常見統(tǒng)計分布及其特點稿件.doc

1、【附錄一】常見分布匯總 一. 二項分布 二項分布（Binomial Distribution） 即重復 n 次的伯努利試驗（Bernoulli Experiment ） 用表示隨機試驗的結(jié)果，如果事件發(fā)生的概率是P,則不發(fā)生的概率q二1-P，N次獨立重 復試驗中發(fā)生K次的概率是。 卩（X二七）二（；）滬（1-刃譏二 b（Jc；恥p） 二. 泊松poisson分布 1、槪念 當二項分布的n很大而p很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，英中X為np。通常 當nN10,pW01時，就可以用泊松公式近似得計算。 2、特點一一期望和方差均為Xo 3、應(yīng)用（固泄速率出現(xiàn)的事物。）一一在實際事例中，當一個隨

2、機事件，例如某電話交換 臺收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客，以固左的平均瞬時速率X （或稱密度）隨機且 獨立地出現(xiàn)時，那么這個事件在單位時間（面積或體枳）內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)或個數(shù)就近似地服從 泊松分布 三、均勻分布uniform 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F（x） = （x-a）/（b-a）, axWb 則稱隨機變量x服從a, b上的均勻分布，記為xu（X bio 四. 指數(shù)分布 Exponential Distribution 1、槪念 、1久嚴 x0 xs+t|Tt)=P(Ts)即，如果T是某一元件的壽命,已知元件使用了 t 小時，它總共使用至少s+t小時的條件槪率，與從開始使用時算起它使用

3、至少s小時的概率 相等。 3、應(yīng)用 在電子元器件的可靠性研究中，通常用于描述對發(fā)生的缺陷數(shù)或系統(tǒng)故障數(shù)的測量結(jié)果 五、正態(tài)分布 Normal dis trib ution 1、槪念 fW = (工-”鬥 2、中心極限宦理與正態(tài)分布(說明了正態(tài)分布的廣泛存在，是統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)) 中心極限立理：設(shè)從均值為方差為o2;(有限)的任意一個總體中抽取樣本量為n 的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為P、方差為o2/n的正態(tài)分 布。 3、特點一一在總體的隨機抽樣中廣泛存在。 4、應(yīng)用一一正態(tài)分布是假設(shè)檢驗以及極大似然估il法ML的理論基礎(chǔ) 定理一：設(shè)XI, X2, X3. oo Xn是來自

4、正態(tài)總體N ( 2)的樣本，則有 樣本均值XN ( u , 6 2/n)總體方差常常未知，用t分布較多 六. x 2卡方分布(與方差有關(guān))chi-square distribution 1、槪念 若n個相互獨立的隨機變量2、gn ,均服從標準正態(tài)分布(也稱獨立同 q=D? 分布于標準正態(tài)分布)，則這n個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和 /=1 構(gòu)成 一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布(chi-square distribution),苴中參數(shù)n 稱為自由度 【注意】假設(shè)隨機干擾項呈正態(tài)分布。因此，卡方分布可以和RSS殘差平方和聯(lián)系起來。用 RSS/6 2,所得的變量就是標準正態(tài)分布，就服

5、從卡方分布。 “尤；約二2（豹，久_6 （0,ot herwise. 2、卡方分布的特點 2 2 （1）X分布的均值為自由度n,記為EGV ）二no （這個容易證明） 2 2 （2） X分布的方差為2倍的自由度（2n）,記為D（X ） = 2n (3) 如果*(1 )/2他) 互相獨立, 則：（獨立可加減） 戲（1）十/（卩2） 分布，自由度1十卩2: )c2M-x2(v2 分布，自由度為Vi-V2 .精品. 3、圖形特點 4、應(yīng)用 圮理二，設(shè)XI, X2, X3. oo Xn是來自正態(tài)總體N （u, 62）的樣本，則有 樣本均值X“N（u, 8 2/n） S-1)S2 -艮- （1）正態(tài)分布

6、以及卡方分布是F檢驗的基礎(chǔ)。大量的檢驗用到了 F檢驗：F檢驗、三大 檢驗。 七、t學生分布（用樣本方差s來標準化）Students t-distribution 1、槪念（適用于2未知） 【理解】把樣本標準正態(tài)化的U變換前提是方差已知，但總體方差是未知的，所以用樣 本方差來代替總體方差。根據(jù)中心極限肚理，抽樣服從方差為總體方差除以n的正態(tài)分布。 由于在實際工作中，往往0是未知的，常用s作為o的估計值，為了與u變換區(qū)別，稱為 t變換，統(tǒng)計量t值的分布稱為t分布（u變換指把變量轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布） 【思考】為什么樣本方差比總體方差要??？因為一個是總體方差，一個是樣本均值的方 差。不同 2、特點 1

7、）與標準正態(tài)分布曲線相比，自由度v越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線 雙側(cè)尾部翹得愈髙；自由度v愈大，t分布曲線愈接近正態(tài)分布曲線，當自由度v二g時，t 分布曲線為標準正態(tài)分布曲線。 定理三：設(shè)XI, X2, X3.。Xn是來自正態(tài)總體N （u, 82）的樣本，則有 樣本均值XN （ u , 2/n）, S為樣本方差 Xu S/洛 （n-1） 【注意】S是樣本方差。中心極限定理說的是樣本均值的方差。 精品. 八、F 分布 F-distribution 1、槪念 F分布立義為：設(shè)X、Y為兩個獨立的隨機變量，X服從自由度為kl的卡方分布，Y服 從自由度為k2的卡方分布，這2個獨立的卡方分布

8、被各自的自由度除以后的比率這一統(tǒng)計 量的分布 2、特點 （1）它是一種非對稱分布： （2）它有兩個自由度，即nl-l和n2-l.相應(yīng)的分布記為F （ nl - b n2-l）, nl -1 通常稱為分子自由度，n2-1通常稱為分母自由度： （3）F分布是一個以自由度（一1）和 2一1）為參數(shù)的分布族，不同的自由 度決泄了 F分布的形狀。 P一1 （4）F分布的倒數(shù)性質(zhì)：卜5 （5）殘差平方和之比通常與F分布有關(guān)。 九、邏輯分布logistic (分類評左模型)一一最早應(yīng)用最廣的離散選擇模型 1、槪念 F(r) = !_r/= zr- 1+曠(i+ y 2、特點 用作增長曲線并為二進制響應(yīng)建模。

9、在生物統(tǒng)計和經(jīng)濟領(lǐng)域使用。 Logistic分布由尺度和位置參數(shù)描述o Logistic分布沒有形狀參數(shù)，也就是說瓦概率密度 函數(shù)只有一個形狀。 下列圖形顯示了不同參數(shù)值對Logistic分布的效應(yīng)。 尺度參數(shù)的效應(yīng) 位宜參數(shù)的效應(yīng) 十.伽馬分布 1、概念伽瑪分布(Gamma Distribution)是統(tǒng)訃學的一種連續(xù)概率函數(shù)。Gamma分 布中的參數(shù)稱為形狀參數(shù)(shape parameter), B稱為尺度參數(shù)(scale parameter)o 假設(shè)隨機變量X為等到第。件事發(fā)生所需之等候時間，密度函數(shù)為 fXlX,a) = -xa-ie-Ax,x0. EX=aA, Varx)= a A2. 特征函數(shù)為 0(f)二(1-說幾 伽馬分布的可加性 當兩隨機變量服從Gamma分布，且單位時間內(nèi)頻率相同時，Gamma 數(shù)學表達式 若隨機變量X具有概率密度