2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修4一課三測：2.7　向量應(yīng)用舉例 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績7向量應(yīng)用舉例填一填1.點到直線的距離公式若m(x0，y0)是平面上一定點，它到直線l：axbyc0的距離d_。2直線l：axbyc0的法向量（1）與直線的方向向量_的向量稱為該直線的法向量（2）若直線l的方向向量v（b,a）,則直線l的一個法向量為n_與直線l的法向量n同向的單位向量n0_.3平面幾何中的向量方法(1）證明線段相等，轉(zhuǎn)化為證明向量的_相等；求線段的長，轉(zhuǎn)化為求向量的_(2）證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量_(3)證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量_(4）幾何中與角相關(guān)的問題，轉(zhuǎn)化為向量的_問題(5）對于有關(guān)長方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題,

2、通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標系，通過向量的坐標運算解決平面幾何問題.判一判1.求力f1和f2的合力可按照向量加法的平行四邊形法則()2若abc為直角三角形，則有0。（)3若向量，則abcd.()4若，則直線ab與cd平行()5向量，的夾角與直線ab，cd的夾角不相等()6力是既有大小，又有方向的量，所以也是向量()7速度、加速度與位移的合成與分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運算（）8四邊形abcd中，若向量，則該四邊形為平行四邊形()想一想向量方法解決平面幾何問題有哪些常見應(yīng)用？提示:(1）證明線段相等：通過向量運算，證明，即可證明abcd.(2)證明線段平行:利用

3、,點a，b，c，d不共線，可以證明abcd,特別地，當1時，ab綊cd。（3）證明線段垂直：利用0，證明兩線段垂直（4)證明三點共線:利用(r)可以證明a，b,c三點共線，也可變形為xy（x，yr，xy1)，其中o為空間任意一點（5）證明四點共面：利用(，r)可以證明點p,a，b，c四點共面（6）求值：利用向量的夾角公式求角；利用|a|求長度思考感悟：練一練1。已知點a（2，3），b(2，1),c(0,1），則下列結(jié)論正確的是（）aa,b，c三點共線b。ca,b，c是等腰三角形的頂點da，b，c是鈍角三角形的頂點2若向量（2，2），(2,3)分別表示兩個力f1，f2，則f1f2|為(）a（0,

4、5） b(4，1)c2 d53力f(1，2）作用于質(zhì)點p，使p產(chǎn)生的位移為s（3，4），則力f對質(zhì)點p做的功是_4若3e，5e，且|，則四邊形abcd的形狀為_.知識點一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用1。已知a（1,)，ab，ab，若aob是以o為直角頂點的等腰直角三角形，則aob的面積是()a. b2c2 d42如圖所示，在正方形abcd中，p為對角線ac上任一點，peab，pfbc，垂足分別為e，f,連接dp，ef，求證：dpef。知識點二平面向量在解析幾何中的應(yīng)用3。在平面直角坐標系中，o為坐標原點,直線l：xky10與圓c:x2y24相交于a，b兩點，。 若點m在圓c上，則實數(shù)k()a2

5、b1c0 d14已知a，b是圓o：x2y24上的兩個動點，2，若m是線段ab的中點，則的值為_知識點三平面向量在物理中的應(yīng)用5.一個質(zhì)點受到平面上的三個力f1,f2，f3（單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知f1，f2成60角且f12，|f2|4，則f3|(）a6 b2c2 d26某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當速度為每小時2a千米時,感到風(fēng)從東北方向吹來,試求實際風(fēng)速和方向綜合知識建坐標系解決向量問題7。在邊長為1的正方形abcd中，m為bc的中點，點e在線段ab上運動,則的取值范圍是()a。 b.c. d0,18已知正方形abcd的邊長為1，點e是ab邊上

