2020屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)(文)試題(解析版

1、2020屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué) (文)試題一、單選題1,已知集合 A 1,2 , B 1,1,a 1 且A B,則 a ()A. 1B. 0C.1D. 2【答案】A【解析】由題知：a 1 2,解得：a 1.【詳解】因?yàn)锳 B,所以，解得：a 1.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集關(guān)系，理解子集的概念是關(guān)鍵，屬于簡單題 2 .在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z (1 i)(2 i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A.【解析】試題分析：z (1 i)(2 i)3 i,，對應(yīng)的點(diǎn)為(3,1),位于第一象限.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘除和乘方.3.拋物線x2 3y 0的準(zhǔn)

2、線方程為（）.3.3-3A.x B.x C.y 424【答案】CD. y【解析】將拋物線x2 3y0方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x23y,由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其準(zhǔn)線方程【詳解】由拋物線x2 3y 0有x2 3y, 3 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得 p -.23則其準(zhǔn)線方程為：y 34故選：C第4頁共21頁本題考查由拋物線的方程求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題r4.已知2 ar r-ra，則a與b的夾角是（A. 30【答案】Cr r【解析】由a bB. 45C. 60D. 90a=0 得 a =bra ,再代入向量的夾角公式可求解【詳解】r rr r r ra ,又 2 a由 a ba有 a b a=0.a =br r

3、 貝U cos a,br rr 2a ba1ab2a22.,r ,r由a與b的夾角在0,內(nèi).r r所以a與b的夾角為-.故選：C.本題考查向量的夾角，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題5 .如圖所示的程序框圖，若輸出值y 1,則輸入值x的集合是（）C I)A . 0,1B, 1,2C, 0,2D, 1【答案】C【解析】 將輸出的值y 1,沿著 是“，否兩條路線反代回去，即可求出x的值.【詳解】若輸入的x 1 ,則輸出y log2 x 1 ,則x 2.1若輸入的x 1,則輸出y （-）x1 1 1,則x 0.則輸入值x的集合是：0,2故選：C【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，根據(jù)輸出的結(jié)果計(jì)算輸入的初始值，

4、屬于基礎(chǔ)題6.污染防治是全面建成小康社會(huì)決勝期必須堅(jiān)決打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.涼山州某地區(qū)2019年空氣質(zhì)量為 良”的天數(shù)共為150天，若要在2021年使空氣質(zhì)量為 良”的天數(shù)達(dá)到216天，則這個(gè)地區(qū)空氣質(zhì)量為良”的天數(shù)的年平均增長率應(yīng)為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）A. 0.13B. 0.15C, 0.20D. 0.22【答案】C【解析】 設(shè)空氣質(zhì)量為 良”的天數(shù)的年平均增長率為 x ,則2021年使空氣質(zhì)量為 良” 的天數(shù)216 150（1 x）2,然后求解方程得出答案.【詳解】設(shè)空氣質(zhì)量為良”的天數(shù)的年平均增長率為 x,則2021年使空氣質(zhì)量為良”的天數(shù)216 150（1 x）22216即（1

5、 x）1.44,解得：x 0.20150故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均變化率，增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1增長率）n,屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)f x Asin x （其中A 0,）的圖象如圖所示，為了得到2g x Asin x的圖象，則只要將 f x的圖象（）匕-2A.向右平移-個(gè)單位長度6B.向右平移個(gè)單位長度3C.向左平移-個(gè)單位長度6D.向左平移個(gè)單位長度3【解析】可求出根據(jù)圖像有T2,一4一,得到函數(shù)的最小正周期，根據(jù)周期公式2然后求出x的解析式，再根據(jù)相位變換得到答案根據(jù)圖像有T2,一476所以T2一1,則1|=1 .不妨取二1,=0 有 sin/日2得一32k,k

6、Z,又所以sin所以由sin向右平移3個(gè)單位長度可得 g x sin x的圖像.故選:本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì),根據(jù)圖像求解析式， 三角函數(shù)的圖像變換， 屬于中檔題.8. VABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別是a,b, c.已知 a V3, bcosA sin B ,B.C.D.126第6頁共21頁【答案】Db 1a b斛析 由bcosA sinB有 ，再由正弦定理有 sin B cos AsinA sinB，即3sin A1 一 ，一，可解出答案.cos Ab由 b cosA sin B 有sin B1cosAa b_由正弦定理有,又a J3 sinA sinB即 31.sin A c

