相似三角形難題集錦(含答-案)

1、相似三角形難題集錦（含答案） 、相似三角形中的 BQ 動(dòng)點(diǎn)問題 1. 如圖，在Rt ABC中， Z ACB=90 , AC=3 BC=4 過 點(diǎn)B作射線 BB1/ AC 動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn)A出發(fā)沿射 線AC方向以每秒 5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng) 點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以 每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過 點(diǎn)D作DHL AB于H,過點(diǎn)E 作EF丄AC交射線 BB1 于 F, G是 EF 中點(diǎn)，連接DG設(shè) 點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒. (1) 當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB 并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度； (2) 當(dāng)厶DEGA ACB相似時(shí)， 求t的值. 2. 如圖，在 ABC中，二ABC =90, AB=6m BC=8m

2、 動(dòng) 點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn) 出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng).同 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度 從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B 移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終 點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè) 移動(dòng)的時(shí)間為t秒. (1) 當(dāng)t=2.5s 時(shí)，求 CPQ勺面積； 求 CPQ的面積S (平方 米)關(guān)于時(shí)間t (秒)的函 數(shù)解析式； (2) 在P，Q移動(dòng)的過程中， 當(dāng)厶CPQ為等腰三角形時(shí)， 求出t的值. 4. 如圖所示，在 ABC中， BA= BC= 20cm, AC= 30cm, 點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB 以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn) 動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q 從C點(diǎn)出發(fā)， 沿CA以每秒 3. 如圖 1,在 Rt ABC中,ACB =90

3、, AC= 6, BC= 8,點(diǎn) D 在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分二CDB 交邊BC于點(diǎn)E, EML BD垂足 為M EN! CD垂足為N. (1) 當(dāng)AD= CD時(shí)，求證： DE/ AC (2) 探究：AD為何值時(shí)， BME 與厶CNE相似？ 3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng) P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之 停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x. (1 )當(dāng)x為何值時(shí)， PQ/ BC? C D M B Z1 (2) APQ CQB能否相 似？若能，求出AP的長(zhǎng)； 若不能說明理由. 5. 如圖，在矩形 ABCD中， AB=12cm BC=6cm 點(diǎn) P 沿 AB 邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的 速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊

4、從點(diǎn)D 開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移 動(dòng).如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t (s)表示移動(dòng)的時(shí)間(Ov t v 6)。 (1) 當(dāng)t為何值時(shí)， QAP 為等腰直角三角形？ (2) 當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q A P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似？ 二、構(gòu)造相似輔助線 雙垂直模型 6. 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)， 正比例函數(shù)y=kx的圖象與 線段0A的夾角是45，求 這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式. 7. 在厶 ABC中, AB=，AC=4 BC=2以AB為邊在C點(diǎn)的 異側(cè)作 ABD使， ABD為等腰直 角三角形，求線 段CD的長(zhǎng). 8. 在 ABC 中,AC=BC, / ACB=90，點(diǎn)

5、M是AC上的 點(diǎn)，點(diǎn)N是 BC上的一點(diǎn)，“” 沿著直線Mr折-“ 疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB 上的P點(diǎn)求證：MC NC=AP PB. 9. 如圖，在直角坐標(biāo)系中， 矩形ABC啲邊OA在 x軸上, 邊0C在y軸上，點(diǎn)B的坐 標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì) 角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn) 的位置，且AD交y軸于點(diǎn) E.那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（） 廣2忖 A. 1卩 B. f 3 12= C. D. 10.已知，如圖，直線 y= -2x+ 2與坐標(biāo)軸交于 A、B 兩點(diǎn).以AB為短邊在第一 象限做一個(gè)矩形ABCD使得 矩形的兩邊之比為1 : 2。 求C D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 A 三、構(gòu)造相似輔助線 A X字型 11.如圖：

6、 ABC中，D是AB 上一點(diǎn)，AD=AC BC邊上的中 線 AE交 CD于 F。 、AE = CF 求證：.1. 13.在梯形 ABCD 中, AB/ CD AB= b, CD= a, E 為 AD邊上的任意一點(diǎn)，EF/ AB 且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在 研究這一問 * 題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如 下事實(shí)： DE _a +Z? (1)當(dāng)一時(shí)，EF=; (2)當(dāng) DC D百宀 : 時(shí)， DE=5t-(3t+3)=2t-3 若厶DEG與厶ACB相似，有 兩種情況： 厶DEGA ACB ,此時(shí) DE EG 二 二 21-3 _29 即：-,求得：t= ； 厶DEGA BCA ,此時(shí) DE EG 二 _ 2-32

