極化恒等式教師

1、極化恒等式（教師版）引例：平行四邊形是表 你能用向量方法證明： 等于兩條鄰邊平方和的示向量加法和減法的幾 平行四邊形的對(duì)角線的 兩倍.何模型。平方和證明：不妨設(shè)AB=a,AD=b,J則AC =a +b,DB =a -b,圖1AC2f_+ 2a b +DB(1) 2 . - 2=DB =(a-b)（2）兩式相加得:,2 _,AC +DBb2一 2(1)2=2+ AD2平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍結(jié)論： 思考1:如果將上面（1）（ 2）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？極化恒等式a.b=qG+bLGbP4 I對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺(jué)得極化恒等式

2、的幾 何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角1線”平方差的丄.42-DB2（平行四邊形模式）思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點(diǎn)），此恒等式如何表示呢?因?yàn)锳C =2AM，所以a b =AM2 -1 DB （三角形模式）41.掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值例1.（2012年浙江文15）在AABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM =3,BC =10，則解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),由極化恒等式得:2 1=9-咒100= -1642 1 BC4【小結(jié)】在運(yùn)用極化恒等式的三角形模式時(shí)，關(guān)鍵在于取第三邊的中點(diǎn)，找到三角形的中線，再 寫出極化恒等式。目

3、標(biāo)檢測(cè)（2012北京文13改編）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝y DE -DA的值為2：掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍例2.（自編）已知正三角形 ABC內(nèi)接于半徑為2勺圓0,點(diǎn)P是圓0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA PB的取值范圍是PB解：取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD,因?yàn)槿切蜛BC為 正三角形，所以 0為三角形ABC的重心，0在CD 上,且 OC =2OD =2，所以 CD =3，AB =23（也可用正弦定理求 AB）2 1 -AB4因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，|PD|max = 3當(dāng)P在CO的延長(zhǎng)線與圓 O的交點(diǎn)處時(shí)，| PD |min = 1又由極化恒等式得：P

4、APB = PD23所以PA卩Bq2,6【小結(jié)】涉及數(shù)量積的范圍或最值時(shí)，可以利用極化恒等式將多變量轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞浚儆脭?shù)形結(jié) 合等方法求出單變量的范圍、最值即可。目標(biāo)檢測(cè)2 2（2010福建文11）若點(diǎn)0和點(diǎn)F分別為橢圓 令+號(hào)=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP的最大值為（）A. 2B.3C.6D.83:會(huì)用極化恒等式解決與數(shù)量積有關(guān)的綜合問(wèn)題例3.一一占八、1（2013浙江理7）在也ABC中，P。是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=AB，且對(duì)于邊AB上任4T T T TP,恒有 PB PC F0B P0C。則（）A.必 ABC =90 B. NBAC =90,C.AB =A

5、CD. AC = BC目標(biāo)檢測(cè)（2008浙江理9）已知a,b是平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的單位向量，若向量C滿足（ac） （b-c） =0，貝y c的最大值是（）A.1B.2C*2D.空2W 7設(shè)正方旳ABCV的邊長(zhǎng)為4 ,動(dòng)點(diǎn)P在tiJB為直祎圖圓： APB上f如圖.斯示丿,.Hl 戸巴而的取值范圉是KAB【解析】取3中點(diǎn)聯(lián)統(tǒng)PE.在APDC內(nèi)便用極化恒等式得-4 由圖可知J西|22坷故疋 帀06卜PC ro=|-|Df =1 西p -i|c- =11*8在AJBC中.點(diǎn)F分別是找段ABAC的中點(diǎn)點(diǎn)PSfi檢貯上若4SC的面積為2. PB + BC的最小值S（2012年江蘇省南京ft數(shù)學(xué)髙烏模擬試J

6、S）【分析】如圖.取BC的中點(diǎn)D在APBCrttt用極化恒等式得PC P5 = |pd| -155| = |ro| -i|sc.從而 PC- + 5c=|+|S W為 disc的面積 4J2為2.所以“BC的高h(yuǎn)= 乂 EF為UBC的中位線故APBC的髙為三從而PD.BCBCBCW此Pc ra + Scp+|B*273.當(dāng)H僅當(dāng)PD丄=時(shí)等號(hào)成井例9如圖，在半於為1的形03中，ZXOB6（巴C為上的動(dòng)點(diǎn)，ztB與OC交于點(diǎn)P.W 更麗的鼓小值為【解析】如圖取OB的中點(diǎn)D,掙DE丄/B于點(diǎn)E,根據(jù)極化恒等式5 5=i（5 + 6/-（5-）-可知, 5?麗=而丙丄（而+丙）2（？5-丙）卜丄（2?5f44 陰e網(wǎng).|疋I M d-55 =而S 知?jiǎng)t喬麗麗弓噲曲故頁(yè)-麗的最小值為飛42其實(shí)本只需要等邊三角形zJ0