6、的動點，則的值為_，的最大值為_基礎(chǔ)達標一、選擇題1平面上有四個互不相同的點a，b，c，d，已知（2）(）0,則abc的形狀是(）a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d無法確定2在abc中,有下列命題：0若0，則abc為銳角三角形其中正確的命題有()a bc d3在四邊形abcd中，若0，0，則四邊形為（)a平行四邊形 b矩形c等腰梯形 d菱形4已知abc所在平面內(nèi)的一點p滿足20，則spab:spac:spbc(）a1：2：3 b1：2：1c2：1：1 d1:1:25已知三個力f1（2，1),f2(3,2)，f3(4,3）同時作用于某物體上一點，為使物體保持平衡，再加上一個力f4，則

7、f4（）a（1，2） b（1，2）c（1，2) d(1,2）6一個物體受到同一平面內(nèi)三個力f1，f2,f3的作用，沿北偏東45方向移動了8 m，已知f12 n，方向為北偏東30，f2|4 n，方向為北偏東60，f3|6 n,方向為北偏西30，則這三個力的合力所做的功為(）a24 j b24 jc24 j d24 j7若o是abc內(nèi)一點，0，則o為abc的()a內(nèi)心 b外心c垂心 d重心8已知直線l與x，y軸分別相交于點a，b,2i3j(i，j分別是與x,y軸的正半軸同方向的單位向量)，則直線l的方程是（)a3x2y60 b3x2y60c2x3y60 d2x3y60二、填空題9已知a（1，2），

8、b（2，3),c（2,5）,則abc的形狀是_10點e是正方形abcd的邊cd的中點，若2，則_.11。如圖，平行四邊形abcd中，已知ad1，ab2，對角線bd2，則對角線ac的長為_12一物體受到平面上的三個力f1，f2，f3（單位：牛頓）的作用處于平衡狀態(tài)，已知f1，f2的夾角為60，f1，f2的模分別為3和4，則cosf1，f3_.三、解答題13已知正方形abcd，e,f分別是cd，ad的中點，be，cf交于點p。 求證：(1）becf；（2）apab.14。已知兩個恒力f1i2j，f24i5j作用于同一個質(zhì)點，由點a（20，15)移動到點b(7,0），其中i、j分別是x軸、y軸正方向

9、上的單位向量，試求：（1)f1、f2分別對質(zhì)點所做的功;(2）f1、f2的合力f對質(zhì)點所做的功能力提升15。已知rtabc中,c90,設(shè)acm，bcn。（1)若d為斜邊ab的中點,求證：cdab。(2)若e為cd的中點，連接ae并延長交bc于f，求af的長度（用m，n表示)16在風(fēng)速為75（） km/h的西風(fēng)中，飛機以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒有風(fēng)時飛機的航速和航向7向量應(yīng)用舉例一測基礎(chǔ)過關(guān)填一填1。2(1)垂直（2)(a，b)3（1)模模(2）平行(3)垂直（4）夾角判一判12.3.4。5。6.7.8。練一練1d2。d3.114.等腰梯形二測考點落實1解析：因為a（1，），所

10、以|a2。設(shè)ab中點為c，則(）a,則|a|2。 在直角三角形aob中，|2|4,所以saob424。答案：d2解析：方法一：設(shè)正方形abcd的邊長為1，aea（0a1)，則epaea，pfeb1a，apa,所以(）（）1acos 1801(1a）cos 90aacos 45a（1a）cos 45aa2a(1a)0.所以，即dpef.方法二:設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)p（x，x)，則d（0，1），e（x,0),f（1，x），所以(x，x1），(1x,x），由于x（1x）x（x1）0，所以，即dpef。3解析：設(shè)a（x1，y1）,b(x2，y2）,將直線方程代入x2y24

11、，整理得(k21）y22ky30，所以，y1y2，x1x2k(y1y2)2，,由于點m在圓c上，所以224,解得k0.答案：c4解析:易知omab，且om （)2()25.答案：55解析：因為物體處于平衡狀態(tài),所以f1f2f30，所以f3（f1f2)，所以f3|f1f2|2.答案：d6。解析:設(shè)a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風(fēng)時此人感到風(fēng)速為a,設(shè)實際風(fēng)速為v，那么此時人感到的風(fēng)速為va，設(shè)a，2a,v，因為，所以va，這就是感到由正北方向吹來的風(fēng)速,因為，所以v2a.于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風(fēng)速就是.由題意：pbo45，pabo，baao，從而

