直面投影面垂直面： 與各投影面呈一般角度的傾斜。與各投影面呈一般角度的傾斜。 垂直于某投影面。垂直于某投影面。 平行于某投影面。平行于某投影面。 三類平面具有不同的投影特性。 一般位置平面一般位置平面 結論結論： 一般面的三面投影均為原形的類似形，其大小小于實形。一般面的三面投影均為原形的類似形，其大小小于實形。 a b c c a b b a A B C X X Y Z Z YH YW a b a b a b c c c O 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面，垂直于某一投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面

55、， 稱為投影面垂直面。稱為投影面垂直面。 投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分為：投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分為： （1 1）H H面垂直面或面垂直面或鉛垂面鉛垂面：垂直于：垂直于H H面的平面；面的平面； （2 2）V V面垂直面或面垂直面或正垂面正垂面：垂直于：垂直于V V面的平面；面的平面； （3 3）W W面垂直面或面垂直面或側垂面?zhèn)却姑妫捍怪庇冢捍怪庇赪 W面的平面。面的平面。 鉛垂面鉛垂面 投影面垂直面投影面垂直面 V Z X Y H O p p p P X Z O YH YW p p p （1 1）水平投影）水平投影p積聚成直線，并反映傾角積聚成直線，并反映傾角和和 （2

56、 2）正面投影）正面投影pp和側面投影和側面投影p”p”不反映不反映實形實形 投影特性：投影特性： 正垂面正垂面 投影面垂直面投影面垂直面 q q” X Z q O YH YW a Z X Y H W q q q a O Q V （1 1）正面投影）正面投影q積聚成直線，并反映傾角積聚成直線，并反映傾角和和 （2 2）水平投影）水平投影q和側面投影和側面投影q”不反映不反映實形實形 投影特性：投影特性： 側垂面?zhèn)却姑?投影面垂直面投影面垂直面 V Z X Y H W O r r r R a X Z O YH YW r r r a （1 1）側面投影）側面投影r”積聚成直線，并反映傾角積聚成直線

57、，并反映傾角和和 （2 2）正面投影）正面投影r和水平投影和水平投影r 不反映不反映實形實形 投影特性：投影特性： 投影特性投影特性 在它所垂直的投影面上投影積聚為一直線；此積聚投影與相在它所垂直的投影面上投影積聚為一直線；此積聚投影與相 應投影軸的夾角，反映該平面相對于相應投影面的傾角。投影面應投影軸的夾角，反映該平面相對于相應投影面的傾角。投影面 垂直面的其它投影均比實形小，為原形的類似形狀。垂直面的其它投影均比實形小，為原形的類似形狀。 投影面垂直面投影面垂直面 鉛垂面鉛垂面 正垂面正垂面 側垂面?zhèn)却姑?X Z O YH YW r r r” a q q” X Z q O YH a X Z

58、 YH O p P” p 投影面垂直面投影面垂直面 鉛垂面鉛垂面 正垂面正垂面 側垂面?zhèn)却姑?X Z O YH YW r r r” a q q” X Z q O YH a X Z YH O p P” p 讀圖讀圖 一平面只要有一平面只要有一面投影積聚為直線一面投影積聚為直線，則它必然垂直，則它必然垂直 于積聚投影所在的投影面。于積聚投影所在的投影面。 跡線平面法表示三種垂直面跡線平面法表示三種垂直面： 注意注意：用跡線平面表示法表示平面習慣上只作跡線：用跡線平面表示法表示平面習慣上只作跡線 平面的積聚投影，其它兩面投影不用作。但必須在平面的積聚投影，其它兩面投影不用作。但必須在 該積聚投影旁邊

59、標注平面的該面跡線的標記。該積聚投影旁邊標注平面的該面跡線的標記。 PH PV PW 鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 平行于一個投影面同時垂直于另外兩個投影面平行于一個投影面同時垂直于另外兩個投影面 的平面稱為投影面平行面。的平面稱為投影面平行面。 水平面水平面：平行于平行于H面。面。 正平面正平面：平行于平行于V面。面。 側平面?zhèn)绕矫妫浩叫杏谄叫杏赪面。面。 投影面平行面投影面平行面 X Z p p p O YH YW X V Z W p p P” P O H Y 1.1.投影面平行面水平面投影面平行面水平面 （1 1）水平投影）水平投影p反映實形反映

60、實形 （2 2）正面投影）正面投影p及側面投影及側面投影p”均有積聚性均有積聚性 且且p/0X/0X軸；軸；p”/OY”/OYW軸軸 投影特性：投影特性： 投影面平行面投影面平行面 q”q q X Z O YH YW X V Z W O H Y q q” q Q （1 1）正面投影）正面投影q反映實形反映實形 （2 2）水平投影）水平投影q及側面投影及側面投影q”均有積聚性均有積聚性 且且q /0X/0X軸；軸；q”/”/OZ軸軸 投影特性：投影特性： 2.2.投影面平行面正平面投影面平行面正平面 投影面平行面投影面平行面 X Z O r r r YH YW X V Z W O H Y R r