基于RLS的自適應濾波器的設計與實現(xiàn)畢業(yè)論文

1、吉林化工學院畢業(yè)設計說明書基于rls的自適應濾波器的設計與實現(xiàn)design and implementation of adaptive filter using rls 吉 林 化 工 學 院jilin institute of chemical technology畢業(yè)設計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設計（論文），是我個人在指導教師的指導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機構(gòu)的學位或?qū)W歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人

2、或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作 者 簽 名： 日 期： 指導教師簽名： 日期： 使用授權(quán)說明本人完全了解 大學關于收集、保存、使用畢業(yè)設計（論文）的規(guī)定，即：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版本；學校有權(quán)保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務；學?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉績?nèi)容。作者簽名： 日 期： 摘 要自適應濾波器是統(tǒng)計信號處理的一個重要組成部分。在實際應用中，由于沒有充足的信息來設計固定系數(shù)的數(shù)字濾波器，或者設計規(guī)則會在濾波器正常運行時改變，因此我們需要研究

3、自適應濾波器。凡是需要處理未知統(tǒng)計環(huán)境下運算結(jié)果所產(chǎn)生的信號或需要處理非平穩(wěn)信號時，自適應濾波器可以提供一種吸引人的解決方法，而且其性能通常遠優(yōu)于用常方法設計的固定濾波器。此外，自適應濾波器還能提供非自適應方法所不可能提供的新的信號處理能力。本文從自適應濾波器研究的意義入手，介紹了自適應濾波器的基本理論思想，具體闡述了自適應濾波器的基本原理、算法及設計方法。自適應濾波器的算法是整個系統(tǒng)的核心。本文中，對兩種最基本的自適應算法，即遞歸最小二乘（rls)和最小均方誤差(lms)算法進行了詳細的介紹和分析，并針對兩種算法的優(yōu)缺點進行了詳細的比較。同時，分別對fir結(jié)構(gòu)和iir結(jié)構(gòu)自適應濾波器做了詳細

4、的介紹，比較了fir結(jié)構(gòu)和iir結(jié)構(gòu)自適應濾波器的優(yōu)缺點。最終采用改進的rls算法設計fir結(jié)構(gòu)自適應濾波器，并采用matlab進行仿真。實驗結(jié)果表明，該自適應濾波器濾波效果優(yōu)越。關鍵詞：自適應濾波器；rls算法；fir結(jié)構(gòu)濾波器；matlababstractthe auto-adapted filter is an important part of the digital signal processing. in practical application, there havent sufficient information to design the fixed coefficie

5、nt digital filter, or the design rule will be changed when the filter normally operated. therefore, we need to research the auto-adapted filter. whenever needs to process the signal under the unknown statistical environment, or the non-steady signal, the auto-adapted filter can provide a appealing s

6、olution. moreover, its performance usually over the normally fixed filter. in addition, the auto-adapted filter can also provide the ability of the recent signal process which the non-auto-adapted method is impossible to provide. firstly this thesis proposed the importance of auto-adapted filter res

7、earch and introduced its elementary theory , algorithm and design method. the core of the whole system is the auto-adapted filters algorithm . in this article, two of the most basic auto-adapted algorithms, the smallest mean error (lms) algorithm and the recursive least squares (rls) algorithm, have

8、 particularly introduced and analyzed. meanwhile, the advantages and disadvantages of this two algorithms have been compared. at the same time, this thesis introduced the fir structure and the iir structure auto-adapted filter in detail, compared with the advantages and disadvantages of these two al

9、gorithms. then, the fir structure auto-adapted filter is designed with the adoption of the improved lms algorithm, and it is carried on the simulation test in the matlab platform. the experimental result indicated that filter effect of this auto-adapted filter is superior.keywords: auto-adapted filt

10、er, rls algorithm, fir structure filter, matlab目 錄摘 要iabstractii第1章 緒 論11.1 引言11.2 課題研究意義和目的11.3 國內(nèi)外研究發(fā)展狀況21.4本文研究思路與主要工作3第2章 自適應濾波器理論基礎42.1 濾波器的基本概念42.2 數(shù)字濾波器的基本概念52.3 自適應濾波器的結(jié)構(gòu)62.4自適應濾波算法種類82.4.1 最小均方（lms）算法82.4.2 遞歸最小二乘（rls)算法122.5 rls算法和lms算法分析152.5.1 rls算法分析152.5.2 lms算法分析162.6 仿真結(jié)果分析162.6.1 rl

11、s算法關于不同參數(shù)的比較162.6.2 lms算法關于不同步長的比較172.6.3 rls與lms算法關于最優(yōu)效果的比較18第3章 自適應濾波器的設計原理193.1 無限沖激響應（iir）濾波器193.1.1 自適應iir濾波器的基本原理193.1.2 方程誤差結(jié)構(gòu)形式自適應iir濾波器193.1.3 iir濾波器的一般結(jié)構(gòu)223.2 有限沖激響應（fir）濾波器223.2.1 fir橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu)223.2.2 fir橫向性濾波器的工作原理233.3 iir濾波器和fir濾波器的比較26第4章 基于matlab實現(xiàn)自適應濾波器274.1 matlab語言介紹274.2 matlab仿

