003第三章 連續(xù)信號的正交分解

1、信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng) 第三章第三章 連續(xù)信號的正交分解連續(xù)信號的正交分解 南京航空航天大學(xué)南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院電子信息工程學(xué)院 信息與通信工程系信息與通信工程系 王旭東王旭東 3.1 引言引言 信號分析就是要研究如何將信號表示為各分量 的疊加，并從信號分量的組成情況去考察信號的特 性。在上一章中我們?yōu)榱饲笙到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)將信 號分解為階躍或者沖激，這種分解對于求解零狀態(tài) 響應(yīng)是有效的，但對分析信號的特性顯然不夠理想。 在這一章中我們將專門研究信號的分解問題， 看看除了上一章中的分解方法外還有沒有其它的分 解方法。其實同學(xué)們在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)過一個周 期信號可以分解為傅里葉級數(shù)，這

2、樣就將信號和頻 率聯(lián)系起來，就可以在頻域中研究信號的頻率特性， 另外我們在第二章中還提到信號也可以分解為復(fù)指 數(shù)信號，這將在第五章中討論。 主要內(nèi)容: 1、信號表示為正交函數(shù)集 2、周期信號的傅里葉級數(shù)及頻譜 3、非周期信號的傅里葉變換及頻譜 3.2 信號表示為正交函數(shù)集信號表示為正交函數(shù)集 信號的分解與矢量的分解十分相似，所 以我們先從矢量的分解談起。 一、矢量的分量和矢量的分解矢量的分量和矢量的分解 在中學(xué)的物理中同學(xué)們學(xué)過力的分解與合 成（平行四邊形法則），有兩個平面上不同方 向上的力F1,F2它的合力就是F?；蚍催^來力F 可以分解為不同方向上的兩個分力F1,F2 ?？?以看到分解不是唯

3、一的，在不同方向上分解其 結(jié)果是不一樣的。 則表示 現(xiàn)在將力抽象成矢量，那么 一個平面上的矢量 0 A 21 ,AA 可以在兩個方向 分解。在不同方向上分解其結(jié)果也是不一樣的。 這里 上 21 ,AA 在 上的分量分別用 0 A 202101 ACAC 和 其中C01,C02反映了矢量 0 A 在 21 ,AA 的大小稱分量系數(shù)分量系數(shù)它們?yōu)闃肆?，?方向上分量 21 ,AA 了分量的方向。 我們知道平面上的一個矢量必須在兩個 不同的方向上分解為兩個分量才能完全代表 原來的矢量。那么如果是三維空間中的矢量 則必須分解為三個分量，推廣到n維空間就要 分解為n個分量。 21 ,AA 321 ,AA

4、A n AAA , 21 在平面中的 ，在三維空間中的 ，在n維空間中則是 ，由它們組成的矢 量集合稱為一組基基。如果在n維空間中的任意一 個矢量都可以用 n AAA , 21 這組基的線性組合來 表示，那么稱這組基是完備的完備的。如果這組基相互 互之間是正交的則稱正交基稱正交基。 如果這組基既正交 又完備則稱正交完備基正交完備基或正交完備矢量集正交完備矢量集。 這樣在n維空間中的一個矢量就要用n個分量 來精確地表示，但是在解決工程問題時只需要達 到一定精度就可以了，因此并不需要取所有的n 個分量，特別是當(dāng)n非常大時。 當(dāng)我們?nèi)〉姆至繑?shù)比空間的維數(shù)要小時就 不可避免地產(chǎn)生誤差。雖然誤差是不可避

5、免的， 但我們可以使誤差最小。那么怎樣才能使誤差 最小呢？我們還是以平面（二維空間）上的矢 量分解為例來說明這個問題。 21 ,AA 1 A 2 A 假定平面上的兩個矢量它們的夾角 在上的分量來近似地表示 ，那么就會產(chǎn)生誤差 為，我們用 1 A E 。 cos2 2112 2 2 2 12 2 1 2 2121 AACACAE ACAE 我們使誤差的平方最小只要令: 2 12 122 12 2 cos 0 AAE C C A 得 1212 2 222 cosAAAA AAA 注意到 為矢量的點積點積，或稱內(nèi)積內(nèi)積。 22 21 12 AA AA C 1 A 2 A cos 1212 AAC 所

6、以在上的分量的模為 ，這正是上的垂直投影，由此得出結(jié) 1 A 2 A 在 論當(dāng)取 上的垂直投影時平方誤差最小。 1 A 2 A 在 所以在矢量分解時通常采用正交分解。 由矢量內(nèi)積的定義可以看出當(dāng)兩個矢量相互 正交時內(nèi)積為0或分量系數(shù)為0，而當(dāng)兩個矢 量相等時內(nèi)積最大等于該矢量模的平方或分 量系數(shù)為1。 0090 1 1221 12 2 2 2 12121 CAA CAAAAAA 或若 或若 所以，兩個矢量是否正交就是看它們的內(nèi)積是 否為零，而C12與兩個矢量的相似程度有關(guān)。 設(shè) , 21n VVV 如果它們滿足如下的條件我們就稱它為正交正交 為n維矢量空間中的矢量集， 矢量集矢量集。 mlnm

7、l VV KVV ml mmm , 2 , 1, 0 顯然它也是完備的，因為n維空間中的任一 矢量都可用它們的線性組合來表示。例如二 維空間（平面）上的x,y軸和三維空間中的 x,y,z軸，它們都是正交完備矢量集正交完備矢量集。 有時我們常常用歸一化的正交矢量集 , 21n UUU 作為n維空間中的基。則它們滿足 下面的關(guān)系。 mlnml UU UU ml mm , 2 , 1, 0 1 小結(jié)： 1、n維矢量空間中的任一矢量可分解為n個分量； 2、如果分量小于n個則產(chǎn)生誤差，如要平方誤差 最小則應(yīng)取它的垂直投影； 3、矢量的分解一般采用正交矢量集，即正交分 解。 二、信號分解為正交函數(shù)集信號分

