數(shù)列通項(xiàng)公式的六種求法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的六種求法數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的六種常用方法。一、 直接法如果已知數(shù)列為等差(或等比)數(shù)列，可直接根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得印，d (或q)，從而直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式。例1.等差數(shù)列：an 是遞減數(shù)列，且 a2 03 04=48，a2 a3 a4=l2，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是()(A) an =2n -12(B) an =2n 4 (C) an 二 2n 12(D) an 二-2n 10解析：設(shè)等差數(shù)列的公差位d,由已知-8 -解得,3，

2、又an是遞減數(shù)列，d = -2, a1 = 8,d =an = 8 (n _ 1)( -2) = -2n 10,故選(D)。例2.已知等比數(shù)列n的首項(xiàng)a1 =1 ,公比0 :： q :： 1 ,設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為 bn二anan 2，求數(shù)列g(shù) 的通項(xiàng)公式。解析：由題意，bn an 2 an 3，又n 是等比數(shù)列，公比為 qbn 1_ an 2 an 3bn an 1 an 2-q，故數(shù)列：bn 是等比數(shù)列,2D =a? a? =ag ag =q(q 1),bn =q(q 1) qnXqn(q 1)二、歸納法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公

3、式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。例3. ( 2002年北京春季高考)已知點(diǎn)的序列An(xn,0), N* ,其中Xi =0 ,x2 =a(a 0)，A3是線(xiàn)段AiA2的中點(diǎn)，A“是線(xiàn)段A2A3的中點(diǎn)，代是線(xiàn)段AnAnj的中點(diǎn)，(1) 寫(xiě)出Xn與XnXn/之間的關(guān)系式(n_3 )。(2) 設(shè)an二Xni -Xn，計(jì)算ai,玄2忌，由此推測(cè)心鳥(niǎo)的通項(xiàng)公式，并加以證明。(3) 略y .十 y - 解析：(1)： An是線(xiàn)段An=An的中點(diǎn)， 二Xn_(n 一 3)2a1 :=X2-Xj = a - 0 = a ,X2X11(X2- X1 )=1a2-X3-X2_ X2 =a,222X3X21(X3X2

4、 )：1a32-X3 :X3 =a ,224猜想an =!)nJa(n N*)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明210當(dāng)n=1時(shí)，a1二a顯然成立；01k2 假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即ak=(-) a(kN*)2則n=k+1時(shí),Xk 1Xk 1 Xk2-Xk = -(Xk1 -Xk)二-丄ak2 2=()(E)k“G)ka當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立, 命題對(duì)任意n N*都成立。累加(乘)法對(duì)于形如an .1 =an f( n)型或形如an彳=f(n)an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式， 寫(xiě)出n取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項(xiàng)公式。例4.若在數(shù)列 沖，印=3， anan -

5、 n，求通項(xiàng)an。解析：由an十=an n得an彳an = n，所以an -an_i 二 n -1,an-an_2 = n 2，將以上各式相加得：an -ai二(n -1) (n -2)-1，又a二3 所以 an= n(n -1)32例5. 在數(shù)列 首中，a1 =1，an卅=2nan( n = N*)，求通項(xiàng)an。解析：由已知n -1所以an =anan 1anan 1a2a1n(n .1)a1 = 2nJ -2n=2，又 a1 = 1，a1四、構(gòu)造法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列為 等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例6. 在數(shù)列 匕沖

6、，a1 = 1， a? = 2， a. 2 = 2anan，求 an。33211解析：在 an 2an 1an 兩邊減去an 1，得an .2-an1(and-an)333二an 4 -an堤以a2 -a1 = 1為首項(xiàng)，以-1為公比的等比數(shù)列，3-an 1 -an鞏-1)，由累加法得3an=(an -and) (an -an心2 一印) a1111-(-1)= (_)2(-一)2 (一1) 1 1= 333311加”373( Ini()443例7.(2003年全國(guó)高考題)設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n2an(n N ),1證明：對(duì)任意 n 1, an3n (-1) 2n(-1)n 2n a。5證

7、明：設(shè)，an -t 3n =2(an-t 3n)用a. =3心-2an代入可得t 乂153n ,a*一 是公比為2，首項(xiàng)為ai5-5的等比數(shù)列，an3(1 -2a。-3) (-2嚴(yán)(n N*)，55n -1n即：an(一1廠(chǎng)2(期八。五、公式法公式法即利用公式an =Sn -Sn4( n 一 2)求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種方法。例8. 在數(shù)列an 中，a1 +2 a2 +3a3+ +nan = n(n 1)(n 2)，求 an。解析：令 Sn = a1 +2a2 +3aa + + nan= n(n 1)(n 2),則 Sn4=a1 +2 a2+3as + + (n T)an j = (n -1)n(

8、n 1),則 Sn - Sn 4= nan= n(n 1)(n2) - (n -1)n(n 1),an = (n 1)(n 2) - (n -1)(n 1) = 3n 3例9.設(shè)數(shù)列 d 啲前n項(xiàng)和Sn =4 - an - 22，求 an 1 1解析：由 Sn = 4 - an - 22，得 Sn 1 = 4 _ a n 1 _，cc11、an 1 = Sn 1 - Sn = an - an 1 + (一 2)an d = 1an + ，兩邊同乘以 2n 1,得 2n 1 an d = 2n an +2,2nan =2+ (n _ 1) 2 = 2n ,六、代換法例10.已知數(shù)列a 滿(mǎn)足a1解析:1 n設(shè)印cos,2 3