12、真284.2.1 matlab程序仿真284.2.2 仿真結(jié)果284.3 自適應濾波算法的實現(xiàn)304.3.1 rls算法程序的實現(xiàn)304.3.2 lms算法程序的實現(xiàn)32第5章 總結(jié)與展望36結(jié) 論37參考文獻38致 謝39第1章 緒 論1.1 引言濾波技術是信號處理中的一種基本方法和技術，尤其數(shù)字濾波技術使用廣泛，數(shù)字濾波理論的研究及其產(chǎn)品的開發(fā)一直受到很多國家的重視。從總的來說濾波可分為經(jīng)典濾波和現(xiàn)代濾波。經(jīng)典濾波要求已知信號和噪聲的統(tǒng)計特性，如維納濾波和卡爾曼濾波。現(xiàn)代濾波則不要求己知信號和噪聲的統(tǒng)計特性，如自適應濾波。自適應濾波的原理就是利用前一時刻己獲得的濾波參數(shù)等結(jié)果，自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)

13、時刻的濾波參數(shù)，從而達到最優(yōu)化濾波。自適應濾波具有很強的自學習、自跟蹤能力，適用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機信號的檢測和估計。自適應濾波一般包括3個模塊：濾波結(jié)構(gòu)、性能判據(jù)和自適應算法。其中，自適應濾波算法一直是人們的研究熱點，包括線性自適應算法和非線性自適應算法，非線性自適應算法具有更強的信號處理能力，但計算比較復雜，實際應用最多的仍然是線性自適應濾波算法。線性自適應濾波算法的種類很多，有rls自適應濾波算法、lms自適應濾波算法、變換域自適應濾波算法、仿射投影算法、共扼梯度算法等。1.2 課題研究意義和目的對自適應濾波算法的研究是當今自適應信號處理中最為活躍的研究課題之一。windrow等于1967

14、年提出的自適應濾波系統(tǒng)的參數(shù)能自動的調(diào)整而達到最優(yōu)狀況，而且在設計時，只需要很少的或根本不需要任何關于信號與噪聲的先驗統(tǒng)計知識。這種濾波器的實現(xiàn)差不多像維納濾波器那樣簡單，而濾波器性能幾乎如卡爾曼濾波器一樣好。自適應濾波器與普通濾波器不同，它的沖激響應或濾波參數(shù)是隨外部環(huán)境的變化而變化的，經(jīng)過一段自動調(diào)節(jié)的收斂時間達到最佳濾波的要求。自適應濾波器本身有一個重要的自適應算法，這個算法可以根據(jù)輸入、輸出及原參量信號按照一定準則修改濾波參量，以使它本身能有效的跟蹤外部環(huán)境的變化。因此，自適應數(shù)字系統(tǒng)具有很強的自學習、自跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性。自適應濾波技術的核心問題是自適應算法的性能問題，提出

15、的自適應算法主要有最小均方(lms)算法、遞歸最小二乘(rls)算法及相應的改進算法如：歸一化(nlms)算法、變步長(svslms)算法、遞歸最小二乘方格形(rlsl)算法等。這些算法各有特點，適用于不同的場合。研究自適應算法是自適應濾波器的一個關鍵內(nèi)容。最小均方誤差(lms，the least mean square)算法是線性自適應濾波算法中最基本的兩類算法之一，其主要思想是基于最小均方誤差準則，使濾波器的輸出信號與期望輸出信號之間的均方誤差最小。由于lms算法簡 單有效、魯棒性好、易于實現(xiàn)，得到了廣泛的應用。目前應用最多的是系統(tǒng)辨識、回波消除、自適應譜線增強、自適應信道均衡、語音線性預

16、測、自適應天線陣等諸多領域。1.3 國內(nèi)外研究發(fā)展狀況自適應濾波的基本理論通過幾十年的發(fā)展已日趨成熟，近十幾年來自適應濾波器的研究主要針對算法與硬件實現(xiàn)。算法研究主要是對算法速度和精度的改進，其方法大都采用軟件c、matlab等仿真軟件對算法的建模和修正。通常，自適應濾波器的硬件實現(xiàn)都是用dsp通用處理器(如ti的tms320系列)。dsp器件采用改進的哈佛結(jié)構(gòu)，具有獨立的程序和數(shù)據(jù)空間，允許同時存取程序和數(shù)據(jù)，內(nèi)置高速的硬件乘法器(mac)，增強的多級流水線。dsp具有的硬件乘法模塊(mac)，專用的存儲器以及適用于高速數(shù)據(jù)運行的總線結(jié)構(gòu)，使dsp器件具有高速的數(shù)據(jù)運算能力。目前，用dsp器