8、解為正交函數(shù)集 把n維矢量空間的概念推廣到函數(shù)，即函數(shù) 空間。設(shè) 是定義在區(qū)間)(),(),( 21 tgtgtg n t1,t2上的n個函數(shù)，定義兩個函數(shù) )(),(tgtg ml 的內(nèi)積為： dttgtgtgtg t t mml 2 1 )()()(),( * 1 如果函數(shù)集)(),(),( 21 tgtgtg n 滿足以下條件 則稱為正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 mlnmlK dttgtg Kdttgtg mt t ml t t mmm , 2 , 1, 0)()( )()( 2 1 2 1 * * 為常數(shù)， 若Km=1則稱歸一化正交函數(shù)集。如果在該函 數(shù)空間中的任意函數(shù)f(t)可表示為： )

9、()()()( 2211 tgCtgCtgCtf nn 那么稱函數(shù)集 )(),(),( 21 tgtgtg n 完備函數(shù)集完備函數(shù)集。即它們構(gòu)成一個n維的函數(shù)空間。 為正交正交 其中的C1,C2,Cn稱為f(t)在)(),(),( 21 tgtgtg n 上的分量系數(shù)，對于函數(shù)集與矢量一樣有類似 的結(jié)論： 1、n維函數(shù)空間中的任一函數(shù)可分解為n個分 量； 2、如果分量小于n個則產(chǎn)生誤差，如要均方誤 差最小則應(yīng)取它的垂直投影； 3、函數(shù)的分解一般也采用正交函數(shù)集，即正 交分解。 現(xiàn)在我們來看兩個函數(shù)的情況，假定f1(t),f2(t) 是定義在區(qū)間t1,t2上的兩個函數(shù)，取f1(t)在f2(t)

10、上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也將產(chǎn)生誤 差 。 )()()( 2121 tfCtft 進一步定義均方誤差（方均誤差） dttfCtf tt dttt tt t t t t t 2 1 2 1 2 2121 12 * 12 2 )()( 1 )()( 1 )( ( ) t 與矢量的分解相似，要使均方誤差最小應(yīng) 取它的垂直投影，所以分量系數(shù) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 * 21 * 22 * 21 22 21 12 )( )()( )()( )()( )(),( )(),( t t t t t t t t dttf dttftf dttftf dttftf tftf

11、tftf C 這個結(jié)論也可仿照前面的做法令均方誤差 對分量系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于0來推出。顯然也有類 似的結(jié)論當(dāng)f1(t),f2(t)正交時C12=0，當(dāng)f1(t)=f2(t)時 C12=1，C12也與兩個函數(shù)的的相似程度有關(guān)。 但一般不直接將它作為相關(guān)系數(shù)，因為當(dāng) f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交時 1 )(),( )(),()(),( )(),( )(),()( )(),( )(),( 22 2322 22 232 22 21 12 tftf tftftftf tftf tftftf tftf tftf C 所以相關(guān)系數(shù)定義為： 2 1 2 1 12 min 2

12、12 2 1 )( 1 )( 1 t t dttf tt t 其中： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 * 21 2 1 12 * 2 2 2 * 21 12 2 2 * 21 1 12 min 2 )( )()( )( 1 )( )( )()( )()( )( )()( )( 1 )( t t t t t t t t t t t t t t t t dttf dttftf dttf tt dttf dttf dttftf tftf dttf dttftf tf tt t 2112 2 1 2 1 2 2 2 * 1 * 21 2 1 2 2 2 1

13、2 1 2 * 21 12 )()( )()()()( )()( )()( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 CC dttfdttf dttftfdttftf dttfdttf dttftf t t t t t t t t t t t t t t 這樣，只有當(dāng)f1(t)=f2(t)時12=1 。 3.3 信號表示為傅里葉級數(shù)信號表示為傅里葉級數(shù) 一、三角傅里葉級數(shù)三角傅里葉級數(shù) 容易驗證三角函數(shù)滿足下面的關(guān)系 為任意非負整數(shù)。為公共周期，其中nmT T dttntm nmdttntmdttntm n T dttndttn Tt t Tt t Tt t Tt t Tt t

14、, 2 0)cos()sin( 0)sin()sin()cos()cos( 0 2 )(sin)(cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 以上關(guān)系顯示函數(shù)集 1,cost, cos2t,sint,sin2t, 在區(qū)間t1,t1+T內(nèi)相互正交。而且當(dāng)所取函數(shù) 為無窮多個時，它是一個完備的正交函數(shù)集。 于是周期為T的任意函數(shù)f(t)可以展開成三角 級數(shù)。 1 0 21 21 0 )sincos( 2 sin2sinsin cos2coscos 2 )( n nn n n tnbtna a tnbtbtb tnatata a tf Tt t Tt t Tt t n Tt t Tt t

15、Tt t n Tt t Tt t Tt t Tt t tdtntf T tdtn tdtntf b tdtntf T tdtn tdtntf a dttf T adttf T dt dttf a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin)( 2 sin sin)( cos)( 2 cos cos)( )( 2 )( 1 )( 2 2 2 0 0 或 幾點說明： 1、一個周期為T的信號f(t)可展開成三角傅里葉級數(shù)，其 物理意義是將f(t)分解為許多分量：a0 /2直流分量， 基波分量，2 二次諧波分量，nn次諧波 分量，反之這些分量疊加起來就得到原

16、信號f(t) 。 2、f(t)還必須滿足狄里赫萊(Dirichlet)條件 在一個周期內(nèi)絕對可積； 在一個周期內(nèi)極值數(shù)目有限； f(t) 在一個周期內(nèi)或連續(xù)或有有限個第一類間斷點 （當(dāng)t從較大和較小時間趨近與間斷點時函數(shù)f(t)趨于不 同的有限極值有限極值），在電子技術(shù)中信號一般都滿足狄里赫 萊條件。 3、當(dāng)n時正交函數(shù)集完備，諧波分量無限多，均方 誤差為0；當(dāng)n有限時正交函數(shù)集不完備，諧波分量有限， 有誤差，但取an，bn為分量系數(shù)時均方誤差最小。 三角傅里葉級數(shù)還可以表示為 nnnnnn n n nnnn n nn AbAa a b tgbaA tnA a tf sin,cos , )co

