數(shù)學模型與數(shù)學建模（經(jīng)典實用）

1、數(shù)學模型與數(shù)學建模 數(shù)數(shù) 學學 模模 型型 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 課 程 名 稱學 時 36 數(shù)學模型與數(shù)學建模 Mathematical Modeling 學 分3 課程類別專業(yè)選修課 先 修 課 程 微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 課 程 簡 介 本課程是計算機及管理專業(yè)的一門專業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學建本課程是計算機及管理專業(yè)的一門專業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學建 模競賽的輔導課程。數(shù)學模型是架于數(shù)學理論和實際問題之間的橋梁。模競賽的輔導課程。數(shù)學模型是架于數(shù)學理論和實際問題之間的橋梁。 數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的重

2、要手段和途徑。本書介紹數(shù)學建數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的重要手段和途徑。本書介紹數(shù)學建 模中常用的一些基本概念、理論和典型的數(shù)學模型，包括：數(shù)據(jù)擬合，模中常用的一些基本概念、理論和典型的數(shù)學模型，包括：數(shù)據(jù)擬合， 網(wǎng)絡模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機模型，時間序列預報模型，回歸網(wǎng)絡模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機模型，時間序列預報模型，回歸 分析及其試驗設計。通過數(shù)學模型和數(shù)學建模有關(guān)問題的論述和模型實分析及其試驗設計。通過數(shù)學模型和數(shù)學建模有關(guān)問題的論述和模型實 例的介紹，使學生應用數(shù)學解決實際問題的能力有所提高。例的介紹，使學生應用數(shù)學解決實際問題的能力有所提高。 教 材 及 參 考 書

3、目 數(shù)學模型，姜啟源主編， 高等教育出版社 課課 程程 簡簡 介介 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 第二章第二章 初等模型初等模型 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 第六章第六章 穩(wěn)定性模型穩(wěn)定性模型 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 第八章第八章 離散模型離散模型 第九章第九章 概率模型概率模型 第十章第十章 統(tǒng)計回歸模型統(tǒng)計回歸模型 附錄附錄: :

4、數(shù)學建模實驗數(shù)學建模實驗 數(shù)學模型與數(shù)學建模 周次節(jié)次教學內(nèi)容課時作業(yè)執(zhí)行情況 1五 56 1.1-1.5數(shù)學模型的介紹 1.6數(shù)學模型的基本方法步驟、特點 和分類 2 2五 562.1公平的席位分配(討論課) 2.2錄像機計數(shù)器的用途 2.3雙層玻璃的功效 2 3五 562.7實物交換 3.2生豬的出售時機 2 4五 563.3森林救火(討論課) 3.4最優(yōu)價格 2 5五 563.6消費者的選擇 4.3汽車生產(chǎn)與原油采購 2 6五 564.5飲料廠的生產(chǎn)與檢修 5.1傳染病模型(討論課) 2 7五 56 5.2經(jīng)濟增長模型 5.6人口的預測和控制 2 8五 56 6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲 6.

5、2軍備競賽(討論課) 2 教教 學學 進進 度度 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 9五 56 6.4種群的相互依存 7.1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型 2 10五 56 7.2減肥計劃-節(jié)食與運動 8.3層次分析模型 2 12五 56 8.4效益的合理分配 9.2報童的訣竅(討論課) 2 13五 56 9.5隨機人口模型 9.6航空公司的預定票策略 2 14五五 56 10.1牙膏的銷售量牙膏的銷售量2評估周評估周 15五 56 Mtlab,Mathematcia數(shù)學軟件學習 (上機) 2 16五 56 數(shù)學建模實驗(上機)2 17五 56 數(shù)學建模實驗

6、(上機)2 18 考試 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 第第一一章章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型 1.2 數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的重要意義 1.3 數(shù)學建模示例數(shù)學建模示例 1.4 數(shù)學建模的方法和步驟數(shù)學建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學模型的特點和分類數(shù)學模型的特點和分類 1.6 怎樣學習數(shù)學建模怎樣學習數(shù)學建模 數(shù)學模型與數(shù)學建模 玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型 水箱中的艦艇、風洞中的飛機水箱中

7、的艦艇、風洞中的飛機 物理模型物理模型 地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型 模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征 1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型 我們常見的模型我們常見的模型 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 你碰到過的數(shù)學模型你碰到過的數(shù)學模型“航行問題航行問題” 用用 x

8、表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程： 75050)( 75030)( yx yx 答：船速每小時答：船速每小時20千米千米/ /小時小時. . 甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需千米，船從甲到乙順水航行需30小時，小時， 從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少小時，問船的速度是多少? x =20 y =5 求解求解 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 航行問題航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟建立數(shù)學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假

