極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展 畢業(yè)論文

1、臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 13屆屆 分 類 號(hào): 單位代碼:10452 畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 極極限限思思想想的的產(chǎn)產(chǎn)生生與與發(fā)發(fā)展展 姓 名 學(xué) 號(hào) 年 級(jí) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 (院) 理學(xué)院理學(xué)院 指導(dǎo)教師 2012 年 12 月 17 日 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 摘 要 極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的 連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限思想來(lái)定義的，極限思想的應(yīng)用 無(wú)處不在，理解掌握并合理應(yīng)用極限要思想,可以讓我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程 中,能較快發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法,提高實(shí)際效果.本文主要對(duì)極限

2、思想的產(chǎn)生與發(fā) 展進(jìn)行探究，并對(duì)其在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用展開(kāi)探索。 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：極限思想；產(chǎn)生；發(fā)展；完善；應(yīng)用 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 abstract limit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thou

3、ght. limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. this paper focuses on the ultimate idea generation a

4、nd development research, and its applicationin inmathematical analysis explores. key words: limit thought；geneeration；development；perfection；application 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 目 錄 1.引言引言.1 2. 極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展.1 2.1 極限思想的產(chǎn)生.1 2.2 極限思想的發(fā)展.2 2.3 極限思想的完善.3 2.4 極限思想的概念.5 3. 極限思想的應(yīng)用極限思想的應(yīng)用.5 3.1 極限思想在概念

5、里的滲透.6 3.2 極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用.6 3.3 極限思想在積分中的應(yīng)用.7 4總結(jié)總結(jié).8 致致 謝謝.9 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 0 1.引言 極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、 極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。數(shù)學(xué)分析中的一系列 重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等等都是借助于極限來(lái)定義的。同時(shí)極限思 想是微積分的基本思想，是微分與積分的基礎(chǔ), 貫穿整個(gè)微積分的內(nèi)容。 理解 并掌握好其中極限的重要思想, 可以讓我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中, 能較快 發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法, 提高實(shí)際效果。 2.極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展 2.

6、1 極限思想的產(chǎn)生 與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。關(guān)于極限思 想的起源,應(yīng)追溯到公元前490年的古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的阿基里斯悖 論，阿基斯悖論的意思是說(shuō)，古代神話中有一位跑得最快的人叫阿基里斯，他 永遠(yuǎn)追不上爬得很慢的烏龜，阿基里斯的速度遠(yuǎn)大于烏龜，但烏龜比阿基里斯 先行一段距離 ab，阿基里斯在 a 點(diǎn)起跑，烏龜在 b 點(diǎn)起跑。當(dāng)阿基里斯跑到 b 點(diǎn)時(shí)，烏龜已爬到 b1點(diǎn)；當(dāng)阿基里斯跑到 b1點(diǎn)時(shí)，烏龜已爬到 b2點(diǎn)；當(dāng)阿基 里斯跑到 b2點(diǎn)時(shí)，烏龜已爬到 b3點(diǎn)如此繼續(xù)下去，以至于阿基里斯永遠(yuǎn)也 追不上烏龜。這樣提出問(wèn)題，其結(jié)論顯然與我們的直覺(jué)相悖，并且不難

7、用初等 數(shù)學(xué)的方法求出追趕時(shí)間和路程，從而對(duì)芝諾的悖論給予反駁：阿基里斯一定 能追上烏龜！然而芝諾把這樣一個(gè)直覺(jué)上都不會(huì)產(chǎn)生懷疑的簡(jiǎn)單問(wèn)題與無(wú)限糾 纏在一起，由于長(zhǎng)期以來(lái)人們對(duì)與無(wú)限有關(guān)的極限概念缺乏深刻地認(rèn)，因而不 能用辯證的觀點(diǎn)解答芝諾的疑難，這不僅給當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家提出了詰難， 而且也使兩千余年內(nèi)的智者、哲人傷透了腦筋，使一代一代的數(shù)學(xué)家爭(zhēng)論不休， 以至于不得不把“無(wú)限”這個(gè)怪物排除在數(shù)學(xué)之外，直至19世紀(jì)，當(dāng)反映變量 無(wú)限變化的極限理論建立之后，才可用極限理論回答芝諾的挑戰(zhàn)。這是極限思 想的萌芽。 在我國(guó)極限的觀念,早在劉徽之前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就已產(chǎn)生了。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí) 期，由于各種學(xué)說(shuō)