17、s( 2 )( 122 1 0 或 其中 有上式可以看出An，an為n的偶函數(shù)，bn，n為n 的奇函數(shù)。（這個關(guān)系在三角級數(shù)中用不到， 因為頻率不會是負的，但在今后會用到） 例：將圖示信號f(t)用傅里葉級數(shù)表示。 f(t)顯然不是一個周期信號，但我們可以對它 進行周期延拓，使它成為一個周期信號。于 是就可以展開成三角傅里葉級數(shù)了。 解： 0 2 )( 2 2 2 00 0 T T T T dtdt T dttf T a 0coscos 2 cos)( 2 2 2 00 T T T T n tdtntdtn T tdtntf T a 為偶數(shù) 為奇數(shù) n n n dttnntdtn T dt T

18、 tntdtn T tdtntdtn T tdtntf T b TT TT T T T T n 0 4 )sin(sin 2 ) 2 (sinsin 2 sinsin 2 sin)( 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 00 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 1 ttttf 顯然當(dāng)0tT時f(t)=f1(t)所以f(t)可表示為： Tt n tn ttttf n 0 12 ) 12sin(4 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 1 該式表明只有在(0,T)的范圍內(nèi)f(t)等于此級數(shù)， 而在區(qū)間之外是不等的。本例告訴我們不僅周 期信號可以展開

19、成傅里葉級數(shù)，非周期信號通 過周期延拓也可展開，但在結(jié)果中應(yīng)標明t的取 值范圍。 )( , 3 , 2 , 1 4 所取的項數(shù) m m T m mm n mm n m m n m n n m T n f m n m n m n m 1 11 ) 2 ( ) 2 sin( 2 2 2 ) 12( 2 ) 12sin( 4 12 4 ) 12sin( 4 )( 最終的取值就是極限 )(lim m m f ,t m ndt m m 時當(dāng) 1789. 1)( 2sin2 )(lim 0 Sidt t t f m m x dy y y xSi 0 sin )(為正弦積分其中 在間斷點上會產(chǎn)生過沖，這 種

20、現(xiàn)象稱為吉伯斯吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)現(xiàn) 象象。過沖量為 %9 2 11789. 1 二、指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù) 容易驗證指數(shù)函數(shù)滿足下面的關(guān)系 為任意非負整數(shù)。 ，為指數(shù)函數(shù)的公共周期其中 nm T T nmdtee Tdtee Tt t tjntjm Tt t tjntjn , 2 0)( )( 1 1 1 1 * * 所以，指數(shù)函數(shù)集 ,為任意整數(shù)ne tjn 在區(qū)間t1,t1+T內(nèi)也相互正交。而且當(dāng)所取函 數(shù)為無窮多個時，它也是一個完備的正交函數(shù) 集。于是周期為T的任意函數(shù)f(t)可以展開成指 數(shù)傅里葉級數(shù)。 n tjn n tjn n tjtj tjn n tjtj eC eCe

21、CeC eCeCeCCtf 2 21 2 210 )( dtetf T C Tt t tjn n 1 1 )( 1 在實際應(yīng)用中少用上面的形式，而常用另外一 種指數(shù)級數(shù)形式，它可以從三角級數(shù)直接導(dǎo)出。 n tjn n eAtf 2 1 )( 1 1 000 , 12 ( ) 2 n j nn nn tT jn t nnn t AAe A AAa CAAf t edt T 其中 與三角級數(shù)中的相同 而 顯然 n tjn ne Ctf)( 小結(jié)： 1、三角級數(shù)、指數(shù)級數(shù)兩者形式不同實質(zhì)卻 相同。實用中指數(shù)級數(shù)更方便，只要求一個分 量系數(shù)。 2、指數(shù)級數(shù)中有n和-n項，并不意味著有負 頻率，而是ej

22、nt和ejnt兩者一起構(gòu)成一個n次諧 波分量。 3、分量系數(shù) n j nn eAA 的模An為n的偶函數(shù)， 相位n為n的奇函數(shù)。 4、不管是三角級數(shù)還是指數(shù)級數(shù)，在求分 量系數(shù)時積分下限t1可任取，只要積分區(qū)間 為T即可。為計算方便通常取 T TT 到或到0 22 5、周期函數(shù)可展成傅里葉級數(shù)；非周期函 數(shù)通過周期延拓也可展開，但要注明適用的 時間范圍。 三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量函數(shù)的奇偶性與諧波含量 研究函數(shù)的奇偶性與諧波含量的關(guān)系可以 幫助我們在計算之前確定傅里葉級數(shù)中的 諧波結(jié)構(gòu)，這樣可以減小計算工作量，同 時用于檢驗結(jié)果的正確性 1、偶函數(shù)偶函數(shù) 函數(shù)的波形關(guān) 于縱軸對稱 f(t)=

23、f(-t) 2 0 2 2 2 2 cos)( 4 cos)( 2 0sin)( 2 TT T n T T n tdtntf T tdtntf T a tdtntf T b 結(jié)論：偶函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中bn=0。所以， 只含余弦項（可能含直流分量），不含正 弦項。求an時只要在 2 , 0 T 的區(qū)間內(nèi)積分。 2、奇函數(shù)奇函數(shù) 函數(shù)的波形關(guān)于原點對稱 f(t)=-f(-t) 2 0 2 2 2 2 sin)( 4 sin)( 2 0cos)( 2 TT T n T T n tdtntf T tdttf T b tdtntf T a 結(jié)論：奇函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)中an=0。所以， 只含正弦項（