17、件處理數(shù)字信號已經(jīng)成為電子領域的研究熱點。在自適應信號處理領域，對于數(shù)據(jù)處理速度在幾兆赫茲以內(nèi)的，通用dsp器件也是首選。遲男等人在tms320c32芯片上擴展eprom和ram，實現(xiàn)了30階lms自適應濾波器，使用的刀d轉(zhuǎn)化器件為ad1674，最高采樣頻率為l00khz。陸斌等人采用tms320c30數(shù)字信號處理器與imsa110專用濾波器并行處理的方法設計出了自適應濾波器并應用于直接序列的擴頻接收系統(tǒng)1221。趙慧民等人在tms320c31上實現(xiàn)了自適應權(quán)向量濾波器，完成了信號采樣頻率為80khz的自適應濾波。在數(shù)據(jù)處理速度只要求在幾兆赫茲以內(nèi)的應用場合，這些用dsp實現(xiàn)的自適應濾波器能很

18、好的滿足系統(tǒng)實時的需求。在這種需求場合下，dsp具有不可媲美的性價比。用fpga實現(xiàn)自適應濾波器，國外起步比較早，發(fā)展也非常迅速。hesener a.于1996年提出了用fpga實現(xiàn)自適應濾波器的設想，并在fpga上實現(xiàn)了處理速度可達sm的8階8位fir濾波器。woolfries n.等人用fpga實現(xiàn)了自適應棧濾波器，并應用于圖象處理。dawood a.等人用fpga開發(fā)了自適應fir濾波器并與dsp處理器方案進行了比較研究。國內(nèi)有一些關于自適應算法硬件實現(xiàn)的研究，但基本是針對自適應濾波器中的算法，如南開大學李國峰的博士論文用vhdl語言描述了正負數(shù)的運算問題和浮點數(shù)運算問題，完成了基于fi

19、r的lms自適應濾波器的硬件設計與邏輯綜合。國防科學技術大學江和平等人討論了自適應卡爾曼算法的簡化，并完成了fpga的設計。同濟大學梁甲華等人重點討論了編碼方法在fpga的技術問題。上海交通大學范瑜等人介紹了用vhdl語言實現(xiàn)并行延時lms算法的自適應數(shù)字波束成形器的fpga設計過程。而針對自適應格型結(jié)構(gòu)采用fpga硬件實現(xiàn)的文獻報導很少，國內(nèi)中國科學技術大學王顯潔等人通過采用流水線結(jié)構(gòu)和運算單元分時復用，提高了運算速度，能夠滿足實時性預測編碼要求。1998年弗吉尼亞大學的stephenj.hevey在其碩士論文中利用dsp處理器和自適應格型遞歸濾波算法完成了對線性二次型最優(yōu)控制器的設計，通過

20、實驗表明了在寬帶干擾下格型結(jié)構(gòu)的濾波器性能優(yōu)于lms濾波器，在窄帶和諧波干擾下兩者的區(qū)別不大，但所需階數(shù)至少比lms濾波器減少一半，可以節(jié)省大量硬件資源。1.4 本文研究思路與主要工作本文設計要求基于rls算法實現(xiàn)自適應濾波器，要求完成自適應濾波器的設計和調(diào)試。自適應濾波器的設計需要使用自適應算法（rls算法），rls算法是通過對未知系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建模，識別該未知系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進行噪聲濾波。自適應濾波器，其權(quán)系數(shù)可以根據(jù)自適應算法來不斷修改，使得系統(tǒng)中的沖激響應滿足給定的性能。例如語音信號的adpcm編碼，采用線性預測自適應就可以實現(xiàn)誤差信號與輸入信號的線性無關，并由此作為依據(jù)，不斷調(diào)節(jié)濾波

21、器的權(quán)系數(shù)，最終使得誤差信號趨近于0，使得該濾波器完全適應該輸入信號；同樣，只要輸入信號出現(xiàn)變換，自適應濾波器根據(jù)誤差信號的變化再次調(diào)整其權(quán)系數(shù)，從而跟上信號的變化。自適應濾波器設計的算法采用的是自適應算法，即rls算法。rls算法是通過對未知系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建模，識別該未知系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進行噪聲濾波。本文的正文部分共分為五章，各章的主要內(nèi)容安排如下： 第一章是緒論，主要介紹了自適應濾波技術的發(fā)展，課題研究的背景及意義，以及本文的主要工作內(nèi)容。第二章主要介紹了時域rls自適應濾波算法的原理、性能。分析遞推最小二乘法（rls）算法和最小均方（lms）算法，并對已經(jīng)提出的算法作了詳細的比較和總結(jié)。