9、設（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學解答（求解得到數(shù)學解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20千米千米/小時）。小時）。 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 數(shù)學模型數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和和 數(shù)學建模（數(shù)學建模（Mathem

10、atical Modeling) 對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的， 根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設簡化假設， 運用適當?shù)倪\用適當?shù)臄?shù)學工具數(shù)學工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)數(shù)學結(jié)構(gòu)。 建立數(shù)學模型的全過程建立數(shù)學模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等） 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學數(shù)學 建模建模 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 1.2 數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計算機的出現(xiàn)及飛

11、速發(fā)展； 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。 數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步， 越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領域數(shù)學建模仍然大有用武之地；在一般工程技術(shù)領域數(shù)學建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領域數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。數(shù)學進入一些新領域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地。 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建

12、模 數(shù)學建模的具體應用數(shù)學建模的具體應用 分析與設計分析與設計 預報與決策預報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理 數(shù)學建模計算機技術(shù) 知識經(jīng)濟知識經(jīng)濟 如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 1.3 數(shù)學建模示例數(shù)學建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎 問題分析問題分析 模模 型型 假假 設設 通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳 連線呈正方形連線呈正方形; 地面高

13、度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù) 曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三 只腳同時著地。只腳同時著地。 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性 x B A D C O D C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著

14、地 距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù) 四個距離四個距離 (四只腳四只腳) A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( ) B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( ) 兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零 正方形正方形ABCD 繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn) 正方形正方形 對稱性對稱性 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 對任意對任意 , f( ), g( ) 至少一個為至少

15、一個為0 數(shù)學數(shù)學 問題問題 已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0. 模型構(gòu)成模型構(gòu)成 地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只腳著地至少三只腳著地 第一章第一章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 模型求解模型求解 給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法 將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。

16、由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，對，對 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 公平分配方案應公平分配方案應 使使 rA , rB 盡量小盡量小 設設A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問應分給席，問應分給A, 還是還是B 不妨設分配開始時不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對，即對A不公平不公平 ),( / / 21 22 22

17、11 nnr np npnp A 對對A的相對不公平度的相對不公平度 將絕對度量改為相對度量將絕對度量改為相對度量 類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配, 即即 “公平公平”分配方分配方 法法 若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義 第二章第二章 初等模型初等模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應給則這席應給 A 2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 應計算應計算rB(n1+1, n2) 應計算應計算rA(n

18、1, n2+1) 若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問：問： p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應給則這席應給 B 第二章第二章 初等模型初等模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 當當 rB(n1+1, n2) 640 g=0.1 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 敏感性分析敏感性分析 研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 估計估計r=2， g=0.1 rg gr t 2404 設設g=0.1不變不變 5 . 1, 6040 r r r t t 對對

19、r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rr tt rtS / / ),( t r dr dt 3 6040 60 ),( r rtS 生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%。 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 敏感性分析敏感性分析 估計估計r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響變化時對模型結(jié)果的影響 設設r=2不變不變 15. 00, 203 g g g t t 對對g的（相對

20、）敏感度的（相對）敏感度 t g dg dt gg tt gtS / / ),( 3 203 3 ),( g gtS 生豬價格每天的降低量生豬價格每天的降低量g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%。 0.060.080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 強健性分析強健性分析 保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售 由由 S(t,r)=3 建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算。再作計算。

21、 wwpp, 研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響 w=80+rt w = w(t) 4)()()()(twtptwtp p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t 0)( t Q 每天利潤的增值每天利潤的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()( 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。 隊員多，森林損失小，救援

22、費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大； 隊員少，森林損失大，救援費用小。隊員少，森林損失大，救援費用小。 綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。 問題問題 分析分析 問題問題 記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定. 存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x)

23、, f2(x)之和最小之和最小 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 關(guān)鍵是對關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設. 問題問題 分析分析 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形 t1t20t B B(t2) 分析分析B(t)比較困難比較困難, 轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀 速度速度dB/dt. 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)

24、學建模 模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）火勢蔓延速度） 2）t1 t t2, 降為降為 - x ( 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度）速度） 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 假設假設1） 的解釋的解釋 r B 火勢以失火點為中心，火勢以失火點為中心， 均勻向四周呈圓形蔓延，均勻向四周呈圓形蔓延， 半徑半徑 r與與 t 成正比成正比 面積面積 B與與 t2成正比，成

25、正比， dB/dt與與 t成正比成正比. 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 x b tt 12 2 0 2 )()( t dttBtB 模型建立模型建立 dt dB b 0 t1t t2 x 假設假設1） , 1 tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用)()()( 21 xfxfxC 假設假設3）4） x t tt 1 12 假設假設2） )(222 2 1 22 12 x ttbt 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主