24、不含余弦項和直流分量）。 求bn時也只要在 2 , 0 T 的區(qū)間內(nèi)積分。 3、奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) 相鄰兩個半周期對橫軸成鏡象關(guān)系) 2 ()( T tftf 我們將它用指數(shù)級數(shù)的形式表示 2 0 0 2 2 2 )( 2 )( 2 )( 2 T tjn T tjn T T tjn n dtetf T dtetf T dtetf T A 為偶數(shù) 為奇數(shù) 第一項作變量代換，令 n ndtetf T dtetf T dtetf T deef T dtetf T de T f T T tjn T tjnn TT tjnjnjn TT tjn T jn T t 0 )( 4 )() 1(1 ( 2 )(

25、 2 )( 2 )( 2 ) 2 ( 2 2 0 2 0 1 2 0 2 0 2 0 2 0 ) 2 (2 4、偶諧函數(shù)偶諧函數(shù) 相鄰兩個半周期完全重疊 結(jié)論：奇諧函數(shù)只含有奇次諧波，但可有正 弦也可有余弦。 注意不要與奇函數(shù)混淆。奇函數(shù)時只含正弦， 可有奇次、偶次諧波； ) 2 ()( T tftf 如全波整流信號就是偶諧函數(shù)，顯然這種函數(shù)雖 然它的周期記為T但實際上它的周期為 。所以 只要將偶諧函數(shù)的周期用 代入前面的傅里葉 2 T 2 T 級數(shù)式中就可看出它只含有偶次諧波只含有偶次諧波。 這是四種基本的奇偶關(guān)系，有些函數(shù)可能 包含雙重奇偶關(guān)系，還有些函數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖?標變換可改變它的奇偶

26、性。另外對于一個非奇 非偶的函數(shù)f(t)總可分解為一個奇分量fo(t)和一 個偶分量fe(t)的疊加。 ( )( )( ) eo f tftft ( )()( )() ( ),( ) 22 eo f tftf tft f tf t 其中 t 3.4 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 從周期信號的傅里葉級數(shù)展開式中可以 看出，信號包含哪些頻率分量，以及每個分 量的幅度和相位。如果將它們用圖形表示出 來，就是信號的頻譜圖。這樣可以更直觀地 了解信號的頻譜結(jié)構(gòu)。下面以周期性方波信 號為例說明怎樣作周期信號的頻譜圖。 例：周期性方波的頻譜 解：該周期信號既是一個奇函數(shù)又是一個奇諧 函數(shù)，因此在傅里葉展開式

27、中只有正弦分量， 并且只有奇次諧波。 在求bn時只須在0到 2 T 之間積分。 為偶數(shù) 為奇數(shù) n n n n n tn n tndtn Tn tdtntf T b T TT n 0 4 )cos1 ( 2 cos 2 )()sin( 4 sin)( 4 2 0 2 0 2 0 )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )(tttttf 從上式可以看出周期性方波含有、3、 5、等奇次諧波，每個分量的幅度就是正弦 函數(shù)的振幅。相位則是三角級數(shù)中的n或 從指數(shù)級數(shù)中的 n j nn eAA 就是-90。 。以角頻率（或頻率f）為橫坐標， An為縱坐標作出的圖形稱為振幅譜

28、振幅譜，若以n為 縱坐標作出的圖形稱為相位譜相位譜。一般相位譜比 較簡單可以不必另外作圖，可以將它標在振幅 譜圖旁。 中得到。在本例中 3、收斂性，諧波的振幅隨諧波的次數(shù)增高而 減小，諧波次數(shù)無限增高則其振幅無限趨小。 周期信號頻譜的特點：周期信號頻譜的特點： 1、離散性，頻譜由一些 離散的線條構(gòu)成，是離 散譜。 2、諧波性，每條譜線表 示信號的一個分量，其 頻率都是基波頻率的整 數(shù)倍。 這些結(jié)論雖然由這個特殊的例子得出，但它具 有普遍性。下面再看一個例子，這是一個典型 的例子，應(yīng)當(dāng)牢記。 例：周期性矩形脈沖的頻譜。 解： ) 2 ( 2 2 2 sin 2 ) 2 ( 4 )( 2 )( 2

29、2 )( 2 22 22 2 2 2 2 2 2 n Sa T A n n T A j ee Tn A ee Tjn A tjnde Tjn A dtAe T dtetf T A n j n j n j n j tjntjn T T tjn n tjn n e n Sa T A tf ) 2 ()( x x xSa sin )( 稱抽樣函數(shù) 1、 0)(lim,1)(lim 0 xSaxSa xx 2、 函數(shù)都為奇函數(shù)，相乘為偶和為偶函數(shù)，x x xSasin 1 )( 3、)0(sin 1 )(xx x xSa衰減的的圖形可以看作振幅以 對于周期性矩形脈沖 T AA n Sa T A A n

30、 Sa T A A nn 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 0 直流分量為 其相位比較簡單可根據(jù)抽樣函數(shù)的符號變化標 在振幅譜旁邊。頻譜結(jié)構(gòu)與比值/T有關(guān)，下面 是以 T=5，T=10，T=20為例作出的頻譜圖。 相位也可以不標直接根據(jù)抽樣函數(shù)作圖，稱復(fù) 數(shù)振譜。 也可以根據(jù)指數(shù)級數(shù)的系數(shù)作出它的雙邊譜。 周期矩形脈沖信號的頻譜在信號分析中十分 重要，現(xiàn)通過討論來加深認識，加深印象。 1、離散譜，譜線間隔 T 2 （與其他信號周期 信號一樣也具有離散性、諧波性） 2、包絡(luò) 2 2 2 2 sin 2 n Sa T A n n T A A n ， 周期矩形脈沖信號頻譜的包絡(luò)為抽樣函數(shù)， 零點出

