國際電工委員會威布爾分析

1、國際電工委員會威布爾分析前言1）國際電工委員會（IEC）是一個由各國家電工委員會（IEC 國家委員會）組成的世界性標(biāo)準(zhǔn)化組織。IEC 的宗旨是為了促進(jìn)電氣和電子領(lǐng)域所有關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)化問題的國際合作。為此，除了其他活動，IEC 還公布了國際標(biāo)準(zhǔn)、技術(shù)規(guī)范、技術(shù)報告、公共可用規(guī)范（PAS）和指南（以下簡稱“IEC 刊物”）。其籌備委托給技術(shù)委員會；任何對涉及的主題感興趣的 IEC 國家委員會可參與標(biāo)準(zhǔn)的制定工作。與 IEC 聯(lián)絡(luò)的國際、政府和非政府組織也可參與標(biāo)準(zhǔn)的制定工作。IEC 與 ISO（國際標(biāo)準(zhǔn)化組織）兩個組織在協(xié)商一致的條件下展開密切合作。2）因為 IEC 的各個技術(shù)委員會來自所有感興趣的國

2、家委員會，所以 IEC 有關(guān)技術(shù)問題的正式?jīng)Q定或協(xié)議最可能地代表了相關(guān)問題的國際大多數(shù)人的觀點。3）IEC 刊物以建議書的形式供國際使用并被 IEC 國家委員會所接受。同時作出一切合理的努力來確保 IEC 刊物技術(shù)內(nèi)容的準(zhǔn)確性，IEC 不就最終用戶對該等刊物的使用方式或任何曲解負(fù)責(zé)。4）為促進(jìn)國際一致性，IEC 國家委員會承擔(dān)了在其國家和地區(qū)刊物上最大程度地應(yīng)用 IEC 刊物的責(zé)任。任何與 IEC 刊物有分歧的國家或地區(qū)刊物都應(yīng)在后者中明確說明。5）IEC 提供一個無標(biāo)記得程序來表明它的決議，也不能為任何聲稱符合 IEC刊物要求的設(shè)備負(fù)責(zé)。6）所有用戶應(yīng)確保得到該刊物的最新版本。7）IEC 或

3、其主管、職員、雇員或代理商（包括技術(shù)委員會和 IEC 國家委員會的專家及其成員）不對任何人身傷害、財產(chǎn)損壞或其他任何性質(zhì)的損害以及因使用或依賴 IEC 刊物或任何其他 IEC 刊物而招致的成本（包括律師費）和費用承擔(dān)責(zé)任，無論是直接的還是間接的。8）注意本刊引用的標(biāo)準(zhǔn)參考書目，參考刊物的使用對本刊物的正確應(yīng)用必不可少。9）請注意：IEC 刊物的一些內(nèi)容可能涉及專利權(quán)主題。IEC 不應(yīng)對確定任何或所有該等專利權(quán)負(fù)責(zé)。國際標(biāo)準(zhǔn) IEC 62506 已由技術(shù)委員會（TC56）編制：該標(biāo)準(zhǔn)的案文基于下列文件：FDIS表決報告56/1269/FDIS56/1281/RVD關(guān)于該標(biāo)準(zhǔn)的審批表決的全部資料可

4、以在上述表格注明的表決報告中找到。本刊物已按照 ISO / IEC 指示第 2 部分進(jìn)行起草。該委員會已決定本刊物的內(nèi)容將保持不變，直到 IEC 在其官方網(wǎng)站http:/webstore.iec.ch 上有關(guān)具體刊物的數(shù)據(jù)中公布維護(hù)日期 1為止。屆時，舊的版本將被：重新確認(rèn)，撤回，新版本取代，或修改。1 要求國家委員會注意該刊物的維護(hù)日期-介紹威布爾分布用來模擬失效率遞增，遞減或保持恒定的數(shù)據(jù)。它適合應(yīng)用于多種數(shù)據(jù)中。不是所有的失效間隔時間，故障間隔里程都需要記錄。即使不是所有的樣品都失效也能得到壽命分布。1 范圍威布爾分析本標(biāo)準(zhǔn)提供了利用連續(xù)變量（失效時間，失效里程或機(jī)械應(yīng)力等）來分析威布爾