7、osA所以 tan A 、3 .因?yàn)锳為VABC的內(nèi)角，則A -.3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題9.已知平面 ，和直線l ,則“ / ”的充分不必要條件是第15頁共21頁A .內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B. l 且 lC. 且D. 內(nèi)的任何直線都與平行反之不成立【解析】選擇“ / ”的充分不必要條件，是分析哪個(gè)選項(xiàng)能推出A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則,可能相交或平行，故不能推出B. l 且l，則.反之不成立，滿足條件C.且，則，可能相交或平行，故不能推出D.內(nèi)的任何直線都與平行是 / 的充要條件故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件的判斷，面面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題10.函數(shù)f x2

8、2sin x x x2,其圖象的對稱中心是(A. 0,1B, 1, 1【答案】DC. 1,1D. 0, 12sin xx2 x2_ 2cos xxxx 1g(x)2cosxx,則 g(x)為奇函數(shù)，而f x的圖像是g(x)的圖像向下平移1個(gè)單位得到的，從而得到答案22sin x x x22cos x=x 1xx2cos x,、設(shè)g(x) x,則g( x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱x所以 f(x) g(x) 1,f x的圖像是g(x)的圖像向下平移1個(gè)單位得到的所以f x的圖像關(guān)于點(diǎn)(0, 1)成中心對稱故選：D【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題1的兩條切線

9、，切11.已知點(diǎn)M為直線x y 3 0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M引圓x點(diǎn)分別為A, B,則點(diǎn)P 0, 1到直線AB的距離的最大值為()B.112D.-173由M點(diǎn)在直線設(shè)M(x0,y),先求出直線 AB的方程x Xo y y0x y 3 0上，得出直線 AB過定點(diǎn)，從而求出答案【詳解】設(shè) m (%,yo),過點(diǎn)M引圓x2 y2 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A, B.2則A, B兩點(diǎn)在以O(shè)M為直徑的圓：xx0 xy y00 上.又A, B在圓x2 y2 1上,所以AB為兩圓的公共弦，將兩圓方程聯(lián)立相減得:x xy y1 ,即直線AB的方程x xo yy。又點(diǎn)M在直線xy 3 0上，則yo3 xo，代入直線 A

10、B的方程.x xo y (3 x。)所以點(diǎn)P 0, 1到直線AB的距離：d1,得直線AB過定點(diǎn)故選：D.本題考查圓的切線方程，直線過定點(diǎn)問題，點(diǎn)到直線的距離的最值問題，屬于難題.12.若函數(shù)faxbln x在區(qū)間1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn),則b的可能取值為B.C. 5D. 6【解析】函數(shù)x的導(dǎo)函數(shù)為x =x2x ax b,函數(shù)f x在區(qū)間x1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程x2ax b1,2內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次方程根的分布找出條件，從而達(dá)到答案f x =x2,x ax b函數(shù)f xax bln x在區(qū)間1,2上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程x2ax b0在1,2內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.2V=a 4b 0二 1

11、a 2所以1 2 21 a b 04 2a b 0以為b縱坐標(biāo)，a為橫坐標(biāo)畫出不等式滿足的平面區(qū)域1 2.曲線b -a與直線b a 1相切于點(diǎn)（2,1）, 4【點(diǎn)睛】本題考查極值存在的條件，考查線性規(guī)劃解決問題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題二、填空題13 .計(jì)算：2lg J2 lg5 72 1 0 。【答案】2【解析】化簡原式lg（揚(yáng)2 lg5 1 lg 2 lg5 1 2.【詳解】原式 lg（、5）2 lg5 1 lg2 lg5 1lg10 1 2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)哥的運(yùn)算，熟記公式是解題關(guān)鍵，屬于簡單題414 .已知 0, tan -,則 sin cos .【

