傅立葉變換與拉普拉斯變換工科

1、(6) 信號的傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成F( ) F( ) ej ( )附錄 A 傅里葉變換1 周期信號的頻譜分析 傅里葉級數(shù) FS 狄立赫雷條件：在同一個周期 T1 內(nèi)，間斷點(diǎn)的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信 號絕對可積 f (t) dt 。T1 傅里葉級數(shù)：正交函數(shù)線性組合。 正交 函數(shù)集可以是三 角函數(shù)集 1,c o sn 1t,si nn 1t:n N 或復(fù)指數(shù)函數(shù)集e :n Z ，函數(shù)周期為 T1，角頻率為 1 2 f1 信號 f ( t )的傅里葉變換： F( ) f(t)e j tdt F f (t)是信號 f (t)的頻譜密度函數(shù)或 FT頻譜，簡稱為頻譜 (函數(shù)

2、)。 頻譜密度函數(shù) F( )的逆傅里葉變換為： f (t) 1 F( )ej td ?F 1 F( )2 稱e j t為FT的變換核函數(shù)， ej t為IFT 的變換核函數(shù)。 FT與IFT 具有唯一性。如果兩個函數(shù)的 FT或IFT 相等，則這兩個函數(shù)必然相等。 FT 具有可逆性。如果 F f (t) F( )，則必有 F 1 F( ) f(t) ；反之亦然。 。T1 任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成傅里葉級數(shù)。 傅里葉級數(shù)：f (t) a0(ancon 1t bn sin n 1t)n1系數(shù) an和 bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。稱 f1 1/T1( f11)為信號 的

3、基波、基頻； nf1 ( i ,i 2n) 為信號的 n 次諧波。根據(jù)歐拉公式：ein t e in t ein t e in t cosn t e e ,sin n t e e 2 2i復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：f (t)Fnen(1) 周期信號的傅里葉頻譜：(i) 稱 Fn 為信號的傅里葉復(fù)數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或 FS 譜。(ii) 稱 Fn 為信號的傅里葉復(fù)數(shù)幅度頻譜，簡稱FS 幅度譜。(iii) 稱 n 為傅里葉復(fù)數(shù)相位頻譜，簡稱 FS 相位譜。(iv) 周期信號的 FS頻譜僅在一些離散點(diǎn)角頻率 n 1( 或頻率 nf1 )上有值。(v) FS 也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為 1

4、2 /T1 。(vi) FS 譜、 FS 幅度譜和相位譜圖中表示相應(yīng)頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜 線、幅度譜線和相位譜線，分別表示 FS 頻譜的值、幅度和相位2 非周期信號的頻譜分析 傅里葉變換 (FT)36 / 7(i) 稱 F( ) 為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的 幅頻特性；(ii) 稱 ( ) Arg F( ) 為相位頻譜密度函數(shù)， 簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨 頻率變化的相頻特性。(7) FT 頻譜可分解為實部和虛部： F( ) Fr( ) jFi ( )F( ) Fr2( ) Fi2( ), ( ) arctan Fi( )Fr (

5、)Fr ( ) F( )cos ( ),Fi( ) F( ) sin ( )(8) FT 存在的充分條件：時域信號f (t )絕對可積，即f(t)dt 。注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。(2) FT及 IFT 在赫茲域的定義：F(f) f (t)e j2 ftdt ；f (t)(f )ej2 ftdf(3)FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值比較 FS和 FT：3 典型非周期信號的 FT 頻譜(1) 單邊指數(shù)信號：(2) 偶雙邊指數(shù)信號： f(t) e at (a 0)(3) 矩形脈沖

6、信號37 / 7(4) 符號函數(shù)： 不滿足絕對可積條件，但存在 FT。圖 5 (a) 符號函數(shù) (b) 頻譜(5) 階躍信號： 不滿足絕對可積條件，但存在 FTu(t)圖 6 單位階躍函數(shù)及其幅度譜附錄 B 拉普拉斯變換及反變換一拉普拉斯變換及逆變換定義式：設(shè)有一時間函數(shù) f(t) 0, 或 0 t單邊函數(shù)st0 f (t)e stdt F(s)其中 ，S=+j 是 復(fù)參變量 ， 稱為 復(fù)頻 率。左端的定積分稱為拉普拉斯積分，又稱 為 f(t) 的拉普拉斯變換；右 端 的 F(S) 是 拉 普 拉 斯 積 分 的 結(jié) 果 ， 此 積 分 把 時 域 中 的 單 邊 函 數(shù) f(t) 變換為以復(fù)

7、頻率 S為自變量的復(fù)頻域函數(shù) F(S) ，稱 為 f(t) 的拉普 拉斯象函數(shù)。以上的拉普拉斯變換是對單邊函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為單邊拉普 拉斯變換。如 f(t) 是定義在整個時間軸上 的函數(shù)，可將其乘以單位階躍 函數(shù)， 即變?yōu)?f(t) (t )，則拉普拉斯變換為38 / 7F (S) f (t) ( t) e std t0其中積分下標(biāo)取 0-而不是 0 或 0+ ，是 為了將沖激函數(shù) (t) 及其導(dǎo) 函數(shù)納入拉普拉斯變換的范圍。1jS t拉普拉斯反變換： f (t) 2 j (t ) j F (S ) e d S2 jj這是復(fù)變函數(shù)的積分拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下F(S)=Lf(t)