5、數(shù)據(jù)的一些方法。本標(biāo)準(zhǔn)適用于隨機(jī)樣本在試驗條件或工作條件下得到的有效失效數(shù)據(jù)，其目的是估計總體的可靠性指標(biāo)。本標(biāo)準(zhǔn)適用于獨立同分布數(shù)據(jù)。獨立同分布條件需要檢驗（見 IEC 60300-3-5）。本標(biāo)準(zhǔn)廣泛采用數(shù)值與圖形方法進(jìn)行數(shù)據(jù)點繪制，擬合優(yōu)度檢驗，估計二參數(shù)或三參數(shù)威布爾分布并繪制置信限。2 參考標(biāo)準(zhǔn)下列引用文件對應(yīng)用該文件是必不可少的。凡是注明日期的引用文件，只有引用的版本適用。凡是未注明日期的引用文件，引用文件（包括任何修訂） 的最新版本適用。3 術(shù)語，定義，縮寫和符號。為本國際標(biāo)準(zhǔn)文件之目的，IEC（60050）（191）：1990和下文給出的術(shù)語和定義適用3.1 術(shù)語和定義3.1.

6、1截尾在給定的試驗時間或給定的失效數(shù)后終止試驗注意如果一個試驗在其終止后還存在未失效樣品，我們稱它為“截尾試驗”，試驗中得到的時間數(shù)據(jù)被稱為“截尾數(shù)據(jù)”。3.1.2 懸掛數(shù)據(jù)非關(guān)聯(lián)的失效數(shù)據(jù)。注意 1 樣品沒有失效，或者不是在相關(guān)的失效模式小失效的。注意 2 “早期懸掛”是指在第一個正常失效前的懸掛數(shù)據(jù)。“晚懸掛”是指最后一個正常失效后的懸掛數(shù)據(jù)。3.1.3 壽命試驗為估計或驗證產(chǎn)品耐久性而開展的試驗。注意3.1.4 不可修樣品在給定的條件下，樣品在失效后不能回到工作狀態(tài)。注意 所謂給定條件一般指技術(shù)上，經(jīng)濟(jì)上，環(huán)境上的因素。3.1.5 運行時間樣品處于運行狀態(tài)的時間注意 運行時間是一般的提法

7、，具體應(yīng)按照樣品的使用性質(zhì)來界定，比如，時間， 操作循環(huán)，距離。3.1.6 關(guān)聯(lián)失效可以用來計算產(chǎn)品可靠性性能的故障。3.1.7 可靠性試驗為了了解、評價、分析和提高產(chǎn)品可靠性水平而進(jìn)行的試驗。注意 1 可靠性試驗與環(huán)境試驗的目的不同，環(huán)境試驗的目的是考核產(chǎn)品在各種環(huán)境（振動、沖擊、離心、溫度、熱沖擊、潮熱、鹽霧、低氣壓）條件下的適應(yīng)能力。注意 2 環(huán)境試驗是評價產(chǎn)品可靠性的重要試驗方法之一。3.1.8可修樣品在給定的條件下，樣品在失效后能回到工作狀態(tài)。注意 所謂給定條件一般指技術(shù)上，經(jīng)濟(jì)上，環(huán)境上的因素。3.1.9失效時間從首次使用或貯存到失效的累計時間。3.1.10故障間隔時間兩個連續(xù)故障

8、之間的時間間隔。3.1.11B 壽命L 分位數(shù)一定比例樣品失效的時間注意 B10 表示 10%的樣品失效的時間。有時也可用 L 表示。50%樣品失效的時間即 B50 是失效中位數(shù)。3.2 縮寫ASIC 具體應(yīng)用集成電路CDF 累計分布函數(shù)PDF 概率密度函數(shù)MLE 極大似然估計MRR 中位秩回歸MTTF 平均故障間隔時間3.3 符號t 時間-變量h 威布爾特征壽命或尺度參數(shù)b 威布爾形狀參數(shù)t0 分布原點或無故障時間r 2 相關(guān)系數(shù)f(t) 概率密度函數(shù)F(t) 累計分布函數(shù)h(t) 風(fēng)險函數(shù)l(t)瞬時失效函數(shù)H(t) 累計風(fēng)險函數(shù)F1 失效模式 1 下的失效數(shù)F2 失效模式 2 下的失效數(shù)