22、第三章主要介紹了無限沖激響應（iir）濾波器和有限沖激響應（fir）濾波器。本章分別對iir濾波器的工作原理和fir濾波器的工作原理做了大概的分析，得出了兩種結(jié)構(gòu)的濾波器的優(yōu)缺點，經(jīng)過比較，本文采用了fir橫向結(jié)構(gòu)。第四章采用matlab編程，對自適應濾波器實現(xiàn)信號的仿真，對rls算法和lms算法通過matlab進行仿真，比較了兩種算法在自適應濾波器應用中的不同之處。第五章是總結(jié)與展望。本章對論文所做的研究工作進行了全面總結(jié)，對相關技術的未來發(fā)展方向進行了探討與展望。第2章 自適應濾波器理論基礎2.1 濾波器的基本概念凡是有能力進行信號處理的裝置都可以稱為濾波器。在近代電信裝備和各類控制系統(tǒng)中

23、，濾波器應用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多，技術最復雜要算濾波器了。濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對濾波器的研究和生產(chǎn)歷來為各國所重視。圖2.1描述的是一個通用的自適應濾波估計問題，圖中離散時間線性系統(tǒng)表示一個可編程濾波器，它的沖激響應為，或稱其為濾波參數(shù)；自適應濾波器輸出信號為，所期望的響應信號為，誤差信號為 與 之差。這里，期望響應信號是根據(jù)不同用途來選擇的，自適應濾波器的輸出信號是對期望響應信號進行估計的，濾波參數(shù)受誤差信號的控制并自動調(diào)整。因此，自適應濾波器與普通濾波器不同，它的沖激響應或濾波參數(shù)隨外部環(huán)境的變化而改變的，經(jīng)過一段自動調(diào)節(jié)的收斂時間達到最佳濾波器的要求。

24、但是，自適應濾波器本身有一個重要的自適應算法，這個算法可以根據(jù)輸入、輸出及原參量值，按照一定準則修改濾波參量，以使它本身能有效地跟蹤外部環(huán)境的變化。通常，自適應濾波器是線性的，因而也是一種線性移變?yōu)V波器。當然，它也能推廣到自適應非線性濾波器。 圖2-1 自適應濾波器原理方框圖在圖2-1中，離散時間線性系統(tǒng)可以分為兩類基本結(jié)構(gòu)，其中一類為非遞歸型橫向結(jié)構(gòu)的數(shù)字濾波器，它具有有限的記憶，因而稱之為有限沖激響應(fir)系統(tǒng)，即自適應fir數(shù)字濾波器。另一類為遞歸型數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，理論上，它具有無限的記憶，因而稱之為無限沖激響應（iir）系統(tǒng)，即自適應iir濾波器。對于上述兩類自適應濾波器，還可以根

25、據(jù)不同的濾波原理和算法，分為結(jié)構(gòu)不同的自適應濾波器，它們的濾波性能也不完全相同。2.2 數(shù)字濾波器的基本概念 從輸入信號中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱為濾波，相應的裝置稱為濾波器。如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號，稱該濾波器為數(shù)字濾波器。當濾波器的輸出信號為輸入端的線性函數(shù)時，該濾波器稱為線性濾波器，否則就稱為非線性濾波器。一個典型的數(shù)字濾波器的框圖如圖2-2所示。 圖2-2 數(shù)字濾波器設輸入信號為x(n)，輸出信號為y(n)，該數(shù)字濾波器可用以下差分方程來表示： (2-1)式中，稱為濾波器系數(shù)。當時，上式變?yōu)椋?(2-2)這種濾波器稱為全零點濾波器。如果，時，則稱為全極點濾波器或遞

26、歸濾波器。由上式，可知數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為: (2-3)其單位沖擊響應函數(shù)為: (2-4) (2-5)如果當n0時，有h(n)=0，這樣的濾波器系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)。如果沖激響應函數(shù)是有限長的，即 (2-6)則稱此濾波器為有限沖激響應fir濾波器，否則，稱之為無限沖激響應iir濾波器。2.3 自適應濾波器的結(jié)構(gòu)所謂的自適應濾波，就是利用前一時刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動的調(diào)節(jié)現(xiàn)在時刻的濾波器參數(shù)，以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應濾波器實質(zhì)上就是一種能調(diào)節(jié)其自身傳輸特性以達到最優(yōu)的維納濾波器。自適應濾波器不需要關于輸入信號的先驗知識，計算量小，特別適用于

27、實時處理。由于無法預先知道信號和噪聲的特性或者它們是隨時間變化的，僅用fir和iir種具有固定濾波系數(shù)的濾波器無法實現(xiàn)最優(yōu)濾波。在這種情況下，必須設計自適應濾波器，以跟蹤信號和噪聲的變化。自適應濾波器的特性變化是由自適應算法通過調(diào)整濾波器系數(shù)來實現(xiàn)的。一般而言，自適應濾波器由兩部分組成，一是濾波器結(jié)構(gòu)，二是調(diào)整濾波器系數(shù)的自適應算法。自適應濾波器的結(jié)構(gòu)采用fir或iir結(jié)構(gòu)均可，由于iir濾波器存在穩(wěn)定性問題，因此一般采用fir濾波器作為自適應濾波器的結(jié)構(gòu)。圖2-3表示出了自適應濾波器結(jié)構(gòu)的一般形式 圖2-3 自適應濾波器結(jié)構(gòu)的一般形式圖2-3為自適應濾波器結(jié)構(gòu)的一般形式，圖中輸入信號，通過權(quán)