12、，pob為等腰直角三角形，所以popba，即|va，所以實際風(fēng)是每小時a千米的西北風(fēng)7解析：將正方形放入如圖所示的平面直角坐標系中，設(shè)e(x，0），0x1。又m,c(1，1），所以，（1x,1)，所以（1x，1)（1x)2，因為0x1，所以(1x)2，即的取值范圍是.答案：c8解析:建立平面直角坐標系如圖:則（0，1),設(shè)e（x0,0）,0x01，則（x0，1）,所以1，又（1，0)，所以x0，而0x01，所以的最大值為1。答案:1；1三測學(xué)業(yè)達標1解析：由(2)()0,得(）（)(）0，所以()()0，所以|2|20,所以|，故abc是等腰三角形答案：b2解析:,錯誤。0，正確。0cos0,

13、即cos a0,a為銳角，但不能確定b，c的大小，不能判定abc是否為銳角三角形，錯誤. 故選c。答案：c3解析：由題可知，|，且，故四邊形為菱形答案：d4解析：延長pb至d,使得2，于是有0，即點p是adc的重心,依據(jù)重心的性質(zhì),有spadspacspdc。由b是pd的中點，得spabspacspbc121.答案:b5解析：物體平衡，則所受合力為0，即f1f2f3f40，故f4（f1f2f3）(1,2）答案:d6解析：如圖,建立直角坐標系，則f1（1，)，f2(2，2)，f3(3，3）,則合力ff1f2f3(22，24)又位移s(4，4),所以合力f所做的功wfs（22)4（24)424（j

14、）答案：d7.解析:如圖，取ab的中點e，連接oe,則2。又0，所以2。又o為公共點，所以o，c,e三點共線，且2|。所以o為abc的重心答案：d8解析:由于i，j分別是與x，y軸的正半軸同方向的單位向量，所以（2，3)，而a,b分別在x軸,y軸上，可得a（2,0）,b（0，3），由此可得直線l的方程為3x2y60.答案：b9解析：a（1,2)，b（2,3），c(2,5),(3，3)，(1,1），0，abc為直角三角形答案:直角三角形10解析：以a為坐標原點，ab所在直線為x軸，ad所在直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為2a,則e(a，2a）,b(2a,0），d(0,2a)，可得(a，

15、2a），（2a，2a),若2，則2a24a22，解得a1，（1，2），(1，2），則3。答案：311解析：設(shè)a，b，則ab,ab,而|ab2，所以52ab4，所以ab，又2|ab2a22abb2142ab6，所以，即ac。答案：12解析：f3f1f2，f3|2f1f2|2f2f1f2f92341637，則|f3，又f2f1f3，f22f122f1f3f3|2,即1692f1f337,解得f1f315.cosf1，f3。答案:13證明：(1)以a為坐標原點，以的方向為x軸的正方向，以的方向為y軸的正方向，建立平面直角坐標系，不妨設(shè)ab2，則a（0，0），b(2，0)，c（2，2)，e（1,2)，

16、f（0，1)（1,2)，（2，1），（1）（2)2（1)0,，即becf.（2）設(shè)p（x，y)，則(x，y1)，（2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理，由，得y2x4。由得x，y，即p。2224|2，|，即apab.14解析：（1）因為a（20，15），b（7，0）,所以(720，015）（13,15）因為ij,所以f1對質(zhì)點所做的功w1f1(i2j）（13i15j）13i241ij30j243，f2對質(zhì)點所做的功w2f2(4i5j）（13i15j）52i25ij75j223.(2)解法一：因為ff1f25i3j,所以wf(5i3j）（13i15j)65i236ij45j220。解法二：ww1w2432320.15.解析:(1)以c為坐標原點,以邊cb，ca所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系,如圖所示，a（0,m),b(n，0）因為d為ab的中點,所以d，所以，|，所以