9、F3 失效模式 3 下的失效數(shù)4 應(yīng)用范圍表 1 表明了本標(biāo)準(zhǔn)的的應(yīng)用范圍。本標(biāo)準(zhǔn)給出了基于不同數(shù)據(jù)類型估計威布爾參數(shù)的三個主要方法即圖像法，數(shù)值計算法和威布爾貝葉斯法。表 1 IEC 61649 應(yīng)用范圍方法/數(shù)據(jù)類型圖像法數(shù)值計算法威布爾貝葉斯區(qū)間截尾NC多截尾NC單截尾零失效NCNC小樣本（ 1.0 ，威布爾分布的瞬時失效率隨著時間遞增。當(dāng)b30 時可直接采用 Fi = (i / N ) 100%7.2.2 繪制威布爾分布圖對失效數(shù)據(jù)做變換后，有三種方法繪制威布爾分布圖1，威布爾概率紙（見附錄 F）2，計算機(jī)電子制表軟件（附件 E 給出了實例）3，商業(yè)即時軟件7.2.3 懸掛數(shù)據(jù)與截尾數(shù)

10、據(jù)的處理試驗結(jié)束時未失效的樣品稱為截尾數(shù)據(jù)，試驗中失效但與其他失效樣品的失效機(jī)理不同的樣品叫做懸掛數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)也是不能忽視的。懸掛數(shù)據(jù)的失效時間則必須考慮在數(shù)據(jù)分析中。下面的公式給出了計算調(diào)整秩的方法而不需要增加秩。這一方法需要取每一個失效的逆秩序。由于未定數(shù)據(jù)的存在，公式 7 計算了調(diào)整秩。調(diào)整秩= 逆秩序前 次失效的調(diào)整秩N+1()逆秩序+1Table3 中有三個懸掛數(shù)據(jù)，根據(jù)上式計算了調(diào)整秩。在這個例子中，將調(diào)整秩代入 Benards近似公式來計算中位秩 s 因為如果想查中位秩表則需要用到插值。注意：如果有兩個樣品同時失效，須給它們不同的秩。在有懸掛失效數(shù)據(jù)的情況下利用 Bernard

11、s 近似公式計算中位秩和估計威布爾分布參數(shù)是足夠準(zhǔn)確的。此時的“i”是調(diào)整秩而 N 是失效數(shù)與懸掛數(shù)的總和。調(diào)整秩為 1.125 的失效點的中位秩計算如下：Figure 2 是含有懸掛點的威布爾概率圖。以下是繪出帶有懸掛點數(shù)據(jù)線的步驟：a) 給所有的失效點（包括未定點）排序，從第一個到最后一個。b) 為失效點（不包括未定點）計算調(diào)整秩。c) 用 Bernards 近似公式計算中位秩d) 將失效時間（x 軸）和中位秩(y 軸)標(biāo)在威布爾紙上e) 從圖中找到 B63.2 來估計hf)在概率紙上用直尺或特殊 beta 尺度估計b.g) 圖形解算7.2.4 概率描點人工或者用計算機(jī)將數(shù)據(jù)點畫在威布爾概

12、率紙上，我們就可以檢查這些數(shù)據(jù)是否符合威布爾分布。一個十分主觀的方法是看看這些點能不能大致的連成一條直線。7.2.5 檢查擬合度如果數(shù)據(jù)都集中在概率紙上某條直線的兩側(cè)，可以認(rèn)為這些數(shù)據(jù)服從該分布。然而個別遠(yuǎn)離直線的孤立點讓我們很難看出數(shù)據(jù)的擬合程度?？ǚ綑z驗， Kolmogorov-Smirnoff ,Nancy Manns 檢驗等數(shù)理統(tǒng)計方法都可以計算擬合優(yōu)度。本標(biāo)準(zhǔn)采用相關(guān)系數(shù)法。其中 xi 是失效時間， yi 是中位秩， x 是 xi 的平均值， y 是 yi 的平均值，N 是樣本量。r 2 可以看成是實際數(shù)據(jù)和威布爾分布的差異比，它越接近 1，數(shù)據(jù)越符合威布爾分布，它越接近 0，數(shù)據(jù)越

