2.4.2拋物線的簡單幾何性質教學案

1、2.4.2 拋物線的簡單幾何性質 （ 4 課時）主備教師：周雷鳳 輔備教師：馬能禮一、內容及其解析本次課學的內容是拋物線的一些基本性質， 其核心內容是拋物線的離心率及準線， 理解它 關本節(jié)課要鍵是先讓學生理解直觀的圖形，從中抽象出拋物線的性質。學生已經學過拋物線線概念和標準形式，本節(jié)課的內容拋物線的基本性質就是在其基礎上 的發(fā)展。由于它還與橢圓、雙曲線等圓錐曲線有密切的聯系，并有參照對比的作用。是拋物線 的核心內容。教學重點是拋物線的性質及范圍，解決重點的關鍵是引導學生動手、動腦，從圖 形的直觀得到拋物線性質的準確刻畫。二、目標及其解析1 、目標定位（1）了解拋物線的幾何性質；（2）會利用拋物

2、線的性質解決一些簡單的拋物線問題2、目標解析（ 1）是指：拋物線的 范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質（ 2）是指：能夠根據拋物線中準線與焦點之間的關系能求出拋物線的標準方程及軌跡方程等.三、問題診斷分析在本節(jié)拋物線性質的教學中， 學生可能遇到的問題是拋物線的一些基本概念會與其它圓錐 曲線的概念產生混淆， 產生這一問題的原因是學生對各種曲線的概念把握不清。 要解決這一問 題，就要類比著其它圓錐曲線的概念及性質學習，其中關鍵是借助圖形直觀類比。四、教學支持條件分析在本節(jié)課雙曲線的性質教學中， 準備使用多媒體輔助教學。 因為使用多媒體輔助教學有利 于學生對拋物線性質從直觀到具體的把握。五、教

3、學設計過程第一、二課時復習：問題 1：拋物線的概念？拋物線標準方程有哪幾種？他們的形式是怎么樣的？（設計意圖：讓學生先回顧拋物線概念和標準方程，為探究拋物線性質做好準備）自學閱讀教材第 P68 P69 頁，完成下列問題：1拋 物線的幾何性質 :互學、導學問題一 拋物線的幾何性質有哪些？（設計意圖：讓學生充分認識拋物線）（師生活動：結合圖像，各組研討，最好教師歸納小結）問題 1：類比橢圓、雙曲線的幾何性質，結合圖象，說出拋物線y22px （ p0）的范圍、對稱性、頂點、離心率怎樣用方程驗證？2 2 2 2問題 2：類比拋物線 y22px ( p0) ，拋物線 y2 2px( p0) 、x2 2p

4、y( p0) 、x22py( p0)的性質如何呢？問題 3：通過拋物線的幾何性質，怎樣探求拋物線的標準方程？ 答：求拋物線的標準方程， 主要利用待定系數法， 要根據已知的幾何性質先確定方程的形 式，再求參數 p.例 1 ( 教材 P68 例 3 )已知拋物線關于 x 軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點M 2, 2 2 ，求它的標準方程 .【方法歸納】(1) 注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點實現兩個距離之間關于拋物線的頂點對稱(2) 解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其

5、中，通過定義的運用，的轉化，簡化解題過程變式訓練 1：若 y2x 上一點 P到準線的距離等于它到頂點的距離，A. 14，B. 18，C.14，D. 18，則 P 的坐標為 ( B )42解：由知， P 到焦點 F 的距離等于它到頂點 O的距離，因此點 P 在線段 OF的垂直平分線上，而F 41，0 ，所以P點的橫坐標為81，代入拋物線方程得 y 42，故點P的坐標為 81， 42問題二拋物線的焦點弦問題(設計意圖：讓學生了解焦點弦的重要性，體現團結合作的智慧)(師生活動：小組討論分析、總結答案，教師歸納結論)問題 1：什么是拋物線的焦點弦？過焦點的弦長如何求？解：拋物線 y22px ( p0)

6、的過焦點的弦長 | AB| x1x2p，其中 x1，x2分別是點 A，B 橫坐標的絕對值；拋物線 x22py ( p0)的過焦點的弦長 | AB| y1y2p，其中 y1，y2 分別 是點 A，B 縱坐標的絕對值 .問題 2：拋物線的通徑是什么？例 2 已知直線 l 經過拋物線 y26x 的焦點 F，且與拋物線相交于 A、B 兩點 (1)若直線 l 的傾斜角為 60，求| AB|的值；(類似教材 P73習題2.4 第5題)(2) 若|AB| 9，求線段 AB的中點 M到準線的距離32所以直線 l 的方程為 y 3 x 2解：(1) 因為直線 l 的傾斜角為 60，所以其斜率 ktan 60 3

