第三章隨機過程功率譜密度

1、第三章隨機過程功率譜密度 第三章 隨機過程的功率譜密度 主要內(nèi)容： 隨機過程的功率譜密度函數(shù) 平穩(wěn)隨機過程功率譜密度函數(shù)的性質(zhì) 功率譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)時間和等效功率譜 帶寬 聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互功率譜密度 白噪聲與色噪聲 第三章隨機過程功率譜密度 3.1 功率譜密度函數(shù) 3.1.1 確定信號的頻譜和能量譜密度 第三章隨機過程功率譜密度 3.1 功率譜密度函數(shù) 3.1.1 確定信號的頻譜和能量譜密度 確定信號 是在 的非周期實函數(shù)， 的傅立葉變換存在的充要條件是： (1). 滿足狄利赫利條件 (2). 總能量有限，即 txt tx dttx dttx 2 第三章隨

2、機過程功率譜密度 則信號 的傅立葉變換為 傅立葉反變換為 根據(jù)巴塞伐(Parseval)定理(總能量的譜表達式) 稱為信號的能量譜密度。 tx dtetxjwF jwt x dwjwFdttx x 22 2 1 2 jwFx dtejwFtx jwt x 2 1 第三章隨機過程功率譜密度 3.1.2 隨機過程的功率譜密度 隨機過程的樣本函數(shù) 不滿足傅立葉存在的 絕對可積和能量可積條件，傅立葉不存在。 tx tx t 0 圖 3-1 樣本函數(shù) 第三章隨機過程功率譜密度 采取截斷函數(shù) 規(guī)范化隨機信號，使之滿 足傅立葉變換條件。 截斷函數(shù)定義為： others Tttx txT , 0 , txT

3、0 tx t T T 圖 3-2 及截斷函數(shù) tx 保留有限區(qū) 間的數(shù)據(jù) 置其它區(qū) 間為0 第三章隨機過程功率譜密度 當T為有限值時，截斷函數(shù)滿足傅立葉變換 條件，傅立葉變換為 傅立葉反變換為 由巴塞伐定理得 對上式兩邊除2T T T jwt jwt Tx dtetx dtetxTjwF, dteTjwFtx jwt xT , 2 1 dwTjwF dttxdttx x T T TT 2 22 , 2 1 第三章隨機過程功率譜密度 樣本函數(shù)在時間區(qū)間 的平均功率。 由于樣本函數(shù)是隨機過程的任何一個樣本函數(shù)， 取決于隨機試驗，平均功率具有隨機性。 可采用集合平均消除樣本函數(shù)的隨機性，即 兩邊取極

4、限 dw T TjwF dttxdttx T x T T TT 2 , 2 1 2 1 2 22 TT, dw T TjwF EdttX T E x T T 2 , 2 1 2 1 2 2 dw T TjwFE dttXE T x TT 2 , lim 2 1 2 1 lim 2 2 第三章隨機過程功率譜密度 若設(shè) 上式表示為 稱為隨機過程 的功率譜密度。 如隨機過程是寬平穩(wěn)過程時，則 T TjwFE wS X T X 2 , lim 2 X S tX dwwSPdttXE T XX T 2 1 2 1 lim 2 dwwStXEdttXE T X T 2 1 2 1 lim 22 第三章隨機

5、過程功率譜密度 3.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之 間的關(guān)系及其性質(zhì) 自相關(guān)函數(shù)是從時間域上描述隨機過程統(tǒng) 計特性的重要特征。 功率譜密度是從頻率域上描述隨機過程統(tǒng) 計特性的重要特征。 自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度？ 自相關(guān)函數(shù)功率譜密度 隨機過程 ? timefrequency 圖3-3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù) 第三章隨機過程功率譜密度 3.2.1 維納辛欽定理 平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)隨機過程 的自相關(guān)函數(shù) 和功率譜密度 有如下關(guān)系： 證明：由功率譜密度函數(shù)定義 tX X B X S deSB j XX 2 1 deBS j XX T dtetXtXEdt T dtetXtXdtE T dtetXdtetXE

