機(jī)械設(shè)計(jì)中病態(tài)問題求解方法(在機(jī)構(gòu)綜合中應(yīng)用)

1、機(jī)械設(shè)計(jì)中病態(tài)問題求解方法(在機(jī)構(gòu)綜合中應(yīng)用) 摘要本文應(yīng)用矩陣的“偽秩”概念，求解病態(tài)位置的機(jī)械設(shè)計(jì)問題。該方法計(jì)算穩(wěn)定性、收斂性好。 關(guān)鍵詞矩陣 偽秩 求解 病態(tài) 中圖分類號TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號1009-5349（2011）01-0080-03 引言 在機(jī)構(gòu)綜合、機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算中，常常出現(xiàn)線性方程組的求解問題，由于機(jī)構(gòu)參數(shù)、機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算不同位置以及非線性方程迭代的初始值選擇等會(huì)使要求解的方程組本身出現(xiàn)病態(tài)（奇異）或近病態(tài)（奇異）方程組。同時(shí)由于問題中的數(shù)據(jù)本身具有一定的誤差，加上計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算的過程中，由于計(jì)算機(jī)的字長有限，不可避免地要產(chǎn)生舍入誤差，這兩種誤差都會(huì)使現(xiàn)行

2、方程組出現(xiàn)病態(tài)（奇異）和近奇異問題。如對奇異位置和近病態(tài)位置問題求解不當(dāng)，所得到的計(jì)算結(jié)果并不是原始問題的解。本論文應(yīng)用矩陣“偽秩”概念求解病態(tài)（奇異）方程，該方法計(jì)算穩(wěn)定性、收斂性好，計(jì)算速度快。 一、計(jì)算問題的良態(tài)、病態(tài) 線性方程組Ax=b 式中：x是含n個(gè)未知量的n維向量。 b是一個(gè)m維向量。 A是mn階矩陣。 線性方程組的求解問題有兩種。一種是相容方程組的求解，它是指存在向量xR滿足方程組。另一種是不相容方程組的求解，方程組，當(dāng)mn或mn但矩陣A的秩小于m時(shí)，它是指不存在一般意義下的xR滿足方程組。這種方程又稱為矛盾方程組。 不論是相容方程組還是矛盾方程組，方程組的解為： x=A+b

3、式中：A+是矩陣A的廣義逆矩陣。當(dāng)矩陣A是一個(gè)nn階矩陣，且矩陣A秩等于n時(shí)，A+=A-，A-是矩陣A的逆矩陣。 在求解方程時(shí)，由于實(shí)際問題的數(shù)據(jù)誤差及計(jì)算機(jī)的舍入誤差，使得在應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解方程組時(shí)，實(shí)際上是求解一個(gè)攝動(dòng)方程： (A+A)(x+x)=b+b 式中A、x和b方程式矩陣A，常數(shù)變量b和未知變量x的攝動(dòng)量，根據(jù)Banach引理的推論可知，從理論上講只要A-A1且當(dāng)b、A都趨于零時(shí)， lim(x+x)=lim(A+A)-1(b+b)=A-b=x A0A0 x0b0 就是說只要A和b足夠小，總可以使解的攝動(dòng)量x小到任意規(guī)定的程度，而逆矩陣(A+A)-1也可以逼近到A-到任意的精確程度。實(shí)

4、際上它僅僅是一種純理論的結(jié)果，實(shí)際并非如此。其原因一方面是攝動(dòng)量是不可避免的。因?qū)嶋H問題中數(shù)據(jù)往往是由于實(shí)驗(yàn)測定或計(jì)算所得到的，數(shù)據(jù)誤差是不可避免的，另外計(jì)算機(jī)的字長限制不可避免地有舍入誤差存在；另一方面從計(jì)算機(jī)字長有限這一觀點(diǎn)來看，攝動(dòng)量的相對精度如A/A或b/b是有一定局限的，它們并不能任意小。 由上分析可知，對于一個(gè)給定的計(jì)算問題所必須研究的一個(gè)重要問題是：問題中參數(shù)的微小變動(dòng)，對問題的解會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響。這就是問題（理論）解對于參數(shù)變動(dòng)的敏感性問題。如果問題中參數(shù)的微小攝動(dòng)能所引起的相對攝動(dòng)不大，稱這種計(jì)算問題為良態(tài)問題。但是若問題中參數(shù)有微小的相對攝動(dòng)時(shí)，解會(huì)引起“巨大”的相對攝動(dòng)