28、系數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號，將輸出信號與標準信號（又稱期望信號）進行比較，得到誤差信號。 和 通過自適應算法對濾波器的權(quán)系數(shù)進行調(diào)整，調(diào)整的目的使得誤差信號最小。重復上面過程，濾波器在自己的工作過程中逐漸了解到輸入信號和噪聲的統(tǒng)計規(guī)律，并以此為根據(jù)自動調(diào)整濾波器權(quán)系數(shù)，從而達到最佳的濾波效果。一旦輸入的統(tǒng)計規(guī)律發(fā)生了變化，濾波器能夠自動跟蹤輸入信號變化，自動調(diào)整濾波器的權(quán)系數(shù)，最終達到濾波效果，實現(xiàn)自適應過程。圖2-4是使用自適應濾波器的系統(tǒng)識別原理圖。 圖2-4 自適應濾波器的系統(tǒng)識別框圖自適應濾波器的結(jié)構(gòu)可以采用fir或iir濾波器存在穩(wěn)定性問題，因此一般采用fir濾波器作為自適應

29、濾波器的結(jié)構(gòu)。自適應fir濾波器結(jié)構(gòu)又可分為3種結(jié)構(gòu)類型：橫向型結(jié)構(gòu)（transversal structure）、對稱橫向型結(jié)構(gòu)（symmetric transversal structure）以及格型結(jié)構(gòu)（lattice struture）。本文采用自適應濾波器設計中最常用的fir橫向型結(jié)構(gòu)。2.4自適應濾波算法種類2.4.1 最小均方（lms）算法由widrow和hoff引入的最小均方(lms)算法，由于其簡單性、運算的高效性及在各種運行條件下良好的性能，而被廣泛應用。基于梯度的最小均方(lms)算法是最基本的算法，其含義相對簡單明了。選定均方誤差為權(quán)矢量二次函數(shù)時，性能度量曲線可以形象

30、地看成一個碗形曲面這樣自適應處理器的任務便是不斷地向最低點逼近，即可以通過計算梯度的方法實現(xiàn)性能度量的最優(yōu)化。而基于梯度的算法中，最簡單的一種就是最小均方算法lms算法，lms算法使用的準則是使均衡器的期望輸出值和實際輸出值之間的均方誤差(mse)最小化的準則，依據(jù)輸入信號在迭代過程中估計梯度矢量，并更新權(quán)系數(shù)以達到最優(yōu)的自適應迭代算法9。這算法不需要計算相應的相關函數(shù)，也不需要進行矩陣運算。自適應濾波器最普通的應用就是橫向結(jié)構(gòu)。濾波器的輸出信號是 (2-7)t表示轉(zhuǎn)置矩陣， n是時間指針，n是濾波器次數(shù)。這個例子就是有限脈沖響應濾波器的形式，為x(n)和w(n)兩個矩陣卷積。這種自適應算法使

31、用誤差信號 (2-8)為了方便起見，將上述式子表示為向量形式，則上述式子表示為： (2-9)誤差序列可寫為： (2-10)其中是期望信號，是濾波器的輸出。使用輸入向量和 來更新自適應濾波器的最小化標準的相關系數(shù)。顯然，自適應濾波器控制機理是用誤差序列按照某種準則和算法對其系數(shù)進行調(diào)節(jié)的，最終使自適應濾波的目標(代價)函數(shù)最小化，達到最佳濾波狀態(tài)。本節(jié)所用的標準是最小均方誤差(mse)。 (2-11)e表示算子期望。 (2-12)由式(2-12)可見，自適應濾波器的代價函數(shù)是延遲線抽頭系數(shù)的二次函數(shù)。當矩陣r和矢量p己知時，可以由權(quán)系數(shù)矢量w直接求其解。最優(yōu)解最小化mse，源自解這個公式 (2-

32、13)將式(2-12)對求其偏導數(shù)，并令其等于零，假設矩陣r滿秩(非奇異)，可得代價函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù) (2-14)這個解稱為維納解，即最佳濾波系數(shù)值。因為均方誤差(mse)函數(shù)是濾波系數(shù)w的二次方程，由此形成一個多維的超拋物面，這好像一個碗狀曲面又具有唯一的碗底最小點，通常稱之為自適應濾波器的誤差性能曲面。當濾波器工作在平穩(wěn)隨機過程的環(huán)境下，這個誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。自適應濾波系數(shù)的起始值是任意值，位于誤差性能曲面上某一點，經(jīng)過自適應調(diào)節(jié)過程，使對應于濾波系數(shù)變化的點移動，朝碗底最小點方向移動，最終到達碗底最小點，實現(xiàn)了最佳維納濾波。自適應過程是在梯度矢量的負方向接連的校