6、 T TjFTjFE T TjFE S T T ttj T T T T T ttj T T T T T tj T T tj T XX T X T X 2 lim 2 lim 2 lim 2 , lim 2 , lim 1122 1122 2211 2 12 12 21 功率譜密度與自相關(guān) 函數(shù)是傅立葉變換對 第三章隨機過程功率譜密度 在區(qū)間 定義 則有 令 則 得證。 otherstXtXE TttttBtXtXE X 0 , 21 212121 TT, T dtdtettB T dtdtettB S T T ttj T T X T T T ttj T T X T X 2 , lim 2 ,

7、lim 2121 2121 12 12 12 tt ddt 2 各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機過程 令 1 1 1 1 1 1 1 111 , , 2 1 lim 2 , lim deB deB dettB ttdtdettB T T ddtettB S j X j X j X j T T X T tT tT j T T X T X 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)時間 平均值是傅立葉變換對 deSB j XX 2 1 第三章隨機過程功率譜密度 3.2.2 功率譜密度的性質(zhì) 1. 功率譜密度為非負實函數(shù)，即 證明: 根據(jù)功率譜密度定義 2. 功率譜密度函數(shù)為 的偶函數(shù),即 0 X S T TjFE S X T X

8、 2 , lim 2 XX SS 第三章隨機過程功率譜密度 證明 : 由功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 同理 dttBdttB djttB dettBS XX X j XX sin,cos, sincos, , sinsin coscos , ttBttB XX dttBS XX cos, dttBS XX cos, XX SS 第三章隨機過程功率譜密度 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是可積函數(shù),即 證明: 對于平穩(wěn)隨機過程有 平穩(wěn)隨機過程的均方值有限 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可積,即 dS X dStXE X 2 1 2 dS X 第三章隨機過程功率譜密度 4. 功率譜與相關(guān)函數(shù) 隨機過程 平穩(wěn)隨機過程

9、 平穩(wěn)各經(jīng)歷態(tài)過程 ,ttBS XX XX BS XX BS 第三章隨機過程功率譜密度 t tX 0 圖3-4 隨機過程及其功率譜密度函數(shù) 0 wSX 非負 實數(shù) 可積 偶函 數(shù) 第三章隨機過程功率譜密度 3.2.3 功率譜 與 平均功率 平均功率是功率譜在頻率空間的積分 證明： X S X P dSP XX 2 1 dS deS tXE txAP X tj X X 2 1 2 1 0 2 2平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng) 第三章隨機過程功率譜密度 2.特定頻率 上平均功率 3.單邊譜密度 與雙邊譜密度 21, 21 2 , X dS XX 2 12 1 , 11 2 X S X S 00 02 X X S S

10、 物理譜密度 函數(shù) dSP XX 0 2 1 dSXX 2 12 1 , 21 2 第三章隨機過程功率譜密度 函數(shù) 功率譜密度指單位帶寬上平均功率； 直流與周期平穩(wěn)隨機過程在頻率軸有離散 譜線； t tX 0 圖3-5 周期平穩(wěn)隨機過程及其功率譜密度 0 wSX 零帶寬上有限 功率 無限 的功率譜密度 第三章隨機過程功率譜密度 隨機過程的功率譜密度不一定可積，即 函數(shù) dSX others x x 0 0 1 dxx 0fdxxfx 1 0 jj ede 2 1 2 1 2 1 0 jj ede jx exfxif, xj exfxif , 21 21 x 0 圖3-6 函數(shù) 第三章隨機過程功

11、率譜密度 利用 函數(shù)，含有直流分量或周期分量的 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度可表示為 2 _ 0 tXBB XX 2 _ 0 2tXSS XX _ 0 tXtXtX ttXtX 00 cos 00 cos 2 1 XX BB 000 2 1 XX SS X S 0 圖 3-7 直流分量 X S 0 圖 3-8 周期分量 第三章隨機過程功率譜密度 若功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，則自相關(guān)函數(shù) 為 函數(shù)。 0 nSX 0 nBX 0 X S 圖3-9 常功率譜函數(shù) 0 X B 圖3-10 自相關(guān)函數(shù) 第三章隨機過程功率譜密度 例3-1 平穩(wěn)隨機過程 的自相關(guān)函數(shù)為 求該隨機過程的功率譜密度函數(shù)。 解：由維納辛