31、現(xiàn)在： , 3 , 2 , 1 , 6 , 4 , 2 f或 ,雖然An不是單調(diào)收斂但總的趨勢是收 斂的，這符合周期信號頻譜的第三個特點，收 斂性。 0lim n n A 3、相位譜不必另作，可參照抽樣函數(shù) x x xSa sin )( 的符號變化標在幅度譜上，也可以干脆作復(fù)數(shù) 譜或雙邊譜。 4、脈沖參數(shù)與頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系。 在周期矩形脈沖信號中有三個脈沖參數(shù)A , , T。 其中A只影響各次諧波分量幅度的大小，不影 響頻譜的結(jié)構(gòu)和形狀。所以，我們討論T和 的影響。 .T改變， 不變 T 譜線間隔 T 2 （信號的頻帶寬度不變）。T: 周期脈沖 非周期脈沖；離散譜連續(xù)譜；各次諧波分量 幅度無窮小

32、。 各次諧波分量的幅度An。 譜線密集， 但包絡(luò)的零點位置不變 . 改變，T不變 譜線間隔不變。 包絡(luò)零點（信號的頻帶寬度） 收斂變慢。 5、信號的頻帶寬度 前面我們講過三角函數(shù)集和指數(shù)函數(shù)集都要取 無窮多個時才是完備的，所以對于一般的周期信號 其分量一般都有無窮多個，這樣說來這種信號的頻 帶寬度無限。但考慮到周期信號頻譜的“收斂性”， 諧波次數(shù)n 諧波的幅度An，因此信號的能量主要 集中在頻率較低的分量中。 在工程中應(yīng)用中可忽略一部分幅度較小的分量，而 把能量主要集中的頻率范圍稱信號的頻帶寬度頻帶寬度（有 時也稱有效帶寬，帶寬有效帶寬，帶寬等）。頻帶寬度有多種定義 方法，例如同學(xué)們熟悉的通頻

33、帶以信號功率衰減到 一半為準，所以有時稱半功率點，或3dB帶寬。 在信號處理中：在信號處理中： 一般取到基波幅度的十分之一一般取到基波幅度的十分之一。 特別地，對于周期矩形脈沖信號一般將它的第 一個零點定義為它的帶寬。即： sRad / 2 Hz 1 或 3.5 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 在周期性矩形脈沖信號的頻譜中我們 曾經(jīng)提到當(dāng)周期T趨于無窮大時，周期信 號就變?yōu)榉侵芷谛盘枺l譜由離散譜變?yōu)?連續(xù)譜。但每個頻譜分量的幅度趨于無窮 小，因此直接用An來描述非周期信號的頻 譜就不合適。 一、傅里葉變換傅里葉變換 An趨于無窮小的原因是T趨于無窮大，而T只 是一個系數(shù)它對頻譜的結(jié)構(gòu)沒有影

34、響。所以， 定義非周期信號的頻譜為： 2 2 )(lim 2 lim T T tjn T n T dtetfA T T時： 表示無窮小，用 d T 2 。 n由連續(xù)，用表示。所以 dtetfjF tj )()( 稱為f(t)的傅里葉變換 也稱頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。 tjn n T T tjntjn n n edtetf T eAtf 2 2 )( 2 2 1 2 1 )( d T 2 n T T d T, 22 2 2 T時： 。 n dejF dedtetftf tj tjtj )( 2 1 )( 2 1 )( 這樣我們得到一對傅里葉正變換和反變換公式： )()( 2 1 )( )()

35、()( 1 jFdejFtf tfdtetfjF tj tj F F F F 傅里葉反變換，記為 記為傅里葉正變換， 傅里葉變換是信號分析中的重要工具，常用記 號 f(t)F(j)表示它們是一個傅里葉變換對 二、傅里葉變換的物理意義二、傅里葉變換的物理意義 1、周期信號的傅里葉級數(shù)：、周期信號的傅里葉級數(shù)：我們知道是將一 個非正弦的周期信號分解為一系列的正弦分 量。An表示每個正弦分量的幅度，n則表示 每個分量的相位。 2、非周期信號：、非周期信號：是將f(t)分解為無限多個連續(xù) 指數(shù)函數(shù)e jt分量，從-連續(xù)變化，每 個分量的幅度為無窮小量 。 djF)( 2 1 每個e jt分量在時域中存

36、在于-t，而信 號本身不一定存在于-t。每一對e jt和 e- jt構(gòu)成一個正弦分量。 3、在頻域中對系統(tǒng)進行分析時就是求系統(tǒng)對 每一個頻率分量的響應(yīng)，然后將它們疊加起 來。 4、對f(t)進行傅里葉變換一般要求f(t)滿足絕 對可積 dttf)( 這個條件是充分條件并不必要，有些函數(shù)雖 然非絕對可積，但也可有傅里葉變換存在。 三、傅里葉變換的奇偶性三、傅里葉變換的奇偶性 1、對于任意一個實函數(shù)f(t)其頻譜函數(shù)一般是 復(fù)函數(shù) )( )( )()(sin)(cos)()()( j tj ejF jbatdttfjtdttfdtetfjF )( )( )(,)()()( sin)()(,cos)

37、()( 122 a b tgbajF tdttfbtdttfa 其中 可見a()，|F(j)| 是的偶函數(shù)，b()，() 是的奇函數(shù)，或者用數(shù)學(xué)式子表達F(- j)=F*(j) 2、f(t)為實偶函數(shù)，f(-t)=f(t) 則 b()=0，F(xiàn)(j)=a() 所以，時域中的實偶函數(shù)，它的頻譜函數(shù)也 是頻域中的實偶函數(shù)實偶函數(shù)。 3、f(t)為實奇函數(shù)，f(-t)=-f(t) 則 a()=0，F(xiàn)(j)=-jb() 所以，時域中的實奇函數(shù)，它的頻譜函數(shù)是 頻域中的虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)。 4、若 f(t) F(j) 則 f(-t)F(-j) )()( )()()()( )( jFdef defdtetft

