本不等式中的一正二定三相等

1、基本不等式中的“一正二定三相等”4上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第9期基本不等式中的”一正二定三相等”442000湖北省十堰市柳林中學(xué)范小芳正二定三相等”是指在應(yīng)用基本不等式坨/求函數(shù)的最值時，需同時滿足以下三個條件：(1)各項均 為正數(shù);(2)和或積為定值;(3)具有等號成立 的條件.然而在求解時，學(xué)生往往考慮不周，造 成解題錯誤,主要體現(xiàn)在以卜三個方面：，忽視了不等式成立的前提條件,導(dǎo)致解 題錯誤例1求函數(shù)一二蘭的最值.對于這個最值問題,學(xué)生往往有如下兩種解法:解法 1： 一 (一 1)+2t 一 1)?一 4.當且僅當一I即一 3時等號成立，故當x=3時,函數(shù)一 4. 解法2:=弋一 1)+.

2、(1) 由于列，當，r>l 時,(x-l)+Li1廠_一2(x-l) 4?當且僅當.r 一 1 一三t_,即.r=3時等號成立.故當II,一 3時，一 4.(2) 當時,(.1)+一(1 一-*,)+ 2X/(.v-l)?4.當且僅當1 一亡即SC=-1時一 4.綜上所述，當一 3時，一 4;當一一 1時,v4.另外點P與點Q關(guān)于點M對稱,M是線段PQ的中點，則有嚴一 2x,+ 2y.那 么按照這個公式，岡仃已知點P和對稱點A的 坐標,就可以求出點P的坐標，同理可求出點 P.P等坐標.顯然，上述解法2是正確的，因為它滿足正二定三相等”這三個條件,.1- -1和有可能人于0,也可能小于0,

3、則這兩項可能同時為正，也可能為負，而解法1只考慮一 r 一 1大于0的情況，即忽視了基本不等式成立的前提條件一各項均為正數(shù)，從而導(dǎo)致解題錯誤.二，忽視了基本不等式定值的選取，造成解題錯誤用基本不等式求函數(shù)的最值時要構(gòu)造出定值關(guān)系，首先應(yīng)分清楚是求和式的最值還是求 積式的最值，然后構(gòu)造相應(yīng)積(和)的定值. 例 2 若 0<<,求函數(shù)一1 3._,) 的最大值.解法 1:.(13x)-?-tf?(l3x)住 1.:.當且僅當一 1(一一，當且儀當一1圳扣去.解法 2:0<.r<嚴,.I 一 3.z>0.:.l,.(l-3)=?z?(l3) 4?萼?警?(1冬魯擎4當且僅

4、當3,13即z 百2時，等號成立，即一解法1中不是定值,所以不能直接應(yīng)用基本不等式，可采取拼湊的辦法，使得三項總之解答這些簡單的規(guī)律探索型問題，必須在認真審題的基礎(chǔ)上，找準切入點，可以先從簡單，特殊的情況抓起，往往也是從少到多，從簡單到復(fù)雜,通過分析比較，找出每次變化過程中所具有的規(guī)律性東西，從而找到解題方法.上海中學(xué)數(shù)學(xué)?2011年第9期5圓錐曲線定義的幾何證明317100浙江省三門縣三門中學(xué)陳耀用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時,可以得到不同的截I I瞄線，分別是橢圓，雙曲線,拋物線，通常把它們統(tǒng)稱為圓錐曲線那么，為什么截I I曲線是橢圓，雙曲線或拋物線呢？1為

5、什么截口曲線是橢圓？常見的一段木棒，大體上是一個圓柱，若正截過去，截I I是一個圓，若斜截則截I I不再是圓的，而是橢圓.如圖1,在圓柱內(nèi)放兩個球，與圓柱側(cè)面和截面都相切.令廠l,r2分別是上,下球面工工和柱面相切的圓設(shè)P是截面廠上任意一點,F,F是球面和截面的切點， QIQ是柱面上過點P的一條 線段,QW,Q2Wr2,由球的 幾何性質(zhì)，則有IPF : fPQl r, 1PF2I=IPQI,于是 1PFI+ 1PI1QQ.1為定長，故截圖1Z布I【為足但,以達釗求最但明口的.例支II ._,r.>O, 求4.+的最值”，此時，就可以把此式寫成4 +導(dǎo)一 2.1-+2+導(dǎo)，使得乘積為定值，

6、以達到解 題的目的.三，忽視了等號成立的條件，導(dǎo)致解題的錯誤 例3求函數(shù)3,箸的最小值.-u 解法:-?+s>.,?廂+卷?z解法2:由一+麗1,令 兩N易證一，一+(刁為 面是橢圓.這種方法可以推廣 到圓錐截面,數(shù)學(xué)家GeiniHielDandelin 曾給 出如下證法.如圖2,F1, 是兩個球與截面的切 點T是在截面曲線上任 取的一點,Q.Q?是兩個 球分別與圓錐側(cè)面相切 的圓上的點，且使線段圖2 QQ過點R則由球的性質(zhì)可知.fPf=lPQ,c, 1PF21IPQ2I,于是 1PFH1PFI1PQ1+IPQ.lIQQ.1為定值，滿足橢圓的定義.由此 證得，按一定的角度斜截圓錐，得到的截面曲線 是橢圓.以上證法非常巧妙那么，這種方法能否推 廣到雙曲線和拋物線的證明呢？ 2雙曲線定義的幾何證明 如果使截面平行于圓錐的軸，得到的截面 曲線就是雙曲線由于雙曲線有兩支，所以要讓 增函數(shù)I.Y一廠(J* 一竿.即當心J；:一，即=0 時,Y:.0解法1似乎無懈可擊，其實令P+3 ”則有=一 2,即無實數(shù)解，也就是等23號取不到，因而找不到最小值，而解法2則利用 “對勾函數(shù)”進行求解.在利用基本不等式求函數(shù)的最值時，學(xué)生 對”一正三相等