12、解析】由tan4一，則 sin 34 -cos3曲同角三角函數(shù)的關(guān)系可得 sin ,cos的值，從而可得答案【詳解】由tansincos4-cos3由 sin22+cos1有:162cos92+cos 1.貝U cos2所以cos2535sin244cos = 一35所以sincos故答案為:本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，注意角的范圍，開方符號(hào)的選擇，屬于基礎(chǔ)題15 .在一個(gè)長方體形的鐵盒內(nèi)有一個(gè)小球，鐵盒共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是石，J6 ,則小球體積的最大值為【解析】設(shè)長方體的由共一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長分別為a,b,c,由共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是 忑2 ,曲,而，可彳a ab 72,

13、bc J3, ac 褥，從而可解得a,b,c的值，可求得小球半徑的最大值，從而得到其體積設(shè)長方體的由共一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長分別為a,b,c,則由條件有 ab . 2, bc 、3, ac -.6.解得：a = . 2, b =1,c=、-3 ,因?yàn)樾∏蛟陂L方體內(nèi)，則小球的直徑的最大值為b邊長.1所以半徑的最大值為r ,則小球的體積的最大值為: 2故答案為：-. 6【點(diǎn)睛】本題考查長方體的內(nèi)切球，根據(jù)長方體的表面的面積求棱長，考查方程思想，屬于中檔題. 316 .如圖，直線PT和AB分別是函數(shù)f x x 3x過點(diǎn)P 2,2的切線(切點(diǎn)為T) 和割線，則切線 PT的方程為；若A a, f a ,

14、 B b, f b b a 2 ,則 a b .【答案】y 22【解析】設(shè)切點(diǎn)T(x0,yo),由f (x) 3x2 3,得切線的斜率為k 3X02 3,求出在點(diǎn)T處的切線方程，然后將點(diǎn) P 2,2代入，解出切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到切線方程.再3寫出直線AB的萬程與f x x 3x聯(lián)立，則a,b,2為方程的根，應(yīng)用因式分解和韋達(dá)定理可得a b的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn) T(xo,y0),又 f (x) 3x2 3,2則在點(diǎn)T處的切線的斜率為：k 3x0 3.3 2則在點(diǎn)T處的切線方程為：y (xo3xo) (3xo 3)(x x),又點(diǎn) P 2,2 在切線上，則 2 (xo3 3xo) (3xo2 3)

15、(2 x0), 32即 xo 3x04 0,解得 xo1 或 x0 2 (舍).則丁( 1,2), k 0,所以切線PT的方程為：y 2.根據(jù)題意直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB的方程為：y k(x 2) 2 ,y k(x 2) 23由 3有 x 3x 2 k(x 2)y x 3x3所以 (x 4x) (x 2) k(x 2) ，即 (x 2)( x2 2x 1) k(x 2) ()3由直線AB交曲線f x x 3x于三點(diǎn)A, B, P所以 a,b,2 為方程（）的根.即 a, b 為方程x2 2x 1 k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；由韋達(dá)定理有：a b 2 .故答案為：y 2 ；2 .【點(diǎn)睛】本題考查

16、曲線的切線，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線與方程，直線與曲線的關(guān)系,屬于難題.三、解答題17. Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，ai 1 , S3 9.（ 1）求an 的通項(xiàng)公式；2）設(shè)bna2n 1a2n ，求數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和Tn .2( 1) an 2n 1 ( 2) Tn 4n2 a1 1（1）由條件有，可求出a1, d ，即得到答案S3 3a1 3da2n 1 a2n 8n 4，則bn 為等差數(shù)列，可求（2）由bna2n 1a2n ，由（1）有bn和.【詳解】解： （ 1 ） Q an 為等差數(shù)列，設(shè)公差為da11a11即S3 3a1 3d 9 3a13d得：a1 1 d2an 2n

17、12)由(1)可知a2n 1 2 2n 11 4n 3,a2n2 2n 1 4n 1 ,第 11 頁 共 21 頁bna2n 1a2n 8n 4法一：Tn 8 12 3 n2bn的前n項(xiàng)和Tn 4nn n 124n 8 4n 4n2第23頁共21頁4 8,法二：bI 4, bn bn 1 8n 4 8 n 1n 4 8n 82bn是以首項(xiàng)b1 4,公差為8的等差數(shù)列 Tn 4n22bn的刖n項(xiàng)和Tn 4n本題考查等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，屬于中檔題18.在某次數(shù)學(xué)考試中，從甲、乙兩個(gè)班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,兩個(gè)班樣本成績的莖葉圖如圖所示.甲3 5 57 7 77 75 7