33、正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降法方向移動和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達均方誤差為最小的碗底最小點，獲得最佳濾波或準最優(yōu)工作狀態(tài)。廣泛使用的lms算法是一種選擇性法適應采樣和采樣基礎。這個方法可以避免復雜的計算。lms算法是最陡下降法，在這個算法中，向量通過改變對最小均方誤差性能的負梯度比例自適應濾波算法及應用研究來增強。對于lms算法梯度通過假設平方誤差。作為公式2-13的mse來預測。因此，梯度預測可以單一化表示為: (2-15)在實際應用中，2u經(jīng)常用來代替u。瞬間梯度預測產(chǎn)生的widrow hoff lms算法，為自適應濾波器在n時刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)

34、，則在時刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量可以用下列簡單遞歸關系來計算: (2-16)是自適應步長來控制穩(wěn)定性和收斂率。這種瞬時估計是無偏的，因為它的期望值等于最陡下降法的梯度矢量。以任意初始向量來開始，向量集中在最佳解決方法，假如選擇 (2-17)為矩陣r的最大特征值，受限制于 (2-18)為指示矩陣的軌跡，是平均輸入功率。對于自適應信號處理應用，最重要的實際考慮是收斂速度，決定濾波器跟蹤不穩(wěn)定型號的能力。總體來說，權(quán)向量要獲得收斂只有當最緩慢的權(quán)集中一點。這個最慢的時間 (2-19)這個指出時間連續(xù)相反的以的比例收斂，并且依靠輸入矩陣的自相關特征值。具有全異的特征值，規(guī)定時間是受最慢模式的限制。以梯度預

35、測為基礎的自適應導致噪聲矩陣的權(quán)向量，因此會有性能的損失。這個自適應處理的噪聲導致穩(wěn)態(tài)權(quán)向量隨意的改變?yōu)樽钸m宜的權(quán)向量。穩(wěn)態(tài)權(quán)向量的精度通過超額的最小均方誤差來測量。這個lms算法超過ems的是 (2-20)是mse在穩(wěn)態(tài)的最小值。公式(2-19)和(2-20)產(chǎn)生lms算法基本協(xié)定:為了在穩(wěn)態(tài)獲得高精度(低超自適應濾波算法及應用研究額mse)，需要的最小值，但是也會降低收斂率。后面會有進一步關于lms算法特征的討論。對于n維更新是常數(shù)，誤差信號乘以得到 。這個常數(shù)首先計算，然后乘以來更新。自適應lms算法如同最陡下降法，利用時間的濾波系數(shù)矢量為任意的起始值，然后開始lms算法的計算，其步驟如

36、下:l)由現(xiàn)在時刻的濾波器濾波系數(shù)矢量估值，輸入信號矢量及期望信號，計算誤差信號: (2-21)2)利用遞歸法計算濾波系數(shù)矢量的更新估值。3)將時間指數(shù)增加1，回到第一步驟，重復上述計算步驟，一直到達穩(wěn)定狀態(tài)為止。由此可見，自適應lms算法簡單，它既不需要計算輸入信號的相關函數(shù)，又不要求矩陣之逆。因而得到了廣泛的應用。2.4.2 遞歸最小二乘（rls)算法 從2.1節(jié)的分析得知，lms算法的收斂速度很慢，為了得到較塊的收斂速度，有必要設計包含附加參數(shù)的更復雜的算法。特別是，如果矩陣r是nn的且特征值為，則可以使用一種含有n個參數(shù)的算法，其中每個參數(shù)對應一個特征值。 在快速收斂算法的推導中，我們

37、將采用最小二乘法。因此，將直接處理接收數(shù)據(jù)，使二次性能指數(shù)最小，而以前是使平方誤差的期望值最小。這意味著，用時間平均而不是統(tǒng)計平均來表示性能指數(shù)。 基于時間平均的最小平方誤差被定義如下： (2-22)式中，是接近1,但是小于1的加權(quán)因子，)是的復共軛，且誤差為 (2-23)且 (2-24)式中，是時刻的輸入數(shù)據(jù)向量，是時刻的新的抽頭增益向量。因而是用時刻的抽頭增益向量測試時刻的舊數(shù)據(jù)所得的誤差，是在所有舊數(shù)據(jù)上用新抽頭增益所得的累計平方誤差。要完成rls算法就要找到均衡器的抽頭增益向量，使得累計平方誤差最小。為了測試新的抽頭增益向量，會用到那些先前的數(shù)據(jù)。而因子會在計算時更依賴于新近的數(shù)據(jù)，也

38、就是說，會丟掉非穩(wěn)定環(huán)境中的較舊的數(shù)據(jù)。如果信道是穩(wěn)定的，那么可以設為1。為了獲得的最小值，可使的梯度為0,即，通過運算可知： (2-25)式中，是rls均衡其的最佳抽頭增益向量。 (2-26) (2-27)式(2-26)中的方陣是輸入數(shù)據(jù)向量的確定相關矩陣，式(2-26)中向量是輸入向量和期望輸出之間的確定互相關矩陣。要用式(2-25)計算均衡器的抽頭增益向量，就需要計算。從式(2-26)中的定義可知，我們可以得到關于的遞歸公式。 (2-28)由于式(2-28)中的三項都是nn的方陣，我們可以使用方程倒數(shù)的引理得到遞歸公式： (2-29)式中 (2-30)根據(jù)上述遞歸公式，可知： (2-31