7、，2 y 6x ， 29 聯立 3消去 y 得 x 5x 4 0.y 3 x24若設 A(x1，y1) ，B( x2， y2) 則 x1x25，pp而|AB|AF| |BF| x12x22x1x2p.|AB| 538.(2) 設 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，由拋物線定義知pp| AB| | AF| | BF| x12x2 2x1x2px1x23，3所以 x1x26，于是線段 AB的中點 M的橫坐標是 3，又準線方程是 x 2，39所以 M到準線的距離等于 322.【歸納方法】(1) 解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長 度轉化為端點的坐標問題，從

8、而可借助根與系數的關系進行求解(2) 設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論變式訓練 2：(教材 P69例4)斜率為 1的直線l經過拋物線 y2 4x的焦點 F ，且與拋物線 相交于 A ， B兩點，求線段 AB 的長.問題三 探究和拋物線有關的軌跡方程(設計意圖：讓學生學會簡單軌跡方程的求法) 問題 1：怎樣判斷一個動點的軌跡是拋物線？(師生互動：小組討論得出結論，教師補充)答： (1) 如果動點滿足拋物線的定義，則動點的軌跡是拋物線；(2) 如果動點的軌跡方程是拋物線的方程形式，則該動點的軌跡是拋物線 例3 已知點A在平行于 y軸的直線 l 上，且 l 與x軸的交點為(4,0)

9、動點 P滿足AP平行于 x軸，且OAOP，求 P點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀解：設動點 P的坐標為 （ x， y） ，則由已知得 A點坐標為 （4 ，y） ，所以OA（4 ，y） ， OP（x，y） 因為 OAOP，所以 OAOP0，因此 4xy20，即 P 的軌跡方程為 4xy20. 軌跡的形狀為拋物線【方法歸納】求解圓錐曲線的軌跡方程的方法： 一是代數法： 建立坐標系設點找限制條件 代入等量關系化簡整理，簡稱“建設限代化”；二是幾何法：利用曲線的定義、待定系 數但要特別注意不要忽視題目中的隱含條件，防止重、漏解變式訓練 3：（教材 P74習題 2.4 B 組第 1 題）從拋物線 y2 2

10、px p0 上各點向軸作垂線 段，求垂線段中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線？（ y2 1 px p0 ）六、小結1討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質，也可以根據 待定系數法求拋物線的方程2解決拋物線的軌跡問題，可以利用拋物線的標準方程，結合拋物線的定義七、目標檢測（檢學）教材 P72練習第 1、2、3 題八、配餐作業(yè)A組1拋物線 ymx2 （ m0) 的焦點為 F,點 A(0,2). 若線段 FA的中點 B在拋物線上 ,則B到該拋物線準線的距離為2,代解析】由拋物線 y2=2px(p0), 得焦點 F的坐標為,則FA的中點 B的坐標為入拋物線方程得 , 2p =1

11、, 所以 p= , 所以 B點到準線的距離為 + = p= . C組6.拋物線 y2=4x的焦點為 F,點 P為拋物線上的動點 ,點M為其準線上的動點 ,當 FPM為等邊三. 4角形時, 其面積為,則M(-1,m), 等邊三角形邊長為 1+ ,F(1,0),【解析】據題意知 , PMF為等邊三角形時 ,PF=PM,所以 PM垂直拋物線的準線 , 設P所以等邊三角形邊長為 4, 其面積為 4 .所以由 PM=FM得, 1+ = , 解得 m2=12,7. (選作)設 O為坐標原點 ,F 為拋物線 y2=4x的焦點,A 為拋物線上一點 , 若 =-4, 求點A的坐標.【解析】由 y2=4x,知 F

12、(1, 0),因為點 A在 y2=4x上,所以不妨設 A( ,y), 則 =( ,y), =(1- ,-y). 代入 =-4 中, 得 (1- )+y(-y)=-4, 化簡得 y4+12y2-64=0.所以 y2=4或 y2=-16( 舍去), 所以 y=2.所以點 A的坐標為(1,2) 或(1,-2).九、教后反思第三、四課時(習題課)、復習提問：其中 P x0,y0 為拋物線上任一點二、評講配餐作業(yè) 47 題三、典例分析題型一 拋物線的幾何性質例題1（學樂時空第 41頁） 變式訓練 1 （學樂時空第 4142頁練習 1與練習 2） 題型二 拋物線的幾何性質的應用例題 2（學樂時空第 42頁例題 1） 變式訓練 2 （學樂