38、f j j t tj 令 證明： F F 如果f(t)是實函數(shù)，則 f(-t)F*(j) 例:求幅度為A寬 度為的門函數(shù)的 頻譜函數(shù)。 ) 2 ( 2 2 sin 2 2 )()( 22 2 2 2 2 SaAA j eeA e j A dtAedtetfjF jj tjtjtj 與周期脈沖信號對比： 共同點： 1、包絡(luò)形狀相同，都是抽樣函數(shù)； 2、零點位置相同，信號帶寬不變； 3、幅度也具有收斂性。 不同點： 1、從離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜； 2、 2 ()() 2 nnn T AF jF jnA T 或 脈沖參數(shù)對F(j)的影響： 零點頻率 信號帶寬 當(dāng)0 零點頻率 （信號帶寬） )() 2 ()

39、(門函數(shù)的面積 ASaAjF 有此可以推知(t)的頻譜函數(shù) F(t)=1 3.6 幾種常用函數(shù)的頻譜幾種常用函數(shù)的頻譜 1、單位沖激函數(shù)(t) 1)( 1)()( t dtett tj F F 2、單邊指數(shù)函數(shù)、單邊指數(shù)函數(shù) 0)()( tetf t 顯然函數(shù)絕對可積，傅里 葉變換存在。 j te j dte dteedtetfjF t tj tjttj 1 )( 1 )()( 0 )( 0 1 22 )( 1 )( tg jF 這是一個非常重要 的變換對，由它出 發(fā)可以推出許多變 換對。 3、雙邊指數(shù)函數(shù)、雙邊指數(shù)函數(shù) 0)( | | t etf )()( 1 tetf t 記 22 * 1

40、111 11 211 )()()()()( )()()( jj jFjFtftfjF tftftf F FF F 則 f(t)是一個實偶函數(shù)，F(xiàn)(j)也是一個實偶函數(shù)。 前面幾個函數(shù)都符合絕對可積條件，所以，根 據(jù)定義求頻譜函數(shù)都沒有問題。 4、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)(t) 這個函數(shù)顯然不符合絕對可積條件，所以， 根據(jù)定義直接計算是有困難的。但我們可以 通過單邊指數(shù)函數(shù)的變換對來推演。 )(te t 2222 1 j j 0 )(t )()(jba 0 0 00 lim)( 1 lim)( 22 0 22 0 a b其中 可見a()為頻域中的沖激函數(shù)，須求出它的 沖激強度，即a()下的面積

41、。 1 0 22 00 limlim)(limtgdda j jt 1 )( 1 )()( 這也是一個重要的基本變換對，由它可以推 出其它變換對。例如符號函數(shù)的頻譜，符號 函數(shù)定義為： )()()sgn( 0 0 1 1 )sgn( ttt t t t 或 jjj ttt 2 1 )( 1 )( )()()sgn( * F FF FF F 5、指數(shù)函數(shù) tj c e 這個函數(shù)也不符合絕對可積條件，直接計算 也是有困難的。可以用沖激函數(shù)的變換對來 推出。 dett tj 2 1 )(1)( 交換變量和t的位置 )(2 dte tj )(2)(2 )( cc tjtjtj dtedtee cc 由

42、上面的變換對立即可以推出下面的變換對。 )()( 2 1 2 1 sin )()( 2 1 2 1 cos cc tjtj c cc tjtj c je j e j t eet cc cc F FF FF F F FF FF F 綜合上述，凡符合絕對可積條件的函數(shù)可通過 定義直接求出頻譜函數(shù)；若不符合絕對可積條 件則不能直接計算，但可通過其它變換對推出， 并且一般含有沖激函數(shù)。 6、周期性沖激序列的頻譜、周期性沖激序列的頻譜 一個間隔為T的均勻沖 激序列，記為T(t)，是 一個周期函數(shù)。因此可 以展開成傅里葉級數(shù)： T eAnTtt tjn n n n T 2 2 1 )()( T dtet

43、T A T T tjn n 2 )( 2 2 2 n tjn T e T t 1 )( )()( 2 1 )( nn tjn T n T e T tF FF F 一個在時域上間隔為T 的均勻沖激序列，在 頻域中也是一個均勻 沖激序列，周期為， 強度。 以上列舉了6個函數(shù)的傅里葉變換對，加上前 面的門函數(shù)共7個變換對稱常用變換對，應(yīng)當(dāng) 牢記。 3.7 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 一個信號在時域上用f(t)表示，在頻域中 用F(j)表示。它們有一一對應(yīng)的關(guān)系，是對 同一個信號的兩種不同表示形式。下面要介 紹的傅里葉變換的性質(zhì)將進一步闡明信號時 域和頻域之間的關(guān)系。熟練掌握這些性質(zhì)不 僅可以對

44、信號時域和頻域特性有更深的理解， 而且可以使復(fù)雜函數(shù)求變換、反變換時簡便 易行。 一、線性一、線性 為常數(shù)則 若 2122112211 2211 ,)()()()( )()(,)()( aajFajFatfatfa jFtfjFtf 二、延遲特性二、延遲特性 0 )()()()( 0 tj ejFttfjFtf 則若 信號在時域延遲t0，在頻域中所有頻率分量都 產(chǎn)生t0的相移，而振幅譜沒有變化。 例：求f(t)的頻譜函數(shù)。 22 ) 2 ()()( ) 2 ()( jj eSaAetGAjF tAGtf F F 解： 與門函數(shù)相比，幅度譜完全相同，相位譜則產(chǎn) 生了一個 2 的線性相移。 0 )

45、( 0 tj ett 又如： 三、移頻特性三、移頻特性 ( )(),( )( () c jt c f tF jf t eF j 若則 )()(jFtf ttf c cos)(例：已知求 的頻譜。 解： )( 2 1 )( 2 1 2 )(cos)( cc tjtj c jFjF ee tfttf cc F FF F 以門函數(shù)為例，可以畫出它的示意圖。 這就是通信中調(diào)制的概念。信號f(t)被載波 cosct調(diào)幅，則調(diào)幅信號的頻譜就是將f(t)的頻 譜一分為二向左右兩邊各搬移c。 例：求 0sin)()( ttetf c t 的頻譜函數(shù) 。 解： j te j ee tetf t tjtj t c