7、17 即：41 ,求得：t= 39 綜上，t的值為丄或或-或 17 : 3. 答案：解：（1）證明：I AD=CD 在 Rt ABC中，ACB= :丄 A=Z ACD DE平分-CD皎邊BC于點(diǎn)E / CDEh BDE / CDB CDB勺一個(gè)外角 / CDBh A+Z ACD=Z ACD / CDBZ CDEZ BDE=Z CD E Z ACDZ CDE DE/ AC (2)Z NCEZ MBE EML BD EN! CD BMCNE如圖 Z NCEZ MBE BD=CD 又 Z NCEZ ACDZ MBEZ A=9 0 Z ACDZA AD=CD AD=BD=AB 90, AC= 6, B

8、C= 8 AB=10 AD=5 Z NCEZ MEB EML BD EN! CD BMEA ENC如圖 Z NCEZ MEB EM/ CD CDL AB 在 Rt ABC 中,匚 ACB= 90 , AC= 6 , BC= 8 AB=10 Z A=Z A Z ADCZ ACB ACDA ABC AD _ AC -一丄： AD = 18 綜上：AD=5 或 時(shí), BME 與厶CNE相似. 4. 答案：解(1)由題意：AP=4x CQ=3x AQ=30-3x, AP _AQ 當(dāng)PQ/ BC時(shí)，一二，即： _ 30- 3a 20=30 _10 解得：r 40 （2）能，AP= cm或 AP=20cm

9、 AP_ AQ 厶APQ CBQ則莎二西, _ 30-3x 即一L 二- 解得：“:或；-（舍） 此時(shí)：AP= cm AP AQ 厶APQ CQB則元二喬, _ 30-3x 即”二 10 解得：（符合題意） 40 此時(shí)：AP= cm 40 故 AP= cm或 20cm時(shí)， APQ 與厶CQB能相似. 5. 答案：解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t , 則 DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t. （1）若AQAP為等腰直角三 角形，則 AQ=AP即：6-t=2t , t=2 （符合題意） t=2時(shí)， QAP為等腰直 角三角形. （2）Z B=Z QAP=90 當(dāng) QAMAABC時(shí), AQ

10、AP6Y 色 = 二A ,即：丄-, 6 解得：二（符合題意）； 當(dāng) PAQ ABC 時(shí), AP AQ ，即: 解得：心三（符合題意）. _6 當(dāng)二或時(shí)，以點(diǎn)QA、 P為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似. 6. 答案：解：分兩種情況 第一種情況，圖象經(jīng)過第一、 三象限 過點(diǎn)A作AB丄OA交待求直線 于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作平行于y軸 的直線交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B 作 BDL AC 則由上可知：一匚上: :I = 90 由雙垂直模型知： OCMA ADB 0C _ AC _ 0A 二二 . A （2, 1）,三=45 OC= 2, AC= 1, AO= AB AD= OC= 2, BD= AC= 1 D點(diǎn)坐標(biāo)

11、為（2, 3） B點(diǎn)坐標(biāo)為（1, 3） 此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為: y = 3x 第二種情況，圖象經(jīng)過第二、 四象限 于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作平行于x 軸的直線交y軸于點(diǎn)C,過 點(diǎn)B作BDLAC 則由上可知：二壬二匸4二= 90 由雙垂直模型知： OCAcA ADB 亠一二 A （2, 1）,應(yīng)=45 OC= 1, AC= 2, AO= AB AD= OC= 1, BD= AC= 2 D點(diǎn)坐標(biāo)為（3, 1） B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,- 1） 此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式 j. 為：y= zx 過點(diǎn)A作AB丄OA交待求直線 7. 答案：解：情形一： 瑋罔，.當(dāng)Nd甘=90 時(shí)：r 逹除CD：過h D AC邊上持良茨DE.

12、交CA箔廷民 AB=25 rCW* BC AC-BC QIT *.CB- 90r 又V DE-CE.丄.仍D為等接盲龜三定形 /, AD=AR .：ACB=.- E 9Ci ZZZ-HL= 90 * /jED.J J 幻圏+冷匚Q占=9時(shí)：” BTWft麗 iMaWllJh * 連接CD,過點(diǎn)J作R?邊上的高線QP 交的 延民線于占P 過點(diǎn)衛(wèi)沱雪紋PD邊上眄罷戟呂2 交PD于點(diǎn)Q / 胡=2話、野g*， :.AC-BC-ABT，討7百=90= * 又丁 DE_CE, 水因口為等腰直角三幷形* :* ADRD* 一/一。- 90- * -QDA+Q-lD= 90，匚QDA_3DP=00 _UD生