13、不符合威布爾分布。相關(guān)系數(shù) r 被用來衡量兩個變量之間的線性程度。“r”的取值介乎于+1 和-1 之間，這取決于直線的斜率。如果用計算機(jī)電子制表軟件給數(shù)據(jù)描點，作為輸出結(jié)果的一部分，只要數(shù)據(jù)點之間有直線趨勢，軟件會給出相關(guān)系數(shù)（通常是一個選項）。類似的，其他商業(yè)軟件也提供相關(guān)系數(shù)。只有當(dāng)視覺檢查和和觀測一致時，可用此方法。譯者注：這里描述上有問題，應(yīng)該是 x = ln(t ) ， y= lnln(-1) ，其中iiiti 和 F (ti ) 才是失效時間，和中位秩。1- F (ti )7.3 風(fēng)險繪圖威布爾概率繪圖法先用中位秩估計了累計失效比例，即 F(t),然后結(jié)合每次失效時間，將點標(biāo)在威布

14、爾分布概率紙上。風(fēng)險繪圖法首先估計瞬時失效率或失效函數(shù)l(t) = h(t) =f (t)1- F (t)累計失效函數(shù)：tH (t) = 0 h(t)dt = -ln1- F (t)對于威布爾分布： t bhH (t) = 對上式兩邊求對數(shù)：ln(H (t) = bln(t) - bln(h)威布爾風(fēng)險紙是一張 ln-ln 紙，名義上的斜率是b，當(dāng) H (t) = 1時t =h。注意：自然對數(shù)和以 10 為底對數(shù)都可以。雖然威布爾風(fēng)險紙在很多國家都通用，但是利用以下變換就可以在普通的威布爾概率紙上使用這一方法。F (t) = 1- e-H (t)用計算機(jī)電子制表軟件十分容易計算。風(fēng)險繪圖的步驟

15、如下：a) 給所有的失效點（包括懸掛點）排序，從第一個到最后一個。b) 對于每次失效，計算瞬失效率。瞬時失效概率=1/每次失效后和懸掛后所剩的未失效樣品c) 對每次失效，將之前的瞬時失效率加和，得到累計風(fēng)險函數(shù)的估計。d) 將累計風(fēng)險估計值和相應(yīng)的失效時間畫在 ln-ln 紙和 log-log 紙上e) 將數(shù)據(jù)點連成直線f)估計參數(shù)附錄 E 給了一個算例。IEC61810-2 也給出了利用風(fēng)險函數(shù)估計參數(shù)的例子。8 威布爾概率繪圖的注解常用的浴盆曲線（見圖三）表明在產(chǎn)品的整個壽命周期中威布爾分布形狀參數(shù)b與瞬時失效率的關(guān)系。事實上并不是任何樣品在壽命周期中都能顯出這種特性來。8.1.2 b 1

16、 表示早期失效電子和機(jī)械系統(tǒng)都有比較高的早期失效率。制造商會開展諸如生產(chǎn)過程控制、生產(chǎn)驗收試驗，燒透試驗或可靠性應(yīng)力篩選試驗來避免早期失效。形狀參數(shù)b 1表示耗損失效以下是一些典型的耗損失效例子：-磨損-腐蝕-裂紋擴(kuò)展-疲勞-潮濕-擴(kuò)散-蒸發(fā)-累計損傷設(shè)計應(yīng)該保證以上現(xiàn)象不要很大程度上影響產(chǎn)品失效概率。三參數(shù)威布爾分布要估計最早失效時間，這對于形狀參數(shù)大于 1 的情況是十分有利的。8.2 未知威布爾失效模式可能被遮蓋如果試驗中有兩種以上的失效模式且它們的形狀參數(shù)值較大而且彼此的尺度參數(shù)相差巨大，其中一些失效模式也許會被遮蓋。對于小樣本而言，大多數(shù)樣品都會按照具有較小尺度參數(shù)的失效模式而失效。其

17、他的失效模式在剔除第一種失效模式后才能被識別。Figure 4 是兩個失效模式相互競爭的例子8.3 小樣本對小樣本可以進(jìn)行威布爾分析。然而小樣本限制了估計的置信限。小樣本會對參數(shù)估計帶了更多的不確定性。自然的，增加樣本量可以提高估計的精度。Figure5 和 Figure6給出了例子（B 壽命估計的置信度是 90%。Figure 6 的區(qū)間明顯小得多）90 % Bife boundsWeibull CDF70110Time to failure10 000fF0 ?32IO8Figure 5 Sample size: 107090 % Bife boundsWeibull CDF1Time t