46、c 1 )( 2 )()( 2 2 )( )( 1 2 1 )( 1 2 1 )( c c cc j jjjj jF 四、尺度變換特性（時域頻域成反比）四、尺度變換特性（時域頻域成反比） 擴展 擴展 壓縮 壓縮 ) 2 (SaA)(2SaA ) 4 ( 2 Sa A 以上畫出了門函數(shù)在時域上的壓縮與擴展及其 頻譜函數(shù)在頻域的變化，可見有一個比例關(guān)系。 )( 1 )()()( a jF a atfjFtf 則若： 例1：已知f(t)的頻譜函數(shù) ) 2 ()( 2 SajF 求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(j) 例：已知f(t)的頻譜函數(shù) 3 )(2)( j eSajF 求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(j

47、) 壓縮 延遲1.5 35 . 1 1 1 ) 2 () 2 ( 2 1 )( ) 2 ( 2 1 )2()5 . 1(2()( jj eSaejFjF jFtftftf 解： 五、對稱特性五、對稱特性 )(2)()()(fjtFjFtf則若 defdefjtF tdtetfjF tjtj tj )(2 2 1 )()( ,)()(得交換變量證明： )(2)(fjtF 例如: )(2 c tj c e 1)(t)(21 )sgn( 1 )sgn(2 22 )sgn( j t jtj t )() 1 )( 2 1 )(2 1 )(, 1 )()( jt t jt t j t 例： t t tSa

48、tf sin )()( 求頻譜函數(shù)。 )(2) 2 ( ) 2 ()( G t Sa SatG 由對稱性質(zhì) 解： )()( 2, 1 2 2 GtSa 所以為合題意，令 )( sin )( 2 a G aat at atSa一般地： 六、微分性質(zhì)六、微分性質(zhì) 1、時域微分性質(zhì)、時域微分性質(zhì) )( )( )()(jFj dt tdf jFtf則若 證明： dejFtf tj )( 2 1 )( )( )( )( 2 1 )( 2 1)( jFj dt tdf dejFjd dt de jF dt tdf tj tj 這個性質(zhì)可重復(fù)使用而推廣到n階導(dǎo)數(shù)： )()( )( jFj dt tfd n

49、n n 2、頻域微分性質(zhì)、頻域微分性質(zhì) d () ( )()( ) F j f tF jjtf t d 若則 證明： dtetfjF tj )()( d jdF tjtf dtetjtfdt d de tf d jdF tj tj )( )( )()( )( 這個性質(zhì)同樣可重復(fù)使用而推廣到n階導(dǎo)數(shù)： n n n d jFd tfjt )( )()( 七、卷積定理七、卷積定理 1、時域卷積 )()()()( )()(),()( 2121 2211 jFjFtftf jFtfjFtf 則： 若： 時域中二信號的卷積，在頻域中等效于二信號 頻譜函數(shù)的乘積。 證明： )()()()( )()( )(

50、)( )()()()( 2112 21 21 2121 jFjFdefjF dejFf ddtetff dtedtfftftf j j tj tj F F 2、頻域卷積、頻域卷積 )()( 2 1 )()( )()(),()( 2121 2211 jFjFtftf jFtfjFtf 則： 若： 時域中二信號的乘積，在頻域中等效于二信號 頻譜函數(shù)的卷積。 證明： 1 12 12 12 12 2112 1 F ()() 2 11 ()( () 22 11 ()( () 22 1 ()( ) 2 1 ( )()( )( ) 2 - j t j t jt jt F jFj F jFjded F jFj

51、edd F jf t ed f tF jedf tf t 22 ) sin ()()( t t tSatf )()( 2 GtSa 例： 解：前面已求得 求頻譜函數(shù)F(j)。 2 2 0 )2( 2 )()( 2 )()( 2 1 )()( 22 22 2 GG GGtSajFF F 又如三角脈沖的頻譜 ) 2 () 2 () 2 ( 1 )( )()( 1 )( 2 SaSaSajF tGtGtf 八、積分性質(zhì)八、積分性質(zhì) 1、時域積分性質(zhì)、時域積分性質(zhì) 0)0( )( )( 0)0( )( )()0()()()( F j jF df F j jF FdfjFtf t t 則若 )()()(

52、ttfdf t j jF F j jFdf t )( )()0( 1 )()()( 證明： 2、頻域積分性質(zhì)、頻域積分性質(zhì) 0)0( )( )( 0)0( )( )()0()()()( f jt tf djF f jt tf tfdjFjFtf 則若 )()()()()( jFdjFdjF )( )()0( 2 1 1 )( 2 1 )()( 2 1 jt tf tf jt ttfdjF 證明： jt tf tfdjF )( )()0()( 例：求f(t)的頻譜函數(shù)。 解：對f(t)進行兩次微分，變?yōu)?三個沖激，而沖激的傅里葉變 換最容易求。然后再用時域積時域積 分性質(zhì)分性質(zhì)求出f(t)的頻譜

53、函數(shù)。 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 (sin ) 2 (sin 4 )( 0)(0 ) 2 (sin 4 )cos1 ( 2121 )( )( 1 )( 2 )( 1 )( j j tf tf eetf ttttf jj F F F F F F 時由于 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (sin )( 0)(0 2 2 2 SajF tf F F時由于 小結(jié)：小結(jié)： 傅里葉變換的性質(zhì)列舉了線性、延遲、移頻、 尺度變換、對稱性質(zhì)、微分（時域、頻域）、 卷積定理（時域、頻域）、積分性質(zhì)（時域、 頻域）八個重要性質(zhì)，再加上前面的奇偶性 共九個。掌握這些性質(zhì)至關(guān)重要。在解題時 一般很少直接使用傅