8、創(chuàng)形成了一個(gè)百家爭(zhēng)鳴的局面，不止有唯心主義學(xué)說(shuō)，也有 樸素的唯物主義學(xué)說(shuō)，還有不少關(guān)于邏輯學(xué)，物理學(xué)，天文發(fā)及數(shù)學(xué)的片斷記 載。在莊子天下篇里就記載著惠施關(guān)于數(shù)學(xué)的一些論說(shuō)，如： “一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”其含義是:長(zhǎng)為一尺的木棒,第一天截取 它的一半,第二天截取剩下的一半,這樣的過(guò)程無(wú)窮無(wú)盡地進(jìn)行下去。隨著天數(shù) 的增多,所剩下的木棒越來(lái)越短,截取量也越來(lái)越小,無(wú)限地接近于0,但永遠(yuǎn)不會(huì) 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 1 等于0。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。 我國(guó)古代的劉徽和祖沖之計(jì)算圓周率時(shí)所采用的“割圓術(shù)”就是建立在直 觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用。所謂“割圓術(shù)”

9、就是用半徑為 r 的 圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù) n 一倍一倍地增多多邊形的面積 an 就越來(lái)越接近于 圓的面積。在有限次的過(guò)程中用正多邊形的面積來(lái)逼近圓的面積只能 2 r 達(dá)到近似的程度。但可以想象如果把這個(gè)過(guò)程無(wú)限次地繼續(xù)下去就能得到 精確的圓面積，這是早期的極限思想。 古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想， 但由于希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼” ，他們避免明顯地“取極限” ，而是借助于間接 證法歸謬法來(lái)完成了有關(guān)的證明。 到了 16 世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘 人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法 的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方

10、法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方 向” 。 2.2 極限思想的發(fā)展 14 世紀(jì)末，歐洲開(kāi)始有了資本主義的萌芽，到 15 世紀(jì)中期，隨著封建制 度的解體，歐洲的生產(chǎn)力得到了迅速的發(fā)展，開(kāi)始了“文藝復(fù)興”時(shí)代。由于 生產(chǎn)力的發(fā)展，也推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，當(dāng)時(shí)，圍繞著力學(xué)為中心，在天文 學(xué)、物理學(xué)、地理學(xué)等方面都提出了大量的新問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題的探究促進(jìn)了 相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。如哥白尼“日心說(shuō)”的誕生帶來(lái)了一場(chǎng)自然科學(xué)的革命；由 于對(duì)天體力學(xué)的研究，涌現(xiàn)出了一批科學(xué)家，如斯蒂文、伽利略、開(kāi)普勒等等， 他們?cè)跀?shù)學(xué)方面也做了大量的研究工作，為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)，為極限 思想和方法的發(fā)展及運(yùn)用帶來(lái)了機(jī)遇。 極限思

11、想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相連的。16 世紀(jì)以后，歐洲 處于資本主義的萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大發(fā)展。生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中發(fā)生了大 量的變量問(wèn)題，如曲線切線問(wèn)題、最值問(wèn)題、力學(xué)中速度問(wèn)題、變力做功問(wèn)題 等初等數(shù)學(xué)方法對(duì)此越來(lái)越無(wú)能為力，需要的是新的數(shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué) 方法，突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程 的新工具，這是促進(jìn)了極限思想的發(fā)展。 眾多數(shù)學(xué)家為解決上述問(wèn)題做了不懈的努力，十七世紀(jì)下半葉，英國(guó)數(shù)學(xué) 家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲分別總結(jié)前人工作，創(chuàng)立新的學(xué)科-數(shù)學(xué)分析。 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 2 這個(gè)學(xué)科需要運(yùn)用無(wú)線過(guò)程計(jì)算，即極限運(yùn)算

12、。思想分析的核心內(nèi)容是微分學(xué) 和積分學(xué)，而微分和積分的概念是通過(guò)極限來(lái)定義的，但這些概念在當(dāng)時(shí)是含 糊不清的，常常不能自圓其說(shuō)。起初牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建 立微積分，后來(lái)因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了 極限思想。牛頓用路程的改變量與時(shí)間的改變量之比表示運(yùn)動(dòng)stts / 物體的平均速度，讓無(wú)限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出s 導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為 微積分的基礎(chǔ)，他說(shuō)： “兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等， 且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為 相等”1。但牛頓的極限

13、觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無(wú)法得出極限 的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語(yǔ)言描述： “如果當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)， n 無(wú)限地接近于常數(shù) a，那么就說(shuō) n 以 a 為極限”。 這種描述性語(yǔ)言，人們?nèi)菀捉邮埽F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常 采用這種定義。但是，這種定義 過(guò)于直觀，缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)上 追求嚴(yán)密的原則相抵觸， 但他們的努力和成就為極限思想的進(jìn)一步完善奠定 了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 2.3 極限思想的完善 極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，微積 分理論基礎(chǔ)的問(wèn)題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償。這是因?yàn)閿?shù) 學(xué)的研究對(duì)象已從常量