18、o failure10 000IEC 1328/0 8Figure 6 Sampl e size: 100威布爾分布估計在尾部有很大的不確定性，因為試驗失效數(shù)目很小，失效時間較早，F(xiàn)（t）的估計值十分不準(zhǔn)確。所以要有 20 個以上的失效和懸掛失效才能基本上判定樣本是否服從威布爾分布。8.4 局外點有時，數(shù)據(jù)集的第一個點或最后一個點由于某種原因?qū)嶋H上不是該數(shù)據(jù)集的成員，這種數(shù)據(jù)點被稱為局外點。這些點對壽命數(shù)據(jù)分析很重要，因此需要調(diào)查數(shù)據(jù)記錄，測試記錄，儀器校正等工程因素，進(jìn)而確認(rèn)產(chǎn)生這些極端散點的原因。局外點有時也表明較弱的總體，過程缺陷。總而言之，局外點對于確定產(chǎn)品的可靠性起著至關(guān)重要的作用。

19、8.5 非線性繪圖的解釋如果威布爾概率紙上的數(shù)據(jù)點呈曲線分布，就表明參數(shù)t0 是非零的(見 Figure 7)。檢查這些數(shù)據(jù)點是否含有多于一個的失效模式是十分必要的。如果真實這樣， 參考附錄 G 并考察這些失效模式之間是否存在競爭還只是簡單的混合。最小壽命不是“零時間”，而是存在一個最小壽命或最小的“忍耐”時間。例如，一種失效模式不可能同時產(chǎn)生數(shù)個失效。Figure 8 的數(shù)據(jù)和 Figure 9 是相同的，只是對數(shù)據(jù)進(jìn)行了 2.99 個月的平移。Figure 8 呈現(xiàn)了一個線性擬合，還表明了一個無失效區(qū)（3 個月）。無失效區(qū)內(nèi)樣品失效的概率是零。把 Figure 7 中每個數(shù)據(jù)點減去t0 就

20、可以獲得 Figure 8.注意，如果想轉(zhuǎn)換成真實的失效時間，要加上t0 。只有通過明確的技術(shù)分析，才能主張使用三參數(shù)威布爾模型。附錄 H 又給出了一個三參數(shù)威布爾分布的例子。因為形式上的復(fù)雜性，三參數(shù)威布爾分布比兩參數(shù)威布爾分布模型有更好的擬合度。要達(dá)到下面三個標(biāo)準(zhǔn)才能使用三參數(shù)威布爾分布：a) 威布爾圖顯示出一定的凹曲度。b) 有物理因素解釋t0 前不可能發(fā)生失效的原因。c) 最少有 21 個有效的失效數(shù)據(jù)。如果從以往的經(jīng)驗看三參數(shù)擬合比較合適， 可以接受較少的失效數(shù)據(jù)，比如 8 到 10 個均可。威布爾數(shù)據(jù)圖呈現(xiàn)上凸的情況比呈現(xiàn)下凹的情況要多出很多。下凹圖表明t0 是負(fù)的，這說明樣品在試

21、驗前已經(jīng)經(jīng)歷損傷失效期了。有很多方法估計t0 。威布爾數(shù)據(jù)圖與時間軸的交點就可以近似認(rèn)為是t0 。如果早期的失效數(shù)據(jù)缺失， t0 可以用來補(bǔ)償這些缺失的數(shù)據(jù)。參看 Figure 9總而言之，上凸的數(shù)據(jù)圖表示原點需要向右移動，給數(shù)據(jù)減去t0 得到一條直線擬合。下凹的數(shù)據(jù)圖必須向左移動，給數(shù)據(jù)加上t0 得到直線擬合?！皩嶄洝睍r間坐標(biāo)上的圖更容易被理解。8.5.1 其他分布如果數(shù)據(jù)在威布爾圖上不呈直線，可以考慮其他的分布。我們要使用與數(shù)據(jù)擬合得最好的分布。例如，對數(shù)正態(tài)分布雖不屬于威布爾分布族但在壽命分析中有者廣泛的應(yīng)用。符合對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)在威布爾概率紙上呈上凸圖，而相同的數(shù)據(jù)在對數(shù)正態(tài)概率紙上