26、編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 0 dx dC xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù) dt dB b 0t1t2t x 其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 模型模型 應用應用 c1,c2,c3已

27、知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. 為什么為什么? ? , 可可設置一系列數(shù)值設置一系列數(shù)值 由模型決定隊員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 3.4

28、最優(yōu)價格最優(yōu)價格 問題問題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平 衡條件下確定商品價格，使利潤最大衡條件下確定商品價格，使利潤最大 假設假設 1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x 2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格 3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本 4）銷量）銷量 x 依賴于價格依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模 與求解與求解 pxpI)(收入收入 qxpC)(支出支出 )()()(pCpIpU 利潤利潤 進一步設進一步設0,)(babpapx 求求p使使U

29、(p)最大最大 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 0 * pp dp dU 使利潤使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格最大的最優(yōu)價格 p*滿足滿足 * pppp dp dC dp dI 最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到 pxpI)( qxpC)( bpapx)( )(bpaqp )()()(pCpIpU b aq p 22 * 建模建模 與求解與求解 邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模

30、結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 b aq p 22 * 0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 價格上升價格上升1單位時銷量的下降單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）幅度（需求對價格的敏感度） a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求) b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b? 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 3.6 消費者均衡消費者均衡 問題問題 消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別消費者對甲乙兩種

31、商品的偏愛程度用無差別 曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢， 購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。 設甲乙數(shù)量為設甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消 費者的無差別曲線族費者的無差別曲線族 (單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相 交），記作交），記作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù) 已知甲乙價格已知甲乙價格 p1,p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s, 購買甲乙數(shù)量購買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大. 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主

32、編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 模型模型 及及 求解求解 已知價格已知價格 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大 sqpqpts qqUZ 2211 21 . . ),(max ),( 2211 qpqpUL) 2 , 1(0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dq Kl 幾幾 何何 解解 釋釋 sqpqp 2211 直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點切點 21 / ppK MN 斜率斜率

33、M Q N 21 / q U q U 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 0, 0, 0, 0, 0.B 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 結(jié)果結(jié)果 解釋解釋 21 , q U q U 邊際效用邊際效用 消費者均衡狀態(tài)在兩種商品消費者均衡狀態(tài)在兩種商品 的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們 價格之比時達到。價格之比時達到。 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應滿足的條件應滿足的條件 A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所

34、確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實際意義的實際意義AB 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 0,)(. 1 1 21 qq U 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 2 1 2 1 p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比 與二者價格之比的平方根成正比。與二者價格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費者對甲乙分別表示消費者對甲乙 兩種商品

35、的偏愛程度。兩種商品的偏愛程度。 第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 1,0,. 2 21 qqU 0,)(. 3 2 21 baqbqaU 2 1 2 1 p p q U q U 22 11 qp qp 購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對甲乙分別表示對甲乙的偏愛程度。的偏愛程度。 思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 第三章第三章 簡單的優(yōu)化

36、模型簡單的優(yōu)化模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購 4.5 飲料廠的生產(chǎn)與檢修飲料廠的生產(chǎn)與檢修 數(shù)學模型數(shù)學模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 實際問題中實際問題中 的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型 mixgts xxxxfzMaxMin i T n , 2 , 1, 0)(. . ),(),()( 1 或 x決策變量決策變量f(x)目標函數(shù)目標函數(shù) gi(x) 0約束條件約束條件 多元函數(shù)多元函數(shù) 條件極值條件極值 決策變量個數(shù)決

37、策變量個數(shù)n和和 約束條件個數(shù)約束條件個數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域 的邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù) 學學 規(guī)規(guī) 劃劃 線性規(guī)劃線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃 整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃 重點在模型的建立和結(jié)果的分析重點在模型的建立和結(jié)果的分析 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)如果生產(chǎn)某一類型汽車，則至少要生產(chǎn)8080輛，輛， 那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？那么最優(yōu)的生產(chǎn)計劃應作何改變？ 例例1 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 汽車廠生產(chǎn)三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼汽車廠生產(chǎn)三種類

38、型的汽車，已知各類型每輛車對鋼 材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現(xiàn)有量。 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量 鋼材（噸）鋼材（噸） 1.5 3 5 600 勞動時間（小時）勞動時間（小時） 280 250 400 60000 利潤（萬元）利潤（萬元） 2 3 4 制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。制訂月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。 4.3 汽車生產(chǎn)與原油采購汽車生產(chǎn)與原油采購 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 設每月生產(chǎn)小、中、大型設每月生產(chǎn)小、中、大型 汽車的數(shù)量分別為