12、欽定理，有 tX 0, eBX 22 0 0 2 11 0 0 jj j e j e deedee dee deBS jwjw jwjw jw jw XX 第三章隨機過程功率譜密度 0 X B X S 0 圖 3-11 例3-1 第三章隨機過程功率譜密度 3.2.4 幾種常見的 與 X B X S X B X S 0 X B 0 X B X B X B X S X S X S X S 0 0 0 0 0 0 0, e 22 2 TT 0cos 1 2 2 2 sin4 T T 0 0 第三章隨機過程功率譜密度 例3-2 已知平穩(wěn)隨機過程 ，具有功率譜密度為 求該過程的自相關(guān)函數(shù)。 解：由上例可

13、知，若自相關(guān)函數(shù)具有 的形式，則功率譜密度為 ，本題中 則自相關(guān)函數(shù)具有如下形式 tX 3613 16 24 X S 0, AeBX 22 2 A SX 9 516 4 516 94 16 3613 16 22 22 24 X S 21 21 eAeABX 第三章隨機過程功率譜密度 顯然 因此 所以自相關(guān)函數(shù)為 9 15 8 32 9 516 4 5 4 22 4 516 2222 3, 15 8 ; 2, 5 4 2211 AA 32 15 8 5 4 eeBX 第三章隨機過程功率譜密度 3.3 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)時 間和等效功率譜帶寬 自相關(guān)函數(shù)反映隨機過程在不同時刻的關(guān) 聯(lián)程度。

14、功率譜密度函數(shù)描述隨機過程的平均功率 沿頻率軸的分布。 自相關(guān)時間從數(shù)量上直 觀描述隨機過程的在時 間上關(guān)聯(lián)范圍。 等效功率帶寬從數(shù)量上 直觀描述隨機過程在頻 率上分布范圍。 第三章隨機過程功率譜密度 3.3.1 自相關(guān)時間 tXEtXE 21 相同的數(shù)學(xué)期望 相同的方差 (a) 0 t tX1 (b) 0 t tX 2 tXDtXD 21 圖3-12 和 的樣本函數(shù)曲線 tX1 tX2 (b) 圖 3-13 和 的自相關(guān)函數(shù) tX2 tX1 (a) 0 1 X B 0 2 X B 第三章隨機過程功率譜密度 因為 ，有 由于 擴展比 要大一些， 因此 dBB XXk 11 02 1 dBB X

15、Xk 22 02 2 02 1 1 1 X X k B dB 02 2 2 2 X X k B dB tXEtXE 21 tXDtXD 21 tXEtXDBX 1 2 1 0 1 tXEtXDBX 2 2 2 0 2 00 21 XX BB 1 X B 2 X B dBdB XX 21 21kk 能描述相關(guān) 程度 1k (b) 2k 2k 0 2 X B (a) 1k 1k 0 1 X B 圖 3-14 自相關(guān)時間 第三章隨機過程功率譜密度 自相關(guān)時間定義： 通常，當 時，可認為 與 的相關(guān)性 已經(jīng)很弱，實際上已經(jīng)不相關(guān)了。 02 0 02 X X X X k B S B dB k tX tX

16、 第三章隨機過程功率譜密度 3.3.2 等效功率譜帶寬 (a) (b) t 0 tX1 0 t tX 2 tXEtXE 21 圖3-15 和 的樣本函數(shù)曲線 相同的數(shù)學(xué)期望 tXDtXD 21 相同的方差 tX1 tX2 2 X S 0 1 X S 0 (a) (b) 圖3-15 功率譜 第三章隨機過程功率譜密度 1 1 0 1 X S 2 2 0 2 X S 因為 ，且 所以 dSS XX 11 02 1 dSS XX 22 02 2 022 0 02202 1 1 1 1 1 1 0 1 X X X j X X X S B S deS S dS 022 0 02 2 2 2 2 2 X X