54、里葉變換和反變換公式， 而是記住少數(shù)幾個常用變換對再結(jié)合這些重 要性質(zhì)來求傅里葉變換和反變換。 P157p162頁上的傅里葉變換表，不需要大 家死記，而要靈活地記。 3.8 帕色伐爾（帕色伐爾（Parseval）定理與能量譜）定理與能量譜 前面學(xué)習(xí)了周期信號和非周期信號的頻譜（包 括振幅譜和相位譜），這是在頻域中描述信號的一 種方法，它反映信號所含分量的幅度和相位在頻域 中的分布情況。 在頻域中還可以用功率譜和能量譜來描述信號 的特性。它反映信號的功率或能量在頻域中的分布 情況，這又是一種在頻域中描述信號的方法。 對于確定信號可表示為一個確知的函數(shù)，可用 頻譜函數(shù)也可用能量譜或功率譜，但一般用

55、頻譜比 較多。對于隨機信號無法表示為確知的函數(shù)，也就 無法用頻譜描述，因此，一般用功率譜或能量譜。 在本課程中，主要討論確知信號，故對能量譜作一 簡單介紹。 一、瞬時功率和平均功率一、瞬時功率和平均功率 瞬時功率是在某一時刻的信號功率與時 間有關(guān)，而平均功率是瞬時功率對時間的平 均，一般功率信號為周期信號，因此平均是 在信號一周內(nèi)平均。 瞬時功率 R tu Rtitp )( )()( 2 2 平均功率 R V RIdttp T P T 2 2 0 )( 1 其中I，V稱有效值。對于正弦電流或電壓則: 為正弦信號的振幅 mmmm VIVVII, 2 1 , 2 1 對于一般的信號f(t)功率或能

56、量一般是指在 單位電阻上消耗的功率或能量。所以 非周期信號的能量 周期信號的功率 dttfW dttf T tf T )( )( 1 )( 2 0 22 上面兩個公式是時域中計算信號能量和功率的 計算公式，我們并不陌生。下面我們來推導(dǎo)計 算功率和能量公式的另外一種頻域表現(xiàn)形式。 二、周期信號的平均功率二、周期信號的平均功率 dteA T dteA T tf T T n tjn n T Tn tjn n 2 2 2 2 2 22 )( 4 1 ) 2 1 ( 1 )( 被積函數(shù)是和式的平方運算，展開后包含 nmeAeAeA tjm m tjn n tjn n )()( ,)( 2 因指數(shù)函數(shù)在

57、) 2 , 2 ( TT 內(nèi)正交，所以它們的 積分為零。而只有 )()( tjn n tjn n eAeA * )()( tjn n tjn n eAeA 即積分不等于零。 等于 TA n 2 nn n n A AA tf 1 22 0 22 2 1 ) 2 () 2 ()( 用分量系數(shù)表示的功率計算公式，該式說明信 號的功率等效于各頻率分量功率之和。 三、非周期信號的能量譜三、非周期信號的能量譜 djFdjFjF ddtetfjF dtdejFtfdttfW tj tj 2 * * 2 )( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )( 2 1 )()( 該式為用頻譜函數(shù)表示的能量公式。

58、若要研 究信號能量在頻域中的分布情況，可定義一 個能量譜密度函數(shù)，其意義為單位頻帶中的 能量，用G()表示。則： 2 0 22 0 )( 1 )( )( 1 )( 2 1 )( jFG djFdjFdGW 能量譜的形狀與幅度譜的平方相同，而與相位 無關(guān)?？梢娦盘栐跁r間上的移位也不影響能量 譜的形狀。 3.9 調(diào)幅波及其頻譜調(diào)幅波及其頻譜 現(xiàn)在我們來分析一種常見信號的頻譜，即調(diào) 幅波的頻譜。 一、調(diào)制調(diào)制 由聲音、圖象等消息轉(zhuǎn)換成的電信號是 不能直接以電磁波的形式輻射到空間進行遠 距離傳輸?shù)?，因為這些信號的頻率較低，我 們常稱這些信號為基帶信號基帶信號。 音頻信號：20Hz20KHz 視頻信號：

59、06MHz 為了利用電磁波傳輸信號，無線電技術(shù)中 采用了“調(diào)制”技術(shù)。即利用一個輻射能力強 的高頻振蕩信號作為運載工具，將基帶信號調(diào) 制到這個高頻信號上。所謂調(diào)制就是使高頻信 號中的參數(shù)隨基帶信號的變化而變化。常見的 調(diào)制一般采用正弦信號作為運載工具。 )cos()( 000 tAta c 載波： 可見其中有三個參數(shù)：A0振幅，c載頻， 0初相位。分別對其中的一個參數(shù)進行調(diào) 制就導(dǎo)致了不同的已調(diào)波。 調(diào)幅（AM: Amplitude Modulation） 調(diào)頻（FM: Frequency Modulation） 調(diào)相（PM: Phase Modulation） 二、調(diào)幅波調(diào)幅波 若高頻振蕩的

60、振幅隨調(diào)制信號的變化而變化 就成為調(diào)幅波。 )cos()()( 0 ttAta c 其中 A(t)=A0+ke(t) , k為比例系數(shù) , e(t)為 調(diào)制信號。 1、調(diào)幅系數(shù)、調(diào)幅系數(shù) 調(diào)幅系數(shù)反映了受調(diào)制程度的深淺，用m表 示。對于對稱調(diào)制定義為： 0 max | A A m m一般應(yīng)小于1，若大于1則稱為過調(diào)制，調(diào)幅波 的包絡(luò)將與調(diào)制信號的包絡(luò)不同而產(chǎn)生失真。 假定調(diào)制信號是單一的正弦信號，即 )cos()(tEte 0 00 0 0 0 00 00 )cos()cos(1 )cos()cos(1 )cos()cos( )cos()()( A kE m ttmA tt A kE A tt