13、二CB .- AE=BC=2. DE=AC=4 二F 艮D(zhuǎn)EC 豐 CZ?= EDCE = 2/k3 情形二: 巨匯豈-M力加-為：， 嗨潢8，迥占。胃旳上肋宴零OFf (?由鴿芒三逹于占F V .5=25. JC-4. BCR DQ=BP- 8.答案：證明：方法一: APB :.ACBC-lSr 畑 W ” XV DF丄CF 詁加為等整E審三島形* /. 乩 一WeF=9W * -A3C-.fBD= _h3JC-_.45C90 /. _ 且 M-FED. 二 一=_CBH 情形三: A DF-BC-1- BF=AC=4- 連接PC過點(diǎn)P作PD AC 于 DPD/BC 根據(jù)折疊可知MNL CP

14、 / 2+Z PCN=90, / PCN# CNM=9 / 2=Z CNM / CDPh NCM=9 PDS MCN MC CN=PD DC PD=DA MC CN=DA DC PD/BC DA DC=PA PB MC CN=PA PB 方法二：如圖， I- M/K A t)P E B 過M作MDL AB于D過N作 NE! AB 于 E 由雙垂直模型，可以推知 MD _FD _ PM PMNPE則耳二旋二莎， 根據(jù)等比性質(zhì)可知 MDPD _PM 匸匸二,而 MD=D,NE=EB PM=CMPN=CN MC CN=PA PB 過點(diǎn)D作AB的平行線交BC的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)M交x軸于點(diǎn)N, 則/ M=/

15、 DNA=90 , 由于折疊，可以得至U ABCA ADC 又由B (1, 3) BC=DC=1 AB=AD=MN=3 / CDA/ B=90 / 1+/ 2=90 / DNA=90 / 3+/ 2=90 /. / 仁/3 DMOA AND CM _DM _CD 亠廠上=j丄=- 設(shè) CM=x 則 DN=3x AN=1+ l-bc x，DM= l-Hr - 3x+ 二=3 過點(diǎn)C作x軸的平行線交y 軸于G過點(diǎn)D作y軸的平行 線交x軸于F,交GC的延長(zhǎng)線 于E。 直線y= - 2x+ 2與坐標(biāo)軸交 于A B兩點(diǎn) A（ 1,0），B（ 0,2 ） OA=1 OB=2 AB=- AB: BC=1:2

16、 bc=ad= / ABO# CBG=90, / ABO# BAO=90 / CBG# BAO 又# CGB# BOA=90 延長(zhǎng)AE到M使得EM=AE連 接CM BE=CE# AEB# MEC BEAA CEM CM=AB # 1=#B AB/ CM # M=/ MAD# MCF#ADF MCF ADF CF _ CM GBC OA GB / CM=AB AD=AC CF CM AB u 土二一二 - GB=2 GC=4 GO=4 - C （4,4 ） 同理可得厶ADFA BAO得 OA _DF 二:DF=2 , AF=4 OF=5 D （5,2 ） 11.答案：證明：（方法一）如 圖 過D

17、作DG/ BC交AE于G 則 ABEA ADG CEFA DGF AB _ BE CF _ CE AD=AC BE=CE CF BE AB 57 匚二 ACDA ABC AD AC _ CD .?_： .iT77 12.答案：證明： 13.答案：解: AB AD B? _AS AC /.三 Al AD BC? _ BE /. TF7 ZF E l l D O a-b/c BF= i+l 過點(diǎn)D作DF/ AB交AC的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)F,則/ 2=Z3 AC平分/ DAB 二/ 1=/2 /Z 1=Z3 AD=DF Z DEFZ BEA Z 2=Z3 BEAA DEF BE _ AB - 亠 二 AD

18、=DF BE _ AB AC為AB AD的比例中項(xiàng) AD _ AC 即 證明： 過點(diǎn)E作PQ/ BC分別交BA 延長(zhǎng)線和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q AB/ CD PQ/ BC 四邊形PQCB和四邊形 EQCF是平行四邊形 PB= EF= CQ丄丄 又 AB= b, CD= a AP= PB-AB= EF-b, DQ= DC-QC= a-EF ct EF t = 曲b 14.答案：解: E 連接MF M是AC的中點(diǎn)，EF= FC MF/ AE且 MF = AE/.A BENA BFM， BN BM =BE: BF= NE: MFBE = EF BN : BM= NE : MF = 1:2 BN NMh 1