17、 X X S B S dS 00 21 XX BB 00 21 XX SS 21 能描述出隨機 過程起伏程度 圖3-15 等效功率帶寬 第三章隨機過程功率譜密度 等效功率帶寬定義： 通常， 說明了 中起伏的最高頻率。 02 X X S dS 022 X X S dS f f tX 第三章隨機過程功率譜密度 3.3.3 時間帶寬乘積 變化緩慢， 變化快， ； 起伏頻繁程度低， 變化起伏頻繁程度 高， 。 時間帶寬乘積： tX 1 (a) (b) 0 t tX1 0 t tX 2 tXEtXE 21 圖3-16 和 的樣本函數(shù)曲線 相同的數(shù)學(xué)期望 tXDtXD 21 相同的方差 tX1 tX 2

18、tX 221kk 21 ff 4 1 02 0 02 0 X X X X k S B B S f 常數(shù) tX1 tX 2 第三章隨機過程功率譜密度 例3-3 設(shè)隨機過程 的自相關(guān)函數(shù)為 試求該隨機過程的自相關(guān)時間和等效功率譜 帶寬。 解：由自相關(guān)函數(shù)定義 tX 0,0 TeBB T XX T de B deB B S B dB T X T X X X X X k 2 2 02 0 02 0 02 0 第三章隨機過程功率譜密度 等效功率譜帶寬 TTB B S B S S f X X X X X X 4 1 04 0 02 0 02 TBS XX 020 第三章隨機過程功率譜密度 例3-4 已知平

19、穩(wěn)過程 的譜密度為 求 的自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)時間和等效帶寬。 解：由自相關(guān)函數(shù)與功率譜關(guān)系有 tX others SX , 0 10, 10 1208 tX 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 sincos2sincos208 2 1 10 1208 2 1 10 1208 2 1 2 1 djdj dede de deSB jj j j XX 第三章隨機過程功率譜密度 100 0 0 X B others SX 0 10 10 120 0 200 0 X S 10 200 20 02 0 0 0 X X k B S 2 5 40 100 02 0 0 0 X X S

20、B f 0 0X S 1010 0 0X B 5 5 5 2 5 2 圖 3-17 例3-4 第三章隨機過程功率譜密度 3.4 聯(lián)合平穩(wěn)過程的互功率譜密度 自相關(guān)函數(shù)反映隨機過程在不同時刻的關(guān) 聯(lián)程度。 互相關(guān)函數(shù)反映多個隨機過程在不同時刻 的關(guān)聯(lián)程度。 功率譜密度函數(shù) 互功率譜密度函數(shù) 第三章隨機過程功率譜密度 3.4.1 互功率譜 隨機過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的 絕對可積和能量可積條件。 采取截斷函數(shù)規(guī)范化隨機信號，使之滿足 傅立葉變換條件。 第三章隨機過程功率譜密度 0 tx t T T a 保留有限區(qū) 間的數(shù)據(jù) 置其它 區(qū)間為0 0 ty t T T 圖 3-18 樣本函數(shù)及截斷

21、函數(shù) 保留有限區(qū) 間的數(shù)據(jù) 置其它 區(qū)間為0 b others Ttty tyT 0 others Tttx txT 0 第三章隨機過程功率譜密度 截斷函數(shù) 和 滿足傅立葉變換的絕對可 積和能量有限條件，即 傅立葉變換分別為 txT tyT dttx dttx T T 2 dtty dtty T T 2 T T tj tj Tx dtetx dtetxTjF , T T tj tj Ty dtety dtetyTjF , 第三章隨機過程功率譜密度 在時間范圍 內(nèi)， 和 的互功率為 據(jù)巴塞伐定理 用 代換 ，則有 互功率也可表示為 TT, tx ty dttytx T dttytx T TP T