5、，這種問題稱之為病態(tài)問題或是奇異問題。病態(tài)問題是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中普遍存在的問題。因此，在進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，如何判別問題的良態(tài)、病態(tài)、病態(tài)程度以及如何解決病態(tài)問題的求解是十分重要的。 二、病態(tài)程度的度量 對廣義逆矩陣的計(jì)算問題以及與其相關(guān)聯(lián)的最小二乘問題的病態(tài)程度，可用相應(yīng)的矩陣條件數(shù)k(A)來度量。 k(A)=A+A k(A)越大，“病態(tài)”越嚴(yán)重，k(A)越小，“良態(tài)”越好。 三、病態(tài)問題的處理方法 在許多實(shí)際計(jì)算問題中，所遇到的參數(shù)矩陣A常常是滿秩的（理論證明是滿秩的），但如果按滿秩進(jìn)行計(jì)算，不僅得不到好的計(jì)算結(jié)果，甚至?xí)褂?jì)算不能進(jìn)行下去。為解決此問題常采用降秩方法，引用矩陣的“偽秩”概念解決

6、病態(tài)問題。 設(shè)矩陣A是一個(gè)mn實(shí)矩陣，A=a1,a2,anT，其中ai是矩陣A的列向量。 定義 設(shè)為給定的一個(gè)正的小數(shù)，若 Ear+1/a1,a2,ar，Ear/a1,a2,ar-1 稱矩陣A的秩為r，其中E是向量對向量系相對相關(guān)指標(biāo)（1） 從實(shí)際計(jì)算的角度來講，病態(tài)方程的真秩往往是難以確定的。而實(shí)際在許多計(jì)算中，并不需要計(jì)算矩陣的真秩。重要的是，為使計(jì)算能得到較好的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)設(shè)法確定它的某一個(gè)-秩，即矩陣的偽秩。 為了控制矩陣A病態(tài)的危害程度，常根據(jù)實(shí)際精度適當(dāng)選取一個(gè)正小數(shù)來確定A的一個(gè)降秩近似，在計(jì)算中采取這種措施，就可以避免舍入誤差影響的惡化，從而提高算法的數(shù)值穩(wěn)定性。 四、矩陣偽秩的

7、確定和線性方程的求解 為計(jì)算矩陣A的偽秩，對矩陣A進(jìn)行LU分解。 設(shè)A是一個(gè)mn階矩陣，并假定偽秩r=Rank(A)，則A分解成一個(gè)mr的單位下三角陣L和rn的上三角陣U，即 A=LU 式中： 為了使計(jì)算不遇到不應(yīng)有的中斷，并且加強(qiáng)數(shù)值穩(wěn)定性，應(yīng)采取選主元的措施。本論文采取全面選主元法對矩陣 A作滿秩LU分解。 矩陣A的秩實(shí)際上事先并不知道，只能在計(jì)算過程中確定它的一個(gè)適當(dāng)?shù)闹?。為此，根?jù)實(shí)際計(jì)算要求，給定一個(gè)控制量(一般比計(jì)算機(jī)相對精度要大一些)，如果在第 k+1步所選的主元的絕對值小于時(shí)，就確定r=k，即為矩陣A的-秩。 矩陣A進(jìn)行L分解，方程的解為 x=uT(uuT)-1(LTL)-1L