39、)式中 (2-32)初始化：是一個正常數(shù)計算：對于n=1,2，計算 (2-33) (2-34)是一個可以改變均衡器性能的抽頭系數(shù)。如果信道是非時變的，那么可以設為1。而通常的取值為0.81。值對收斂速率沒有影響，但是它影響著rls算法的跟蹤能力。值越小，均衡器的跟蹤能力更強。但是，如國值太小，均衡器將會不穩(wěn)定。2.5 rls算法和lms算法分析2.5.1 rls算法分析rls算法是基于最大平方方法，和lms算法相比，主要的不同是固有的統(tǒng)計學觀念。平均時間的計算需要基本更多的指令，因此帶來的全面的rls算法計算，比lms方法要復雜。信號估計和誤差為： (2-35)系數(shù)更新： (2-36)其中k的

40、值： (2-37)相關矩陣： (2-38)可見rls算法的計算復雜度為：。2.5.2 lms算法分析最小均方算法(lms)是用于減少輸入信號和經(jīng)過濾波的輸出信號之間的不規(guī)則方波的算法。信號估計和誤差分別為： (2-39)權(quán)值更新： (2-40)根據(jù)上面的計算公式，lms算法的復雜度為：。 2.6 仿真結(jié)果分析 2.6.1 rls算法關于不同參數(shù)的比較 圖2-5 rls算法當=1時圖2-6 rls算法當=4時從圖2-5，圖2-6中可知：a)收斂性比較：當 =1時，算法能夠收斂，而當=4時，算法無法收斂；b)穩(wěn)定性比較：只有收斂的算法才可能是穩(wěn)定的算法，所以=1比=4的情況更穩(wěn)定；c)誤調(diào)性比較：

41、當=4時，算法無法收斂，所以此時的誤調(diào)十分明顯；d)學習速度比較：學習速度與收斂速度是同步的；亦即當=1時，效果更好。2.6.2 lms算法關于不同步長的比較 圖2-7 lms算法當=0.015時誤差信號 圖2-8 lms算法當=0.03時誤差信號從圖2-7，圖2-8中可知：a)收斂性比較：收斂速度越快，算法的效果越好。步長越大，收斂速度越快： =0.03比=0.015時的收斂速度快；b)穩(wěn)定性比較：穩(wěn)定性越好，算法就越健壯。從圖2-8中可以看到，當=0.03時，收斂完成后，卻出現(xiàn)了一個很大的誤差，即誤調(diào)，這是難以預測的，這樣會導致程序算法不穩(wěn)定，嚴重影響到應用；c)誤調(diào)性比較：當步長過大時，

42、就會有可能會出現(xiàn)過度收斂，在穩(wěn)定性的討論中已經(jīng)說過，出現(xiàn)誤調(diào)會危及應用，這是必須避免的。在圖2-8（當=0.03時)，出現(xiàn)了一個明顯的誤調(diào)，雖然它的收斂速度較快，但這是以出現(xiàn)誤調(diào)為代價的；d)學習速度比較：學習速度是指系統(tǒng)學習信道參數(shù)的速度，即通過訓練序列的系統(tǒng)的收斂速度，學習速度與收斂速度是同步的。2.6.3 rls與lms算法關于最優(yōu)效果的比較經(jīng)過lms算法的內(nèi)部比較和rls算法的內(nèi)部比較，分別得出了各自的最優(yōu)化的參數(shù)設置，最后，再來比較一下兩種各自為最優(yōu)的算法。如下圖所示：從圖2-9可以很清楚的看出，lms算法的收斂速度與rls算法的收斂速度是不能相比的：lms經(jīng)過近400次運算才收斂，

43、而rls只需要幾十次甚至是幾次運算就已經(jīng)收斂。 圖2-9 rls算法與lms算法的關于最優(yōu)效果的比較第3章 自適應濾波器的設計原理3.1 無限沖激響應（iir）濾波器3.1.1 自適應iir濾波器的基本原理圖3-1為自適應iir濾波器的基本結(jié)構(gòu)，其輸入為，輸出為，濾波器由可變系數(shù)iir濾波器和遞歸算法組成，遞歸算法通過預測誤差去調(diào)系數(shù)，以使輸出y(n)按某種準則逼近于期望響應。為描述濾波器具有零點和極點轉(zhuǎn)移函數(shù)的系數(shù)參數(shù)。濾波器輸出誤差=-是按某種準則，如均方誤差(mse)或遞歸最小二乘(rls)準則等，使最小化，可調(diào)整iir系數(shù)使輸出信號逼近于期望響應。圖3-1 自適應iir濾波器3.1.2