39、汽車的數(shù)量分別為x1, x2, x3 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 0, 321 xxx 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 現(xiàn)有量現(xiàn)有量 鋼材鋼材 1.5 3 5 600 時間時間 280 250 400 60000 利潤利潤 2 3 4 線性線性 規(guī)劃規(guī)劃 模型模型 (LP) 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 模型模型 求解求解 3） 模型中增加條件：模型中增加條件：x1, x2, x3 均為

40、整數(shù)，重新求解。均為整數(shù)，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226 結(jié)果為小數(shù)，結(jié)果為小數(shù)， 怎么辦？怎么辦？ 1）舍去小數(shù)：?。┥崛バ?shù)：取x1=64，x2=167，算出目標函數(shù)值，算出目標函數(shù)值z=629，與，與

41、LP最優(yōu)值最優(yōu)值632.2581相差不大。相差不大。 2）試探：如?。┰囂剑喝缛1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數(shù)等，計算函數(shù) 值值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解。，通過比較可能得到更優(yōu)的解。 但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？但必須檢驗它們是否滿足約束條件。為什么？ 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 IP可用可用LINDO直接求解直接求解 整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃( (Integer Programming, ,簡記簡記IP) ) “gin 3”表示表示“前前3個變量個變量 為整數(shù)為整數(shù)”，等價于：，

42、等價于： gin x1 gin x2 gin x3 IP 的最優(yōu)解的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=632 max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3600 280 x1+250 x2+400 x360000 end gin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321 432xxxzMax 600535 . 1.

43、 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 為非負整數(shù) 321 ,xxx 模型求解模型求解 IP 結(jié)果輸出結(jié)果輸出 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 其中其中3個個子模型應子模型應去掉，然后去掉，然后 逐一求解，比較目標函數(shù)值，逐一求解，比較目標函數(shù)值， 再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解： 80, 0, 0 321 xxx 0,80, 0 321 xxx 80,80, 0 321 xxx 0, 0,80 321 xxx 0,80,80 321 xxx 80, 0,80 321 xxx

44、80,80,80 321 xxx 0, 321 xxx 方法方法1：分解為：分解為8個個LP子模型子模型 汽車廠生產(chǎn)計劃汽車廠生產(chǎn)計劃 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。 321 432xxxzMax 600535 . 1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx x1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最優(yōu)值，最優(yōu)值z=610 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 LINDO中對中對0- 1變量的限定：變量的

45、限定： int y1 int y2 int y3 方法方法2：引入引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃變量，化為整數(shù)規(guī)劃 M為大的正數(shù)，為大的正數(shù)， 可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至

46、少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 1 , 0,80, 11111 yyxMyx 1 , 0,80, 22222 yyxMyx 1 , 0,80, 33333 yyxMyx 最優(yōu)解同前最優(yōu)解同前 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 NLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學軟件求解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。，但是其結(jié)果常依賴于初值的選擇。 方法方法3：化為非線性規(guī)劃化為非線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃（非線性

47、規(guī)劃（Non- Linear Programming，簡記，簡記NLP） 實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出實踐表明，本例僅當初值非常接近上面方法算出 的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。的最優(yōu)解時，才能得到正確的結(jié)果。 若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)若生產(chǎn)某類汽車，則至少生產(chǎn)8080輛，求生產(chǎn)計劃。輛，求生產(chǎn)計劃。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 0)80( 11 xx 0)80( 22 xx 0)80( 33 xx 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 應如何安排原油的采購和加工應如何安排原油的采購

48、和加工 ？ 例例2 原油采購與加工原油采購與加工 市場上可買到不超過市場上可買到不超過1500噸的原油噸的原油A： 購買量不超過購買量不超過500噸時的單價為噸時的單價為10000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過500噸但不超過噸但不超過1000噸時，超過噸時，超過500噸的噸的 部分部分8000元元/ /噸；噸； 購買量超過購買量超過1000噸時，超過噸時，超過1000噸的部分噸的部分6000元元/ /噸。噸。 售價售價4800元元/噸噸 售價售價5600元元/噸噸 庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 汽油甲汽油甲 (A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 6

49、0%) 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 決策決策 變量變量 目標目標 函數(shù)函數(shù) 問題問題 分析分析 利潤：銷售汽油的收入利潤：銷售汽油的收入 - - 購買原油購買原油A的支出的支出 難點：原油難點：原油A的購價與購買量的關(guān)系較復雜的購價與購買量的關(guān)系較復雜 )()(6 . 5)( 8 . 4 22122111 xcxxxxzMax 甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 購買購買x x11 x12 x21 x22 4.8千元千元/噸噸 5.6千元千元/噸噸 原油原油A的購買量的購買量, ,原油原油A, B生產(chǎn)生產(chǎn)汽油