8、Tb A+=uT(uuT)-1(LTL)-1LTb 五、例題及計(jì)算結(jié)果 （一）機(jī)構(gòu)剛體導(dǎo)引設(shè)計(jì) 圖1中，在連桿平面上任選一點(diǎn)C1，其坐標(biāo)為C1(XC1,YC1)。P12C1直線方程 P12C1直線繞轉(zhuǎn)動(dòng)極P12轉(zhuǎn)12/2后的直線方程為： 式中： P13C1直線方程是： P13C1直線繞轉(zhuǎn)動(dòng)極P13轉(zhuǎn)12/2后的直線方程為： 式中： 固定鉸鏈中心OC坐標(biāo)(XOC,YOC)為直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)，解得： 同理，在連桿平面上再另任選一點(diǎn)D1，固定鉸鏈中心OD的坐標(biāo)的計(jì)算同前（見圖1）。 由于C1、D1點(diǎn)是在連桿平面上任意選擇的，所以給定連桿平面的三個(gè)位置設(shè)計(jì)四桿機(jī)構(gòu)可有無窮多解。 圖1 【例】圖1所示，

9、A1(17.0，24.0)，B1(37.0，35.0)， A2(40.0，24.0)，a12=-63，A3(8.0，42.0)，a13=-30， C1(8.0，42.0)，D1(41.0，38.0)。編程計(jì)算得：OC(24.5，36.6)，OD(42.1，12.9)。 （二）機(jī)構(gòu)函數(shù)再現(xiàn)設(shè)計(jì) 圖2()所示，連架桿1、3對機(jī)架OAOB的三組對應(yīng)位置分別為、與、，相對應(yīng)位移是12和12及13和13。兩連架桿角位置的對應(yīng)關(guān)系僅與各桿的相對長度有關(guān)，適當(dāng)選取機(jī)架OAOB的長度。圖中OA、OB為固定鉸鏈中心，再任選定一個(gè)連架桿的長度，圖2(b)所示，在連架桿3上選取OBB1。連接OAB2、OAB3，將O

10、AB2OB剛化后繞OA反轉(zhuǎn) -12至OAB2OB，同理將OAB3OB剛化后繞OA反轉(zhuǎn)-13至OAB2OB。轉(zhuǎn)化后原連架桿OBB1變?yōu)檫B桿，即將函數(shù)再現(xiàn)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為剛體導(dǎo)引設(shè)計(jì)，轉(zhuǎn)化后得連桿的三個(gè)位置分別為：OBB1、OBB2、OBB3。由于固定鉸鏈中心OA、OB已確定，現(xiàn)在的設(shè)計(jì)任務(wù)是確定鉸鏈中心A和B的位置。為此通過 B2和B3坐標(biāo)B2(XB2,YB2)和B3(XB3,YB3)使用轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣RM計(jì)算B2和B3的坐標(biāo)B2(XB2,YB2)和B3(XB3,YB3)得： 圖2(c)，已知連桿三個(gè)位置OBB1、OBB2、OBB3確定鉸鏈中心A、B的位置可用以上介紹的剛體導(dǎo)引設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算。由于設(shè)計(jì)

11、時(shí)固定鉸鏈中心OA、OB及連架桿3的長度OBB1是任意選定的，所以已知連架桿三組對應(yīng)關(guān)系設(shè)計(jì)四桿機(jī)構(gòu)可有無窮多解。 () (b) (c) 圖2 【例】圖2所示，OA(0.0，0.0)，OB(35.0，0.0)， B1(30.0，16.0)，a12=42，a13=97，12=23，13=49。編程計(jì)算得：A1(-4.6，6.1) 六、結(jié)論 本論文引用矩陣“偽秩”概念求解病態(tài)線性方程組，用全面選主元法進(jìn)行矩陣LU分解。該方法在計(jì)算過程中可自動(dòng)確定方程系數(shù)矩陣的秩，可同時(shí)適用于良態(tài)和病態(tài)方程的計(jì)算，在機(jī)械設(shè)計(jì)計(jì)算中，穩(wěn)定性好、收斂性好、計(jì)算速度快。 【參考文獻(xiàn)】 1何旭初.廣義逆矩陣的基本理論和計(jì)算方法.上海科學(xué)技術(shù)出版社出版,198