8、； f(t)=L - 1F(s)拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性Laf (t) aF (s)疊加性L f1(t) f 2(t) F1(s) F2(s)Ldf (t) sF(s) f(0) dt2Ld f2(t) s2F(s) sf(0)f (0)dt 22微分定理一般形式L d fn(t)snF(s)sn k f(k 1)(0)dt k 1k1(k 1) d f (t)f (t) k 1dt k 1初始條件為零時dn f(t) n L n snF(s) dtn一般形式F(s) f (t)dtt 0L f (t)dt F(s) t 0ssL f (t )(dt) 2 F(s) f(t)dtt

9、0 f(t)(dt)2t 0Lf (t )( dt) 2 2s s s3積分定理共 n個共k 個Lf(t)(dt)n F(ns)n1k1f (t)(dt)n t 0s k 1 s初始條件為零時共n個Lf (t)(dt)n F(ns)s4延遲定理( 理)或稱 t 域平移定Lf(t T)1(t T) e TsF(s)5衰減定理( 理)或稱 s 域平移定L f(t)e at F(s a)6終值定理lim f (t) lim sF(s)t s 07初值定理lim f (t) lim sF(s)39 / 7tt8 卷積定理L 0f1(t )f2( )d L 0 f1(t)f2(t )d F1 (s)F2

10、 (s)常用函數(shù)的拉氏變換和 z 變換表序 號拉氏變換 E(s)時間函數(shù) e(t)Z 變換 E(s)11(t)121T (t) (t nT) n0z1 e Tsz131 s1(t)zz141tTz2 s(z 1) 251t22T 2 z(z 1)s322(z 1)361tnnnlim ( 1) ( z )sn 1n!lim n aT a 0 n! a z e71atzsaeaTze81ataTTze(s a) 2teaT 2 (z e )9sin tzsin Ts2 22z2 2zcos T 110scos tz(z cos T)s2 22z 2zcos T 1拉普拉斯反變換的應(yīng)用用查表法進(jìn)行

11、拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開，然后逐項B(s) bmsm bm 1sm 1b1s b0查表進(jìn)行反變換。設(shè) F(s)是 s的有理真分式，即F(s) m m 1n n 1A(s)ansan 1sa1s a0式中，系數(shù) a0 , a1 ,.,an 1,an和b0,b1, ,bm 1, bm都是實常數(shù)； m, n是正整數(shù)。按代數(shù) 定理可將 F (s)展開為部分分式。分以下兩種情況討論。1) A(s) 0無重根：這時， F(s)可展開為 n 個簡單的部分分式之和的形式，F(xiàn)(s)c1c2cis s1 s s2s sicns snciF-1)i 1 s si40 / 7式中，s1,s2, ,

12、 sn是特征方程 A(s)0的根； ci 為待定常數(shù)，稱為 F ( s)在si處的留數(shù)，可按下列兩式計算：或ci B(s)i A(s) 式中， A(s)為A(s)對s的s s一i 函數(shù)為cilim( s si)F(s) s siF-2)階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)，從式(F-3)F-1)可求得原nsitcieii1(F-4)(2)A(s) 0有重根： 設(shè)A(s) 0有 r重根 s1 ， F(s)可寫為B(s)F s r(s s1) (s sr 1 ) (s sn)= crcr 1c1cr 1ci(ss1)(ss1)(ss1)ssr 1ssis1為 F(s)的 r重根， sr 1 ， sn為 F(

13、s)的n r 個單根；其中， ， c1 則按下式計算：cns sn式中， 仍按式(F-2)或式(F-3)計算， cr ，cr 1，r1cr 1， cn(F-5)原函數(shù) f (t)為rcrlim (s s1) F(s)s s1cr 1 lim d (s s1)r F(s) s si dscr jc11d ( j)1j!lsims1dds(j) (s s1)r F(s)(r 1) 1dlsims(r 1)(r 1)! s s1 ds(r 1)r(s s1)r F(s)f (t) L 1 F(s)L 1crL (s s1)r (s s1)r 1 crr 1cr 1 t r 2cr 1c1cr 1ci

14、(s s1) s sr 1s sis snt (r 1)!(r 2)!c2t c1 es1tciesitir1F-6)f (t) L 1 F(s) L 1cii 1 s si用拉普拉斯變換解微分方程：例 1 求解常微分方程 x 3x 3x x 6e t ， x(0) x (0) x (0) 0.解：令 X(s) lx(t) ，在方程兩邊取 Laplace變換，并應(yīng)用初始條件，得41 / 7s3X(s) 3s2X(s) 3sX(s) X(s) 6 ，s13!求解此方程得 X(s) (s3!1)4 ，3!t3e t.求 Laplace逆變換，得 x(t) l 1X(s) l 1 (s3!1)4 例 2 求解常微分方程 x 4x 3x e t ，x(0) x (0) 1.解：令 X(s) lx(t) ，在方程兩邊取 Laplace變換，并應(yīng)用初始條件，得21 s2X(s) s 1 4 sX(s) 1 3X(s) ， s122，4(s 1) 2(s 1)2 4(s 3)t 3 3te.43 x(0) , x(0)2求解此方程得 X(s) s 62 s 6 (s 1)2(s 3) 7771求 Laplace逆變換，得 x(t) 47 12t1,x x 2y et ,例 3 求解常微分方程組x y 2y t2 ,2,1.y(0) 1,y (0)2.解