22、 T TT T T xy 2 1 2 1 dTjFTjFdttxtx xxTT , 2 1 tyT txT dTjFTjFdttytx yxTT , 2 1 d T TjFTjF dttytx T TP yx T T xy 2 , 2 1 2 1 第三章隨機過程功率譜密度 由于 和 具有隨機性， 、 和 也 具有隨機性； 為消除單一樣本的隨機性，采取樣本的統(tǒng)計 平均來得到隨機過程 和 的互功率。 將時間范圍擴展至 ，即 設(shè) 則 tx tyTjFx, TjFy, TP xy tX tY d T TjFTjF EdttYtX T ETP YX T T XY 2 , 2 1 2 1 , T d T

23、TjFTjFE dttYtXE T P YX T T TT XY 2 , lim 2 1 2 1 lim T TjFTjFE S YX T XY 2 , lim dSP XYXY 2 1 互功 率譜密度 XY S 第三章隨機過程功率譜密度 3.4.2 互功率譜的物理意義 設(shè)實隨機過程 ，它由兩隨機過程 和 相加： 自相關(guān)函數(shù)為 T TjFTjFE S YX T YX 2 , lim XYYXYX PdSP 2 1 tW tX tY tYtXtW ttBttBttBttB tYtYEtXtYEtYtXEtXtXE tYtXtYtXE tWtWEttR YYXXYX W , , 第三章隨機過程功率

24、譜密度 對自相關(guān)函數(shù)取時間平均 則 的功率譜密度為 是 和 絞聯(lián)、耦合部分在頻率空 間上的表現(xiàn)。 ,ttBttBttBttBttR YYXXYXW tW YYXXYXW SSSSS YXXY SS和 tY tX 第三章隨機過程功率譜密度 3.4.3 互功率譜與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 1.兩個隨機過程 和 的互相關(guān)函數(shù) 和 互功率譜 之間滿足 其中 tX tY ttBXY, XY S dettBS j XYXY , deSttB j XYXY 2 1 , T T XY T XY dtttR T ttB _ , 2 1 lim, 第三章隨機過程功率譜密度 證明：根據(jù)互功率譜定義有 由傅立葉變換 deB

25、ttttdedt T ttB dtdte T ttB T dtdtetYtXE T dtetYdtetXE T TjFTjFE S j T T XY T j T T T T XY T ttj T T T T XY T T T ttj T T T tj T T tj T T T YX T XY 21 21 21 2121 2211 lim , 2 , lim 2 , lim 2 lim 2 lim 2 , lim 12 12 21 deSttB j XYXY 2 1 , 第三章隨機過程功率譜密度 2. 若隨機過程 和 聯(lián)合平穩(wěn)，互相關(guān)函數(shù) 和互功率譜 之間滿足 證明：據(jù)聯(lián)合平穩(wěn)過程的性質(zhì)，有 將

26、其帶入一般關(guān)系式，就可得此關(guān)系。 tX tY XY S deBS j XYXY deSB j XYXY 2 1 XY T T XY T T T XY T XY BdtB T dtttB T ttB 2 1 lim , 2 1 lim, XYXY BttB, 第三章隨機過程功率譜密度 3.4.4 互功率譜性質(zhì) 1. 2. 3.若隨機過程 和 正交，則 4.若隨機過程 和 不相關(guān)，且的均值為常 數(shù) ，則 YXXY SS YXYX XYXY SS SS ReRe ReRe YXYX XYXY SS SS ImIm ImIm 0, 0 YXXY SS tX tX tY tY YX mm , YXYXXY mmSS2 0, 21 ttBXY YXXY mmtXEtXEttB 2121, 第三章隨機過程功率譜密度 3.5 白噪聲和色噪聲 按功率譜密度函數(shù)的形狀，可分為白噪聲 和有色噪聲； 白噪聲可分為理想白噪聲和帶限白噪聲。 功率譜 函數(shù)形狀 理想白噪聲 帶限白噪聲 第三章隨機過程功率譜密度 0 X S (a) 0 X S (b) 圖 3-19 色噪聲(a)和白噪聲(b) 第三章隨機過程功率譜密度 0 X S (a) 0 X S (b) 圖 3-20 理想白噪聲(a)和