44、 方程誤差結(jié)構(gòu)形式自適應iir濾波器 圖3-2為方程誤差自適應iir濾波器的結(jié)構(gòu)框圖，其差分方程表示式如式(3-1)，可以看出，它被描述為非遞歸差分方程形式： (3-1) 顯然，這里，都是待調(diào)整的系數(shù)，下標“e”表示方程誤差法以區(qū)別輸出誤差方法。圖3-2 方程誤差結(jié)構(gòu)形式從式中可以看出，這是由兩個輸入單個輸出組成的濾波器。兩個輸為樣本輸入和期望輸入，輸出樣本沒有反饋回輸入端。所以，出是系數(shù)的線性函數(shù)，這大大簡化了梯度類算法，因為，是系數(shù)的函數(shù)，則對系數(shù)的導數(shù)是非遞歸的，且易于計算。利用延遲算子，式(3-1)可重新表述成更方便的形式： (3-2)式中，多項式表示時變?yōu)V波器，且有：， (3-3)，

45、 (3-4)值得注意的是中求和的下界從m=1開始，因此僅依賴于的延遲樣本，這種形式的表示法可用于在任何瞬時發(fā)現(xiàn)自適應濾波器的零點。例如圖3-2中，在每次系數(shù)更新后和系數(shù)被復制到逆濾波器之前，有必要檢測的零點，以確定逆濾波器是否是一穩(wěn)定系統(tǒng)。如果不是穩(wěn)定系統(tǒng)，則應采取某種措施，如在逆濾波器形成之前將它的根投影到單位圓內(nèi)等。方程誤差也是濾波器系數(shù)的線性函數(shù)，因此， 的均方函數(shù)是系數(shù)的二次函數(shù)。如果數(shù)據(jù)的相關陣非奇異，僅有一個全局最小點，則在很大程度上使方程誤差自適應iir濾波器都像一個自適應fir濾波器。而它們之間最主要的區(qū)別在于，方程誤差自適應iir濾波器把逆濾波器級聯(lián)到之后，它就是一個零點極點

46、模型，而自適應fir濾波器因=0，是一個嚴格的全零點模型。方差誤差自適應iir濾波器與自適應fir濾波器具有相似的自適應算法和相似的收斂性解，收斂速度和系數(shù)的穩(wěn)定性都是由hessian矩陣的特征值決定的。差分方程式(3-1)還可以表示成內(nèi)積的矩陣形式： (3-5)上式右邊的系數(shù)矢量和信號矢量的長度都是m+n-1，并分別定義為： (3-6) (3-7) 表達式(3-5)具有線性回歸的形式，為對應于待估計的參數(shù)，稱為包含測量數(shù)據(jù)的回歸矢量。這樣表示的結(jié)果使得可以利用數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)估計方法來對系數(shù)進行優(yōu)化，如用最大似然參數(shù)估計均方誤差方法、最小均方誤差(lms)算法和遞歸最小二乘(rls)方法等。

47、 3.1.3 iir濾波器的一般結(jié)構(gòu)根據(jù)前面所介紹的iir濾波器的傳遞函數(shù)可表示為： (3-8)假設濾波器有m個零點，n個極點，且濾波器參數(shù)可調(diào)，這樣可寫為： (3-9)圖3-3畫出了iir濾波器的一般結(jié)構(gòu)，其輸入為x，輸出為u。圖3-3 iir濾波器的一般結(jié)構(gòu)因此濾波器輸出可表示為以下形式： (3-10)3.2 有限沖激響應（fir）濾波器3.2.1 fir橫向型濾波器的一般結(jié)構(gòu)如圖3-4所示。這種結(jié)構(gòu)僅包含有由延遲級數(shù)所決定的有限個存儲單元，可歸結(jié)為有限沖激響應（fir）或橫向濾波器（kallman）。輸入信號被若干延遲單元延時，其延遲時間可以是連續(xù)的。這些延遲單元的輸出與存儲的一組權(quán)系數(shù)

48、依次相乘，將其乘積相加得到輸出信號。這意味著輸出是輸入信號與所存儲的權(quán)系數(shù)或沖激響應的卷積。這種濾波結(jié)構(gòu)僅包含有零點（因為沒有遞歸反饋單元），因此，若要獲得銳截止的頻率特性，則需要有大量的延遲單元。不過，這種濾波器始終是穩(wěn)定的，并能提供線性相位特性。圖3-4是橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖。圖3-4 橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)示意圖3.2.2 fir橫向性濾波器的工作原理如圖3-4所示，其中：自適應濾波器的輸入自適應濾波器的沖激 相應： (3-11)自適應濾波器的輸入： (3-12) (3-13)最常用的自適應算法是最小均方誤差算法，即lms算法，lms算法是一種易于實現(xiàn)、性能穩(wěn)健、應用廣泛的算法。所有的濾波器系數(shù)調(diào)整算法都是設法使接近