14、擴(kuò)展到變量，而人們對(duì)變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分 清楚；對(duì)變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對(duì)有限和無(wú)限的對(duì) 立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方 法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說(shuō)明不了這種“零”與 “非零”相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。 到了 18 世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須 將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過(guò)各自的定義。其中達(dá)朗 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 3 貝爾的定義是： “一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值 更為接近第一個(gè)量 ”，它接近于極限的正確定義；然而，這些人的定義都無(wú)

15、 法擺脫對(duì)幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因?yàn)?9 世紀(jì)以前的算術(shù)和幾 何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。 首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù) f 的導(dǎo)數(shù)定義為差商 yx 的極限 f（x） ，他強(qiáng)調(diào)指出 f（x）不是 兩個(gè)零的商。 2 波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說(shuō)清 楚。 到了 19 世紀(jì)，數(shù)學(xué)陷入了巨大的矛盾之中，一方面，數(shù)學(xué)在描述和預(yù) 測(cè)物理現(xiàn)象方面取得巨大成就，另一方面，由于大量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)沒(méi)有邏輯基 礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)是正確無(wú)誤的。在德國(guó)數(shù)學(xué)家的倡導(dǎo)下，數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù) 學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)批判性的檢查運(yùn)動(dòng)，對(duì)一些理論進(jìn)行了嚴(yán)密的定義和嚴(yán)格的

16、證 明。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其 理論，他在分析教程中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè) 定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其 他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂 到極限 0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小 ”。 為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定 義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂 na，就是指： “如果對(duì)任何 0，總存在自然數(shù) n，使得當(dāng) nn 時(shí)，不等式 na 恒成立”。 這個(gè)定義，借助不等式，通過(guò) 和 n 之間的關(guān)系，定量地、具體地刻 劃了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”

17、之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為 科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書(shū)籍中使用。在該定義中，涉及到的僅 僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語(yǔ)，已經(jīng)擺脫了 “趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀。 在此之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過(guò)獨(dú)立深入的研究，都 將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于十九世紀(jì)的七十年代各自建立了完整的實(shí)數(shù) 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 4 體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立 了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”的極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)。 由此，沿柯西開(kāi)辟的道路，建立起來(lái)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，

18、完成了分 析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從 而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。 重建微積分學(xué)基礎(chǔ)這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過(guò)許多杰出學(xué)者的努力而勝 利完成，極限理論的完善使微積分有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過(guò)獨(dú)立深入的研究， 都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于十九世紀(jì)的七十年代各自建立了完整的實(shí) 數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建 立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”的極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)。 由此，沿柯西開(kāi)辟的道路，建立起來(lái)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理

19、論，完成了分 析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從 而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。 重建微積分學(xué)基礎(chǔ)這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過(guò)許多杰出學(xué)者的努力而勝 利完成，極限理論的完善使微積分有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 2.4 極限思想的概念 極限是指無(wú)限趨近于一個(gè)固定的數(shù)值。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。 定義定義 1 1 設(shè)為數(shù)列，a 為定數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù) ，總存在正整數(shù) n， n a 使得當(dāng) nn 時(shí)有 |-a|0，存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)有， 0 0 xx 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 5 axf）（ 則稱函數(shù) f 當(dāng) x

20、 趨于時(shí)以 a 為極限，記作 0 x 或axflim n ）（）（）（ 0 xxaxf 3 極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 2.1 極限思想在概念里的滲透極限思想在概念里的滲透 極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都 離不開(kāi)極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連 續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線積分與曲面積分的概念. （1） 如以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義.記稱為自變量（在點(diǎn)）( )yf x 0 x 0 xxx x 0 x 的增量或改變量，設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為 00 ()yf xy 0 x ，可見(jiàn)，函數(shù)在點(diǎn)連

21、續(xù)等價(jià) 0000 ( )()()()yf xf xf xxf xyy ( )yf x 0 x 于，是當(dāng)自變量 得增量時(shí)，函數(shù)值得增量趨于零時(shí)的極限. 0 lim0 x y xxy （2）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，( )yf x 0 x( )yf x 0 x 若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，令， 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx f 0 x 0 xxx ，則可寫(xiě)為，所以， 00 ()()yf xxf x 0 00 0 ()() limlim xxx f xxf xy xx 0 fx 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.yx y x （3） 函數(shù)在區(qū)

22、間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個(gè)( )yf x, a bf, a b 函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)認(rèn)給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使對(duì)的任何分j, a b 割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則t i t 1 n ii i fxj 稱函數(shù)為在上的定積分，記。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式f, a b( ) b a jf x dx 的極限. 1 ( ) n ii i fx 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 6 （4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列，的極限來(lái)定義的等等. n u n s n su 2.2 極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬

23、（fermat）為研究極值問(wèn)題而引入的，但與導(dǎo)數(shù) 概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線. （1） 瞬時(shí)速度：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，若為某一確定的時(shí) ( ) t ss 0 t 刻， 為鄰近于的時(shí)刻，則是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段上的平均速度. t 0 t 0 0 ( )( )s ts t v tt 0, t t 若 時(shí)平均速度的極限存在，則稱極限為質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)t 0 tv 0 0 0 ( )( ) lim tt s ts t v tt 0 t 速度. （2）切線的斜率：曲線在其上一點(diǎn)處的切線 pt 是割線 pq 當(dāng)動(dòng))(xfy 00 ,p xy 點(diǎn) q 沿此曲線

24、無(wú)限接近于點(diǎn) p 時(shí)的極限位置. 由于割線 pq 斜率為 0 0 ( )()f xf x k xx 因此當(dāng)時(shí)如果的極限存在，則極限即為切線 pt 的斜x 0 xk 0 0 0 ( )() lim xx f xf x k xx 率. 給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰城內(nèi)有定義，若極限)(xfy 0 x 存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo) 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx f 0 xf 0 x 數(shù)，記作. 0 fx 令,則上式可改寫(xiě)為 0 xxx 00 ()()yf xxf x . 00 0 00 ()() limlim() xx f xxf xy fx

25、 xx 2.3 極限思想在積分中的應(yīng)用極限思想在積分中的應(yīng)用 積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，其中的不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算而定積分則是某種 特殊和式的極限，下面給出在定積分中極限思想的重要應(yīng)用. 定積分提出的背景：曲邊梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線.)(xfy 直線以及 x 軸所圍成，求此曲邊梯形的面積？byax , 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 7 （1） 將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形n （2） 當(dāng)很大，且當(dāng)所有的都很少小時(shí)，每個(gè)小時(shí)曲邊梯形都可看n(1,2, ) i x in 成小矩形第個(gè)小曲邊梯形面積其中，此時(shí)k()(1,2, ) kkk sf sx kn kkk xsx 1 . 1 ()

26、 n kkk k ssfs 1,2,kn（） （3）當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)，即當(dāng)個(gè)無(wú)限趨近于 0 時(shí)， n xxtmax 就無(wú)限趨近于曲邊梯形的面積，故.()(1,2, ) kk f sx kns 0 lim() kk t sf sx 定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，依次為它們把, a b1n 011nn axxxxb 分成個(gè)小區(qū)間， ，這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì), a bn 1,iii xx 1,2,in 的一個(gè)分割，記或。小區(qū)間長(zhǎng)度為, a bt 01 , n x xx 12 , n i 并記設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí) 1iii xxx 1 max i i n tx f, a bj 數(shù)，

27、若對(duì)任給正數(shù)，總有在某一正數(shù)，使得對(duì)的分割，以及在其上任意選取, a bt 的點(diǎn)集，只要就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積， i tf 1 n ii i fxj , a b 數(shù)稱為上的定積分，記作.j, a b( ) b a jf x dx 4 總結(jié) 數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分，而極限思想又是微積分大廈的基石，沒(méi)有 完整的極限思想就沒(méi)有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面，所以極限思想的產(chǎn)生在數(shù)學(xué) 史上具有重要的意義，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了新動(dòng)力，成為了近代數(shù)學(xué)思 想何方方的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。極限思想從萌芽階段到現(xiàn)在完整的極限理論， ，眾多 數(shù)學(xué)家付出了大量心血，極限思想的演變過(guò)程，是數(shù)千年來(lái)人類認(rèn)識(shí)世界和改 造世界的整個(gè)過(guò)程的一個(gè)側(cè)面反應(yīng)是人類追求真理、追求理想始終不渝地 求實(shí)、創(chuàng)古代新的生動(dòng)寫(xiě)照。 參 考 文 獻(xiàn) 1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析上（第三版） 北京：高等教育出版社， 2001 臨沂大學(xué)理學(xué)院 2013 屆本科畢業(yè)論文 8 2許金泉數(shù)學(xué)分析中極限思想與極限概念教學(xué)a惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系，2004 3趙軍對(duì)高中生極限概念認(rèn)知狀況的調(diào)查研究d華中師范大學(xué)，2006 3朱衛(wèi)平大學(xué)一年級(jí)學(xué)生對(duì)微積分基本概念的理解d華東師范大學(xué)， 2006 4徐禮卡極限概念學(xué)習(xí)困難的原因及