18、8910乙8 8 3X92 3 4 51(1)用樣本估計(jì)總體，若根據(jù)莖葉圖計(jì)算得甲乙兩個(gè)班級(jí)的平均分相同，求x x 10,x N 的值；(2)從甲班的樣本不低于 90分的成績中任取2名學(xué)生的成績，求這2名學(xué)生的成績不 相同的概率.5【答案】(1) x 7 (2) P 6【解析】(1)分別計(jì)算x甲、x乙，即可得到x的值.(2)首先列出從這4名學(xué)生的成績中任取 2名學(xué)生的成績的全部基本事件，再確定這2名學(xué)生的成績不相同的基本事件，最后根據(jù)古典概型公式求得結(jié)果【詳解】(1)設(shè)樣本中甲、乙兩班的平均成績分別為x甲、7乙，則-70 3 80 3 90 2 100 2 5 3 3 7 6 2酒 8910-

19、70 2 80 3 90 4 100 8 2 3 2 1 2 4 5 x 9 243 x血80 101043 xQ x甲 x乙，84 89, x 7;10(2)由莖葉圖知：甲班的樣本中成績不低于 90分的學(xué)生有4人，記他們的成績分別為 A, A2, B , C （其中A, A2表示成績?yōu)?7分的兩名學(xué)生的成績，B, C分別表示成績?yōu)?05分和107分的兩名學(xué)生的成績），則從這4名學(xué)生的成績中任取 2名學(xué)生的成績，不同的取法有:A,A2 , A,B , A,c , A2,B , A2,C , B,C .其中，事件 所選的2人成績不同”所包含的基本事件有 5個(gè)，5所以，這2名學(xué)生的成績不相同的概率

20、為 P -.6【點(diǎn)睛】本題第一問考查了莖葉圖和平均數(shù)，第二問考查了古典概型，同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于簡單題.19 .在VABC中（如圖1）,AB 5, AC 7 , D為線段AC上的點(diǎn)，且BD CD 4. 以BD為折線，把VBDC翻折，得到如圖所示 2所示的圖形，M為BC的中點(diǎn)，且 AM BC，連接 AC .（1）求證：AB CD;（2）求四面體ABCD外接球的表面積.【答案】（1）證明見解析（2） 41【解析】（1）因?yàn)锽D CD, CD AD, ADI BD D ,所以CD 平面ABD. 又因?yàn)锳B i平面ABD,所以CD AB.（2）將四面體 ABCD補(bǔ)形為一個(gè)以DA, DB,

21、 DC為長、寬、高分的長方體.求長方 體的外接球表面積即可.【詳解】 (1)在圖1中有：AC 7, BD CD 4, AD 3.在 ABD 中，AB 5, AD 3, BD 4.AD2 BD2 AB2BD CD.在圖2中有：在 ABC中，AM BC , M為BC的中點(diǎn), AB AC 5.在 ABD 中，AC 5, CD 4, AD 3, AC2 CD2 AD2, CD AD .翻折后仍有BD CD.又 AD、BD 平面 ABD , AD I BD D ,CD A 平面 ABD.AB 平面 ABD, CD AB.（2）由（1）知，四面體ABCD可補(bǔ)形為一個(gè)以DA, DB, DC 為長、寬、高分的

22、長方體.四面體ABCD外接球的半徑R.412四面體ABCD外接球的表面積S 4 R2 41 .【點(diǎn)睛】本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直為解題的關(guān)鍵，第二問考查三棱錐的外接球, 同時(shí)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.x ae 20.已知函數(shù)f x （e 2.71828 為自然數(shù)的底數(shù)），x（1）若a 0,試討論f x的單調(diào)性；（2）對任意x 0, 均有ex x2 ax 1 0,求a的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）,e 2_ _xae x 1【解析】（1）求導(dǎo)得到f x 24a分別討論a 0和a 0即可得到f xx的單調(diào)性.X 21x 21(2)轉(zhuǎn)換為a e X 1恒成立,求(e X 1