19、:1 設(shè) NE= x, 則 MF= 2x , AE= 4x AN= 3XT MF/ AE/.A NAQA MFQ NQ QMh AN MF= 3:2 / BN NMh 1:1 , NQ QMh 3:2 / BN NQ QMh 5:3:2 15. 答案：證明：（1 ） 丄 F 國(guó)1 如圖1，AD BE為 ABC的中 線，且AD BE交于點(diǎn)O 過點(diǎn)C作CF/ BE交AD的 延長(zhǎng)線于點(diǎn)F CF/ BE且E為AC中點(diǎn) / AEO=Z ACF / OBD= /FCD AC=2AE / EAO=Z CAF / AE3A ACF SO AS A /：- D為BC的中點(diǎn)，/ ODB= / FDC /. BOD

20、A CFD / BO= CF so /二 i BO 2 同理，可證另外兩條中線 三角形頂點(diǎn)到重心的距離 等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的 2 如圖2,ABC的角平分 線 過點(diǎn)C作AB的平行線CE交AD 的延長(zhǎng)線于E 則/ BADME TABC的角平分線 / BADM CAD / E=M CAD AC= CE CE/ AB BADA CED AB _BD .匚 :？ AB _ BD .J?二 16. 答案：證明： A 如圖，作 DP/ AB DQ/ AC 則四邊形MDP和四邊形NDQC 均為平行四邊形且 DPC是等 邊三角形 BP+CQ MN DP= DQ= PQ M N分別是邊AB AC的 中占 I

21、八、 MN= BC= PQ DP/ AB DQ/ AC CDPA CFB, BDQ BEC DP _ CP DQ BQ DP DQ CP BQ EG+PQ 3 _ 2 丄 DP= DQ= PQ=二 BC=二 AB 1113 二AB （工）=匸 l l _ 3 17. 答案：證明： EF/AB, AB/DC EF/DC AO0A ACD, DO DBA SO AS EQ DE .石盤 ABAD 竺+竺坐+坐1 I 1 _ 1 一工工 18. 答案：證明：I EF/ CD EH/ AB .厶吃三厶QC ZCEH=A _L-_S 工=_J 二七 ? AFEA ADC, CEHhA CAB AE _

22、EF CS _ EH EF= EH EH. EF EF EF CS AE d + + + 1 1 _ 1 19. 答案：證明： EF/ AC, DE/ BC _2 * ? BFEA BCA, AEDA ABC BE EF DE _AE 二一 亦十站朋十血肋+財(cái)1 EF= DE= a i _ i 丄?一二-丄 20. 答案：(1)證明：在平行 四邊形 ABCD中 , AD/ BC / DRPh S,/ RDBh DBS DRPA BSP PR _ DP 二匚廠 同理由 AB/ CD可證 PTDA PQB PT _ DP 匸二 PR _ PT 二二 .： (2)證明：成立，理由如下： 在平行四邊形

23、ABCD中， AD/ BC / PRD/ S?Z RDP/ DBS DRPA BSP PR DP 同理由 AB/ CD可證 PTDA PQB PT _ DP .二二 PR _ PT .廠二 21. 答 案： 證 BD C AB= AC AD是中線， ADL BC,BP=CP / 1=Z2 又/ ABC=/ ACB ./ 3=Z4 CF/ AB / 3=Z F, / 4=/F 又/ EPCM CPF EPCA CPF BP _ PC I.I BP= PE- PF即證所求 22. 答案：證明： DEL AB 90 .三qu二90 -_匸三二 ADEA DBE AE _ DE 二匸二 BFL AC

24、.一乂 審一90 . _匸匚三十_三匸丨 90且 ._? 一門 BE9A HEA BE _ EG 匸二二 二住= 廠壬. DE2=EGEH 23. 答案：證明： 四邊形ABCD為平行四邊 形 AB/ CD AD/ BC / 1=/2 , / G=/H , / 5=/6 PAHhA PCG PH _ PA I兀 PC 二DE2=王三 又/ 3=/4 APEA CPF PE _ PA :.lfJ- = ic PE _ PH .pr - rc 24. 答案：證明：如圖，連接 BH交AC于點(diǎn)E, TH為垂心 BE! AC / EBCk BCA=90 AD! BC于 D / DAC BCA=90 / EBCM DAC 又/ BDHh ADC=90 BDHhA ADC BD _ AD 厲一更 ,即 i_：i ./ BPC 為直 角 , ADL BC PD2 = BDDU PD2= ADDH 25. 答案：證明： CD是 Rt ABC斜邊AB上的高，E 為BC的中點(diǎn) CE=EB=DE / B=Z BDE=/ FDA / B+Z CAB=90, / ACDZ CAB=90 Z B=Z ACD Z FDAZ ACD Z F=ZF FD