22、呈現(xiàn)一條直線。如果數(shù)據(jù)在三參數(shù)威布爾分布圖上呈直線，或在兩參數(shù)威布爾分布圖上呈上凸曲線，那么三參數(shù)威布爾分布和對數(shù)正態(tài)模型都可以來擬合數(shù)據(jù)。8.5.2 數(shù)據(jù)的不一致性和多重失效模式基于威布爾數(shù)據(jù)圖，可以猜測出工程上的失效原因。這個猜測還需要失效分析的進(jìn)一步應(yīng)證。例子：a) 一連串失效也表明有批問題b) 數(shù)據(jù)在威布爾分布圖上呈現(xiàn)一個“狗腿”，很有可能存在一個失效模式的組合c) 第一個和最后一個失效點很可能是據(jù)外點，這表明是數(shù)據(jù)的問題或者可能完全是另一種失效模式造成的。9 計算方法和擬合優(yōu)度9.1 介紹極大似然估計法是一種針對大樣本的計算方法在眾多估計威布爾分布參數(shù)的方法中,極大似然估計法的好處是

23、允許使用復(fù)雜的截尾數(shù)據(jù)和懸掛數(shù)據(jù)。先用擬合優(yōu)度檢驗檢查數(shù)據(jù)是否滿足威布爾分布。如果假設(shè)沒有被拒，直接開展極大似然估計法。第七第八9.2 假設(shè)和條件從總體中抽出含有 n 個不可修樣品，于 t=0 時刻對這些樣品開展試驗。所有被試品應(yīng)施加相同的試驗條件，失效的樣品不能被更換。當(dāng)試驗在時刻Tr 結(jié)束時，有 r 個樣品失效。r 次失效的時間是： t1 , t2 ,., tr .9.3 范圍與準(zhǔn)確性此方法只對十個以上的關(guān)聯(lián)故障有效。置信區(qū)間是近似的。多重刪失數(shù)據(jù)不考慮極大似然估計對大樣本十分有效。雖然極大似然估計可以用于大量的刪失數(shù)據(jù)與懸掛數(shù)據(jù)，這里只討論含有單一刪失數(shù)據(jù)的情況。9.4 數(shù)據(jù)的輸入與輸出

24、待分析的數(shù)據(jù)集是由不可修樣品的失效時間組成的。這些數(shù)據(jù)都是確切的時間而非粗略的時間區(qū)間。因為試驗可以在所有樣品失效前就停止，所以沒有必要對全部樣品的失效時間進(jìn)行檢驗。輸入：被試品總數(shù) n每個失效樣品的失效時間，按升序列出： t1 , t2 ,., tr顯著性水平,g和置信度1- r輸出：接收/拒收擬合優(yōu)度尺度參數(shù)h和形狀參數(shù)b的點估計與置信區(qū)間平均失效時間的點估計10%的樣品失效時間（B10）的置信下限可靠性函數(shù) R(t)的置信下限9.5 擬合優(yōu)度檢驗步驟一：將 r 個失效時間按升序排序，再對它們?nèi)∽匀粚?shù)ln(t1 ) = x1 , ln(t2 ) = x2 ,., ln(tr ) = xr

25、步驟二：計算, i = 1 到i = r -1步驟三：計算 H符號 是表示小于或等于 x 的最小整數(shù)。步驟四：如果就拒絕數(shù)據(jù)服從威爾布爾分布的假設(shè)。否則就可以接下來分析9.6 極大似然估計法參數(shù)h和b的的點估計威布爾分布參數(shù)的極大似然估計可以通過下面方程的數(shù)值解得到。滿足第一個方程的解就是b的極大似然估計，這個解被用于第二個方程解出h的極大似然估計。步驟一：找到下面方程的解b步驟二：用上式的結(jié)果在下面的方程中算出h9.7 平均失效時間的點估計平均失效時間的點估計mG(z) 是伽瑪函數(shù))1m =hG(1+ bTable D.1 給出了G(1+ 1 ) ，對于表中沒有列出的b值，可以使用線性插值。

26、b9.8 失效分位數(shù)（10%）的點估計用下面的公式估計 B10 ：9.9 t 時刻可靠度函數(shù)的點估計9.10 軟件編程有很多統(tǒng)計軟件和可靠性軟件都利用圖像法或極大似然估計給出威布爾參數(shù)的估計。10 置信區(qū)間10.1 b的區(qū)間估計步驟一：計算常數(shù) C, b和b ，利用比率q = r12nC = 2.14628 -1.36119q自由度(r -1)C 不是整數(shù)，需要用計算機(jī)計算卡方值?；?qū)?ISO 提供的表格進(jìn)行插值步驟二：計算數(shù)乘因子w1 和w21w = b1 1+q21 rC 1w = b2 1+q22 rC 步驟三：計算參數(shù)b置信度為(1-g)100% 的區(qū)間估計(w1 b, w2 b)注意