23、扁即可. XX【詳解】(1) f X的定義域?yàn)?XX 0 ,X XX, aXe ae ae X 1f X 22XX當(dāng)a 0時(shí)，令f X0時(shí)，X 1 且 X 0.當(dāng)a 0時(shí)，令f X0,則 X 1且 X 0； f X當(dāng)a 0時(shí)，f X在1,單調(diào)遞增，在,0 , 0,1單調(diào)遞減;當(dāng)a 0時(shí)，f X在1,單調(diào)遞減，在,0 , 0,1單調(diào)遞增.(2)由已知得:X 2.e X 1x 0 ,貝U h xXX 1 ex X 12 X 0XQ x 0 ,ex x 1 0.函數(shù)h x在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，1,上是增函數(shù)X min故a的取值范圍為 ，e 2 .本題第一問考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的含參單調(diào)區(qū)間,分類討論是解

24、題關(guān)鍵，第二問考查恒成立問題，同時(shí)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.一 x2 y2 1221 21.已知橢圓C := 彳 1 a b 0的離心率為一，且與雙曲線 X y 一有相 a2 b222同的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)直線1與橢圓C相交于A b兩點(diǎn)，點(diǎn)m滿足湍Mur，點(diǎn)P 11 若直3. 線MP斜率為一，求4ABP面積的最大值及此時(shí)直線 l的萬程.22【答案】（1）上4一9（2） S,直線的方程為l :ymax【解析】（1）有題意有（2）先討論特特殊情況表示出| AB|的長度,解：（1）由題設(shè)知橢圓的方程為:（2）法一:又 kMP211可求解.是否為原點(diǎn)，然后當(dāng) AB的斜率存在時(shí)，

25、進(jìn)一步表示出 abp的面積，然后求最值.設(shè)AB的斜率為k,uurQAMuurMBM為AB的中點(diǎn)1）當(dāng)M為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)1當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，此時(shí)A、 B為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)S 1 2b yS ABP - 2b xP2.32當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的斜率為設(shè) A, B X2, y2 ,則 i ab ： ykx33 ，代入橢圓方程2整理得:23 4k2120, x1 x21223 4k2AB1k2 % x1x2 24x1x21A34 3k24,3/12P到AB的距離”31 k2S ABP解一AB函數(shù)6 12k4k2二或 k = 34k2單調(diào)遞增,-3Q k 時(shí),2g k max直線方程為解二：設(shè)612

26、k6 12k4k2 336tt2 12t 144Q要彳導(dǎo)S abp的最大值6 12k24k2 314414424 t36 31212時(shí)，即6S ABPmax12 2k 12k 34k2 3單調(diào)遞減，-,單調(diào)遞增2k的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)S ABp maxt1236x 144 ct 12t12k 12, k1 ，一, 一時(shí)等號(hào)成立22）當(dāng)M不為原點(diǎn)時(shí)，由kMP kOPP三點(diǎn)共線設(shè) A X1,y1B X2,y2Xo,yo ,l AB的斜率為kABxi x2 2x0 , y1 y2y。,x。第25頁共21頁2xiQA, B在橢圓上,42x22 y 32 y2 3得xix2xix24yiy2yiy2

27、03yiy2 yiy2XiX2 yi y2 y02x0kAB 0,即2 kAB0kAB設(shè)直線1ab ： ym代入橢圓方程，整理得 x2 mx m2 3 0-2m 4 m0,2 m 2ABi i - i2 3m25 i2 3m244 2mP到直線AB的距離d 、,5S max綜上所述:解二：設(shè)22 mi-AB d230, 22, i上單調(diào)遞增,max r i272 3l:ymaxxi,yi ,0,i,29-,直線的方程為22 m32 m 2 m22 m mi,2 m 2上單調(diào)遞減i：yB x2,y2 , M為AB的中點(diǎn)，P在橢圓上i當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)Iab：x m則M m,0第i8頁共2i頁所以m 0B為短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)第31頁共21頁Q1 Oh vS ABP- 2b XP2-2 .3 1322當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí)，設(shè)Iab ： y kXt, M %,丫0y2X4kX t2y3消去y得 i4k28ktX 4t12 0X1 X28 ktViXoXiX24t2 123 4k24k2V2Xit2X22t6t23 4k2X224kt3 4k2V1V223t3 4k2VoXo3得 t 2k 12卜同解法本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的面積的最值，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào) 性求最值的方法，考查運(yùn)算能力，屬