50、汽油甲甲,乙的數(shù)量乙的數(shù)量 c(x) 購買原油購買原油A的支出的支出 利潤利潤(千元千元) c(x)如何表述？如何表述？ 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 原油供應原油供應 約束約束 條件條件 xxx500 1211 1000 2221 xx 1500 x 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc x 500噸單價為噸單價為10千千元元/ /噸；噸； 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸；噸； 1000噸噸 x 15

51、00噸，超過噸，超過1000噸的噸的6千千元元/ /噸。噸。 目標目標 函數(shù)函數(shù) 購買購買x A B x11 x12 x21 x22 庫存庫存500噸噸 庫存庫存1000噸噸 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 目標函數(shù)中目標函數(shù)中c(x)不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃；不是線性函數(shù)，是非線性規(guī)劃； 對于用分段函數(shù)定義的對于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線性規(guī)劃軟，一般的非線性規(guī)劃軟 件也難以輸入和求解；件也難以輸入和求解； 想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。想辦法將模型化簡，用現(xiàn)成的軟件求解。 汽油含原油汽油含原油A 的比例

52、限制的比例限制 5 . 0 2111 11 xx x 6 . 0 2212 12 xx x 2111 xx 2212 32xx 約束約束 條件條件 甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11 x12 x21 x22 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù) 目標目標 函數(shù)函數(shù) 只有當以只有當以10千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x1=500( (噸噸) )時，才能以時，才能以 8千元千元/噸的價格購買噸的價格購買x2

53、方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 4 32122122111 xxxxxxxzMax 0)500( 32 xx500,0 321 xxx 非線性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型，可以用，可以用LINGO求解求解 模型求解模型求解 x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500噸噸 x 1000噸，超過噸，超過500噸的噸的8千千元元/ /噸噸 增加約束增加約束 0)500( 21 xx x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 方

54、法方法1：LINGO求解求解Model: Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3; x11+x12 x + 500; x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0; x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500; x2 500; x3 0; x11 0; x12 0; x21 0; x22 0; x1 0; x2 0; x3 0; end Objective value: 4800.000 Variable Value Reduc

55、ed Cost X11 500.0000 0.0000000E+00 X21 500.0000 0.0000000E+00 X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還得到的是局部最優(yōu)解，還 能得到更好的解嗎？能得到更好的解嗎？ 用庫存的用庫存的500噸原油噸原油A、

56、500噸原油噸原油B 生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油生產(chǎn)汽油甲，不購買新的原油A， 利潤為利潤為4,800千千元。元。 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 y1, y2 , y3=1 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A 增增 加加 約約 束束 方法方法2 0-1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型，可，可 用用LINDO求解求解 112 500500yxy 223 500500yxy 33 500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 V

57、ARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 購買購買1000噸原油噸原油A，與，與

58、庫存的庫存的500噸原油噸原油A和和 1000噸原油噸原油B一起，生一起，生 產(chǎn)汽油乙，利潤為產(chǎn)汽油乙，利潤為5,000 千元千元 。 x1 , x2 , x3 以價格以價格10, 8, 6(千元千元/ /噸噸) )采購采購A的噸數(shù)的噸數(shù) y=0 x=0 x0 y=1 優(yōu)于方法優(yōu)于方法1的結(jié)果的結(jié)果 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 b1 b2 b3 b4 方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2， z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2). c(x) x 12000 9000

59、 5000 050010001500 b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4， z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10 )( xx xx xx xc 直接處理處理分段線性函數(shù)直接處理處理分段線性函數(shù)c(x) 第四章第四章 數(shù)學規(guī)劃模型數(shù)學規(guī)劃模型 數(shù)學模型數(shù)學模型 姜啟源姜啟源 主編主編 數(shù)學模型與數(shù)學建模 IP模型，模型，LINDO求求

60、解，得到的結(jié)果與解，得到的結(jié)果與 方法方法2相同相同. . 處理分段線性函數(shù)，方法處理分段線性函數(shù)，方法3更具一般性更具一般性 44332211 bzbzbzbzx )()()()()( 44332211 bczbczbczbczxc bk x bk+1yk=1, ,否則否則, ,yk=0 3432321211 ,yzyyzyyzyz )4 , 3 , 2 , 1(0, 1 4321 kzzzzz k 10, 1 321321 或yyyyyy 方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1 zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+z