27、b的置信區(qū)間可用于比較。b 1表明損失失效b 1 表明早期失效，置信區(qū)間可以測試這些性質(zhì)。反過來，如果置信區(qū)間中含有b= 1，被試品很可能來自一個常是效率的總體。10.2 h的區(qū)間估計步驟一：計算常數(shù) A 、 A 和 A ，利用比值q = r456n：步驟二：如果在試驗結(jié)束后還有沒有失效的樣品，即r 1），h的 C%置信下限由下士給出：h =h(2r / c2 (2r + 2)(1/b)cMLEc用hc 和b，真實威布爾貝葉斯線的置信下限便可以確定了。12.5 威布爾貝葉斯方法案例在對一批飛行器引擎開展的一批可靠性試驗中出現(xiàn)了 15 個壓縮機(jī)的故障。同過威布爾分析得到了參數(shù)b大概在 5.0 左

28、右。對三個壓縮機(jī)重新設(shè)計后分別投入試驗 1600 小時，2900 小時，3100 小時而未發(fā)現(xiàn)故障。這能否說明新設(shè)計的壓縮機(jī)可靠性顯著高于舊設(shè)計。假設(shè)b= 5 以及三個刪失數(shù)據(jù)，用威布爾貝葉斯分布估計出的特征壽命為：h= (1600)5 + (2900)5 + (3100)5 1/51= 3468Figure 10 是本例的威布爾貝葉斯分布線，它顯然在原威布爾線右邊。真實的威布爾線有 63%的可能位于威布爾貝葉斯的右側(cè)，這表明重新設(shè)計顯著提高了壓縮機(jī)的可靠性，很有可能是新設(shè)計方案改變了之前的失效方式。如果我們有更 多這些零件的無故障運行時間數(shù)據(jù)，威布爾貝葉斯線將更加向右原理原分布線。（本例是基

29、于威布爾失效模式的假設(shè)。）在對高可靠性產(chǎn)品進(jìn)行試驗時，我們只能觀測到很少的故障信息，例如，零失效或著單失效。在這種情況下無法對二參數(shù)或三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行估計。如果能夠通過先驗試驗數(shù)據(jù)和失效模式給出參數(shù)b的值，即使在零失效或著單失效的情況下，也可以進(jìn)行較粗略的估計。13 突發(fā)死亡方法突發(fā)死亡試驗需要把樣品分成幾個小組，每個小組有 3 到 8 個樣品，運行所有的樣品直到第一個故障發(fā)生。也就是說，對于一個含有 4 個樣品的小組，有一個失效信息和三個截尾數(shù)據(jù)。十個這樣的小組就有 10 個失效信息和 30 個截尾數(shù)據(jù)。和通常的方法相比，突發(fā)死亡法縮短了試驗時間卻帶來了更大的不確定性。比如，在軸承制造行

30、業(yè)，4 個樣品的小組突發(fā)死亡方法可以提供 L16 壽命的估計，而在其他行業(yè)，通常是估計 L1 壽命。以下提供了估計 Lx 壽命(從試驗開始到 x%的樣品失效)的估計a) 將數(shù)據(jù)隨機(jī)分成 A 個小組，每個小組由 B 個樣品組成，分配方式查看表- 4b) 將所有小組投入試驗。c) 記錄每組第一個失效時間d) 對于每個小組，發(fā)現(xiàn)失效后立即結(jié)束該組試驗。e) 將每組的失效點畫在威布爾分布圖上。f)在分布圖上讀取 LX 數(shù)值。表 4 利用突發(fā)死亡法估計 x%失效的分組規(guī)模分組規(guī)模首次失效的中位秩試驗?zāi)芄烙嫵龅?Lx20.2929L3030.2063L2040.1591L1650.1294L1360.10

31、91L1070.0943L980.083L890.0741L7100.067L6500.0138L1700.00994L1利用突發(fā)死亡法估計出的 Lx 值幾乎與傳統(tǒng)的估計方法同樣可靠，但是置信區(qū)間比傳統(tǒng)方法大了 50%。突然死亡法也比傳統(tǒng)方法更加節(jié)省時間，例如，當(dāng)b= 1時，如果對分組進(jìn)行次序測試，只需使用傳統(tǒng)方法 25%的試驗時間，如果將所有的小組同時投放試驗，只需要 7%的試驗時間?？梢杂酶鹘M首次失效時間的平均值來估計突發(fā)死亡試驗時間和傳統(tǒng)試驗時間之比。生產(chǎn)者為了節(jié)省試驗時間通常設(shè)計一些突發(fā)死亡的試驗方法，對各個小組一起進(jìn)行試驗，時間相同的試驗應(yīng)力。例如：下面是 12 個失效數(shù)據(jù)表 5 鉸

32、鏈數(shù)據(jù)-失效輪轉(zhuǎn)數(shù)第一小組第二小組第三小組第四小組在輪轉(zhuǎn) 3698 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 4650 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 2398 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 2945 次后失效在輪轉(zhuǎn) 3698 次后失效在輪轉(zhuǎn) 4650 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 2398 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 2945 次后截尾在輪轉(zhuǎn) 3698 此后截尾在輪轉(zhuǎn) 4650 次后失效在輪轉(zhuǎn) 2398 次后失效在輪轉(zhuǎn) 2945 次后截尾對于突發(fā)死亡方法，每組第一個失效的平均秩是 1/4，相應(yīng)的 L 壽命是 B25。對于b= 2.13 的威布爾分布，B25 就是0.557h而樣品的 MTTF 是0.8858h，這就是說該突發(fā)死亡試驗的時間僅為傳統(tǒng)時間的 0.2。14 其他

33、分布如果 x 服從對數(shù)正態(tài)分布，x 的密度函數(shù)向右傾而 logx 服從正態(tài)分布。 對數(shù)正態(tài)運用廣泛，瑕疵產(chǎn)品，收音頻率參數(shù)和修理次數(shù)是典型的例子。最重要的應(yīng)用是對步進(jìn)退化現(xiàn)象進(jìn)行描述比如裂縫導(dǎo)致的斷裂過程或隨損程度的加深而越發(fā)提高的振動過程。如果隨損傷程度的變化率是線性的，他們的分布會趨于威布爾分布。物理上，對數(shù)正態(tài)分布模擬了那些失效是由于遞進(jìn)應(yīng)力造成的過程。比如， 隨證裂縫的變大，裂縫變大乃至斷裂的速度會越來越大。如果裂縫的增長率是線性變化的，（也許是在裂縫很小的情況下），用威布爾分布擬合更加適應(yīng)。對數(shù)正態(tài)分布的應(yīng)用很廣，例如材料特性，個人收入，銀行存款，裂縫的增大率以及瑕疵大小的分布。雖然

34、除威布爾分布外有很多分布，對數(shù)正態(tài)分布才是進(jìn)行壽命分析的第二選擇。如果先驗信息較多，失效數(shù)目超過 20 個，對數(shù)正態(tài)分布就是第一選擇。威布爾參數(shù)b大致服從對數(shù)正態(tài)分布而h更符合正態(tài)分布。附錄 A （參考）案例附錄 B （參考）算例附錄 C(參考) 中位秩C1 5%中位秩表C2 95%中位秩Rank order95 of ranks Sample size12345678910195,0077,6463,1652,7145,0739,3034,8231,2328,3125,89297,4786,4675,1465,7458,1852,0747,0742,9139,42398,3090,2481,

35、0772,8765,8759,9754,9650,69498,7392,3684,6877,4771,0865,5160,66598,9893,7287,1280,7174,8669,65699,1594,6688,8983,1277,76799,2795,3690,2385,00899,3695,9091,27999,4396,321099,49Rank order95 ranks Sample size11121314151617181920123,8422,0920,5819,2618,1017,0716,1615,3314,5913,91236,4433,8731,6329,6727,

36、9426,4025,0123,7722,6421,61347,0143,8141,0138,5436,3434,3832,6231,0329,5828,26456,4452,7349,4646,5743,9841,6639,5637,6735,9434,37565,0260,9157,2654,0051,0848,4446,0543,8941,9140,10672,8868,4864,5260,9657,7454,8352,1949,7847,5845,56780,0475,4771,3067,5064,0460,9058,0355,4053,0050,78886,4981,9077,6073,6470,0066,6663,6060,7858,1955,80992,1287,7183,4379,3975,6372,1468,9265,9463,1960,641096,6792,8188,7384,7380,9177,3373,9970,8867,9965,311199,5396,9593,4089,6085,8382,2278,8175,6072,6169,801299